Vedische Mathematik - All4brain
Vedische Mathematikvon Gwen Bach und Gregor Staub (Hrsg.)Rechnen und Kopfrechnen für Schüler und ErwachseneMULTIMEDIA eDITIONVIDEO AUDIO INTERACTIVE PDFBei Rückfragen: 49 173 5155691
Impressummega memory MatheVedische MathematikRechnen und Kopfrechnen für Schüler und Erwachsenevon Gwen Bach und Gregor StaubHerausgeber:mega memory Training AGTristelstr. 34FL-9497 TriesenbergE-Mail: e-mathematik.com4. Auflage – April 2015, Triesenberg (FL)ISBN 978-3-00-035514-1Autorin:Gwen Bach, Rheinfelden (CH)Gregor Staub mega memory Gedächtnistraining – CopyrightAlle Rechte, insbesondere das Recht der Vervielfältigung und der Verbreitung sowie der Übersetzung,vorbehalten. Kein Teil des Werks darf in irgendeiner Form (durch Fotokopie, Mikrofilm oderein anderes Verfahren) ohne schriftliche Genehmigung des Herausgebers reproduziert oder unterVerwendung elektronischer Systeme gespeichert, verarbeitet oder vervielfältigt werden.Gregor Staub mega memory – Handelsmarkemega memory ist eine in Deutschland, Österreich, der Schweiz, Frankreich und Italienregistrierte Handelsmarke der Staub mega memory Gedächtnistraining.Sprecher/Darsteller: Gregor Staub, Gwen BachProduktionsleitung/Redaktion: Karin Burger, www.team-karin-burger.de, München (D)Julia Parker, www.parkerrose.de, München (D)Konzeption: Gwen Bach, Gregor Staub, Karin Burger (CH, D)Web-Realisation: www.co-operation.de (D)Lektorat: twinbooks, München (D)Bildnachweis: Cover, contrastwerkstatt, toolklickit, fotolia.com, „Melencolia I“, Albrecht Dürer, istockphoto.com, S. 147
Vedische MathematikRechnen und Kopfrechnen fürSchüler und Erwachsenevon Gwen Bach und Gregor Staub (Hrsg.)Allgemeine Einleitung und Intro eLearning MathematikIntro MathematikEinleitung
InhaltsverzeichnisVorwort von Gregor Staub: Was ist mega memory Gedächtnistraining?Einleitung von Gwen BacheVideo 1Anleitung für dieses BuchWas ist vedische Mathematik?1.Zahlen merken mit mega memory 891011eLearning14Diesen Bereich findest du in deinemeTrack14Onlinekurs unter "100er Liste" undeTrack16unter "Zahlen merken"eTrack182.Ich kann alles mit 5 multiplizieren!eVideo 2243.Plus (Addition) – Kopfrechnen!eVideo 3273.13.23.33.4AufwärmübungZweistellige Zahlen addieren? Kein Problem!Aufgaben mit ÜbertragDreistellige Zahlen blitzschnell im Kopf addieren4. Minus (Subtraktion)4.1 Minus mit BasiszahlDer Trick mit der Null4.2 Die mehrfache Basiszahl4.3 Komplexe AufgabenGemischte Aufgaben5.5.15.25.35.4Das Einmaleins bis 5Die 2er-ReiheDie 3er-ReiheDie 4er-ReiheDie 5er-Reihe6. Das Einmaleins bis 9 (Basis und Finger)6.1 Rechnen mit Basis6.2 Mit den Fingern Rechnen: 6er – 9er-Reihe42728303133eVideo 43334eVideo 535eVideo 63639eVideo 7424244454647eVideo 847eVideo 949
Inhaltsverzeichnis7.Multiplikation: Bildertrick8. Das Einmaleins bis 14 (Basis und Finger)8.1 Über der Basis multiplizieren8.2 Mit den Fingern multiplizieren – von 11 bis 149.9.19.29.3Multiplizieren von 11 bis 19Alles mit 11 multiplizierenAlles mit 12 multiplizierenZahlen mit 13 und aufwärts multiplizieren10.10.110.210.310.4Alles mit 6, 7, 8 und 9 multiplizierenAlles mit 6 multiplizierenAlles mit 7 multiplizierenAlles mit 8 multiplizierenAlles mit 9 multipliziereneVideo 105155eVideo 1155eVideo 1256eVideo 135959636567eVideo 1467eVideo 1569eVideo 1671eVideo 177311. Multiplizieren mit Basis unter/über 10011.1 „Schwierige“ Zahlen unter der Basis multiplizieren11.2 „Schwierige“ Zahlen über der Basis multipliziereneVideo 187512. Zahlen über und unter der Basis multipliziereneVideo 198113. Multiplizieren mit ArbeitsbasiseVideo 208414. Multiplizieren: Vertikal und kreuzweise14.1 Größere Zahlen mit Rechenmuster multipliziereneVideo 218715. Division durch 915.1 Jede beliebige Zahl einfach durch 9 dividieren75799093eVideo 22935
Inhaltsverzeichnis16.16.116.216.3Division unter der BasisDivision unter 10Division unter 100Division unter 100095eVideo 2395eVideo 24100eVideo 2510417. Vinculum-Zahlen17.1 Vinculum-Zahlen in normale Zahlen umwandeln17.2 Normale Zahlen in Vinculum-Zahlen umwandelneVideo 26108eVideo 2710918. Division über der Basis mit VinculumeVideo 2811019. Division durch mehrstellige Zahlen19.1 Direktes Teilen19.2 Direktes Teilen mit Vinculum20. Duplex rechnen20.1 Zahlen zerlegen20.2 Duplex-Zahlen rechnen21. Zahlen quadrieren21.1 Zahlen mit Duplex-Methode quadrieren21.2 Zahlen mit Basis quadrieren108120eVideo 29120eVideo 30126130eVideo 31130eVideo 32131eVideo 3313213213722. Die Wurzel aus einer Zahl ziehen22.1 Einfaches Wurzelziehen22.2 Wurzelziehen mit KommastelleeVideo 34138eVideo 3514123. Magische QuadrateeVideo 3614724. Geburtstage ausrechneneVideo 371546138
InhaltsverzeichnisNEU: 25. Teilbarkeit von Zahlen157NEU: 26. Bruchrechnen26.1 Brüche multiplizieren26.2 Brüche dividieren26.3 Brüche addieren und subtrahieren160160eVideo 38162eVideo 3916427. Übungsaufgaben16716 Sutren und Sub-SutrenAutorenteamProdukte von Gregor Staub auf www.gregorstaub.comeLearning – so funktioniert’s: Zugangscode1691711721757
Vorwort von Gregor StaubGregor Staub, GedächtnistrainerWas ist mega memory Gedächtnistraining?Ich arbeite seit 1990 als Gedächtnistrainer und habe 1000fach erlebt, wie hervorragend jedesGedächtnis funktionieren kann, wenn man dem Menschen, der lernen will, nur die richtigenWege aufzeigt. Mit dem Erfolg kommt der Spaß und mit dem Spaß noch mehr Erfolg und damitdie Lust, dran zu bleiben - wie bei einem gut gemachten Computerspiel!Für die, die es noch nicht kennen: Meine Methode mega memory Gedächtnistraining ermöglicht es Ihnen, sich Zahlen, Namen und Fakten schneller, sicherer und länger zu merken. Siebasiert auf der altgriechischen MNEMO-Technik, führt schnell zum Erfolg und macht viel Spaß.Als Gwen Bach mit ihren Erkenntnissen aus der vedischen Mathematik auf mich zukam, war mirsofort klar, dass die Systematik aus mega memory mit den vedischen Sutren wertvolle Synergien ergeben würde.Wir haben uns im Laufe der Zusammenarbeit dann dazu entschlossen, diesem Mathebuch denAusschnitt aus meinem Programm voranzustellen, in dem es um das Merken von Zahlen geht.Das eLearning-Programm ist auf verschiedene Arten nutzbar: Sie können das ganze Systemvon A–Z lernen – die vielen Aha-Erlebnisse und Lernerfolge begleiten Sie dabei als sichereMotivatoren. Sie können sich aber auch ganz gezielt „nur“ die Rechenarten und „Tricks“ herauspicken, die in Ihrem Leben gerade besonders hilfreich sind – oder die im Leben Ihrer Kinder oderSchüler wieder Lust auf Mathe machen sollen.Sie werden erleben, wie selbst kleine und große Mathe- und Zahlenverweigerer plötzlich strahlen und wie Sie selbst mit jedem „Trick“ wachsen.Hier meine Empfehlung: Nehmen Sie sich 4–5 Stunden Zeit, um den Zahlenraumvon 1–20 mit der so genannten „Baumliste“ zu lernen und den Zahlenraum von21–100 mit Hilfe der 100er-Liste. Mit diesem Werkzeug „im Kopf“ wird aus dem Rechnen ein wunderbares Spiel mit Zahlen.8
Einleitung von Gwen BachGwen Bach, AutorinLiebe Leserinnen und Leser!Warum macht Mathematik manchen Leuten Spaß und anderekönnen so gar nichts mit Zahlen anfangen? Diese Frage habeich mir oft gestellt, als mein Sohn in der Grundschule großeProbleme mit Mathe hatte. Ich begab mich auf die Suche nacheinem Weg aus seinem Dilemma und fand – durch meine indischen Wurzeln – unsere Lösung in Indien:Es gibt geniale englischsprachige Lehrbücher über die sogenannte vedische Mathematik.Je mehr ich mich mit dieser Methode und den Rechenregeln aus dem alten Indien befasste,desto begeisterter wurde ich. Und mein Sohn verlor mit jedem kleinen Rechenerfolg seine Angstvor Mathe, weil er plötzlich auch mit großen Zahlen spielen und schwierige Aufgaben dank der„Tricks“ lösen konnte. Inzwischen habe ich vielen Schülern und Erwachsenen dabei geholfen, inMathe gut zu werden und selbstbewusst an das Thema zu gehen – denn eines habe ich erkannt:Manche Menschen rechnen von Natur aus gut und haben ein Gefühl für Zahlen. Andere hingegen brauchen eine Methode oder genaue Anleitung, der sie folgen können.Ich habe erfahren, dass gut rechnen zu können eine Fähigkeit ist, die jeder Mensch erlernen undüben kann. Doch warum ist es überhaupt wichtig, gut und richtig rechnen zu können? Schließlich haben wir heute alle Taschenrechner, Smartphones und Computer. Kopfrechnen verbessertdie Konzentrations- und Merkfähigkeit und hilft uns, mehrere Gedanken auf einmal im Kopf zubearbeiten. Es baut unser Selbstbewusstsein auf und stärkt unser Vertrauen in unsere eigenenintellektuellen Fähigkeiten. Zudem fördert es die eigenen Fähigkeiten beim Lösen von Problemen und beim Finden von alternativen Lösungen – egal ob bei der Arbeit, in der Schule oder imPrivatleben.Jeder kann gut rechnen lernen. Wirklich! Sie werden in diesem Kurs ungewohnte Rechenwegebeschreiten – die beim näheren Betrachten genial und einfach sind. Mathematik ist wie Fahrrad fahren: Man muss nur einmal den Dreh raus haben und ein bisschen üben – dann macht esrichtig Spaß, ist logisch nachvollziehbar – und am Ende können Sie und Ihre Familie und Freunde spielerisch mit sehr hohen Zahlen jonglieren. Sie können bald im Kopf die Wurzel aus 3136ziehen oder 562 rechnen! Sie können den Wochentag zu jedem beliebigen Datum berechnenund locker 3-stellige Zahlen multiplizieren. Eines kann ich Ihnen versprechen: Mitschüler, Lehrer,Freunde, Arbeitskollegen und Kunden werden Augen machen!Sehen Sie sich Video 1 „Gregor Staub undGwen Bach stellen sich vor“ an. Viel Vergnügen!Vorstellung9
Anleitung für dieses BuchDieses Buch ist so strukturiert, dass Sie es entweder wie einen Kurs von vorne bis hinten durcharbeiten können – oder Sie suchen sich nur einzelne Rechentricks heraus, die Sie lernen möchten. Am Anfang eines jeden Kapitels steht eine kurze Erklärung, dann folgt der Hinweis auf dasjeweils passende Video. Wenn Sie sich den Film online angeschaut haben, sollten Sie am bestenetwas üben und zur Vertiefung das Kapitel im Buch durcharbeiten. Am Ende der Kapitel findenSie ein paar Übungsaufgaben. Weitere Übungen mit Lösungen sind ganz hinten im Buch.Anleitung für ElternKinder lernen in der Grundschule Mathematik in Zahlenräume aufgeteilt: in der 1.Klasse bis 20, in der 2. Klasse bis 100, in der 3. Klasse bis 1.000 und ab der 4. Klasse bis1.000.000. In diesem Kurs werden wir mit Zahlen spielen, die oft größer sind, aber dasist kein Problem.Wenn wir zum Beispiel eine Zahl wie 5468216 in ihre einzelnen Ziffern zerlegen, bleibtletztendlich auch nur eine 5, eine 4, eine 6, eine 8 und so weiter. Eigentlich liegen somit alle Zahlen im Bereich des Zahlenraums der 1. Klasse.Gut, ich gebe zu, ich spiele hier ein wenig mit der Logik. Aber mit dieser Sichtweisenehmen Sie Ihrem Kind die Angst vor großen Zahlen, schließlich gibt es nur 10 Ziffern, alle anderen sind Kombinationen der Zahlen 0 bis 9.Der Textteil ist so geschrieben, dass Sie ihn wie ein Theaterskript verwendenkönnen. Lesen Sie den Text gemeinsam mit Ihrem Kind und folgen Sie den Anweisungen Schritt für Schritt. Dann sind nicht Sie der Lehrer – sondern das Buch.In der Arbeit mit meinem Sohn hat das sehr viel Entspannung gebracht.!Wichtig für Eltern und LehrerBeachten Sie bitte, dass die Schreibweise nicht den üblichen Mathematikrechenschritten entspricht, sondern die eigenen Gedanken symbolisieren soll. Also so, wieSie im Kopf rechnen würden – das ist schließlich auch unser Ziel.10
Was ist vedische Mathematik?Sie ist auf jeden Fall ganz anders als das, was Sie (im deutschsprachigen Raum) in der Schulegelernt haben – oder gerade lernen. Die vedische Mathematik basiert auf 16 Regeln Sutrenund 13 Sub-Sutren, also untergeordneten Regeln. Sutra – bzw. die Mehrzahl Sutren – ist der indische Name für die Regeln. Diese können auf die verschiedenen Rechenarten angewandt werden.Es ist ein sehr breit angelegtes System, das selbst in komplexen Bereichen der Mathematik wiezum Beispiel der Integralrechnung funktioniert. Wir werden in diesem Kurs allerdings nur fünfdieser Regeln anwenden.Die Sutren hören sich für die meisten Menschen auf den ersten Blick sehr kryptisch an, bekommen aber mit ein wenig Übung einen tieferen Sinn. Eine Tabelle mit den 16 Sutren inklusiveder Sub-Sutren finden Sie am Ende des Buches.Die Veden sind uralte indische Texte, die in mehrere Bücher unterteilt sind. Eines dieser Bücherenthält die Regeln, die der indische Mathematiker Bharati Krishna Tirthaji (1884–1960) wiederentdeckt und gelehrt hat. Mit 20 Jahren hatte er bereits sieben Master Degrees (also höhereStudienabschlüsse) in Philosophie, Mathematik, Geschichte, Wirtschaft und Sanskrit (der altenindischen Sprache). Von 1911 bis 1919 studierte und entschlüsselte er die mathematischen Teileder „Artharva Veda“2. Leider ging sein Gesamtwerk verloren, daher steht uns heute nur einenkleiner Teil davon zur Verfügung. Aber allein dieser ermöglicht es selbst Grundschülern, komplexe Gleichungen zu lösen. Das Schöne an dieser Methode ist, dass Sie eigentlich nur das kleineEinmaleins bis zur 5 kennen müssen. Und auch für das kleine Einmaleins gibt es eine Methode –und zwar ganz ohne Auswendiglernen3!In den letzten 20 Jahren fand die vedische Mathematik zunehmend Beachtung an verschiedenen indischen, amerikanischen und englischen Universitäten. An einigen Eliteuniversitätenlernen Studenten das vedische System. In Amerika und Indien belegen Schüler und Studententeure vedische Mathematikkurse, damit sie in den Eingangstests der Universitäten schnellerund fehlerfrei rechnen, da bei diesen Tests Taschenrechner verboten sind. Einige Privatschulenführten das vedische System mit großem Erfolg als Lehrmethode in ihren Lehrplan ein. Eineenglische Schule publizierte 1989 ihr Lehrprogramm der vedischen Mathematik, das an 11- bis14-jährigen Schülern getestet und für erfolgreich befunden wurde.Der Atharvaveda (Atharvaveda, alternativ Atharwaweda) ist eine der heiligen Textsammlungen des Hinduismus.(Quelle: Wikipedia)3Natürlich gibt es auch kritische Stimmen. Manche behaupten, Tirthaji hätte die Sutren gar nicht aus den Veden, dadiese Sätze dort nicht vorkommen. Somit sprechen sie der vedischen Mathematik das Vedische ab. Aber selbst wennTirthaji die Sutren nicht aus den Veden, sondern „während seiner Meditationen empfangen“ hat wie die alten Rishis,würde sie das genau genommen auch als vedisch qualifizieren. Rishi bezeichnet im Hinduismus einen Seher odermythischen Weisen. Den Rishis wurden der Legende nach die heiligen hinduistischen Texte, die Veden, offenbart.211
Was ist vedische Mathematik?!Die 16 SutrenWir werden, wie bereits erwähnt, nur wenige Sutren in diesem Kurs benötigen, denndie meisten braucht man für Algebra, Geometrie, Differenzialrechnung und so weiter.Die Regeln, die wir tatsächlich benutzen, sind markiert. Wenn Sie sich diese Regelnjetzt einfach nur durchlesen, ergeben sie keinen Sinn – zumindest noch nicht. Aberkeine Sorge: Sobald Sie ein bisschen damit gearbeitet haben, werden Sie sehen, dasssie geniale Werkzeuge sind, die Ihnen und Ihren Schülern und Kindern helfen, vieleinfacher, schneller und präziser zu rechnen.So liest man das SutraDas bedeutet das Sutra auf Deutsch1Ekadhikina PurvenaEine mehr als die Vorherige2Nikhilam NavatashcaramamDashatahAlle von 9 und die Letztevon 103Urdhva-TiryagbyhamVertikal und kreuzweise4Paraavartya YojayetVerschieben und anwenden5Shunyam SaamyasamuccayeWenn das Samuccaya das Gleiche ist, ist es null6Anurupye - ShunyamanyatWenn Eins im Verhältnis ist, ist die andere null7Sankalana - VyavakalanabhyamDurch Addition und durch Subtraktion8PuranapuranabyhamDurch die Ergänzung oder Nicht-Ergänzung9Chalana - KalanabyhamDifferenzen und Ähnlichkeiten10YaavadunamWas auch immer die Größe seines Defizits11VyashtisamanstihSpezifisch und allgemein12Shesanyankena CharamenaDie Reste bei der letzen Stelle13SopaantyadvayamantyamDie Letzte und zweimal die Vorletzte14Ekanyunena PurvenaEins weniger als die Vorherige15GunitasamuchyahDas Produkt der Summe16SamuccayagunitahAlle Multiplikatoren12
BuchtippsWeiterführende BuchtippsSie möchten mehr darüber erfahren? Hier sind einige Bücher zum Thema:Bharati Krsna Tirthaji: Vedic Mathematics, New Delhi 2006, von Motilal Banarsidass: Dies ist der klassische Text mit allen Sutras und deren Anwendung.Williams, Kenneth R.: Discover Vedic Mathematics von Inspiration Books, 2009:ein geniales Buch mit allem drin, mein Lieblingsbuch zum Nachschlagen.Williams, Kenneth und Gaskett, Marc: The Cosmic Calculator: A Vedic Mathematicsfor Schools von Inspiration Books, 2005: ein Schulbuchset aus drei Büchern.Kapoor, Dr. S. K.: Learn and teach Vedic Mathematics von Lotus Press, 2007: DiesesBuch beinhaltet einen Kurs über zehn Wochen für Kinder, die gerade mit Zahlen unddem Zählen anfangen und vermittelt eine sehr solide Basis. Zudem erklärt es jedesSutra verständlich und gibt dazu eine bildliche Darstellung der Wirkungsweise desSutras. Man taucht hier tief in die vedische Mathematik ein, aber man sollte auch vielInteresse für hinduistische Philosophie mitbringen.Cutler, Ann und McShane, Rudolph: The Trachtenberg Speed System of Basic Mathematics von Jakow Trachtenberg, Souvenir Press, 1989: Ein wirklich gutes Buchmit einer alternativen Mathematikmethode, die der vedischen sehr ähnlich ist, vonJakow Trachtenberg, der 1950 das Zürcher Institut für Mathematik gegründet hat. Inunserem Kapitel über das Multiplizieren von Zahlen mit 6, 7, 8, und 9 haben wir seineMethode verwendet. Auch seine Methode beruht auf verschiedene Regeln und Rechenweisen für die jeweilige Aufgaben.13
Kapitel 22. Ich kann alles mit 5 multiplizieren!Wir haben als erstes Thema einen Rechenweg ausgesucht, mit dem Sie schnell mit einem Erfolgserlebnis in diesen Kurs einsteigen. Sie werden sehen, dass auch schwierige oder komplexeAufgaben leicht lösbar sind, wenn Sie nur den richtigen Weg kennen. Ich möchte, dass Sie sichvon sich selbst überzeugen!Ist Ihnen eigentlich bewusst, dass Sie immer und überall den besten aller Taschenrechner beisich tragen? In Ihrem Kopf – wirklich wahr! Denn jeden Tag, egal ob Sie einen Ball fangen odereine Straße überqueren, berechnet, misst und schätzt Ihr Gehirn automatisch Distanzen, Höhenund Geschwindigkeiten. Das bedeutet: Sie sind bereits jetzt in der Lage, komplizierte Aufgabenblitzschnell zu berechnen! Aber warum funktioniert das dann oft nicht ganz so gut bei Rechenaufgaben? Nun, leider trauen wir uns meist einfach selbst viel zu wenig zu. Aber hier kann ich nurGregor Staub zitieren: „Ihr Gehirn kann viel mehr, als Sie glauben!“ Lassen Sie sich also von Ihreneigenen Fähigkeiten überraschen!Sehen Sie sich nun auf der eLearning- PlattformVideo 2 „Alles mal 5“ an.Alles mal 5Bei der ersten Methode rechnen wir von links nach rechts, also so è, wie Sie gerade diesen Textlesen. Nehmen wir zum Beispiel 46 5. Beim Rechnen nehmen wir eine Ziffer nach der anderen,halbieren sie und hängen ganz hinten eine Null an. Also los: Die Hälfte von 4 ist 2. Dann halbieren wir die 6, das ergibt 3, und nun hängen wir noch die 0 hinten an. Das richtige Ergebnis lautet230. Es stimmt. Aber prüfen Sie es ruhig mit dem Taschenrechner nach, wenn Sie es nicht glauben können!Und jetzt versuchen wir gemeinsam eine größere Zahl mit 5 zu multiplizieren:8246 5 Die Hälfte von 8 ist 4. Die Hälfte von 2 ist 1. Die Hälfte von 4 ist 2. Die Hälfte von 6 ist 3. Wir hängen eine 0 hinten an. Das Ergebnis ist 41230.Wunderbar! Sie haben eine ziemlich hohe Zahl mal 5 gerechnet! 8246 5 41230.Das war doch gar nicht so schwer, oder?Aber was passiert, wenn ungerade Zahlen dabei sind? Ganz einfach: In diesem Fall halbieren Siedie nächstkleinere Zahl und nehmen eine 1 als Übertrag. Also: Die „Hälfte“ von 5 wäre dann zumBeispiel 2 (weil wir 4 : 2 rechnen) und wir übertragen 1. Wie viel ist dann die „Hälfte“ von 7? Genau, 3. Und wie viel ist die „Hälfte“ von 3? Richtig, 1! Die 1 ist übrigens ein besonderer Fall: Dennhier zählt die „Hälfte“ als 0, und wir übertragen eine 1.Was ist die „Hälfte“ von 9, 13, und 11? Richtig, die Ergebnisse lauten 4, 6 und 5.24Kapitel 2
Gut, versuchen w
1.000.000. In diesem Kurs werden wir mit Zahlen spielen, die oft größer sind, aber das ist kein Problem. Wenn wir zum Beispiel eine Zahl wie 5468216 in ihre einzelnen Zifern zerlegen, bleibt letztendlich auch nur eine 5, eine 4, eine 6, eine 8 und so weiter. Eigentlich liegen so-
Vedische Mathematik LarsFischer Einführung Mech. Hilfsmittel ÜberblickVM Verfahrender VM Quadrate Produkte Kubikwurzeln Zahlenzauber Literatur Sutrasauf
f : Rn D f!Rm; x 7!f(x): Begriffe wie Abbildungsvorschrift, Definitions- und Wertebereich haben dabei die gewohnteBedeutung. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Mathematik II Sommersemester 2014 195 / 415
Formelsammlung Höhere Mathematik von Wilhelm Göhler, Barbara Ralle 17., bearb. Aufl. Formelsammlung Höhere Mathematik – Göhler / Ralle . Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdrucks und der Vervielfältigung des Buches oder von Teilen daraus sind vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages .
Ergebnisse von Mathematik für alleErgebnisse von Mathematik für alle Mathe-Gesamt Punktdiagramm A f(x) ln(x ) B g(x) (x ) (C) k(x) cos(x ) 132 114 These: 4.1 Skizzieren Sie jede Funktion qualitativ in einem eigenen Koordinatensystem
1.FS P V P S P 3.FS VS VS V P S S 7.FS S 6.FS S 2.FS P V P 4.FS5.FS LP P V V Ab-schluss 8.FS9.FS10.F VSP VSPVSP Mathematik 1 FP 7 Mathematik 1 für Wirtschaftsingenieure 4 02 PL 90min 7 Mathematik 2 FP 7 . Werkstofftechnik 2 MO
Periodic boundary conditions in pde2path Tom a s Dohnal1, Hannes Uecker2 1 Institut fur Mathematik, MLU Halle{Wittenberg, D06099 Halle (Saale), tomas.dohnal@mathematik.uni-halle.de 2 Institut fur Mathematik, Universit at Oldenburg, D26111 Oldenburg, hannes.uecker@uni-oldenburg.de April 30, 2018 Abstract We describe the implementation of
www.kit.edu KIT-FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK KIT - Die Forschungsuniversität in der Helmholtz-Gemeinschaft Modulhandbuch Mathematik Bachelor 2016 (Bachelor of Science (B.Sc.))
us88280731 astm d 4255/d 4255m 2015 us88281030 awwa c 706 1980 us88281031 awwa c 706 1972 us88281034 awwa c 707 1975 us88281036 awwa c 708 1996 us88281041 awwa c 710 2002 us88281044 awwa c 712 2002 us88281059 awwa c 901 1988 us88281060 awwa c 901 1978 us88281092 awwa d 103 1980 us88281099 awwa d 110 2004 us88281110 ansi/awwa d 130 1987 us88281120 ansi/awwa f 102 1991 us88281124 awwa c 104/a21 .
