BAB III TRANSFORMASI LINEAR

2y ago
63 Views
3 Downloads
248.09 KB
5 Pages
Last View : 1m ago
Last Download : 2m ago
Upload by : Maxine Vice
Transcription

Diktat Aljabar Linear IIBAB IIITRANSFORMASI LINEARA. DEFINISI TRANSFORMASI LINEARJika V ,W masing masing adalah ruang vektor, maka V ,W masing – masingmerupakan himpunan. Dengan demikian dapat dibuat suatu fungsi antara V dan W .Terkait dengan struktur dari V dan W , maka didefinisikan suatu operasi penjumlahanvektor dan perkalian skalar. Definisi operasi tersebut, dapat berbeda. Suatu fungsidari ruang vektor ke ruang vektor yang mengawetkan ( preserve ) sifat keterjumlahandan perkalian skalarnya disebut transformasi linear. Untuk lebih jelasnya diberikandefinisi transformasi linear sebagai berikut:Definisi 3.1. Diberikan V , ,Suatu fungsi T :Vdan W , ,masing-masing adalah ruang vektor.W yaitu suatu fungsi dari V ke W disebut transformasi linearjika dipenuhi:(i).u, v V T (u(ii).u Vv) T (u )R T(T (v )u)T (u )Contoh 3.1:Diberikan ruang vektor M 2SelanjutnyaTa bc ddidefinisikan2a2dan R 2 relatif terhadap operasi standard -nya.suatufungsiTdariM2 2keR2yaitu:d , b 2c . Fungsi T dari M 2 2 ke R 2 merupakan transformasilinear.Bukti:(i). Ambil sebarang vektor di M 2 2 , misal Aa b, Bc da ' b'sehingga:c' d '53Bab III - Transformasi Linear KaryatiE mail: karyati@uny.ac.id

Diktat Aljabar Linear IIT(AB) Taca ' b b'c' d d '(2a2a2(aa' )(dd ' ), (b b' )2(cc' )d ) (2a' d ' ), (b 2c) (b' 2c' )d , b 2c(2a' d ' , b' 2c' )T ( A) T ( B)(ii). Ambil sebarang vektor di M 2 2 , misal ATA.a.cT.b.d2 .aa bc d.d , .b 2 .cdan skalar. 2ad , b 2cR sehingga.T ( A)Latihan soal 3.1Selidikilah apakah fungsi berikut merupakan transformasi linear:1. T : R 2R3 , dengan aturan sebagai berikut:a. T ( x, y )(x2b. T ( x, y )(xy, xy, x )c. T ( x, y)(xy, xy 1,2 y)d. T ( x, y)(2 x2. T : P2y, xy ,2 y )y, xy ,2 y )R 3 , dengan aturan sebagai berikut:a. T (a bx cx 2 ) (a 2b, b c, a b c 2 )b. T (a bx cx 2 ) ( a2b, b2c, 2abc)c. T (a bx cx 2 ) (a 2b, b c, a b 2)d. T (a bx cx 2 ) (a 2b,3b c, a b 3c)3. T : P2M 2 2 dengan aturan sebagai berikut:a. T (a bx cx2 )a b 2b c2a c b cb. T (a bx cx2 )a b 1 2b c2a b c b c54Bab III - Transformasi Linear KaryatiE mail: karyati@uny.ac.id

Diktat Aljabar Linear II4. Himpunan bilangan real R merupakan ruang vektor terhadap operasi penjumlahanyang didefinisikan dengan x y x. y dan perkalian skalar yang didefinisikandengan:.xx . Jika dibentukP1 merupakan ruang vektor terhadap operasistandard-nya. Selanjutnya dibentuk suatu pemetaan dengan aturan sebagai berikut:T : P1R , T (a bx) 2a bB. SIFAT TRANSFORMASI LINEAR; KERNEL DAN JANGKAUANDari defnisi transformasi linear sebelumnya, maka sifat-sifat transformasi yangterangkum dalam teorema berikut dipenuhi untuk setiap transformasi linear.Teorema 3.1. Jika T :Va. T 0b. T ( v)W merupakan transformasi linear, maka berlaku:0T (v )c. T (v w) T (v) T ( w)Selanjutnya, masih terkait dengan transformasi linear. Transformasi linear merupakansuatu fungsi, sehingga juga dikenal suatu image ( jangkauan ) dari transformasi linear,maupun kernel yang didefinisikan sebagai berikut:Definisi 3.2. Jika T :VW merupakan transformasi linear, maka himpunan vektor-vektor di V yang dipetakan ke vektor nol di W disebut kernel ( ruang nol ) dari T danselanjutnya dinotasikan dengan ker(T ) . Himpunan semua vektor-vektor di W yangmerupakan bayangan T disebut sebagai jangkauan dari T , dan selanjutnyadinotasikan dengan R(T ) .Berdasarkan definisi tersebut, maka ker(T )v V T (v) 0 . Himpunan ker(T ) bukanmerupakan himpunan kosong, sebab paling tidak beranggotakan 0 V . Hal ini sesuaidengan sifat transformasi linear Teorema 3.1.a. Selanjutnya jangkauan dari T dapatdinyatakan sebagai himpunan : R(T )w W T (v) w, untuk suatu v V . Himpunan55Bab III - Transformasi Linear KaryatiE mail: karyati@uny.ac.id

Diktat Aljabar Linear IIR(T ) juga bukan merupakan himpunan kosong, hal ini sesuai dengan Teorema 3.1.a,jadi paling tidak memuat 0 W . Himpunan ker(T ) merupakan himpunan bagian dariV , dan R(T ) adalah himpunan bagian dari W . Kedua himpunan ini merupakan subruang vektor, yang selengkapnya diberikan pada Teorema berikut:Teorema 3.2. Jika T :VW merupakan transformasi linear, maka:a. Himpunan ker(T ) merupakan sub ruang vektor dari Vb. Himpunan R(T ) merupakan sub ruang vektor dari WKedua himpunan tersebut membentuk sub ruang vektor, maka dengan sendirinyahimpunan-himpunan itu memenuhi seluruh aksioma untuk runag vektor. Dengandemikain keduanya merupakan ruang vektor, sehingga mempunyai dimensi.Contoh 3.2DariTContoha bc d2a2.1,diketahuibahwaT : M22R2 ,denganmerupakan transformasi linear. Selanjutnya, tentukand , b 2cR(T ) dan ker(T ) .Jawab:ker(T )A M 2 2 T ( A) 0a bc d( 2ad , b 2c) (0,0)Dari kondisi tersebut, diperoleh: 2a d 0 atau d2a dan b 2c 0 ataub 2c . Dengan demikian, diperoleh:ker(T )a bc dd2a, b 2c Basis dari ker(T ) adalah10ac00 2,2 1 02c2aa, c R, dan dimensi dari ker(T ) 256Bab III - Transformasi Linear KaryatiE mail: karyati@uny.ac.id

Diktat Aljabar Linear IIa bc d( x, y ) R 2 TR(T )( x, y ), untuk suatua bc dM2 2 ( x, y) R2 (2a d , b 2c) ( x, y)Jadi dari kondisi tersebut diperoleh x 2a d , y b 2c . Dalam hal ini nilaiR bebas, dalam arti berlaku untuk semua nilai R . Dengan demikiana, b, c, dnilai x, y ada untuk nilai a, b, c, d R manapun. Sehingga R(T ) R 2 . Dimensidari R(T ) 2 . Basisnya sama dengan basis untuk R 2 .Latihan 3.2Tentukan ker(T ) , R(T ) , dimensi dan basis untuk ker(T ) maupun R(T ) dari transformasilinear berikut:1. T : M 2P2 , dengan aturan sebagai berikut:2a. Ta bc d(a2b cd ) x2b. Ta bc d(a 2d ) ( b c) x (a b cd ) x22. T : R 2d ) (2b c) x (aM 2 2 , dengan aturan sebagai berikut:a. T ( x, y )b. T ( x, y )xy 2xyyxx 3y 2x yx 2y2x57Bab III - Transformasi Linear KaryatiE mail: karyati@uny.ac.id

Diktat Aljabar Linear II 53 Bab III - Transformasi Linear_Karyati E_mail: karyati@uny.ac.id BAB III TRANSFORMASI LINEAR A. DEFINISI TRANSFORMASI LINEAR Jika V,W masing masing adalah ruang vektor, maka V,W masing – masing merupakan himpunan. Dengan demikian d

Related Documents:

transformasi Fourier - Jika ingin mengetahui informasi tentang kombinasi skala dan frekuensi kita memerlukan transformasi wavelet Transformasi citra, sesuai namanya, merupakan proses perubahan bentuk citra untuk mendapatkan suatu informasi tertentu Transformasi bisa dibagi menjadi 2 : - Transformasi piksel/transformasi geometris

Transformasi Linier Transformasi fungsi pemetaan (mapping) DEFINISI 1: Misalkan V dan W adalah ruang vektor. Transformasi yang memetakan ruang vektor V ke ruang vektor W ditulis sebagai T : V W V adalah daerah asal (domain) transformasi T dan W adalah daerah hasil transformasi (kodomain) fungsi. Jika V W, maka T dinamakan operator .

Transformasi 2D . Teknik Transformasi Maka, A'(-20,-20), B'(-100,-20), dan C'(-60,-120). Transformasi 2D Merupakan pengembangan dari transformasi geometri 2D. Dibuat juga dalam bentuk matriks untuk memudahkan perhitungan. Teknik Transformasi Transformasi 3D

a. Transformasi bersifat Tipologikal (geometri) bentuk geometri yang berubah dengan komponen pembentuk dan fungsi ruang yang sama. b. Transformasi bersifat gramatikal hiasan (ornamental) dilakukan dengan menggeser, memutar, mencerminkan, menjungkirbalikkan, melipat dll. c. Transformasi bersifat refersal (kebalikan) pembalikan citra pada figur

sebagai tugas kelompok mata kuliah Geometri Transformasi. Makalah Geometri Transformasi ini membahas materi Transformasi Balikan. Di dalamnya sedikit memberikan pembahasan tentang ketentuan dan sifat-sifat serta teorema-teorema dalam transformasi balikan, di antaranya diambil dari buku dan internet.

disebut transformasi geometri. Transformasi dasar dapat berupa translasi, skala dan rotasi. Selain itu masih ada bentuk transformasi lain seperti pencerminan (refleksi) dan pergeseran (shear). TRANSFORMASI 2D A. Translasi Translasi dilakukan dengan melakukan penambahan faktor translasi / translasi vector / shift vector yaitu (t x, t y

geometri. Transformasi pada dasarnya adalah perubahan posisi, besar atau bentuk dari suatu bangun. Jenis transformasi pada bidang, yaitu: translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), Rotasi (perputaran) dan dilatasi (perkalian). Contoh: 3 B. TRANSFORMASI TRANSLASI (PERGESERAN) Translasi (pergeseran) adalah suatu transformasi yang .

Agile software development therefore has a focus on: . Scrum is one of the most popular agile development methodologies. Scrum is a lightweight framework designed to help small, close-knit teams of people to create complex software products. The key features of the scrum methodology are as follows: Scrum team: A team of people using this methodology are called a “scrum”. Scrums usually .