09R 1Page De Garde - Cours, Examens
Université Hassiba Benbouali de ChlefFaculté des Sciences et de Sciences de l'IngénieurDépartement du Tronc Commun TechnologiePolycopiePhysique 4 : Mécanique RationnelleCOURS et EXERCICES(Unité Fondamentale-- Domaine Sciences et Technique – S3 Licence LMD)Dr. KASSOUL AmarMaître de Conférences "A"Mai 2009
Table des matièresiTABLE DES MATIERESTABLE DES MATIERES iNOTATIONS vAVANT PROPOS 1INTRODUCTION .2NOTIONS MATHÉMATIQUES .3Chapitre 1 : STATIQUE1.1. INTRODUCTION 111.2. NOTIONS FONDAMENTALES DE LA STATIQUE . .111.2.1.1.2.2.1.2.3.1.2.4.Point matériel .11Corps solide parfait . 11Force . . 11Moment d’une force par rapport à un point .121.3. TORSEURS DES FORCES EXTERIEURES 131.4. CONDITION D’EQUILIBRE STATIQUE 131.4.1. Cas Général .131.4.2. Condition d’équilibre analytique .141.5. LES LIAISONS ET LES REACTIONS . 151.5.1. Définition .151.5.2. Différents types des liaisons et de réactions .151.5.3. Axiome des liaisons 171.6. QUELQUES OPERATIONS SUR LES FORCES . 171.6.1. Résultante de deux forces concourantes . 171.6.2. Résultante de plusieurs forces concourantes .181.6.2.1. Méthode du parallélogramme des forces .181.6.2.2. Règle du polygone des forces .181.6.2.3. Condition d’équilibre géométrique .191.6.2.4. Exemple d’application .191.6.3. Décomposition géométrique d’une force . 201.6.3.1. Décomposition suivant deux directions 201.6.3.2. Décomposition suivant trois directions 211.6.3.3. Décomposition d'une force si un point de leur ligne d’action est connu .221.6.4. Décomposition analytique d’une force . 23Physique 4 : Mécanique Rationnelle
Table des matièresii1.6.5. Cas général du moment d’une force . 251.6.5.1. Moment d’une force par rapport à un axe . 251.6.5.2. Théorème de VARIGNON . .261.6.5.3. Exemple d’application . . 261.7. ÉQUILIBRE DES SOLIDES EN PRÉSENCE DU FROTTEMENT .281.7.1. Frottement de glissement 281.7.1.1. Expérience 281.7.1.2. Force de frottement statique 291.7.1.3. Force de frottement cinématique .291.7.1.4. Exemple d’application .291.7.2. Angle de frottement 311.7.3. Frottement de roulement .311.7.4. Frottement d’un câble sur une poulie 33EXERCICES RESOLUS .34EXERCICES SUPLEMENTAIRES 49Chapitre 2 : GÉOMÉTRIE DES MASSES2.1. INTRODUCTION . 592.2. MASSE D’UN SYSTEME MATERIEL .592.2.1. Système continu 592.2.2. Système discret .602.3. CENTRE D’INERTIE D’UN SYSTEME MATERIEL . 602.3.1.2.3.2.2.3.3.2.3.4.2.3.5.Définition . .60Exemple d’application ; .61Cas d’un système complexe 62Théorème de GULDIN 63Exemples d’applications ;; .642.4. TENSEUR D’INERTIE nition . 66Matrice d’inertie . 66Cas particuliers .67Axes principaux d’inertie .68Théorème de Huygens .68Moment d’inertie par rapport à une droite quelconque ( ) .69Produit d’inertie par rapport à deux droites perpendiculaires .70EXERCICES RESOLUS .71EXERCICES SUPLEMENTAIRES 81Physique 4 : Mécanique Rationnelle
Table des matièresiiiChapitre 3 : CINÉMATIQUE3.1. INTRODUCTION . 833.2. CINÉMATIQUE DU POINT (Rappel) . 833.2.1. Trajectoire, vitesse et accélération d'un point . 833.2.1.1. Trajectoire . . .833.2.1.2. Vecteur vitesse 833.2.1.3. Vecteur accélération . 843.2.2. Mouvement circulaire . 843.3. CINÉMATIQUE DU SOLIDE . 863.3.1. Notion d'un solide parfait . .863.3.2. Repérage d’un solide . . 863.3.3. Matrice de passage de R à R0 . .873.3.3.1. Angle de précession. . 873.3.3.2. Angle de nutation. . .873.3.3.3. Angle de rotation propre . .883.3.4. Torseur cinématique – distribution des vitesses .903.3.4.1. Champ des vitesses d'un solide en mouvement . 903.3.4.2. Torseur cinématique . .913.3.4.3. Champ des accélérations d'un solide en mouvement . 913.3.5. Axe instantané de rotation . .923.3.6. Cas particulier de mouvements . . 923.3.6.1. Mouvement de translation . .923.3.6.2. Mouvement de rotation autour d'un axe .933.3.6.3. Mouvement hélicoïdal . .943.4. COMPOSITION DE MOUVEMENTS . . 943.4.1.3.4.2.3.4.3.Dérivation composée (Rappel) . 94Composition de vitesses . 96Composition d’accélérations . 973.5. LES LIAISONS . 983.5.1.3.5.2.Définitions . . .98Solides en contact ponctuel . .993.5.2.1. Vitesse de glissement . .993.5.2.2. Plan tangent . 993.5.2.3. Roulement sans glissement . .993.5.2.4. Roulement et Pivotement . .993.6. MOUVEMENT PLAN SUR PLAN . .1003.6.1.3.6.2.Définition . .100Centre instantané de rotation (CIR) . .100EXERCICES RESOLUS . . .101EXERCICES SUPPLEMENTAIRES . . .120Physique 4 : Mécanique Rationnelle
Table des matièresivChapitre 4 : CINETIQUE4.1. INTRODUCTION . .1234.2. QUANTITE DE MOUVEMENT ET MOMENT CINETIQUE .1234.2.1. Point matériel . .1234.2.2. Ensemble de Points Matériels . .1234.2.3. Système matériel continu . .1234.3. TORSEUR CINETIQUE . .1244.3.1. Définition . .1244.3.2. Calcul de la résultante . 1244.3.3. Théorème de Kœnig relatif au moment cinétique .1254.3.4. Moment cinétique d'un solide indéformable en G (centre d'inertie) .1264.3.5. Moment cinétique d'un solide indéformable en un point de vitesse nulle .1264.4. ÉNERGIE CINETIQUE . .1274.4.1. Définition . .1274.4.2. Théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique 1274.4.3. L'énergie cinétique d'un solide indéformable .1284.5. TORSEURS DYNAMIQUE . .1294.5.1. Définition . .1294.5.2. Calcul de la résultante . 1294.5.3. Théorème de Kœnig relatif au moment dynamique . . 1304.5.4. Calcul du moment dynamique . 130EXERCICES RESOLUS . 132EXERCICES SUPPLEMENTAIRES . 143Chapitre 5 : DYNAMIQUE5.1. INTRODUCTION . . .1445.2. RAPPEL SUR LE TORSEUR DES FORCES EXTERIEURES . 1445.3. RAPPEL DE LA DYNAMIQUE DES PARTICULES .1445.4. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE .1455.4.1. Théorème de la résultante cinétique . .1465.4.2. Théorème du moment cinétique . .1465.4.3 Solide mobile autour d'un axe fixe . .1465.5. THEOREME DE L'ENERGIE CINETIQUE . .1465.5.1. Puissance et travail d'une force . . .1465.5.2. Théorème de l'énergie cinétique . .147EXERCICES RESOLUS . . .149EXERCICES SUPPLEMENTAIRES . .162Bibliographie . . . .163Physique 4 : Mécanique Rationnelle
NotationsvNotationsfsfkmECFx , Fy et FzIOIxx, Iyy et IzzInt , Ixy, Ixz et IyzI PWR, rR (O, x, y , z )Coefficient de frottement de glissement,Coefficient de frottement de glissement en mouvement.Masse d’un système matériel continu,Énergie cinétiquerComposantes de la force F avec les axes x, y et zMatrice d’inertie par rapport au centre OMoments d’inertie par rapport aux axes x, y et z respectivement.Produit d’inertie par rapport à deux droites perpendiculairesMoment d’inertie par rapport à une droite quelconque ( )Puissance d'une force FTravail accompli entre deux instants t0 et t1 est donc:RayonRepère orthonormé lié au solide, où repère relatif.R0( O0, x0 , y 0 , z 0 ) Repère fixe, où repère absoluS, ASSurface d’un corps solideV, Vy et VxVolume d’un corps solide,aVecteur accélération de la particule (π).ac (M )Vecteur accélération complémentaire où de Coriolis :a e (M )Vecteur accélération d’entraînementama M / R0Vecteur accélération moyenne du mobile entre t et t tVecteur accélération absoluea r (M ) a M / Rv rn, trntpVecteur accélération relativeVecteur directeur unitaire d’une droite quelconquevTransposé du vecteur directeur unitaire nQuantité de mouvement d'un système matérielp, uVecteur unitairerr x , r y et r zVecteur positionv :vmProjections de r sur les axes Ox, Oy et Oz.Vecteur vitesse instantanéVecteur vitesse moyenne du mobile entre les deux instantsDrFF max , F sQuantité d'accélération élémentaireVecteur de la forceForce de frottement de repos où statiqueF x , F y et F zr rM o (F )Projections de F sur les axes Ox, Oy et Oz.Moment de la force F par rapport au point OPhysique 4 : Mécanique Rationnelle
NotationsrrM ox (F )r rN, RrP, QrRviMoment par rapport a L’axe OxRéaction normale,PoidsTRésultante de plusieurs forcesTension d’une liaison flexibleV e (M )Vecteur vitesse d’entraînementV M / R0Vecteur vitesse absolue d’un point MV r (M ) V M / RVecteur vitesse relative d’un point M du solide (S)α,βϕρσλθθx, θy et θzω où θ&AngleAngle de frottementMasse volumique d’un corps solideDensité surfacique d’un corps solideDensité linéique d’une ligne matérielleAngle de rotationAngles définissent la direction d’une force avec les axes x, y et zVitesse angulaire où Taux de rotationσAMoment cinétique du système en un point AδAMoment dynamique en AΩVecteur taux de rotation instantanéPhysique 4 : Mécanique Rationnelle
Avant propos1AVANT PROPOSCe polycopié de la physique 4 intitulé mécanique rationnelle est une matière de l'unitéfondamentale 3 du socle commun du domaine sciences et techniques. Elle s'adresse auxétudiants de troisième semestre licence nouveau régime (LMD). Le contenu de cepolycopié regroupe le programme enseigné dans le département du tronc communtechnologie de l’UHBC. Il est rédigé sous forme de cours détaillés, avec des applicationsrésolus et des exercices supplémentaires non résolus. Il est présenté avec un style trèssimple qui permet aux étudiants une compréhension très rapide. Le contenu de cepolycopié est structuré en cinq chapitres. Après un rappel mathématique sur les vecteurs, lechapitre un traite la statique du solide. Il présente des notions fondamentales de la statiqueà savoir : le point matériel, le corps solide parfait, les forces, les moments, les torseurs desforces extérieures, les liaisons et les réactions. Ensuite, les opérations sur les forces,l'équilibre des solides en présence du frottement sont exposés. Enfin, dans ce chapitre plusdix (10) exercices résolus et vingt deux (22) exercices supplémentaires non résolus serontprésentés. Le chapitre deux concerne les notions sur la masse, le centre de masse, lemoment d’inertie et le produit d’inertie ; leurs intérêts mécaniques apparaîtront dans l'étudede la cinétique et de la dynamique. Le chapitre trois aborde la cinématique des corpssolides qui traite le mouvement mécanique uniquement du point de vue géométrique, sanstenir compte des causes qui ont provoqué le mouvement. A la fin de ce chapitre septexercices résolus et cinq autres supplémentaires non résolus seront donnés. Le chapitrequatre sera réservé à la cinétique. Il traite les relations associant les grandeurs cinématiqueset la répartition des masses. Ce chapitre, introduit de nouvelles grandeurs cinétiques tellesque : la quantité de mouvement, le moment cinétique, la résultante dynamique, le momentdynamique et l'énergie cinétique. Enfin le dernier chapitre aborde la dynamique. Il estproposé pour étudier le mouvement des corps matériels en liaison avec les forces quis’exercent sur ces corps. L'objectif principal de ce chapitre est l'étude des théorèmesgénéraux régissant la dynamique. Il sera terminé à la fin par quatre exercices résolus etplus de quatre autres supplémentaires non résolus.Physique 4 : Mécanique Rationnelle
Introduction2INTRODUCTIONOBJET DE LA MÉCANIQUE RATIONNELLELa mécanique rationnelle ou théorique, est une science qui étudie le mouvement de lamatière sous sa forme la plus simple. C’est une science qui traite des lois généralesrégissant le mouvement mécanique et l’état d’équilibre des corps ou des parties de corpsmatériels. Par mouvement de la matière, on entend tous les changements qui se produisentpendant les processus thermique, chimique, électromagnétique, intra-atomique et autres.La mécanique rationnelle se borne à considérer la forme la plus élémentaire dumouvement, à savoir : Le mouvement mécanique. Par mouvement mécanique, on entend lechangement de position relative des corps matériels qui se produit dans le cours du temps.Puisque l’état d’équilibre (statique) n’est qu’un cas particulier du mouvement, lamécanique rationnelle se donne aussi comme objet l’étude de l’équilibre des corpsmatériels. La mécanique rationnelle utilise des simplifications et des abstractions utiles, quiseront introduites pour examiner la question sur le plan théorique et de dégager la solutionpar les moyens les plus faciles.Le présent cours a pour objet la mécanique classique, c’est à dire une mécanique fondéesur des lois connues dont les premiers énoncés remontent à Galilée (1564-1642) et àNewton (1643-1727). Vers la fin du 19eme siècle et au début du 20eme siècle, les chercheursont constaté que les lois de la mécanique classique cessent d’être applicables aumouvement des particules microscopiques et des corps dés que leurs vitesses deviennentproches de celle de la vitesse de la lumière. Le début du 20eme siècle marque l’apparition dela mécanique relativiste, qui a pour base la théorie de la relativité développée par A.Einstein (1879-1955). Cette théorie a précisé les limites de la validité des lois de lamécanique classique en établissant des relations quantitatives rigoureuses entre l’espace, letemps, la masse et l’énergie.MÉTHODES DE LA MÉCANIQUE RATIONNELLEComme les autres sciences de la nature, la mécanique rationnelle utilise beaucoup lesabstractions. La méthode des abstractions, jointe à la généralisation des résultats del’observation immédiate, de la production et de l’expérience, permet de dégager quelquesconcepts premiers qui se posent en axiomes. Tous les développements de la mécaniqueclassique se déduisent de ces axiomes par voie de raisonnement logique et de calculmathématique.LES GRANDES DIVISIONS DE LA MÉCANIQUE RATIONNELLELa mécanique rationnelle se divise en trois grandes parties :La statique qui traite l’équilibre des corps matériels et ses moyens de réduire un systèmede forces à une forme élémentaire.La cinématique étudie le mouvement des corps matériels du point de vue géométrique,c.à.d sans tenir compte des causes qui engendrent le mouvement.La dynamique se propose d’étudier le mouvement des corps matériels en liaison avecles forces qui s’exercent sur les corps.Physique 4 : Mécanique Rationnelle
Notions mathématiques3NOTIONS MATHÉMATIQUES1. Vecteur libreL’espace métrique tridimensionnel d’Euclide de la géométrie classique est unereprésentation mathématique de l’espace physique où se meuvent les systèmes matériels ; onnotera E3.Les éléments de E3 sont des points. A un couple ordonné de points (P, Q) de E3,correspond un élément v d’un espace vectoriel Euclidien :( P, Q ) v PQIl existe une infinité de points (P, Q) correspond au même vecteur. Ces vecteurs sontappelés vecteurs libres.2. Produit scalairePour un couple ( v 1 , v 2 ) de vecteurs de E3, on peut correspondre un nombre réel appeléproduit scalaire de v 1 par v 2 et noté v 1 .v 2 . Il s'écrit :(v 1 . v 2 v 1 v 2 cos v 1 , v 2)2- On note v v . v et on appelle v , module de v .- Un vecteur est unitaire si son module est égal à 1.3. BaseOn appelle base de E3 un ensemble de trois vecteurs u 1 , u 2, u 3 tels que tout vecteur v deE3 soit d’une manière et une seule une combinaison linéaire de u 1 , u 2, u 3 .La base ( u 1 , u 2, u 3 ) est orthonormée si et seulement si u i . u j 0Pour une base orthonormée de E3, on peut écrire : v E 3 : v v1 u1 v 2 u 2 v 3 u 3 vi uii 1On dit que v1, v2, v3 sont les composantes de v dans la base orthonormé ( u 1 , u 2, u 3 ). Lesvecteurs ( u 1 , u 2, u 3 ) constituent une base orthonormée ; v1, v2, v3 sont les projectionsorthogonales de v sur les 3 vecteurs de base, telles que :( )v i v . e i v cos v , e iPhysique 4 : Mécanique Rationnelle
Notions mathématiques44. Produit Vectoriel4.1. Définition – PropriétésSoient v , w , x trois vecteurs quelconques de l’espace vectoriel à trois dimensions qui sontrapportés à une base ( u 1 , u 2, u 3 ) orthonormée et directe.Le produit vectoriel v w s’écrit : v1 w1 v 2 w 3 v 3 w 2 v w v 2 w 2 v 3 w 1 v1w 3 v 3 w 3 v 1 w 2 v 2 w 1 -Notons que, si v w x , nous aurons v x et w x-Le produit vectoriel est déterminé autrement :v w v w sin ( v, w ) u u étant le vecteur unitaire du produit vectoriel v w , dirigé perpendiculairement à v etw.4.2. Double produit vectoriel()Le double produit vectoriel de trois vecteurs v w x est exprimé par la relationsuivante :() ( )( )v w x x.v w w.v x4.3. Produit mixte()Le produit mixte de trois vecteurs est écrit par v . w x , comme, on peut l’exprimé par()()(v.w x x.v w w.x v)4.4. Division vectorielle w Si x v w , on dit que x est le résultat de la division vectorielle w par v . v S’il existe un réel positif λ, le résultat de la division s’écrit :Physique 4 : Mécanique Rationnelle
Notions mathématiques5x v wv2 λv5. Vecteur lié et Système Vectoriel5.1. Vecteur liéUn vecteur lié est un objet géométrique caractérisé par un vecteur libre v et un point P :(P, v ).La droite issue de P ayant v pour vecteur directeur est le support du vecteur lié (P, v ).Cette droite est aussi appelée axe P v .En mécanique, les forces sont des exemples de vecteurs liés.5.2. Moment d’un vecteur liéLe moment d’un vecteur lié (P, v ) par rapport à un point O est exprimé par :M o ( P, v ) OP vM o ( P, v ) est un vecteur libre fonction du point O.Le moment d’un vecteur lié (P, v ) par rapport à un axe ( ) est :()M ( P, v ) M o ( P, v ) uO est un point quelconque de l’axe ( ) et u est le vecteur directeur de l’axe ( ).5.3. Système vectorielUn système vectoriel (S) est un ensemble de n vecteurs liés. On écrit symboliquement :(S ) (Pi , v i )iUn tel système n’admet de somme géométrique que si les vecteurs sont concourants. En effet,l’addition ( P1 , v 1 ) ( P2 , v 2 ) . n’a pas de sens.Par définition, on appelle résultante (ou somme) de (S) le vecteur libre R tel que :R v 1 v 2 v 3 . v n vii 15.4. Moment d’un système vectorielLe moment d’un système vectoriel (S) par rapport à un point O
chapitre un traite la statique du solide. Il présente des notions fondamentales de la statique à savoir : le point matériel, le corps solide parfait, les forces, les moments, les torseurs des forces extérieures, les liaisons
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Histologie de l'appareil respiratoire (cours 3 et 4) p. 29 Embryologie et développement de l'appareil respiratoire (cours 5 et 6) p. 41 II PHYSIOLOGIE p. 50 Structure fonctionnelle (cours 10) p. 54 Mécanique ventilatoire (cours 11) p. 67 Transport des gaz dans le sang (cours 13) p. 87 Diffusion de gaz, DLCO (cours 14) p. 102
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Ofre de cours . AUTOMNE 2017 . Sauf indication contraire, tous les cours sont de 3 crédits. Les cours entre parenthèses sont des préalables. à Lire attentivement la description oicielle d ’un cours sur le site de la TÉLUQ ain de connaître les particularités qui s’y appliquent. PREMIER CYCLE . ADM . ADM 1002 Initiation à la gestion
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