AUTOMATIQUE DES SYSTÈMES LINÉAIRES CONTINUS ET

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AUTOMATIQUE DES SYSTÈMES LINÉAIRESCONTINUS ET DISCRETS

Présentation du Module2 Automatique linéaire continuIntroduction généralités Modélisation Représentation de système Systèmes de premier et deuxième ordre : réponse temporelles, réponses enfréquence Stabilité Notions sur la correction des systèmes linéaires asservis Automatique linéaire discretsEchantillonnage Fonctions de transfert discrètes Réponse des systèmes discret

Introduction3 Définition de l’automatique Automatique : ensemble des disciplines scientifiques et des techniques utilisées pour la conception etl’emploi des dispositifs qui fonctionnent sans l’intervention d’un opérateur humain.Notion de systèmeLe système est un dispositif qui fonctionne en interaction avec son environnement générant unensemble de phénomènes. Le mot Commande est en générale pris dans le sens de régler ou contrôler Un système de commande est un assemblage de constituants branchés ou reliés les uns au autres detelle sorte qu’il puisse se commander, se diriger ou bien commander un autre système

Exemple de système de commande4 Régulation des procédés industriels Contrôle / commande des machines / robots Systèmes avancés de régulation dans le développement des produits technologiquesde pointe (aéronautique, spatial, etc.) Modélisation des systèmes biologiques, économiques dans la vie courante Automobile : régulateurs de vitesse, de trajectoire Avions : régulateurs d’assiette Satellites : régulation de position, d’orientation, de vitesse Transports : tous les systèmes autonomes (métros, portes, etc.) Informatique : disques durs

Procédé5 Procédé est un terme qui désigne un ensemble d’appareils destiné à obtenir unproduit déterminéL’évolution du procédé dépend d’une ou plusieurs grandeurs incidentesGrandeurs incidentesGrandeurs à maîtriserProcédé

Processus6Définition : Le mot processus vient du latin pro (au sens de « vers l'avant ») etde cessus, céder (aller, marcher) ce qui signifie donc aller vers l'avant, avancer. Ensemble d'activités corrélées ou interactives qui transforme des élémentsd'entrée en éléments de sortie Echange d’informations avec l’utilisateurEchange d’informationsavec l’utilisateurProcessusEchange d’informations avec le système(ressources, autres processus)Résultat

Grandeurs Entrées sorties7 Les signaux associés aux entrées sont généralement notés par la lettre U et les signaux associés aux sorties par la lettre Y.Les entrées d’un système peuvent a priori être modifiées. Il peut également exister des entrées qui échappent au contrôle etqui ne peuvent être modifiées. Elles sont appelées perturbations et sont notées DSchéma d’entrée sortie:

Exemple : Serre agricole8

9 On appelle modèle d’un système (ou processus) la loi qui relie l’entrée (cause) ala sortie (effet).On distingue deux régimes dans le comportement des systèmes :le régime permanent ou établi, caractérisant la réponse stabilisée du système aune entrée quelconque,le régime transitoire, caractérisant l’évolution de la réponse avant que le régimepermanent ne soit atteint.Le régime statique est le régime permanent dans le cas ou l’entrée est constante.

10 Un système est causal si sa sortie y(t) a un instant t0 ne dépend que des valeurs deson entrée u(t) pour t t0Un système a temps invariant a un modèle identique à tout instant (un retard t nechange pas la loi du modèle) :Un système est dit instantané si à un instant donne sasortie ne dépend que de l’excitation a cet instant :y(t) a.u(t)

11 Un système est linéaire s’il satisfait au principe de superposition :Ce cours traite des systèmes causals, linéaires et a temps invariant ; les S.L.T.I.Les systèmes étudies sont analogiques, leurs signaux d’entrée et de sortie sontcontinus a la fois en temps et en amplitude.La relation qui lie leur entrée et leur sortie est des lors une équationdifférentielle linéaire a coefficients constants.

Système statique12

Système dynamique13

Caractéristiques statiques d'un procédé14 La caractéristique statique est la courbe représentative de la grandeur de sortie Sen fonction de la grandeur d'entrée E : S f(E).

Gain statique15 Si le système est naturellement stable, le gain statique Gs est le rapport entre lavariation de la grandeur de sortie s et la variation de la grandeur d'entrée e.

Erreur statique16 Si le système est stable, l'erreur statique εs est la différence entre la consigne w etla mesure x en régime permanent, Es W-X

Notion de boucle17 Le principe en est d’acquérir une information présente sur les sorties et de l’utiliserjudicieusement pour modifier les entrées.Exemple : Voiture

Boucle ouverte18 L’observation n’est pas celle de la grandeurs à maîtriserInconvénientExemple :

Boucle fermée19 Exemple : Douche personnelle Boucle automatique?

Boucle fermée20 Chaîne fermée de régulation

Boucle fermée21 Les éléments fonctionnels

Activité d’automaticien22 Activités essentielles en Automatique : Asservissement Régulation

Régulation industrielle23

Régulation industrielle24

Qualités attendues d’une régulation251La stabilité2La précision3La rapidité4

Qualités attendues : La stabilité261 L’objectif de la régulation est atteint ?

Qualités attendues : La stabilité27 Pourquoi un système régulé deviendrait – il instable?Un système est considéré comme stable, si pour une variation d’amplitude finie dela consigne ou d’une perturbation, la mesure de la grandeur à maîtriser se stabiliseà une valeur finie

Qualités attendues : La stabilité28 Plus le régime transitoire d’un système soumis à une variation est amorti plus il eststable

Qualités attendues : La stabilité29

Qualités attendues : La stabilité30

Qualités attendues : La précision31 Définition : la précision d’un système se mesure donc à l’écart entre la consignedemandée et la mesure en régime permanent : précision statique

Qualités attendues : La précision32 Exemple: Écart relatif Correcteur 1 est de 10%Correcteur 2 est de 30% La précision statique est une qualité importante à respecter pour bien des systèmesrégulés Un écart trop élevée peut s’avérer néfaste au produit

Qualités attendues : La précision33 La précision dynamique s’évalue généralement par le dépassement maximal D que peut prendre lamesure par rapport à la consigne Écart relatif Corr 1 est de 0% Corr 2 est de 30% Dépassement Corr 1 est de D 0 unités Corr 2 est de D 3.5 unités Conclusion

Qualités attendues : La rapidité34 La rapidité d’un système s’évalue par le temps que met la mesure à entrer dans la zone à 5% de sa variation finale (soit entre 95 % et 105 %) : temps de réponse

Qualités attendues : La rapidité35 Exemple : Évaluation de la rapidité des deux correcteurs

Compromis précision - rapidité36 Cahier des charges d’une régulation comporte plusieurs objectifs qui sont parfoiscontradictoires comme la précision et la rapidité;Il est souvent difficile d’obtenir une très bonne précision dynamique avec une trèsgrande rapidité;Un réglage optimale d’une régulation sera toujours le fruit d’une recherche du meilleurcompromis entre la précision et la rapidité.

Méthodologie37 En Automatique, la méthodologie utilisée peut se diviser en plusieurs étapes quisont les suivantes :Cahier des charges : l’automaticien doit prendre connaissance du problème etdes diverses spécifications. Il doit, à cette occasion, clairement définir le système(avec ses entrées et ses sorties) et les performances attendues pour ce dernier.ModélisationAnalyse : il convient dans cette phase d’utiliser des techniques de l’Automatiquepour juger des performances du système (stabilité, temps de réponse, oscillations,précision.) à partir du modèle.Synthèse : la dernière phase consiste a concevoir une loi de commande c’est- adire une boucle “intelligente” qui confère au système ainsi bouclé lesperformances souhaitées si cela est possible.

Modélisation ou représentation des systèmes38 La commande automatique d’un système nécessite une bonne connaissance de soncomportement, en appliquant les lois de la physique On obtient un ensemble d’équation qui décrivent le comportement des différenteséléments du système ces équations constituent un modèle mathématique

Représentation par modèles continus39RLCe(t)v(t)

Système mécanique40K(l)MassemForce de rappelU(t)pistonl(t)

Système linéaire41 Systèmes invariants L’équation différentiel décrit le régime dynamique

Fonction de transfert42 Pour étudier le fonctionnement d’un système il faut le représenter sous la forme d’un schéma fonctionnel selon la figureSignal d’entréeSignalde sortieFonction mathématiqueReprésentant le système Le signal d’entrée et le signal de sortie sont des fonctions du temps; ce sont des fonction temporelles ils représentent lesignal de commande de l’actionneur et le signal du capteur

Fonction de transfert43 L’objectif à atteindre est le suivant: La fonction du signal e(t) est connue et on cherche à déterminer la fonction du signal s(t) qui dépend du système aisaussi de e(t)DescriptionDe l’entrée e(t)

Fonction de transfert44 Chaque procédé industriel comporte plusieurs systèmes élémentaires (actionneur, procédé, capteur), ceux –ci peuvent êtredécrits chacun par une équation différentielle. Alors on ne peut pas multiplier les équations différentielles entre elles et la nouvelle équation trouvée pour le systèmesera compliquée à utiliser. Un nouvel opérateur mathématique est nécessaire pour obtenir, rapidement, une fonction décrivant le système globale. Cet opérateur mathématique est appelé opérateur de Laplace . La méthode de recherche de la fonction du signal s(t) en fonction de e(t) est alors la suivante

Fonction de transfert45DescriptionDe l’entrée e(t)

Transformé de Laplace d’une fonction46 On définit une fonction particulière u(t) décrite ci-dessous fonction existence ou échelon unité.U(t)1 U(t) 0 si t 0 U(t) 1 si t 00t0 L’existence de F(p) nécessite que l’intégrale converge

Transformé de Laplace d’une fonction47 Exemple : Dans la transformée de Laplace, la fonction f(t).u(t) est nulle pour t 0Le temps t 0 correspond au début de l’étudeEn régulation, avant t 0, les grandeurs seront considérées comme constantes.L’instant t 0 sera l’instant à partir duquel une perturbation engendre une variation de la grandeur étudiée.Pour t 0 les perturbations seront considérées comme nullesUnicité de la transformée

Transformé de Laplace d’une fonction48 Linéarité de la transformée de Laplace Si les fonction f et g ont des transformées de Laplace, alors : Dérivation :

49 Intégration :

Table de transformé de Laplace50

Réponse temporelle des systèmes51 Réponse temporelle des systèmes On veut caractériser les systèmes d’une part par leur fonction de transfert et, d’autre part parleur comportement. Ce dernier peut être mis en évidence par la réponse du système à une entréedonnée. On peut apprendre beaucoup des systèmes en observant la réponse aux entrées suivantes L’impulsion L’échelon La réponse impulsionnelle réponse indiciellerampe La sinusoïde réponse fréquentielle

52 Différents entrée classiques Système du premier ordre Réponse impulsionnelle

Exemple53

Réponse indicielle54

Réponse à une rampe55L'écart de traînage

exemple256τ

Réponse fréquentielle57

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Réponse indicielle système du second ordre60

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Notion de stabilité64

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Critère de Routh72

73

Exemple74On souhaite statuer sur la stabilité de ces trois systèmes

Critère graphique75

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Précision79

Précision dynamique80

Précision statistique81

Ecart de position82

83

Ecart de vitesse84

Identification des systèmes linéaires85 Un système linéaire a une fonction de transfert qui peut se calculer en établissant leséquations différentielles qui relient entrée et sortie. Ces équations théoriques sontparfois difficiles à écrire car on n'a pas forcement toute la connaissance du systèmenécessaire : valeurs numériques, processus mis en jeu, non linéarité.Souvent, un modèle dont le comportement ressemble a celui du système a étudier estsuffisant pour élaborer une loi de commande adaptée.

86 Ce cour présente différentes méthodes pour obtenir un modèle sous forme defonction de transfert équivalente en terme de réponse a un système dont on ne saitpas modéliser le comportement.Ces méthodes ne donnent donc pas la fonction de transfert du système mais endonnent une dont la réponse ressemble a celle du système.

Identification en Boucle Ouverte87 On identifie la réponse indicielle en BO du système à celle d'un modèle dont laforme est prédéfinie avec certains paramètres.La méthode consiste a calculer les meilleurs paramètres en fonction de la forme dela réponse réelle.

Méthode de Strejc88 Cette méthode peut s'appliquer aux systèmes dont la réponse indicielle neprésente pas de dépassement. On identifie a une fonction de la forme :Les paramètres a identifier sont donc : le gain statique K, le retard r, la constante de temps τ et l'ordre n.

89Réponses de modèles de Strejc pour K 1, r 1

Méthode90 Pour identifier le système, la méthode peut se décomposer en :Le gain statique est mesure directement par la valeur finale de la sortie. Celle-civaut K.E0 ou E0 est l'amplitude de l‘échelon d'entrée.On trace la tangente au point d'inflexion I pour déterminer deux valeurs : T1 et T2.Relever T1 et T2 en déduire l'ordre n en utilisant le tableau suivantEntre deux lignes du tableau, on choisit la valeur de n la plus petite.

91 Déterminer la constante de temps τ à partir de T2/ τ du tableau.Déterminer le retard r quand il existe a partir de la différence entre la valeur deT1 mesurée et celle donnée par la colonne T1/T2 du tableau.

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Notion de correcteur La sortie du procédé que l’on commande doit évoluer pour suivre la consignedemandée. Il faut donc à tout instant (ou périodiquement en régulation numérique)appliquer, à l’entrée puissance du procédé, la commande appropriée.Cette commande est calculée par un ensemble de traitements d’informations, lecorrecteur, qui utilise des opérateurs (sommateurs, gains, intégrateurs, dérivateurs)élaborant la commande à partir du signal d’erreur et des mesures auxiliairesdisponibles.

Le correcteur97 Sans mettre en jeu d’énergie appréciable, le correcteur constitue la partie «intelligente » de l’asservissement et sa détermination judicieuse confère àl’asservissement ses qualités. Aisé à modifier,le correcteur peut être muni d’une variation automatique de ses paramètres suivantla plage de fonctionnement du procédé, dans le cas où celle-ci évolue lentement.

But de la correction98 Le concepteur de l’asservissement rencontre deux types desituations, auxquelles il doit faire face :assurer une réponse acceptable pour des signaux de consigne définis en fonction du temps(par exemple : cycle de température pour un traitement thermique) ; fournir des caractéristiques fréquentielles (gain, déphasage) demandées dans une bande defréquences (par exemple : asservissement du mouvement d’un haut-parleur dans un systèmehaute fidélité). On impose les qualités de l’asservissement en termes de spécifications temporellesdans le premier cas, en spécifications fréquentielles dans le second cas.

But de la correction99 Le but de la correction est de doter l’asservissement des qualités attendues, par lecalcul et l’implantation du correcteur nécessaire.Les opérateurs essentiels du correcteur sont réalisables à partir d’amplificateurs àcourant continu et d’éléments résistances/capacités.La réalisation numérique peut se transposer aisément à partir d’un schémaanalogique, en conservant la même organisation fonctionnelle et en associant unintégrateur numérique à chaque intégrateur électronique.

Spécifications100 Les spécifications sont formulées dans le domaine temporel ou dans le domainefréquentiel, avec des règles simples d’équivalence entre ces deux domaines.Elles concernent trois aspects : la précision en régime établi (erreurs de position, de vitesse) ; la rapidité (temps de réponse, bande passante) ; l’allure de la réponse (régime transitoire peu oscillant, courbe de réponse en fréquenceplate).

Correcteur PID101Le correcteur standard le plus utilisé dans l’industrie est le régulateur PID(proportionnel intégral dérivé), car il permet de régler à l’aide de ses troisparamètres les performances (amortissement, temps de réponse) d’unerégulation d’un processus modélisé par un deuxième ordre. Nombreux sont les systèmes physiques qui, même en étant complexes, ont uncomportement voisin de celui d’un deuxième ordre, dans une certaine échellede temps. Par conséquent, le régulateur PID est bien adapté à la plupart desprocessus de type industriel et est relativement robuste par rapport auxvariations des paramètres du procédé.

102 Si la dynamique dominante du système est supérieure à un deuxième ordre, ou si lesystème contient un retard important ou plusieurs modes oscillants, le régulateur PIDn’est plus adéquat et un régulateur plus complexe (avec plus de paramètres) doitêtre utilisé, aux dépens de la sensibilité aux variations des paramètres du procédé.

103 La réalisation d’une boucle d’asservissement par PID est un problème trèsimportant, car il influence :La qualité de la régulation sur un site industriel ; Le temps de mise en œuvre de la commande ; et comporte deux aspects essentiels : Leréglage du régulateur PID, pour lequel la connaissance d’un modèle dynamique du procédéd’une part et les performances désirées d’autre part déterminent le choix de la méthode desynthèse ; L’implantation du régulateur dans une version analogique ou numérique et dans une configurationsérie, parallèle ou mixte. De plus en plus, les régulateurs PID commercialisés offrent la possibilitéd’autoréglage, qui réalise le calcul automatique des paramètres, à la demande del’utilisateur.

Régulateur PID104e(t) w(t) - y(t)La commande u(t) est construite sur la base des signaux de consigne w(t) etde mesure y(t) de la grandeur réglée selon la loi de commandeu(t) u (w(t), y(t))

Régulateur non linéaire105

106

107 la non-linéarité de ces régulateurs simples rend difficile leur synthèse sur la based'un cahier des charges fixant les performances du système asservi. Malgré cela,ils sont fréquemment utilisés pour des applications dont l'actionneur supporte uneforte sollicitation et pour lesquelles une oscillation constante de la grandeur régléey(t) autour de la consigne w(t) est admissible.Un exemple d'application est la régulation du courant fournit par une alimentationà découpage

Régulateur à action proportionnelle (P)108 Le régulateur à action proportionnelle, ou régulateur P, a une action simple etnaturelle, puisqu'il construit une commande u(t) proportionnelle à l'erreur e(t).Cette action s'apparente à un effet ressort (ressort de rappel).Loi de commande du régulateur P :

109Le Schéma fonctionnel du régulateur est le suivant

110Réponse indicielle du régulateur P (idéal). La réponse en traitillé rappelle qu'aucun systèmephysique ne peut réagir statiquement, i.e. sans retard.On voit que le régulateur P assure une transmission instantanée du signal d’erreur ; dans ce sens, sonaction est relativement dynamique : sa commande ne dépend pas du passé, ni d’une tendance, maissimplement de ce qui se passe à l’instant présent.

Avantages et inconvénients de l’action P111 Une limitation du régulateur P est son incapacité à annuler notamment l’erreurstatiqueAction proportionnelle :précision améliorée / stabilité diminuéetemps de montée réduit et plus de dépassementtemps de réponse pas forcément diminué

Réalisation pratique d’un régulateur P112

11

Présentation du Module 2 Automatique linéaire continu Introduction généralités Modélisation Représentation de système Systèmes de premier et deuxième ordre : réponse temporelles, réponses en fréquence Stabilité Notions sur la correction des systèmes linéair

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