Pembelajaran 2. Aljabar Dan Program Linear

3y ago
57 Views
3 Downloads
1.31 MB
48 Pages
Last View : 2d ago
Last Download : 5m ago
Upload by : Matteo Vollmer
Transcription

Pembelajaran 2. Aljabar dan Program LinearA. Kompetensi1.Menggunakan bentuk aljabar dan sistem persamaan untuk meyelesaikanmasalah2.Menggunakan matriks dan vektor untuk memecahkan masalah3.Menerapkan program linear untuk memecahkan masalahB. Indikator Pencapaian Kompetensi1.Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan bentuk-bentuk rsamaandanpertidaksamaan linear3.Menyelesaikan masalah dengan sistem persamaan linear4.Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan perkalian atau invers matrik5.Menyelesaikan masalah menggunakan vektor6.Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan matriks transformasi7.Membuat model matematika dari suatu masalah kontekstual8.Menyelesaikan masalah program linear denganmetode grafik9.Menyelesaikan masalah program linear dengan metode simpleks10. Menyelesaikan masalah dualitasC. Uraian Materi1. Bentuk Aljabar dan Sistem Persamaan LinearBentuk AljabarDefinisi 1.1Bentuk Aljabar adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannyamemuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui.Dalam suatu bentuk aljabar terdapat unsur-unsur aljabar, yang meliputivariabel (peubah), koefisien, konstanta, faktor, dan suku (suku sejenis dansuku tidak sejenis). Contoh bentukaljabaradalah sebagai berikut.M a t e m a t i k a 75

Contoh 1.1a) 2x1 merupakan bentuk aljabar dengan variabel x , koefisien xadalah 2, dan konstanta 1.b) 2 x 28 x 2 y merupakan bentuk aljabar dengan variabel x dan y ,22koefisien x adalah 2, koefisien x y adalah 8, dan tidak memuatkonstanta.SukuSuku adalah bagian dari bentuk aljabar yang dipisah dengan tandaatau .Contoh 1.2a) 9a2b) 3n2b terdiri dari dua suku yaitu 9a dan 2b .2n 4 terdiri dari tiga suku yaitu 3n 2 , 2n dan4.Penyebutan untuk satu suku disebut suku tunggal, untuk dua suku disebutbinom, untuk tiga suku disebut trinom, sedangkan suku banyak dinamaidengan polinom.FaktorFaktor adalah bilangan yang membagi bilangan lain atau hasil kali.Contoh 1.3Bentuk aljabar m n o. atau m n o memiliki faktor m, n, dan o. .KoefisienKoefisien adalah faktor bilangan pada hasil kali dengan suatu peubah.Contoh 1.45n 32 y 2 adalah bentuk aljabar dengan 5 sebagai koefisien dari 5n 3 ,sedangkan 2 adalah koefisien dari y.KonstantaKonstanta adalah lambang yang menyatakan bilangan tertentu (bilangankonstan / tetap) .76 M a t e m a t i k a

Contoh 1.55n 32 y 2 adalah bentuk aljabar dengan -2 sebagai konstanta.Suku sejenis dan tidak sejenisSuku sejenis memiliki peubah dan pangkat dari peubah yang sama. Jikaberbeda, disebut dengan suku tidak sama atau suku tidak sejenis.Contoh 1.62 pq 5 pq merupakan bentuk aljabar suku sejenis, sedangkan 2 xy 3nmerupakan bentuk aljabar suku tidaksejenis.a. Operasi Bentuk AljabarOperasi hitung pada bentuk aljabar tidak berbeda dengan operasi hitungpada bilangan bulat, yakni penjumlahan, pengurangan, perkalian, danpembagian.Operasi hitung penjumlahan dan pengurangan suku aljabar dilakukan dengancara menjumlahkan atau mengurangkan koefisien antara suku-suku yangsejenis.Contoh 1.7Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar berikut ini.a). 4 x2b). 5a b3y 2x2b 3a 2 bPenyelesaian:a).2b). 5a b2b 3a 2 b 5a 2 b 3a 2 b 2b 2a 2 b 2bOperasi hitung perkalian dan pembagian suku aljabar dilakukan denganmenggunakan sifat-sifat operasi hitung pada bilangan riil, yakni:1) Sifat komutatif penjumlahan, yaitu a b b a2) Sifat asosiatif penjumlahan, yaitu a (b c) (a b) c3) Sifat komutatif perkalian, yaitu a b b a4) Sifat asosiatif perkalian, yaitu a (b c) (a b) cM a t e m a t i k a 77

5) :a (b c) (a b) (a c)Contoh 1.8Tentukan hasil perkalian dan pembagian bentuk aljabar berikut ini.a). 4 x(3 y2b). (5a b2 x)2ab) : aPenyelesaian:2 x) 12xy 8 x 2a). 4 x(3 y2b). (5a b2ab) : a 5ab 2bb. Perkalian antar Suku Bentuk AljabarPada perkalian antar suku bentuk aljabar, kita dapat menggunakan sifatdistributif sebagai konsep dasarnya.Perkalian suku satu dengan suku dua atau suku banyakContoh 1.9Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan berikut:a).b). 8a(3ab 2ab28ab)28ab) 24a 2 b 16a 2 b 2Penyelesaian:a).b). 8a(3ab 2abPerkalian suku dua dengan suku dua(a b)(c d ) ac adbc bdContoh 1.10Tentukan hasil dari ( xPenyelesaian:78 M a t e m a t i k a2 y) 2 !64a 2 b 40a 2 b 16a 2 b 2

Selisih dua kuadratContoh 1.11Tentukan hasil dari ( x3( x 3)!!Penyelesaian:( x 3( x 3) ( x 3)( x 3) x23xy 3xy 9 x92c. Pemfaktoran Bentuk AljabarDalam suatu bentuk aljabar dapat ditentukan variabel, koefisien variabel,konstanta, faktor, dan suku. Bentuk xy merupakan perkalian dari x dengan y,sehingga dalam hal ini menjadi faktor dari xy adalah x dan y. Begitu jugadengan bentuk a(x y), dimana faktor dari a(x y) adalah a dan (x y).Bentuk aljabar x y sebagai faktor dari bentuk a(x y) mempunyai suku xdan y.Untuk memfaktorkan bentuk aljabar dapat dilakukan dengan menggunakanhukum distributif. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah mencarifaktor persekutuan terbesar dari setiap suku aljabar.Contoh 1.12Faktorkanlah bentuk aljabar berikut ini!a). 2 x28x 2 yb). 12abc 15xyz22c). 3x y 15xy zPenyelesaian:222(FPB dari 2 x dan 8 x y adalah 2 x )a).b). 12abc 15xyz 3( 4abc 5 xyz)c). 3x y 15xy z 3xy( x225 yz)22(FPB dari 3x y dan 15xy z adalah 3xy)Agar lebih memahami operasi bentuk aljabar, Saudara dapat membukatautan r-1-2011/konten1.htmlM a t e m a t i k a 79

2011/kon-ten1.html.Persamaan dan Pertidaksamaana. PersamaanDefinisi 1.2Persamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda hubung ” ”(sama dengan).Definisi 1.3Persamaan linear dengan satu variabel (PLSV) adalah suatu persamaanyang memiliki satu variabel (peubah) dan pangkat tertingginya satu.Bentuk umumnya : axb c, a0 sebagai variabel.Contoh 1.138x 9 15merupakan PLSV dengan variabel x.Perhatikan bahwa suatu PLSV dapat bernilai benar atau salah bergantungpada nilai yang digantikan ke variabelnya. Oleh karena itu, dalam suatuPLSV dikenal yang namanya penyelesaian atau solusi.Definisi 1.4Penyelesaian (solusi) dari suatu PLSV adalah bilangan real yangmenggantikan variabel sehingga persamaan tersebut menjadi bernilai benar.Contoh 1.14Tentukan solusi dari 8x 9 15Penyelesaian:Bentuk tersebut dapat diselesaikan menjadi:8 x 9 15 8 x 24 x 3Jadi solusi dari adalah 3.80 M a t e m a t i k a

Definisi 1.5Persamaan linear dengan dua variabel (PLDV) adalah persamaan yangmemiliki dua peubah dan pangkat tertingginya satu.Bentuk umumnya: ax by c; a0; b0 dengan x dan y sebagai variabel.Contoh 1.153x2 y 7 merupakan PLDV dengan variabel x dan y .Perhatikan pula bahwa suatu PLDV dapat bernilai benar atau salahbergantung pada nilai yang digantikan ke variabelnya. Oleh karena itu, dalamsuatu PLDV dikenal pula yang namanya penyelesaian atau solusi.Definisi 1.6Penyelesaian (solusi) dari PLDV ax by c adalah bilangan terurut ( x1 , y1 )sedemikian hingga jika disubstitusikanx1 untuk x dan y1 untuk ymengakibatkan persamaan menjadi bernilai benar.Himpunan penyelesaian (HP) dari PLDV adalah himpunan semua bilanganterurut ( x1 , y1 ) yang merupakan solusi dari PLDV tersebut.Perlu ditekankan bahwa ( x1 , y1 )x1 , y1 .Contoh 1.16Tentukan himpunan penyelesaian (HP) dari 3 x2y 7 .Penyelesaian:Diperoleh pasangan berurutan( x1 , y1 ) denganuntukx1 Rmerupakan solusi dari PLDV tersebut.Jadi HP dari3x2 y 7 adalah ,dituliskan sebagai ,()𝑅-atau dapat𝑅-.b. PertidaksamaanMari kita ingat kembali persamaan linear. Persamaan linear satu variabeldinyatakan dalam bentuk x a , dengan a suatu konstanta. Persamaan linear2 variabel dapat disajikan dalam bentuk y mxc atau ax by c dengana, b, c, dan m merupakan suatu konstanta. Menurut El-khateeb angundenganmenggunakan satu atau lebih simbol ( , , , atau ) untuk membandingkanM a t e m a t i k a 81

2 kuantitas. Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan yang pangkattertinggi dari variabelnya adalah satu. Pertidaksamaan linear satu variabeldinyatakan dalam bentuk xa . Pertidaksamaan linear 2 variabel dapatdinyatakan dalam 2 bentuk yaitu ymx c atau ax byc . Apakah tandapertidaksamaan linear hanya " " saja? Ternyata tidak. Untuk tanda padapertidaksamaan linear bisa berupa, , , atau . Bentuk x 5 2x 6 danx 3 9 , merupakan contoh pertidaksamaan linear satu variabel sedangkanbentuk, 2 x5 y 10 danx 2 y 5 merupakan contoh pertidaksamaanlinear dua variabel.Menyelesaikan pertidaksamaan artinya mencari nilai dari variabel yangmembuat hubungan dua kuantitas dalam urutan yang benar. Nilai darivariabel yang membuat pertidaksamaan menjadi kalimat yang benar yelesaiandaripertidaksamaan disebut himpunan penyelesaian pertidaksamaan.Yuk ingat kembali. Penyelesaian untuk persamaan linear satu variabelmerupakan suatu bilangan, penyelesaian persamaan linear dua variabelmerupakan suatu titik. Bagaimana dengan penyelesaian pertidaksamaanlinear?. Untuk mendapatkan penyelesaian pertidaksamaan linear satuvariabel dilakukan prosedur sebagai berikut.a. Tambahkan kedua ruas dengan bilangan yang sama.b. Kurangkan kedua ruas dengan bilangan yang sama.c. Kalikan atau bagi kedua ruas dengan bilangan positif yang sama.d. Jika mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan negatif yangsama maka tanda pertidaksamaannya harus dibalik.Contoh 1.17Diberikan pertidaksamaanPenyelesaian:Perhatikan bahwa:82 M a t e m a t i k a6x 3 21. Tentukan penyelesaiannya.

6 x 3 21 6x 3 3 6x1 6x .6 x 21 3241124 .(kalikan kedua ruas dengan66dan tanda pertidaksamaan dibalikmenjadi )4Jadi himpunan penyelesaiannya adalah x x 4, x bilangan ganjilCek kebenarannya dengan mengambil beberapa bilanganx 5x 5,5x 66.( 5) 3 27 216.( 5,5) 3 30 216.( 6) 3 33 21BenarBenarBenarBerdasarkan Contoh 1.17 di atas, himpunan penyelesaian nganyangmembuatpertidaksamaan linear satu variabel menjadi kalimat yang benar.Selanjutnya, bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan linear dua variabel?Sebelum dibahas prosedur menyelesaikan pertidaksamaan linear duavariabel, didefinisikan dahulu paruh bidang (half-plane).Definisi1.7Himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dalam bentuk ax bycterdiri dari titik-titik pada salah satu sisi garis yang didefinisikan dalam bentukax by c . Grafik pertidaksamaan linearnya disebut paruh bidang (halfplane)Menyelesaikan pertidaksamaan linear dua variabel dengan cara sebagaiberikut.a. Ubah tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan. Gambar garisl yang persamaannya ax by c (putus-putus jika tandaatau , tidakputus-putus jika tandanya atau ).b. Ambil titik uji P yang tidak berada pada garis l dan cek apakahmemenuhi pertidaksamaan. Jika titik Pmemenuhi pertidaksamaan makahimpunan penyelesaiannya adalah himpunan titik-titik pada paruh bidang(half-plane) yang memuat P . Jika titik P tidak memenuhi pertidaksamaanM a t e m a t i k a 83

maka himpunan penyelesaiannya adalah himpunan titik-titik pada paruhbidang (half-plane) di sisi lain garis l .c. Arsir daerah yang tidak memenuhi pertidaksamaan.d. Himpunan penyelesaiannya dalam gambar berupa daerah sehinggadisebut dengan daerah penyelesaian.Contoh 1.18Gambarkan daerah penyelesaian pertidaksamaan linear 2 x3 y 12Penyelesaian:Pertama ubah 2 x3 y 12 menjadi 2 x 3 y 12Kedua, gambar garis f yang persamaannya 2 x3 y 12Ketiga, pilih titik uji P (0, 0) . Substitusi P (0, 0) ke 2 x3 y 12Diperoleh 0 12 , bernilai benar.Gambar 10 himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang tidak diarsir.Berdasarkan Contoh 1.18 di atas, himpunan penyelesaian pertidaksamaanlinear dua variabel adalah himpunan titik-titik yang membuat pertidaksamaanlinear dua variabel menjadi kalimat yang benar.Dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel membentuk sistempertidaksamaan linear dua variabel. Untuk sistem pertidaksamaan linear duavariabel, bagaimana menentukan himpunan penyelesaiannya?. Himpunanpenyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah semuatitik yang memenuhi semua pertidaksamaan dalam sistem pertidaksamaan84 M a t e m a t i k a

tersebut. Langkah-langkah untuk menentukan penyelesaian dari sistempertidaksamaan linear dua variabel adalah sebagai berikut.a. Gambar daerah penyelesaian pertidaksamaan yang pertama.b. Gambar daerah penyelesaian pertidaksamaan yang kedua, dstc. Himpunan penyelesaian (berupa daerah penyelesaian) sistempertidaksamaan linear dua variabelnya adalah irisan dua daerahpenyelesaian pada langkah 1 dan 2.Contoh 1.19Dipunyai sistem pertidaksamaan linear dua variabel sebagai berikut.Gambarkan penyelesaiannya.Penyelesaian:Dengan menggambar grafik (garis lurus) dari setiap persamaan yangdiketahui dan melakukan pengujian untuk suatu titik tertentu ehgambarpenyelesaiannya adalah sebagai berikut.Gambar 11 daerah penyelesaiannya adalah daerah yang tidak diarsir.Agar lebih memahami materi persamaan dan pertidaksamaan jar.belajar.kemdikbud.go.id/sumber-M a t e m a t i k a 85

--2012/konten1.html an-Penyelesaian-PLSV-dan-PtLSV-2011/konten1.html2. Sistim Persamaan Lineara. Pengertian Sistem Persamaan Linear (SPL) dan solusi SPLDefinisi 1.8Persamaan linear dengan n variabel adalah persamaan yang berbentuka 1 x1 a 2 x 2 a n x n b, dengan a 1 , a 2 , , a n , b , dengan a1 , a 2 , , a n , bbilangan-bilangan riil dan a 1 , a 2 , , a n tidak semuanya nol.Sistem persamaan linear (SPL) yang terdiri atas n persamaan dengan pvariable a 11 x 1 a 12 x 2 a 1p x p b1 x1 , x 2 , ., x p berbentuk a 21 x 1 a 22 x 2 a 2p x p b 2 a x a x a x bn2 2np pn n1 1(*)dengan a ij dan b i bilangan-bilangan real untuk setiap i 1, 2, . , ndanj 1, 2, . , pBilangan-bilangan terurut (c1, c2, , cp) disebut penyelesaian (solusi)untuk SPL (*) jika a 11c1 a 12 c 2 a 1p c p b1 a 21c1 a 22 c 2 a 2p c p b 2 a c a c a c bn2 2np pn n1 1Bilangan-bilangan a ij untuk setiap i 1,2, ,n dan j 1,2, , p dalam (*)dinamakan koefisien variabel-variabel SPL, sedangkan biuntuk setiap i 1,2, ,n dinamakan konstanta SPL.Penggunaan tanda “{“ dalam (*) menunjukkan bahwa bentuk tersebutmerupakan suatu sistem, artinya persamaan-persamaan tersebut salingterkait. Oleh karenanya dalam penulisan suatu SPL digunakan tanda “{“.86 M a t e m a t i k a

Terkadang “tanda kurung kurawal” diletakkan di bagian belakang, sehinggamenggunakan tanda “}”.Sebagaimana sistem persamaan yang sering dikenal yakni SPLDV (sistempersamaan linear dua variabel) dan SPLTV (sistem persamaan linear tigavariabel), maka bentuk umum SPLDV dan SPLTV dituliskan sebagai berikut. a x a 12 x 2 b1SPLDV dengan dua persamaan 11 1. (**) a 21 x 1 a 22 x 2 b2atau a 11 x a 12 y c1 a 21 x a 22 y c 2 a 11 x 1 a 12 x 2 a 13 x 3 b1 SPLTV dengan tiga persamaan a 21 x 1 a 22 x 2 a 23 x 3 b2 . (* * *) a x a x a x b32 233 33 31 1atau a 11 x a 12 y a 13 z d1 a x a y a z d22232 21 a 31 x a 32 y a 33 z d 3Himpunan semua penyelesaian dari suatu SPL dinamakan Himpunan Solusiatau Himpunan Penyelesaian (HP).Sebelum mempelajari materi pada kegiatan belajar ini, mahasiswa dimintamemperhatikan [VIDEO SIMULASI SPL DALAM KEHIDUPAN SEHARIHARI] pada https://www.youtube.com/watch?v bhcbzG d9r8Contoh 1.20Bentuk x 2y z 6 3x y 2 z 13 2 x y 4 z 11, merupakan sistem persamaan lineartiga variabel dengan tiga persamaan. Bilangan terurut (2, -1, 3) merupakansolusi SPL tersebut.Sedangkan himpunan penyelesaian SPL tersebut adalah HP {(2,-1,3)}.Perhatikan bahwa HP suatu SPL merupakan himpunan, sehingga tidakbenar jika himpunan penyelesaian SPL tersebut dituliskan dengan HP (2,1,3).M a t e m a t i k a 87

b. Jenis-jenis SPLDengan menggunakan matriks, maka a 11 x 1 a 12 x 2 . a 1p x p b1 SPL a 21 x 1 a 22 x 2 . a 2p x p b2 dapat ditulis dalam bentuk a x a x . a x b32 23p p3 31 1 a11 a 21 a n1An pa12a 22.an2 a11 a21 a n1.a12a22.an 2a1 p x1 b1 a 2 p x 2 b2 . . atau AX B, dengan . . . . a np x p bn .a1 p x1 b1 a2 p x2 b2 . . , X p 1 , Bn 1 . . . . b x anp n p Berdasarkan SPL dalam bentuk AX B, maka SPL dapat dibedakan menjadidua macam, yaitu:(1) SPL homogen, jika B O.(2) SPL non homogen, jika BO.Berdasarkan solusi yang dimiliki oleh SPL, maka SPL dapat dibedakanmenjadi dua macam, yaitu:(1) SPL konsisten (consistent), jika SPL tersebut mempunyai solusi.(2) SPL tak konsisten (inconsistent), jika SPL tersebut tidak mempunyaisolusi.SPL homogen pasti mempunyai solusi, yakni solusi nol yang berbentuk (0, 0, , 0). Dengan demikian SPL homogen selalu konsisten.Ada beberapa sifat yang terkait dengan SPL dalam bentuk AX B, antara laindinyatakan dalam teorema berikut.88 M a t e m a t i k a

Teorema 1.1Jika A matriks berukuran nxn, maka pernyataan berikut ekivalen.(1) A invertible (mempunyai invers).(2) SPL AX O hanya memiliki solusi nol.(3) SPL AX B konsisten untuk setiap matriks B berukuran n 1.(4) SPL AX B memiliki tepat satu solusi untuk setiap matriks B berukurann 1.Bukti teorema ini diserahkan kepada Saudara sebagai latihan.Teorema 1.2Misalkan A matriks berukuran m n, X matriks berukuran n 1, dan B matriksberukuran m 1.(1) Jika m n maka SPL AX B mempunyai tak hingga banyak solusi.(2) Jika m n dan det(A) 0 maka SPL AX O mempunyai solusi tak nol.Bukti teorema ini diserahkan kepada Saudara sebagai latihanContoh 1.21SPL x 2y z 0 3x y 2 z 0 2 x y 4 z 0,merupakansistempersamaanlinearkonsisten dan hanya mempunyai solusi nol.c. Metode Penyelesaian SPLAda beberapa cara (metode) yang sering digunakan untuk menentukansolusi dari suatu SPL, seperti metode grafik, metode eliminasi, metodesubstitusi, dan metode gabungan (eliminasi dan substitusi). Khususuntuk metode grafik lebih tepat digunakan untuk SPLDV. Selanjutnya akandiberikan contoh penggunaan metode lainnya untuk SPLTV.Pandang SPLTV berikut.𝑎SPLTV dengan 3 persamaan { 𝑎𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏1) Metode SubstitusiLangkah-langkah menentukan himpunan penyelesaian SPLTV menggunakanmetode substituasi adalah sebagai berikut.M a t e m a t i k a 89

(1) Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana, kemudian nyatakanx1 sebagai fungsi x 2 dan x 3 , atau x 2 sebagai fungsi x1 dan x 3 , atau x 3sebagai fungsi x1 dan x 2 .(2) Substitusikan x1 atau x 2 atau x 3 yang diperoleh pada langkah 1 ke dalamdua persamaan yang lainnya sehingga didapat PLDV.(3) Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah 2.(4) Substitusikan dua nilai variabel yang diperoleh pada langkah 3 ke salahsatu persamaan semula sehingga diperoleh nilai variabel yang ketiga.Contoh 1.22Diketahui sebuah sistem persamaan linear tiga variabel berikut. x 2y z 6 3x y 2 z 4 7 x 6 y z 10Dengan menggunakan metode substitusi untuk menentukan himpunanpenyelesaian dari SPLTV di atas kita dapat mengikuti langkah-langkahsebagai berikut.Langkah 1: Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana, kemudiannyatakan x sebagai fungsi y dan z, atau y sebagai fungsi x dan z, atau zsebagai fungsi x dan y.Misalkan kita pilih persamaan pertama dan kita nyatakan sebagai fungsi ydan z, diperoleh:x 2yz 6 x 2y z 6Langkah 2: Substitusikan x atau y atau z yang diperoleh pada langkah 1 kedalam dua persamaan yang lainnya sehingga didapat PLDV.Substitusikan

6. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan matriks transformasi 7. Membuat model matematika dari suatu masalah kontekstual 8. Menyelesaikan masalah program linear denganmetode grafik 9. Menyelesaikan masalah program linear dengan metode simpleks 10. Menyelesaikan masalah dualitas C. Uraian Materi 1. Be

Related Documents:

bidang Aljabar pada Program Studi S1 Matematika, S1 Ilmu Aktuaria, S2 Matematika dan S3 Matematika antara lain: Program Studi Mata Kuliah S1 Matematika Teori Bilangan, Aljabar Linear, Aplikasi Aljabar Linear, Matematika Diskret, Struktur Aljabar I , Struktur Aljabar

8 – 12 Aljabar linier dan kalkulus vektor Aljabar linier: matriks, vektor, determinan, sistem persamaan linier Mahasiswa disegarkan ingatannya tentang aljabar linier UTS 13 – 15 Aljabar linier dan kalkulus vektor lanjutan pemecahan masalah kerekayasaan Pemecahan persoalan nilai eigen, kalkulus diferensial vektor: grad, div, curl,

3.7.2 Menjelaskan eksistensi limit fungsi aljabar di suatu titik secara intuitif. Pertemuan ke-2 3.7.3 Menjelaskan sifat-sifat limit fungsi aljabar. 4.7.1 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sifat-sifat limit fungsi aljabar. Pertemuan ke-3 3.7.4 Menentukan nilai limit fungsi dengan strategi subtitusi langsung.

Bilangan, Aljabar, Geometri dan Pengukuran, Statistika dan Peluang.Aspek yang dinaggap abstrak dan termasuk sulit dipahami siswa adalah aspek aljabar. Pada beberapa negara, siswa mulai mempelajari aljabar setelah 6 tahun belajar aritmetika, geometri, dan mungkin beberapa penanganan data, di sekolah dasar.

Pada matakuliah ini mengkaji hakikat IPA dan Pembelajaran IPA SD, teori belajar, model dan media pembelajaran, perencanaan pembelajaran yang terdiri dari pengembangan perangkat pembelajaran seperti RPP, silabus, LKS dan bahan ajar serta mengembangkan evaluasi dalam pembelajaran IPA SD yang inovatif dan berwawasan konstruktivistik.

media pembelajaran, hakikat media pembelajaran Bahasa Indonesia, jenis-jenis media Pembelajaran BI. dan penggunaan media pembelajaran bahasa. 2. Mampu menguasai konsep mengenai beda antara media . pengembangan materi dan mediayang tepat, 4) menggunakanmateri dan media, 5) meminta tanggapan dari siswa, dan 6) mengevaluasi proses belajar. .

A. Vektor dan Matriks dalam Aljabar Max-Plus Himpunan matriks J I dalam aljabar max-plus dinyatakan dalam ℝ k _ v á à. Didefinisikan J {1,2,3,. . , J} untuk J ℕ. Elemen dari matriks # ℝ k _ v á à pada baris ke- E kolom ke- F dinyatakan dengan Ü, Ý, untuk E J dan F I. Dala

L. Wright dan Frank O. Gehry. Kedua gaya arsitektur mereka dibandingkan berdasarkan unsur-unsur geometrinya. Kemudian, masing-masing gaya tersebut dianalisis nilai ekonomisnya menggunakan aljabar geometri. II. DASAR TEORI Aljabar adalah cabang dari matematika. Berasal dari bahasa Arab, ―al-jabr‖, berarti pertemuan; hubungan; atau .