2013Matematika Teknik 1BAB VI. INTEGRAL TAK TENTU (ANTI TURUNAN)(Pertemuan ke 11 & 12)PENDAHULUANDiskripsi singkatPada bab ini dibahas tentang integral tak tentu, integrasi parsial dan beberapa metodeintegrasi lainnya yaitu integrasi fungsi trigonometri, integral dengan menggunakan substitusi(aljabar, trigonomerti), integral fungsi pecah rasional, integral fungsi irasional.ManfaatMateri yang disampaikan di sini, masih merupakan dasar perhitungan integral. Yangdibicarakan masih terbatas pada cara memecahkan persoalan-persoalan integral, dengan berbagaimetode integrasi yang diberikan. Untuk selanjutnya, setelah menerapkan batas-batas integrasi,materi ini digunakan dalam banyak hal, yaitu di Mata kuliah Matematika II.RelevansiIntegral dalam prakteknya banyak digunakan di berbagai bidang. Setelah integral tak tentuini dipahami, penggunaan selanjutnya misalnya untuk menghitung luas bidang datar, menentukantitik berat, momen inersia, volume dan lainnya. Di bidang fisika, termodinamika, hitung integral inijuga sangat diperlukan,Learning OutcomesMahasiswa dapat mengenal, mamahami dan menyelesaikan persoalan integral tak tentuini dengan baik, serta dapat menerapkannya di bidang lain.s. johanes, dtm sv ugm73
2013Matematika Teknik 1PENYAJIANKita sebut F suatu anti turunan dari f pada selang interval I, jikayakni jikauntuk semua x dalam interval I. maka:pada interval I,Tanda integral(notasi dari Leibniz)integrantGambar 6-1Contoh: carilah suatu anti turunan dari fungsipada selang (- , ) ?Penyelesaian: dicari suatu fungsi F yang memenuhi, untuk semua x riil.yxGambar 6-2Fungsi F yang memenuhi adalah:dinyatakan:,,. Secara umum, dengan c konstanta.Famili tersebut di atas disebut anti turunan.Teorema : kelinieran dariAndaikan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan andaikan k adalahsuatu konstanta, maka:i.ii.s. johanes, dtm sv ugm74
2013Matematika Teknik 1Contoh, carilah integral berikut:6.1. Rumus-rumus interal tak tentu.1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.s. johanes, dtm sv ugm75
2013Matematika Teknik 1Carilah integral tak tentu berikut:1.2.3.4.? subtitusikan, maka, substitusikan5.,,, substitusikan6., substitusikan7., substitusikan, atau, maka:,,,&, maka:,, ataumaka:, A & B dicari dulu8.s. johanes, dtm sv ugm, dicari hasil baginya terlebih dahulu, sebagai berikut:76
2013Matematika Teknik 1, maka:9., substitusikan,, atau10.11.s. johanes, dtm sv ugm77
2013Matematika Teknik 112., komponen penyebut ditulis menjadi bentuk lain sebagai berikut:, maka:, substitusikan13.,, atau, maka:, jika akar dari penyebut integran diturunkan maka, selanjutnya pembilang dari integran,ditulis dalam bentuk turunan dari penyebut integran, maka;, atau, sehinggaContoh 1214.15., substitusikan,, atau, maka:, jika penyebut integran diturunkan maka:, selanjutnya pembilang dari integran,ditulis dalam bentuk turunan dari penyebut integran, maka:ataus. johanes, dtm sv ugm, sehingga78
2013Matematika Teknik 116., substitusikan,, atau, maka:6.2. Integrasi parsialJikaditurunkan, maka :, atauPersamaan di atas diintegralkan, maka menjadi:, atau menjadiPersamaan Integral parsial :Contoh1.Penyelesaian: jikaditurunkan, maka hasilnya adalah sebagai berikut, atauDengan mensubtitusikan persamaan terakhir ke dalam soal, maka diperoleh :Dengan menerapkan Persamaan Integral parsial, makas. johanes, dtm sv ugm79
2013Matematika Teknik 12.Penyelesaian: jikaditurunkan, maka hasilnya adalah sebagai berikut, atauDengan mensubtitusikan persamaan terakhir ke dalam soal, maka diperoleh :Dengan menerapkan Persamaan Integral parsial, makaJikaditurunkan,Dengan mensubtitusikan lagi, makake persamaan terakhir, maka:kemudian diterapkan lagi Persamaan Integral parsial, maka:, atauSuku terakhir dibawa ke ruas kiri, maka:, atau, atau6.3. Metode IntegrasiA.Integrasi Fungsi Trigonometri1.Bentuk, dengan m dan n bulat positif.a. m ganjil dan n genaps. johanes, dtm sv ugm80
2013Matematika Teknik 1Contoh:b. m genap dan n ganjilContoh:c. m genap dan n genapContoh:s. johanes, dtm sv ugm81
2013Matematika Teknik 12.BentukatauSifat:a. m ganjil, n ganjil, sama bila m ganjil, n genapMaka:b. m genap, n genapMaka:c. m genap, n ganjilMaka:s. johanes, dtm sv ugm82
2013Matematika Teknik 1Contoh:1.2.3.3.Bentuk :a)b)c)Contoh:A.Integral dengan menggunakan substitusi1. Substitusi Fungsi Aljabars. johanes, dtm sv ugm83
2013Matematika Teknik 1a. Bila inttegran memuat bentuk (a bx) dengan pangkat pecahan:, makamenggunakan substitusi:Contoh:1.2., substitusi:, subst.: b. Bila inttegran memuat bentuk , mengunakan substitusi:Contoh:, subst: , maka:s. johanes, dtm sv ugm84
2013Matematika Teknik 12. Substitusi Fungsi TrigonometriBila integran memuat bentuk:a., dengan substitusib., dengan substitusic., dengan substitusiContoh:1., substitusi: 5u54xGambar 6-32.3.s. johanes, dtm sv ugm, substitusi:, substitusi: 85
2013Matematika Teknik 1X 32Gambar 6-4B.Integral Fungsi Pecah Rasional1. Fungsi Aljabar, dimana f(x) dan g(x) berbentuk polinomial, n bulat positifa. Bila f(x) berpangkat lebih tinggi daripada pangkat g(x)Maka:Contoh:, berartidanb. Bila f(x) berpangkat lebih rendah daripada pangkat g(x)AndaikanDengandan A1, A2, A3, . . . .An harus dicari.Contoh:Mengambil harga-harga untuk x:x 1 9 -2A A 9/2x 2 11 -B B -11x 3 13 2C C 13/2IdentitasKoefisien x2: A B C 0s. johanes, dtm sv ugm86
2013Matematika Teknik 1Koefisien x1: -5A – 4B – 3C 2Koefisien x0: 6A 3B 2C 7Bila g(x) memuat faktor linier berulangA, B1, B2, .,, Bp, C1, C2, C3, . ., Cq dicari.Contoh:x -2 75 25 A A 3x 3 -20 5 B B -4A C 3 C 0Bila g(x) memuat faktor kuadratisContoh:s. johanes, dtm sv ugm87
2013Matematika Teknik 11 A CA 01 B DB 11 2A CC 12 2B DD 02. Fungsi Pecah RasionalMenggunakan substitusi: ux/21Gambar 6-5Contoh:substitusi: ,s. johanes, dtm sv ugm88
2013Matematika Teknik 1C.Integral Fungsi Irasional1. Bentuk, substitusi:Contoh:, Misal: 2. Bentuk, menggunakan substitusi:Contoh:, misal:s. johanes, dtm sv ugm 89
2013Matematika Teknik 13. Bentuk, menggunakan substitusi:atauBentuk: menggunakan trigonometriContoh:, menggunakan substitusi: s. johanes, dtm sv ugm90
2013Matematika Teknik 1Tugas pertemuan ke 11. Selesaikan integral berikut.1.2.Latihan untuk pertemuan ke 11. Selesaikan integral berikut.1.2.Petunjuk.1. Untuk menjawab soal, misalkan, makadan.jawabnya:2. Untuk menjawab soal, gunakan rumus integrasi parsiil. Jawabnya:Soal-soalCari integral tak tentu berikut :1.2.3.12.13.14.4.15.5.16.6.17.18.7.19.8.20.9.21.10.22.11.23.s. johanes, dtm sv ugm91
2013Matematika Teknik 124.28.25.29.26.30.27.PENUTUPTes formatif dan kunci tes formatifTentukan integral berikut:1., kunci jawaban:2., kunci jawaban:3., kunci jawaban:4., kunci jawaban:Petunjuk penilaian dan umpan balikPenilaian hasil tugas, latihan dan ujian debiri skor (nilai) antara 0 sampai dengan 100.Kesahan hasil akhir bukanlan merupakan kesalahan yang fatal, kalaupun dikurangi skornya, hanyasedikit saja (atau bahkan tak perlu dikurangi), tetapi kesalahan proses itu yang perlu pengurangannilai .Tindak lanjutBagi mahasiswa yang skornya kurang dari 50, wajib mempelajari lagi uraian di depan, danselanjutnya diuji lagi.s. johanes, dtm sv ugm92
Dengan mensubtitusikan persamaan terakhir ke dalam soal, maka diperoleh : Dengan menerapkan Persamaan Integral parsial, maka Persamaan Integral parsial : Matematika Teknik 1 s. johanes, dtm sv ugm 80 2013 2. Penyelesaian: jika diturunkan, maka hasilnya adalah sebagai berikut , atau Dengan mensubtitusikan persamaan terakhir ke dalam soal, maka diperoleh : Dengan menerapkan Persamaan Integral ...6d ago 44 Pages
(pecahan rasional) Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ [email protected] DEFINISI 1 Fungsi suku banyak derajad n dengan n bulat non negatif dimana 0 ( ) 2, 0 1 2 z n n n n a P x a a x a x a x Fungsi konstan dipandang sbg fungsi suku banyak derajad nol yaitu P 0 ( x ) a 0. Fungsi pecahan rasional adalah fungsi dengan bentuk dengan N dan D fungsi suku banyak ...
1y ago 51 8 Pages
Chapter 4 we de ne modular forms with integral and half integral weight calculate the dimension of the space of modular forms using the theorem of Riemann Roch Chapter 5 is dedicated to de ne Hecke rings and discuss some of their fundamental properties Also in this chapter the Zeta function of a modular form with integral or
11m ago 29 35 Pages
BAB III SEPEDA MOTOR 4 LANGKAH 3 1 Pengertian Tak Stroke Yang dimaksud dengan tak langkah Slag Stroke adalah setiap gerakan Piston dari bagian atas silinder Titik Mati Atas TMA menuju bawah silinder
1y ago 59 116 Pages
novel Jalan Tak Ada Ujung memiliki latar sosial tentang keadaan ekonomi dan juga kondisi politik Ditinjau dengan sosiologi sastra terdapat relevansi dengan peristiwa di luar karya sastra yang merupakan refleksi dari peristiwa yang terjadi pada masa novel Jalan Tak Ada Ujung dibuat Melalui penelitian ini peserta didik
1y ago 55 36 Pages
proposal terapi aktifitas kelompok tak sosialisasi Terselesaikannya makalah ini tidak terlepas dari peranan pihak pihak yang membantu dalam proses penulisan
1y ago 40 10 Pages
TAK 875 an Orally Available G Protein Coupled Receptor 40 Free Fatty Acid Receptor 1 Agonist Enhances Glucose Dependent Insulin Secretion and Improves Both Postprandial
1y ago 55 24 Pages
pelajari bab ini kamu dapat menghitung penurunan luas penampang tumbuhan dikotil tersebut pada musim panas A Bilangan Rasional Berpangkat Bilangan Bulat B Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan Pada bab ini kamu akan diajak untuk memahami sifat sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar serta penggunaannya dalam
1y ago 44 12 Pages
2015 analisis dampak lalu lintas adalah se rangkaian kegiatan kajian mengenai dampak lalu lintas dari pembangunan pusat kegiatan permukiman dan infrastruktur yang hasilnya dituangkan dalam bentuk dokumen hasil ana lisis dampak lalu lintas Tabel 1 Kriteria Ukuran Minimal Analisis Dampak Lalu Lintas
1y ago 44 21 Pages
sejumlah uang dari si penjual kepada si efisiennya prosedur penagihan piutang pada rekening kerugian piutang Penerimaan dari piutang yang sudah
11m ago 19 30 Pages
be sufficiently detailed to permit meaningful parametric analyses with respect to insulation thickness variations in increments of 1 4 inch Clearly there is going to be a great deal of Engineering Judgment involved in developing a model that is sufficiently detailed to be meaningful
11m ago 35 11 Pages
d Nilai Moral Pendidikan dapat dilihat dari pengaruh lingkungan atas individu untuk menghasilkan perubahan yang tetap di dalam kebiasaan tingkah lakunya pikirannya dan perasaannya e Nilai Moral Ekonomi dapat dilihat dari yang mendasarkan tindakan atas dasar motif ekonomi status ekonomi permasalahan permasalahan
10m ago 35 20 Pages
berhenti merokok dalam jangka masa yang lama dan masalah ketagihan yang dihadapi oleh peserta program tersebut Dalam hal ini faktor pengaruh kognitif atau sikap mereka yang mempengaruhi penerimaan mereka terhadap program tersebut sama ada berkesan ataupun tidak Selain itu pihak kerajaan mendapati gejala merokok dalam kalangan remaja