Mécanique Du Solide - F2School

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Mécanique du solideCinématiqueExercice 1Un cerceau de centre G, de rayon R, reste au contact avec un plan (oxy). Ce contact a lieu en un point Idu plan.Soit (x, y, z) les coordonnées de G. On choisit l’axerévolution du cerceau ;colinéaire à IG, l’axeest l’axe de. L’axecomplète la base orthonormée directe(vecteurunitaire ) est la projection parallèle à z de l’axesur le plan (Gxy). On pose ѱ l’angle que fait Xavec et θ l’angle que fait avec . On désigne par φ l’angle de rotation propre du cerceau autour deson axe1- Montrer quesont dans le même plan.2- trouver une relation entre z et θ.3- Donner l’expression du vecteur rotation en fonction de ѱ, θ, et φ.4- Traduire analytiquement la condition de roulement sans glissement.Solution1- Montrons queDoncsont dans le même planest parallèle au plan xoy et par conséquent perpendiculaire à l’axeperpendiculaire aux axesqui donne,, et. De plusest la projection de, ce qui donneparallèlement àperpendiculaire à la tangente en I au cerceau, Ceci signifie que les quatre axes, et sont coplanaires.ce,,X1zY1Z1GIyTg en I aucerceaux2- Relation entre z et θBougarfa LatifaPage 1

Mécanique du solidePuisquese trouvent dans le même plan, alors la précession permet le passage deà. On doit garder pour retrouver le repère lié au plan du cerceau, pourcette raison la nutation se fera autour de y1, ce qui permet le passage à. La rotationpropre se fait autour de l’axe Z1(z1 est lié au cerceau ).IIyZ1Y1zY’Y1Y1X’X1uxI 0Y1 X1u). 03- Vecteur vitesse angulaire du cerceauLe vecteur vitesse angulaire du cerceau est la somme des trois rotations4- Condition de roulement sans glissementLa condition de roulement sans glissement est donnée par l’équationLe plan (xoy) est fixeEn intégrant l’équation 3 On retrouve le résultat de la question 2 :En multipliant les équations 1 et 2 respectivement partrouve :etet en faisant leur somme , onExercice 2Bougarfa LatifaPage 2

Mécanique du solideSoitun repère orthonormé direct, (C1) et (C2) deux cônes droits identiques à basescirculaires. Le rayon de base est r, la hauteur est h, le demi angle au sommet est α, C1 et C2 sont lescentres des bases des deux cylindres. (C1) est fixe et son axe coïncide avec. (C2) roule sans glissersur le cône (C1 ) de sorte que leurs sommets restent fixes et coïncident avec le point O.1- Paramétrer le système des cônes et donner les figures planes de rotation.2- Déterminer l’axe instantané de rotation, et donner l’expression de la vitesse angulaire derotation instantanée.3- Donner les éléments de réduction du torseur cinématique [C] associé à (C2) au point C2.z0C1zC21αy0OFigure 1.x0uSolution1-Les paramètres du systèmeZ0C1zC2vY0uX0O est la projection de Oz sur le plan (X0, Y0).Y0Z0vvzyxuuX0Z0Bougarfa LatifavwzwPage 3

Mécanique du solideLa rotation autour de2-est d’un angle constant, donc on aune précession et une rotation propre.Axe instantané de rotationLe cône (C2 ) roule sans glisser sur le cône (C1 )fixe, ce qui se traduit par : Tous les points appartenantà la génératrice de contact OA ont une vitesse nulle. Le torseur cinématique est alors un glisseurayant pour vecteuret pour moment le vecteur vitesse nulle. Donc l’axe instantané derotation est le support OA du glisseur.Soitle vecteur unitaire porté par OA, etau plan (O, , ) (z0perpendiculaires àle vecteur unitaire perpendiculaire àde telle sorte queet appartenantforment un trièdre direct).PQzOr OA est l’axe central du torseur et porteOvucomposante desuivant, donc laest nulle, ce qui donneet par conséquent3-Torseur cinématiqueLe torseur cinématique a pour vecteuret pour moment en C2 la vitesse de C2par rapport à R0(O,X0,Y0,Z0)AvecExercice 3Bougarfa LatifaPage 4

Mécanique du solideSoitun repère orthonormé direct; le planlié à R0 est supposé matérialiséet noté P. Un solide S est constitué d’un disque de centre C et de rayon R auquel est soudée selon sonaxe une tige rectiligne; soitun repère orthonormé direct lié à S, avecaxe du disqueorienté du côté de la tige. S est en mouvement dans R0 de telle sorte que le disque reste en contactponctuel avec P en un point I variable, et que la tige (supposée suffisamment longue) coupeconstammenten un point variable M (Figure 2 ). La position de S dansestrepéré par les angles d’Euler habituels ( , , ) et la variable telle que : OI v .MMzz0zCy0OCwx0z0wvvInFigure 2.OnIQuestions1- Déterminer le vecteur vitesse instantanée de rotation2- Détermineret.vitesses du point géométrique ; déterminer.3- Déterminer.4- M étant le point géométrique intersection deet( 0) et, on pose; sachant que θ varie dans un intervalle inclus dans 0, , déterminer et Z enfonction des paramètres.5- a LatifavPage 5

Mécanique du solide1- Vecteur vitesse instantanée de rotationY0uZ0zywv0Z0deX0uOuvxO.wzLorsqu’on tourne le tire- bouchon dans le sens de , il avance dans le sens contraire à celuid’où le signe(-)1- Vitesses du point géométrique Iest la vitesse absolue du point géométrique I par rapport au repère fixe R0.Avecetla vitesse d’entraînement du point géométrique I par rapport au repère fixe R0, c’estaussi la vitesse absolue du point matériel I de (S).On sait que :, donc :2- Calcul de1ère méthodeC et I sont deux points du même solide indéformable, donc leurs vitesses sont reliées par la loi detransport des moments d’un torseur, on a :Bougarfa LatifaPage 6

Mécanique du solide2ième méthode3- Détermination de μ et Z en fonction des paramètres.Orpar sa valeur, on trouve :En remplaçant chaque termeCe qui donne4- Calcul deest la vitesse absolue du point géométrique M.la vitesse d’entraînement du point M par rapport au repère fixe.M et C deux points du même solide indéformable, donc :Or, d’après le résultat de la question 4, on a :Bougarfa LatifaPage 7

Mécanique du solideExercice 4Un cercle de centre O, de rayon R, tourne avec une vitesse angulaireautour d’un axe O0z0 situédans son plan à une distance a de O. On complète O0z0 par deux axes O0x0 et O0y0 de façon à formerun trièdre orthonormé direct( T0 ) tel que à l’instant initial, O sur O0y0.Un repère T(O, x, y, z ) est lié au cercle de sorte que à l’instant initial Oy et O0y0 soient confondus, Oxet O0x0 parallèles de même que Oz et O0z0. Soit A le point du cercle d’ordonnée dans ( T0 ) : a R.Le point M se déplace sur le cercle à la vitesse angulaireautour de Ox.1- Déterminer la vitesse et l’accélération absolues de M pour une position quelconque.2- En déduire leurs expressions lorsque le point M passe en A dans le repère T.Solution1- Vitesse absolue de MA t 0Z0à t 0zzZ0MyAO0X0Ox Vitesse relative Vitesse d’entraînementBougarfa LatifaAO0Y0Y0X0xPage 8x

Mécanique du solide Vitesse absolue Accélération relative Accélération d’entraînement Accélération de Coriolis Accélération absolue2- Vitesse et accélération au point AAu point AetsinExercice 5Un cylindre (C) d’axe Oz et de rayon R est fixe. Un deuxième cylindre (S) dont l’axe O’Z’ et le rayonR’, roule sans glisser à l’extérieur du premier cylindre. Les axes Oz et O’z’ sont parallèles.1- Paramétrer le système des deux cylindres.2- Donner la condition de roulement sans glissement, ainsi que le degrés de liberté du système.Solution1- Paramètres du systèmeBougarfa LatifaPage 9

Mécanique du solideSoitle repère fixe lié au cylindre (C )etX’’Y’yX’le repère lié à l’axe O’z’ ducylindre (S) tel queY’’coïncide avec OO’.Le repèreet lié au cylindre (S).ϕ est l’angle de rotation de (S) autour de sonaxe, et θ l’angle de rotation de l’axe O’z’ autourde Oz.ϕO’O’xθOxSoit A le point de contact entre (C ) et (S).2- Condition de roulement sans glissementLa condition de roulement sans glissement permet d’écrire :(C ) est fixeLa condition de roulement sans glissement est donnée par :On a deux paramètres θ et ϕ et une équation reliant ces paramètres, le degrés de liberté estdonc égal à 1.Exercice 6Un tube cylindrique mince OA, incliné par rapport à l’horizontale d’un angle α, tourne autour de laverticale à une vitesse angulaire constante ω. Un point matériel P de masse m, assujetti à se déplacerdans ce tube, est initialement au repos à la distance a de O, intersection de l’axe vertical de rotationavec le tube. Soient les repères d’espace Rplan horizontal xoy, R’constitué de l’axe vertical de rotation Oz et dulié au tube cylindrique d’axe Oz’ portant OA, Oy’ dans le plan xOyet Ox’ complète le trièdre direct.1- Ecrire le vecteur vitesse angulaire de rotation dans la base du repère mobile R’. On fera par lasuite tous les calculs dans cette base.2- Calculer la vitesse relative et d’entraînement du point matériel P. En déduire sa vitesseabsolue.3- Calculer l’accélération de P par rapport au repère fixe par composition de mouvement.Bougarfa LatifaPage 10

Mécanique du solide4- Retrouver les résultats des questions 2 et 3 par calcul direct.Solution1- Vecteur vitesse angulaire de ’zyαxuαuX’α est constant, donc2- Vitesse de P par rapport au repère RVitesse relative de PVitesse d’entraînement de PVitesse absolue de PBougarfa LatifaPage 11

Mécanique du solide3- Accélération de P par rapport au repère RAccélération relativeAccélération d’entraînementAccélération de CoriolisAccélération absolue4- Vitesse et accélération par calcul directVitesse de P par rapport à RExercice 7On considère le disque D homogène, de centre G, de rayon a et de masse m, astreint à se déplacersur l’axe matériel Ox du plan vertical fixe (O, x, y ) d’un repère orthonormé direct R0(O, x, y, z ). SoitRS(G, xS, yS, zS )le repère direct lié au disque. I est le point de contact entre le disque et l’axe Ox. Onappelle x(t), y(t), z(t) les coordonnées de G et ϕ(t) paramétrise la rotation propre du disque autour deOz. On suppose que D roule sans glisser sur l’axe Ox.Bougarfa LatifaPage 12

Mécanique du solide1- Identifier les variables angulaires d’Euler, et paramétrer le disque2- Calculer la vitesse de glissement et donner la condition de roulement sans glissement.3- Nous supposons maintenant que le disque roule sans glisser à l’intérieur d’un anneau fixe Ade centre O et de rayon R. A chaque instant un point I du disque est en contact avec un pointde l’anneau. Paramétrer le disque et donner la condition de roulement sans glissement.4- Donner la condition de roulement sans glissement dans le cas où le disque roule à l’extérieurde l’anneau.Solution1- Paramétrage du disqueOn a une seule rotation du disque autour de son axe :C’est la rotation propre ϕ(t) ; et une translation de GParallèlement à l’axe Ox.yPar rapport au repère R0.aGest le vecteur vitesse angulaire du disqueOIx2- Vitesse de glissementLa condition de roulement sans glissement est :Dans ce cas, le degrés de liberté du disque est égal à 13- Condition de roulement sans glissementOn a deux rotations : la rotation de G autour de O ; G décrit un cercle deCentre O et de rayon ( R-a ) : c’est la précession la rotation propre du disque autour de son axe Gz.parrapport au repère ( G, u, v, z )yvuθIψest le vecteur vitesse angulaireOxLa condition de roulement sans glissement est donnée par :Or le cerceau A est fixeBougarfa LatifaPage 13

Mécanique du solide4- Le disque roule sans glisser à l’extérieur du cerceau.La condition de roulement sans glissement est donnée par :yuϕvψ.OxExercice 8Le sommet C d’un triangle quelconque ABC est astreint à se déplacer sur l’axe vertical Oz0 du repèreR0, tandis que le côté opposé AB reste dans le plan horizontal de normale passant par O. Onappelle H le pied de la perpendiculaire abaissée de C sur AB.1- Définir un repère orthonormé RS attaché au triangle (origine et base ).2- Proposer un paramétrage de la position de RS par rapport à R0 (position de l’origine etorientation de la base ).3- De combien de paramètres la position de RS par rapport à R0 dépend-elle ?4- Pour une position donnée du triangle, exprimer ces paramètres en fonction des vecteurs(dont les positions par rapport à R0 sont supposées connues)zSSolutionZ0θY01- Définition du repèreCXSest perpendiculaire à, on peut doncPrendre les axes portant respectivementcomme axes du trièdre lié au triangleTels que :BOψX0HAL’axecomplète le trièdre tel que :Le trièdre lié au triangle est alors : RS( H,Bougarfa Latifa,,).Page 14

Mécanique du solide2- Paramètrage de RS par rapport à R0est perpendiculaire àavec .L’origine H du repèreet à, soit ψ l’angle que faitavec, et θ l’angle que faitest donnée par :3- Paramètres dont dépend la position de RSLa position de RS par rapport à R0 dépend des deux angles d’Euler : la précessionnutationet la4- Expression des paramètres en fonction dePour déterminer les valeurs des angles dans une position connue, on a :Exercice 9Pendule simpleDans le plan verticald’un repère fixe orthonormé direct R0( O,oùverticale descendante, on considère le mouvement d’un pendule simple constitué d’une tigerectiligne (T1 ) de longueur L et de centre de gravité G1.L’extrémité A de la tige est astreinte à se déplacer sur l’axeest la. On posera OA y et ψ ().1- Quels sont les paramètres nécessaires et suffisants pour connaître la position de (T1) ?2- Définir un repère R1 d’axeslié à (T1 ).3- Quel est le vecteur vitesse de rotation de (T1 ) par rapport à R0 ; noté :4- Déterminer les éléments de réduction du torseur cinématiquede (T1 ) au point G1 parrapport à R0 en fonction des données du problème.5- Déterminer le vecteur vitesse de l’extrémité B de (T1 ) par rapport à R0 :a) Par la méthode directe,Bougarfa LatifaPage 15

Mécanique du solideb) En utilisant la loi de distribution des vitesses dans un solide indéformable.c) Ecrire les éléments de réduction du torseur cinématique en B par rapport à R0.6- Calculer les accélérations des points A et B dans R0.Pendule double.On accroche à la tige (T1 ) une deuxième tige identique (T2 ) d’extrémités BC. (T1 ) et (T2 ) sontarticulées en B. Soit R2( B,le repère lié à (T2 ) tel que :1- Faites des représentations graphiques planes des repères en indiquant les angles de rotationpermettant le passage d’un repère à l’autre.2- Déterminer le vecteur vitesse de rotation instantanée de la tige (T2 ) par rapport àR0 ;3- Déterminer le vecteur vitesse linéaire de l’extrémité C de (T2 ) par rapport à R0 ; onl’exprimera dans la base de R1.SolutionPendule simple1- Paramètres de position de (T1 )OLes paramètres nécessaires et suffisants pour connaîtrela position de (T1 ) sont : y OA et ψ.2- Repère lié à (T1 )Le repère lié à (T1 ) est R1 d’origine A et tel que :suivant AB, faisant l’angle ψ avec et parallèle à.3- Vitesse de rotationAψG1B.4- Torseur cinématique5- Vitesse de Ba) Calcul directBougarfa LatifaPage 16

Mécanique du solideb) Loi de distribution des vitessesc) Torseur cinématique en B6- Accélérations des points A et BPendule double1- Représentations planes des arfa LatifaX1Page 17

Mécanique du solide2- Vecteur vitesse rotation de (T2)3- Vitesse de l’extrémité C de (T2)En remplaçantetpar leurs valeurs, on trouve :Exercice 10Soitun repère orthonormé direct, avecvertical ascendant, supposé galiléen.Le solide étudié (S) est constitué par un disque homogène (D) de centre C, de rayon R et de masse m,auquel est soudé suivant son axe de révolution une tige (T) infiniment mince, homogène de masseidentique m et de longueur L. (S) est en articulation sphérique en O avec le repère R0. Au cours dumouvement de (S) par rapport à R0, le disque roule sans glisser sur le plan horizontal (π) et reste encontact ponctuel avec le plan en un point I de sa circonférence.On repère la position de (S) dans R0 à l’aide des angles d’Euler habituels (ψ, θ, ϕ). On noteetles deux repères intermédiaires etle repère lié à (S).1- Montrer que l’angle de nutation θ garde une valeur constante au cours du mouvement.2- Représenter les figures planes des rotations représentant les angles d’Euler et qui font passerde (R0) à ( R ).3- En déduire le vecteur vitesse de rotation instantanée.4- Exprimer les éléments de réduction en O puis en I du torseur cinématique du solide (S) dansson mouvement par rapport à (R0). Que vaut son invariant scalaire IS ?En déduire la nature de ce torseur et son axe instantané de rotation.SolutionBougarfa LatifaPage 18

Mécanique du solide1- Valeur de l’angle de nutationwConsidérons le triangle IOC droit enC où OC est la tige de longueur l etCI le rayon du disque.zvCDoncOest un angle constant .I2- Figures planes des rotationsuvzyuwwxuvPrécessionNutationRotation propre3- Vecteur vitesse de rotation instantanéeLe vecteur vitesse de rotation instantanée est donné par :Or l’angle de nutation est constant ce qui donneet par conséquent4- Eléments de réduction du torseur cinématique en O.On a une liaison sphérique au point O, O est un point du solide SEléments de réduction du torseur cinématique en IAu point I on a roulement sans glissement ce qui donneL’invariant scalaire est alors nul avec une résultante non nulle, le torseur est alors un glisseur.L’axe instantané de rotation est l’ensemble des points où le moment du torseur est nul c-à-d l’axe OIPuisque OI est l’axe instantané de rotation, il est parallèle àBougarfa Latifaqui peut s’écrire sous la forme :Page 19

Mécanique du solideoùest le vecteur unitaire porté par IO.Cette deuxième équation peut être obtenue en appliquant la condition de roulement sansglissement ; en effet cette condition nous donne, en plus I et O sont deux pointsdu même solide ce qui permet d’écrire :L’ensemble des positions de l’axe instantané de rotation est appelé surface axoïde, dans ce cas c’estle plan horizontal x0 y0.Exercice 11On donne le repère usuel orthonormé directmouvement dans . L’origine C est défini dansavecdirigé paret le repèreenvia deux points A et B de la façon suivante :(l cste), appartenant au plan (Ox0y0) etet l’angle.Un point M d’un solide S décrit un cercle C(C,a), du plan (C,sur lequel il est défini par l’angle. L’axe Cu est), de centre C et de rayon a, cercle.1- Calculer la vitesse du point M par rapport à R0.2- Calculer la vitesse relative du point M par rapport à R, la vitesse d’entraînement de R parrapport à R0 et vérifier la loi de composition des vitesses.3- Calculer l’accélération du point M par rapport à R0.4- Calculer les accélérations :relative, d’entraînement et de Coriolis du point M. Vérifier la loi decomposition des accélérations.Z0SolutionZ0MvB1- Vitesse absolue de MLe point M décrit un cercle de centre C etde rayon a, et tourne autour de l’axe Cuavec une vitesse angulaire : . Le CentreC du cercle (C, a) tourne autour de L’axeOz0 avec une vitesse angulaire ; , eneffectuant un mouvement hélicoïdal d’axeOz0 et de rayon BC lBougarfa LatifaOuY0CAuPage 20

Mécanique du solideX02- Composition des vitesses Vitesse relative de M Vitesse d’entraînement de MOn remarque que, la loi de composition des vitesses est doncvérifiée.3- Accélération du point M4- Composition des accélérations Accélération relative Accélération d’entraînement de MBougarfa LatifaPage 21

Mécanique du solide Accélération de Coriolis Accélération absolue de MLa loi de composition des accélérations est vérifiée.Exercice 12 (Epreuve de mécanique 2 Juillet 2011)On se propose d’étudier le mouvement d’une bille dans un roulement à billes (Voir Figure).Soitun repère fixe lié au bâti (S0). Les deux cylindres (bagues) (S1) et (S2) sontanimés d’un mouvement de rotation autour de l’axede (S0). On pose :La bille (S) de centre C, animée d’un mouvement plan, roule sans glisser en I1 avec (S1) et en I2 avec(S2), à ce mouvement correspond le torseur cinématique, au point C :avec V etSoitun repère tel quedes inconnues du problèmeait même direction et même sens queLa cage (S3) a un mouvement de rotation d’axe. On pose :par rapport à (S0).Tous les résultats doivent être exprimés dans le repère R11- En utilisant la loi de distribution des vitesses, déterminer les vitesses :Bougarfa LatifaPage 22

Mécanique du solideY02- Exprimer la condition de roulement sansglissement en I13- Déterminer les vitesses :et exprimer lacondition de roulement sans glissement en I24-

Mécanique du solide Bougarfa Latifa Page 3 Soit 1 un repère orthonormé direct,(C ) et (C 2) deux cônes droits identiques à bases circulaires. Le rayon de base est r, la hauteur est h, le demi angle au sommet est α,

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2.2 Vecteur position d’un point d’un solide 30 2.3 Vecteur vitesse d’un point d’un solide 30 2.4 Vecteur accélération d’un point d’un solide 30 2.5 Calcul du vecteur vitesse et du vecteur accélération d’un point d’un solide 31 2.6 Dérivat

paramétrage du solide) Soit (O ,i, j,k ) un repère orthonormé direct. (S) un solide en mouvement par rapport à . On va lier à ce solide un repère orthonormé direct 1 (O 1 ,i1 , j1 ,k1) O 1 étant un point quelconque du solide

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Mécanique du solide rigide - Dynamique du solide Page 6 sur 61 Remarque Si la masse du solide (S) est concentrée en G ( centre d'inertie ), au point G on écrit le torseur dynamique : Changement de point Relation entre le moment cinétique et le moment dynamique Valable pour un point A et un ensemble matériel (S) quelconques Par conséquent

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