Prof. Paulo Cesar Costa Pirâmides

Prof. Paulo Cesar Costa01. (UFPA) Uma pirâmide regular, cuja base é um quadrado de diagonal6 6 cm, e altura igual a 2/3 do lado da base, tem área total igual a:pirâmides06. (ITA) A aresta de um cubo mede x cm. A razão entre o volume e aárea total do poliedro cujos vértices são os centros das faces do cuboserá:a) 96 3 cm2b) 252 cm2c) 288 cm2a) ( 3 / 9) x cmd) 84 3 cm2e) 576 cm2c) ( 3 / 6) x cmb) ( 3 / 18) x cmd) ( 3 / 3) x cme) ( 3 / 2) x cm02. (CESCEM) Em uma pirâmide regular de 12 cm de altura tendocomo base um quadrado de lado igual a 10cm, a área lateral é:2a) 240 cmb) 260 cm2c) 340 cm2d) 400 cm2e) 20 119 cm07. (FUVEST) No sólido S representado na figura ao lado, a baseABCD é um retângulo de lados AB 2a e AD a; as faces ABEF eDCEF são trapézios; as faces ADF e BCE são triângulos equiláteros e osegmento EF tem comprimento a. Determinar, em função de a, o volumede S.203. (ITA) Seja T um cubo com aresta de medida a. Considere P apirâmide que tem vértice no centro de uma face de T e como base a faceoposta de T. Sendo x a área lateral de P, temos:a) x a2b) x a235c) x ( a 1)2d) x ( a 1)208. (ITA) Dada uma pirâmide regular triangular, sabe-se que sua alturamede 3a cm, onde a é a medida da aresta de sua base. Então, a área totaldesta pirâmide, em cm2, vale:53e) x ( 3 5) a2a) ( a2b) ( ac) ( a22327) / 4109) / 23) / 2204. (PUC) Para que o volume de um cubo de aresta a seja igual aovolume de uma pirâmide cuja base é um quadrado de lado a, a altura dapirâmide é:a) a/3b) 3/ac) 3a/4d) 4a/3e) 3ad) [ a 3(2 33)] / 22e) [ a 3(1 109)] / 409. (PUCSP) A base de uma pirâmide reta é um quadrado cujo ladomede 8 2 cm. Se as arestas laterais da pirâmide medem 17cm, o seuvolume, em centímetros cúbicos, é:a) 520.b) 640.c) 680.d) 750.e) 780.05. (MACK) Uma pirâmide cuja base é um quadrado de lado 2a tem omesmo volume que um prisma cuja base é um quadrado de lado a. Arazão entre as alturas da pirâmide e do prisma, nessa ordem, é:a) 3/4b) 3/2c) 1/4d) a/3e) 3a10. (FEI) São dados dois planos paralelos distantes de 5cm. Considereem um dos planos um triângulo ABC de área 30cm2 e no outro plano umponto qualquer O. O volume do tetraedro ABCO é:a) 10 cm2b) 20 cm2c) 30 cm2d) 40 cm2e) 50 cm2www.pcdamatematica.com

Prof. Paulo Cesar Costapirâmides11. (UNESP) As arestas do prisma triangular reto mostrado na figura aseguir têm todas a mesma medida. Secciona-se o prisma por meio de umplano pelos vértices R e Q e por um ponto M da aresta AB. Para que otetraedro MBQR tenha volume igual a 1/3 do volume do outro sólido emque se dividiu o prisma, deve-se ter BM igual a:16. (MACKENZIE) Na figura a seguir, PMN é a secção do prisma reto,triangular e regular, com um plano α que faz 60 com sua base. Se M eN são pontos médios e se o volume do sólido assinalado é 3, então kmede:a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5a) 3/4 BAb) 2/3 BAc) 3/5 BAd) 1/3 BAe) 1/6 BA12. (PUCCAMP) Uma pirâmide regular de base hexagonal é tal que aaltura mede 8cm e a aresta da base mede 2 3 cm. O volume dessapirâmide, em centímetros cúbicos, é17. (FUVEST) Considere uma caixa sem tampa com a forma de umparalelepípedo reto de altura 8 m e base quadrada de lado 6 m. Apoiadana base, encontra-se uma pirâmide sólida reta de altura 8m e basequadrada com lado 6 m. O espaço interior à caixa e exterior à pirâmide épreenchido com água, até uma altura h, a partir da base (h 8).Determine, em metros cúbicos, o volume da água para um valorarbitrário de h, 0 h 8.a) 24 3b) 36 3c) 48 3d) 72 3e) 144 313. (Unirio) Um prisma de altura H e uma pirâmide têm bases com amesma área. Se o volume do prisma é a metade do volume da pirâmide,a altura da pirâmide é:a) H/6b) H/3c) 2Hd) 3He) 6H18. (UFRS) O valor numérico de cada aresta de um cubo é 2, e ospontos P, Q e R são pontos médios de três arestas, como no desenho aseguir. Um plano passando pelos pontos P, Q e R secciona o cubo emdois sólidos. A razão entre o volume do sólido menor e o volume docubo é14. (UECE) Numa pirâmide quadrangular regular, uma aresta da basemede 2 2 cm e uma aresta lateral medepirâmide, em cm3, é:22 cm. O volume dessaa) 7 2d) 10 2a) 1/48b) 1/32c) 1/24d) 1/16e) 1/1215. (ITA) Uma pirâmide regular tem por base um quadrado de lado 2cm.Sabe-se que as faces formam com a base ângulos de 45 . Então, a razãoentre a área da base e a área lateral é igual a:19. (ITA) Um triedro tri-retângulo é cortado por um plano que interceptaas três arestas, formando um triângulo com lados medindo 8m, 10m e12m. O volume, em m3, do sólido formado é:a) 2b) 1/3a) 15 6c)6c) 6 15d)2/2d) 30 6e)3/3e) 45 6b) 8 2c) 9 2b) 5 30www.pcdamatematica.com

Prof. Paulo Cesar Costa20. (ITA) A razão entre a área da base de uma pirâmide regular de basequadrada e a área de uma de suas faces é 2. Sabendo que o volume dapirâmide é de 12m3, temos que a altura da pirâmide mede, em metros:a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5pirâmides25. (FUVEST-SP) Uma pirâmide tem como base um quadrado de lado1, e cada uma de suas faces laterais é um triângulo equilátero. Então, aárea do quadrado, que tem como vértices os baricentros de cada uma dasfaces laterais, é igual a:a) 5/9b) 4/9c) 1/3d) 2/9e) 1/921. (ITA) Considere uma pirâmide regular de altura igual a 5cm e cujabase é formada por um quadrado de área igual a 8cm2. A distância decada face desta pirâmide ao centro de sua base, em cm, é igual a:15a)3b)5 69c)26. (ENEM) Uma fábrica produz velas de parafina em forma depirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta dabase. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura - 3 troncosde pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior -,espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco éigual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferropassando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura.4 35d)75e)322. (ITA) Seja uma pirâmide regular de base hexagonal e altura 10m. Aque distância do vértice devemos cortá-la por um plano paralelo à basede forma que o volume da pirâmide obtida seja 1/8 do volume dapirâmide original?a) 2mb) 4mc) 5md) 6me) 8m23. (ITA) Considere um cilindro circular reto, de volume igual a 360πcm3, e uma pirâmide regular cuja base hexagonal está inscrita na base docilindro. Sabendo que a altura da pirâmide é o dobro da altura docilindro e que a área da base da pirâmide é de 54 3 cm2, então, a árealateral da pirâmide mede, em cm2,a) 18 427b) 27 427c) 36 427d) 108 427Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmideda parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo omesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricaruma vela?a) 156 cm3b) 189 cm3c) 192 cm3d) 216 cm3e) 540 cm327. (ITA) Um tetraedro regular tem área total igual a 6 3 cm2. Entãosua altura, em cm, é igual a:a) 2b) 3c) 2 2d) 3 2e) 2 3e) 45 42724. Um triedro tri-retângulo de vértice O é seccionado por um plano α,de modo que a interseção obtida é um triângulo equilátero ABC de lado6cm. A distância, em cm, do vértice O do triedro ao plano α é igual a:a) 2b) 6c) 3d) 2 328. (UFES) Um reservatório de água tem a forma de uma pirâmideregular de base quadrada. O vértice do reservatório está apoiado no solo,e seu eixo está posicionado perpendicularmente ao solo. Com oreservatório vazio, abre-se um torneira que despeja água no reservatóriocom uma vazão constante. Após 10 minutos, o nível da água, medido apartir do vértice, atinge ¼ da altura do reservatório. O tempo que aindafalta para encher completamente o reservatório é de:a) 6 horas e 10 minutos.b) 8 horas e 15 minutos.c) 8 horas e 20 minutos.d) 10 horas e 30 minutos.e) 10 horas e 40 minutos.e) 3 2www.pcdamatematica.com

Prof. Paulo Cesar Costa29. (ITA) Um tronco de pirâmide regular tem por bases triângulosequiláteros, cujos lados medem, respectivamente, 2cm e 4cm. Se a arestalateral do tronco mede 3cm, então o valor de sua altura h, em cm, é talque:a)7 h 8b)6 h 7pirâmides34. (UFRJ) O sólido representado na figura é formado por um cubo euma pirâmide quadrangular regular cuja base coincide com a facesuperior do cubo. O vértice O do cubo é a origem do sistema ortogonalde coordenadas cartesianas Oxyz. Os vértices P, R e O' pertencemrespectivamente aos semi-eixos positivos Ox, Oy e Oz. O vértice S temcoordenadas (2,2,8).c) 2 3 h 3 3d) 1 h 2e) 2 2 h 3 230. (UNIFOR) Uma pirâmide regular tem 6 3 cm de altura e a arestada base mede 8cm. Se os ângulos internos da base e de todas as faceslaterais dessa pirâmide somam 1.800º, o seu volume, em centímetroscúbicos, é:a) 576Considere o plano z k que divide o sólido em duas partes de volumesiguais. Determine o valor de k.b) 576 3c) 1728d) 1728 3e) 345631. (UFMG) Em uma indústria de velas, a parafina é armazenada emcaixa cúbicas, cujo lado mede a. Depois de derretida, a parafina éderramada em moldes em formato de pirâmides de base quadrada, cujaaltura e cuja aresta da base medem, cada uma, a/2. Considerando-seessas informações, é CORRETO afirmar que, com a parafinaarmazenada em apenas uma dessas caixas, enche-se um total de:a) 6 moldes.b) 8 moldes.c) 24 moldes.d) 32 moldes.35. (UNIRIO) Um engenheiro está construindo um obelisco de formapiramidal regular, onde cada aresta da base quadrangular mede 4m ecada aresta lateral mede 6m. A inclinação entre cada face lateral e a basedo obelisco é um ângulo α tal que:a) 60 α 90 b) 45 α 60 c) 30 α 45 d) 15 α 30 e) 0 α 15 36. (UFC) Em um tetraedro regular VABC, seja M o ponto médio daaresta BC; seja α o ângulo cujo vértice é M e cujos lados são ossegmentos da reta MA e MV. Então cos α é igual a:32. (UFSM) Um técnico agrícola utiliza um pluviômetro na forma depirâmide quadrangular, para verificar o índice pluviométrico de umacerta região. A água, depois de recolhida, é colocada num cubo de 10cmde aresta. Se, na pirâmide, a água atinge uma altura de 8cm e forma umapequena pirâmide de 10cm de apótema lateral, então a altura atingidapela água no cubo é dea) 2,24 cmb) 2,84 cmc) 3,84 cmd) 4,24 cme) 6,72 cm33.(UFES) Seja VABC uma pirâmide de vértice V e base ABC. O planoque passa pelo ponto C, pelo ponto médio M da aresta VA e pelo pontomédio N da aresta VB, divide-a em duas pirâmides de vértice C, uma debase triangular e volume V1 e outra de base quadrangular e volume V 2.A razão V1/V2 éa) 1/8b) 1/4c) 1/3d) 3/8e) 1/2a) 1/3b) 1/2c) 3/4d) 5/6e) 7/837. (UNESP) O prefeito de uma cidade pretende colocar em frente àprefeitura um mastro com uma bandeira, que será apoiado sobre umapirâmide de base quadrada feita de concreto maciço, como mostra afigura.Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 3 m e que a altura dapirâmide será de 4 m, o volume de concreto (em m ) necessário para aconstrução da pirâmide seráa) 36.b) 27.c) 18.d) 12.e) 4.www.pcdamatematica.com