BUKU AJAR STRUKTUR ALJABAR - Direktori File UPI

3y ago
113 Views
5 Downloads
671.81 KB
30 Pages
Last View : 2d ago
Last Download : 2m ago
Upload by : Milo Davies
Transcription

A.Judul Buku AjarBUKU AJARSTRUKTUR ALJABAR( Dilengkapi Dengan Aktivitas di Laboratorium Komputer )B.Daftar Isi Buku AjarHalamanKata PengantarDaftar IsiBab I PandahuluanPengantar Bahasa ISETLMetode PembuktianLembar Kerja Mahasiswa 1Pengantar Teori HimpunanLembar Kerja Mahasiswa 2PemetaanLembar Kerja Mahasiswa 3Operasi BinerSoal-SoalBab II Pengantar Grup2.1. Lembar Kerja Mahasiswa 42.2. Grupoida, Semigrup dan Monoida2.3. Lembar Kerja Mahasiswa 52.4. Definisi Grup dan Sifat-Sifatnya2.5. Lembar Kerja Mahasiswa 62.6. Grup Siklis2.7. Lembar Kerja Mahasiswa 72.8. Grup Permutasi2.9. Lembar Kerja Mahasiswa 82.10. Grup Dihedral2.11. Soal-SoalBab III Subgrup3.1Lembar Kerja Mahsiswa 91

3.2Subgrup dan Sifat-sifatnya3.3Lembar Kerja mahasiswa 103.4Teorema Lagrange dan Koset3.5Lembar Kerja Mahasiswa 113.6Subgrup Normal3.7Lembar Kerja mahasiswa 123.8Grup Kosien3.9Soal-SoalBab IV Teorema Fundamental Homomorfisma4.1 Lembar Kerja Mahasiswa 134.2 Homomorfisma dan Kernels4.3 Lembar Kerja Mahasiswa 144.4 Isomorfisma Grup4.5 Lembar Kerja Mahasiswa 154.6 Teorema Fundamental Homomorfisma4.7 Soal-SoalD. Daftar PustakaDurbin, J.R. ( 1992). Modern Algebra An Introduction Thrid Edition. NewYork. John Wiley & Sons, Inc.Dubinsky, E dan Leron, U. (1993). Learning Abstract Algebra with ISETL.New York. Springer - VerlagMalik,D.S dan Mordeson, J.N. (1977). Fundamentals of Abstract Algebra. NewYork. Mc.Graw-Hill Companies, Inc.Raisinghania,M.D & Aggarwal, R.S (!980). Modern Algebra. New Delhi. S.Chand & Company Ltd.C.Manfaat Buku AjarBuku yang berjudul “ Buku Ajar STRUKTURALJABARyangDilengkapi dengan Aktivitas di Laboratorium “ merupakan suatu buku yangdisusun untuk memenuhi kebutuhan perkuliahan dan praktikum yang telah2

berjalan selama ini.Mata kuliah ini diberikan pada mahasiswa jurusanmatematika pada semester 4 dan 5.Buku ini dilengkapi dengan Lembar Kerja Mahasiswa yang merupakanpedoman kerja mahasiswa dalam mengikuti praktikum di LaboratoriumKomputer. Pada kegiatan ini mahasiswa ditugaskan untuk menyusun programdengan menggunakankonstruktivismemental.serangkaian instruksiAdapuntujuanISETL yang mengarah padadilaksanakannyaaktivitasdilaboratorium komputer supaya mahasiswa mempunyai persiapan dalam mengikutiperkuliahan, karena dengan aktivitas di laboratorium ini mahasiswa akanmengetahui isi materi yang akan di berikan pada kegiatan kelas. Disamping itubuku ini disusun untuk membantu mahasiswa untuk menguasai materi-materidalam mata kuliah Struktur Aljabar dengan bantuan media hasil dari kemajuanteknologi.Buku ini dilengkapi dengan contoh-contoh yang lebih mengarahkanmahasiswa untuk bisa menggunakan definisi dan teorema, karena berdasarkanpengalaman sebagai pengajar selama ini mahasiswa sering mengalami kesulitanuntuk menggunakan definisi dan teorema dalam menyelesaikan soal-soal aplikasiyang menuntut pemahaman kedua hal tersebut. Dengan beberapa tujuan diatasdiharapkan buku ini dapat bermanfaat bagi mahasiswa dan para pemakai lainnyayang ingin mencoba memahami materi-materi Aljabar Modern dengan bantuanprogram komputer.Contoh buku Ajar yang akan disusunBAB IPENDAHULUAN1.1. Pengantar Bahasa ISETL1.1.1. PemrogramanDewasa ini perkembangan teknologi berkembang dengan pesatnya dandapat digunakan dalam segala bidang, diantaranya bidang kesehatan, bidangperbankan, bidang pendidikan dan sebagainya. Salah satu hasil perkembangan3

teknologi yang dapat digunakan dalam bidang pendidikan yaitu komputer.Komputer disebut sebagai suatu perangkat keras yang tidak bisa melakukansesuatu kalau tidak ada instruksi yang mengaturnya. Instruksi-instruksi yangdiberikan kepada komputer agar komputer dapat melaksanakan tugas-tugastertentu dikenal dengan sebutan program. Program adalah sekumpulan kode.Kode-kode yang digunakan dapat bermacam-macam dan bergantung padasoftware yang digunakan.Secara garis besar langkah kerja dalam pembuatan program sebagai berikut:1.Menulis program2.Menjalankan program3.Apabila ada kesalahan penulisan maupun logika diperbaiki dan kembali kelangkah 2.ISETL merupakan salah satu software yang dikembangkan untukmembantu mahasiswa membangun atau mengkonstruksikonsep-konsepmatematika melalui komputer. ISETL singkatan dari Interaktive SET Language(Bahasa SET Interaktif).ISETL merupakan bahasa pemogramananmatematika yang memilikikarakteristik;Syntax-nya sangat dekat dengan bahasa atau notasi matematika seharihari, dan antara satu syntax dengan lainnya sangat erat berkaitan.Menampilkan ciri-ciri matematika yang dilengkapi dengan sifatsifatnya,. Seperti himpunan terhingga dan barisan terhingga yangelemen-elemennya terdiri dari beberapa, dapat menampilkan logikamatematika dan pernyataan-pernyataannya, fungsi sebagai suatuproses, himpunan sebagai data terurut, relasi dari himpunan terurutdan lain-lain.Semua tipe data adalah objek-objek kelas kesatu dalam arti bahwaobjek-objek itu dapat muncul dalam ekspresi yang lain yangmengakibatkan objek tersebut berarti dalam konteks matematika.Contohnya himpunan-himpunan dan barisan –barisan dapat memuatelemen-elemen dengan tipe data yang berbeda.4

ISETL yang dikembangankan terdiri dari dua macam, yaitu ISETL(Interaktive SETL) untuk Unix, DOS, Macintosh yang dikembangkan oleh ClarkUniverity dan ISETLW (ISETL for Woindows) yang dikembangkan oleh JohnKirchmeyer di Mount Union College.1.1.2. Memulai ISETLSebelum memulai kerja, sebaiknya Anda membuat Folder untukmenyimpan hasil kerja, langkahnya sebagai berikut:1.Klik tombol Start milik windows, Pilih Program, Pilih windows Exploreratau langsung aktifkan Windows Explorer.2. Pilih File New Folder (langkah ini menciptakan folder baru dengan namaNew Folder)3. New Folder akan tersorot, kemudian ketikkan LatISETLSetelah membuat folder untuk menyimpan hasil kerja kita, baru kita masuk kelingkungan ISETL dengan langkahnya sebagai berikut:1. Klik Start ,kemudian pilih program (perhatikan gambar 1.1)Gambar 1.1 Cara Memulai ISETL Melalui Tombol Start2. Kemudian pilih dan klik program ISETL, atau klik ISETL Shorcut Bar(perhatikan gambar 1.2) ,tunggu sampai lembar kerja ISETL ditampilkan(perhatikan gambar 1.3 dan gambar 1.4).5

Gambar 1.2 Tampilan ISETL Shorcut Bar3. Lembar kerja ISETL terdiri dari dua layar yang bertumpuk seperti gambarberikut;Gambar 1.3 Tampilan layar ISETL yang bertumpuk Layar depan digunakan untuk menulis program dalam bahasa ISETL,layarnya dapat dilihat pada gambar berikut6

Gambar 1.4 Tampilan layar depan ISETL Layar belakang digunakan untuk menulis program untuk menampilkangrafik atau gambar. Tampilan layar dapat dilihat pada gambar berikut;Gambar 1.5 Tampilan layar belakang ISETLPada buku ini layar yang digunakan adalah layar depan, karena layar iniberfungsi untuk menuliskan dan mengeksekusi program. Berikut adalahpenjelasan tentang menu dan tool bar dari layar depan.7

Gambar 1.6. Lembar Depan ISETLPerhatikan lembar kerja yang ditampilkan (gambar 1.5), di pojok kiri atastertera prompt, ini adalah artinya ISETL siap menerima input atau tanda untukmemulai kegiatan penulisan program. Apabila satu pernyataan dengan pernyataanlainnya berbeda, maka di akhir setiap pernyataan harus diikuti oleh tanda titikkoma (;) atau end;. Kemudian diikuti dengan menekan tombol ENTER. Apabilasetelah menekan tombol ENTER muncul promt artinya ISETLbelummemberikan hasil, program belum lengkap / selesai atau ada kesalahan. Andaperbaiki kesalahannya atau Anda mengetik ulang program sambil memperbaikikesalahannya dan akhiri dengan ; diikuti dengan menekan tombol ENTER.Contoh 1.1.1: 2 5;5;Contoh 1.1.2: n : 23 mod 7; n;2;8

Dalam contoh 1.1, kita menginputkan data, yaitu 2 5, ketika kita menkantombol ENTER, pada baris bawahnya muncul angka 5 dan tidak muncul promt artinya hasil dari input “2 3” adalah 5 atau sebagai outputnya adalah 5, tanda titikkoma (;) akan muncul secara otomatis, sedangkan dalam contoh 1.2 pada bariskeduanya secara otomatis muncul promt artinya ISETL belum bisa mencetakoutputnya, apabila kita ingin mengetahui hasil dari “ n : 23 mod 7” maka haruskita tulis n; sehingga pada baris berikutnya muncul 2; artinya hasil dari “n : 23mod 7” adalah 2.Contoh 1.1.3: a : 0; b : 1; c : 2; a : c; b : a; a : b; a; b; c;Menurut Anda, berapa nilai a, b, dan c yang akan dihasilkan dari contoh 1.3Apabila setelah selesai membuat program, Anda ingin menyimpan kedalam folder Anda, maka untuk menyimpan kerja Anda lakukan langkah-langkahberikut ini:1. Pilih menu File, kemudian pilih Save As ., langkah ini menampilkankotak dialog pada gambar 1.5.2. Pilih folder yang akan menyimpan hasil kerja Anda, dengan cara klikfolder LatISETL (lihat gambar 1.6.)3. Pada File name ketik nama filenya misal Latih 1 (lihat gambar 1.6)4. Klik tombol Ok (lihat gambar 1.6)9

Gambar 1.7 Tampilan Menu Untuk Menyimpan Hasil KerjaPerhatikan menu File, berisi sejumlah perintah seperti:New yaitu untuk membuat lembar kerja baruOpen yaitu untuk membuka hasil kerja yang sudah tersimpan (di disket,CD, atau hardisk)Close yaitu untuk menutup lembar kerja atau untuk keluar dari lembarkerja yang sedang aktifSave yaitu untuk menyimpan hasil kerja tanpa mengubah nama filenyaSave As yaitu untuk menyimpan hasil kerja dengan atau tanpa mengubahnama filenyaPrint, yaitu untuk mencetak hasil kerjaDos shell untuk berpindah ke layar MS-DOS promptRun untuk menjalankan programInterupt untuk menghentuikan sementara programExit yaitu untuk keluar dari ISETLGambar 1.8 Kotak Dialog Untuk Menyimpan Hasil KerjaPada Layar Depan ISETL terdapat toolbar yang berisi perintah OPEN,SAVE, PRINT, RUN, INTERRUPT, UNDO, CUT,COPY, PASTE dan EXIT10

TOOLBARGambar 1.9 Tampilan Layar depan dengan TOOLBARUntuk menjalankan perintah-perintah tersebut dapat diklik langsung oleh mouse,adapun kegunaan masing-masing sama dengan yang ditampilkan oleh menu File.Gambar 1.10 Contoh Tampilan Lembar KerjaLangkah-langkah berikut ini adalah untuk menjalankan (RUN) program:1. Apabila program yang Anda ketik merupakan program sederhana, seperticontoh 1.1 dan contoh 1.2., maka ketika Anda menekan tombol ENTER11

setelah Anda ketik ; pada akhir pernyataan, akan langsung tertera padabaris berukutnya hasil dari program tersebut.2. Andaikan Anda melakukan kesalahan, maka akan ada muncul komentar(ERROR), Anda bisa memperbaiki kesalahan tersebut dengan caramengcopy pernyataan tersebut kemudian memperbaikinya. Untukmenjalankan program tersebut Anda memberi tanda pada pernyataantersebut (lihat gambar 1.12), kemudian klik Mouse sebelah kanansehingga muncul Menu RUN.Gambar 1.11 Tampilan Untuk Menjalankan programApabila Anda ingin membuka lembar kerja yang baru, lakukan langkah-langkahberikut ini:1. Klik menu File,2. Pilih dan klik New (perhatikan gambar 1.13), sehingga muncul tampilanseperti pada gambar 1.3.12

Gambar 1.12. Tampilan Membuka Lembar Kerja Baru1.1.3. Konstruksi Matematika dengan ISETLPada bagian ini akan dibahas mengenai operasi biner, konstanta, variable,struktur program, dan lain-lain.1.Objek-objeks Sederhana dan Operasi BinerOperasi- Operasi aritmatika dengan program ISETL dinotasikan dengan ( )untuk penjumlahan,(-) untuk pengurangan, (*) untuk perkalian, (**) untukperpangkatan, dan (/) untuk pembagian.Contoh: 3 **2; (jika ditekan Enter atau Run menghasilkan )9 13 * (-233,8); (jika ditekan Enter atau Run mengahsilkan )-3039.400 170 237 – 460 *2 ;( Jika ditekan Enter atau Run menghasilkan )-51313

2.Nilai Boolean.Bahasa ISETL untuk menyatakan nilai benar atau salah disebut NilaiBoolen.AtauNilai Boolean adalahsuatu pernyataan yang menuntutjawaban benar atau salah.Contoh : is number (3.7);true is number (3 4);false3.Pernyataan BerkuantorDengan bahasa ISETL kita dapat menulis program yang merupakanpernyataan bersyarat “jika maka “ dalam bahasa ISETL dilambangkandengan “ impl” , “ jika dan hanya jika " dilambangkan dengan“biimpl” dan pernyataan berkuantor lainnya.Pernyataan-pernyataandisajikan dengan ekspresi boolean.Contoh : ( 3 3) impl (3 2 1 ); ( jika ditekan Enter atau Run mengasilkan )true (2/ 3 ) and ((5.2/3.1) 0.9); (jika ditekan Enter atau Run menghasilkan)true.4.Himpunan TerurutISETL dapat menyajikan objeks-objek dalam suatu himpunan sebagai suatususunan yang terurut.Contoh : [1,2,3,4]; N : [0.19]; ( N didefinisikan sebagai suatu himpunan bilangan dari 0s.d 19 ). N; ( jika ditekan Enter atau Run menghasilkan )[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19] H : [0,2.19];14

H; ( jika ditekan Enter atau Run coba tebak hasil apa yang akan muncul!)5.Pembentukan Himpunan dengan Notasi Pembentuk HimpunanISETL dapatmengkonstruksi himpunan dan himpunan terurutdengannoitasi pembentuk himpunan.Contoh : Z20 : {0.19}; G : { g : g in Z20 even (g) }; G; ( Jika ditekan Enter atau Run menghasilkan ){0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18} H : { ( 5 * g ) mod 20 : g in Z20 }; H; (Jika ditekan Enter atau RUN mengasilkan ){ 0, 5, 10, 15 };6.Operasi – Operasi Pada HimpunanOperasi –operasi himpunan pada ISETL dinotasikan “ union “untukmenyatakan gabungan antara dua himpunan, “ inter” untuk menyatakanirisan antara dua himpunan, “ subset “ untuk menyatakan himpunan bagiandari suatu himpunan, (-) untuk menyatakan selisih antara dua himpunan, {}untuk menyatakan himpunan kosong, (#) untuk menyatakan kardinalitas( banyak elemen )dari suatu himpunan, dan “ pow “ untuk menentukanhimpunan kuasa dari suatu himpunan, sementara “ arb “ digunakan untukmengambil sembarang elemen dari suatu himpunan.Contoh : G : { g : g in Z20 even (g) }; H : { ( 5 * g ) mod 20 : g in Z20 }; G inter H; G union H; #G; G – H; ( jika ditekan Enter atau Rundiperoleh){0,10};{0,2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18 }10{2, 4, 6, 8, 12, 16, 18 };15

7.KuantifikasiPernyataan logika kuantifikasi digunakan dalam matematika untukmenyajikan pernyataan bersyarat, khususnya dalam definisi, teorema ataukonstruksi konsep lainnya.Ada dua pernyataan Kuantifikasi yaitu; kuantifikasi universal dankuantifikasi eksistensial. Kedua kuantifikasi tersebut memiliki struktur yangsama dalam pembentukannya.Contoh :- Kuantifikasi Universal forall x in Z20 ( x 0 ) mod 20 x )- Kuantifikasi Eksistensial e : choose x in Z20 ( forall g in Z20 (x g ) mod 20 g);8.Fungsi dalam ISETLTerdapat beberapa cara untuk menyajikan fungsi dalam bahasa ISETL,Namun hal terpenting untuk menyajikan fungsi dalam ISETL adalah kata“func” yang menunjukkan bahawa kita akan bekerja dalam program yangberbentuk fungsi. Ada tiga untuk menyususn suatu fungsi dengan bahasaISETL yaitu,baris utama yang memuat kata kunci funcdiikuti olehserangkaian input dalam tanda kurung dan dipisahkan oleh tanda baca koma,isi yang berisi serangkaian pernyataan dalam bahasa ISETL, dan barisakhir yang terdiri dari kata kunci end.Contoh : fact : func (n ); return % * [1.n]; end; ( funsi untuk menentukan n factorial) fact (5); fact(3); fact(0); ( jika ditekan Enter atau Run diperoleh)12061 Z9 : {0.8}; Inv: func(x);16

if x in Z9 then return choose g in Z9 ( x* g ) mod 9 1; end; end( fungsi ini untuk menetukan invers dari g dalam Z9 ). Inv(5); Inv(8); Inv(3); ( jika ditekan Enter atau Run diperoleh )416Contoh sub pokok bahasan dari bab IIBab IIPengantar GRUP2.3 Lembar Kerja Mahasiswa 51. Perhatikan dahulu instruksi-instruksi di bawah ini dan tebaklah dahulu apayang akan diperoleh dari hasil instruksi tersebut sebelum menjalankannya.Selanjutnya run intruksi tersebut dan periksa tebakan anda. Ketika tebakananda tidak sesuai dengan hasil yang muncul pada layar, kesalahan apa yangsaudara lakukan?, coba jelaskan perintah apa yang dikerjakan dari instruksiISETL tersebut Z20 : [0.19]; G : Z20; o : func (x, y); if ( x in G and y in G ) then return ( x y) mod 20; end; end; is closed : func (G,o);17

return forall x, y in G x.o y in G; end func; is closed(G,o); is assoc : func ( G,o); return forall x, y, z in G ( x .o y).o z x .o ( y .o z); end func; is assoc ( G, o); has identity : func (G,o); return exists e in G ( forall x in G x .o e x); end func; has identity (G,o); identity identity : func (G, o); return choose e in G ( forall x in G e .o x x and x .o e x); end; identity (G, o); has inverses : func(G, o); local e; e : identity (G,o); return is defined(e) and ( forall x in G exists x' in G x .o x' e); end; has inverses(G, o); inverses of element x inverse : func(G, o, x);18

local e; e : identity(G, o); return choose x' in G x' .o x e; end; inverse(G,o,5); inverse(G,o,12); inverse(G, o,15);2. Susun instruksi ISETL untuk setiap pasangan himpunan G dengan operasibiner o dari pernyataan-pernyataan di bawah ini, selanjutnya untuk masingmasing soal tersebut gunakan instruksi func pada soal 1. Soal manakah yangmemenuhi semua sifat pada soal 1.a. G adalah Z12 ( bilangan bulat modulo 12 ) dan o adalah a12( penjumlahan modulo 12)b. G adalah Z12 ( bilangan bulat modulo 12) dan o adalah m12 ( perkalianmodulo 12)c. G adalah twoZ12 ( bilangan bulat genap modulo 12) dan o adalah m12( perkalian modulo 12)d. G adalah Z12 – {0} dan o adalah m12e. G adalah Z5 (bilangan bulat mod 5) dan o adalah m5 (perkalian modilo 5)f. G adalah Z5 –{0} dan o adalah m5g. G adalah S3 ( himpunan permutasi dari {1,2,3}) dan o adalah komposisipermutasi.Catatan;Soal - soal yang muncul pada aktivitas laboratorium digunakan untukmemperkenalkan ide dari definisi grup yang akan disajikan berikut;2.4Definisi Grup dan Sifat-Sifatnya2.4.1 Definisi GrupPada bab terdahulu telah didefinisikan operasi biner pada himpunan takkosong yang memenuhi sifat ketertutupan. Pada bagian ini akan dipelajari secarakhusus suatu Sistem Aljabar yang disebut Grup.19

Definisi 2.4.1.1Suatu himpunan tak kosong G bersama-sama dengan operasi biner * disebutGrup yang dinotasikan ( G, * ) jika dan hanya jika;1. Memenuhi Sifat Tertutup;G berlaku a * bUntuk setiap a, bG2. Memenuhi Sifat Assosiatif;Untuk setiap a, b, cG berlaku ( a * b ) * c a * ( b * c )3. Memiliki Elemen Identitas;Terdapat eG ( e elemen identitas ) sedemikian sehinggaaGberlaku a * e e * a a.4. Memiliki Elemen Invers;Untuk setiap aG,a1G sedemikian sehingga berlaku a * a1 a 1*a eDimana e adalah elemen identitas pada G.Suatu grup (G, * ) yang memenuhi sifat komutatif yaitu untuk setiap a, bberlaku a * b b * a , grup tersebutGdisebut Grup Komutatif atau GrupAbelian.Contoh 2.4.1.21. Z himpunan bilangan bulat,Operasi biner pada Z adalah operasipenjumlahan ( ). ( Z, ) adalah grup dan merupakan Grup Abelian.0,1, 2, 3, 4, 5 , himpunan bilangan bulat modulo enam. Operasi2. Z 6 biner pada Z 6 adalah penjumlahan modulo enam, ( Z 6 ,6) merupakansuatu grup dan merupakan grup abelian.( Z6 ,6) adalah grup dapat dilihat dalam bentuk Tabel Cayley berikut;20

0123450012345112345022345013345012445012355012346Z 6 dengan operasi binerdari tabel diatas dapat dilihat bahwamemenuhi sifat ketertutupan, selanjutnya untuk setiap a, bsifat assosiatif,asehinggadan ada elemen identitas e 06G berlakuG sedemikianG berlaku a * e e * a a, dan setiap elemen di Z 61memiliki invers yaitu; 0 0, 11 5, 21 4, dan 31 3, daseterusnya.3. Misalkan Q adalah himpunan bilangan rasional, dan misalkanG ab 2 a, b Q . Operasi biner pada G adalah penjumlahan,selidiki apakah (G, ) merupakan suatu grup ?.Jawab :DiketahuiG penjumlahanab 2 a, b Q . Dan operasi biner pada G adalahartinyauntuka1b1 2 ,dana2b2 2Gdidefinisikan;( a1b1 2 ) ( a 2b2 2 ) ( a1a 2 ) ( b1b2 ) 2i. Uji Ketetertupan;Diambil a1b1 2 dana2b2 2G dengan a1 , b1 , a 2 , b2Gmaka21

( a1a1b1 2 ) ( a 2a2b2 2 ) ( a1Q dan b1b2a 2 ) ( b1Q , sehingga ( a1b2 ) 2 , karenab1 2 ) ( a 2b2 2 )G . Jadi sifat tertutup dipenuhi.ii. Uji Sifat Assosiatif ;Diambila1b1 2 ,a1 , b1 , a 2 , b2 , a 3 , b3(( a1b1 2 ) ( a 2a2b2 2 dana3b3 2G denganG makab2 2 )) ( a3b3 2 )b2 ) 2 ) ( a3 ( ( a1a 2 ) ( b1 ( ( a1a 2 ) a 3 ) (( b1 ( a1 ( a 2b3 2 )b2 ) b3 )a3 )) ( b1 ( b22b3 )) 2 ( a1 b1 2 ) (( a 2a 3 ) ( b2b3 )) 2 ( a1 b1 2 ) (( a 2b2 2 ) ( a3b3 2 ))Dari uraian tersebut t

Kata Pengantar Daftar Isi Bab I Pandahuluan Pengantar Bahasa ISETL Metode Pembuktian Lembar Kerja Mahasiswa 1 Pengantar Teori Himpunan Lembar Kerja Mahasiswa 2 Pemetaan Lembar Kerja Mahasiswa 3 Operasi Biner Soal-Soal Bab II Pengantar Grup 2.1. Lembar Kerja Mahasiswa 4 2.2. Grupoida, Semigrup dan Monoida 2.3. Lembar Kerja Mahasiswa 5 2.4.

Related Documents:

bidang Aljabar pada Program Studi S1 Matematika, S1 Ilmu Aktuaria, S2 Matematika dan S3 Matematika antara lain: Program Studi Mata Kuliah S1 Matematika Teori Bilangan, Aljabar Linear, Aplikasi Aljabar Linear, Matematika Diskret, Struktur Aljabar I , Struktur Aljabar

Analisis Buku Ajar Biologi SMA Kelas X Di Kota Bandung Berdasarrkan Literasi Sains, 1–13. Adisendjaja, Y. H., & Romlah, O. (2007). Analisis Buku Ajar Sains Berdasarkan Literasi Ilmiah Sebagai Dasar Untuk Memilih Buku Ajar Sains ( Biologi ) Literasi Ilmiah Sebagai Dasar Untuk Memilih Buku Ajar Sains (Biologi). FPMIPA-UPI, 1–8.

buku ajar dalam pembelajaran Akidah Akhlak yaitu buku ajar siswa Akidah Akhlak untuk SMA/MA kelas X. Buku ajar yang telah diterbitkan oleh Kementerian Agama Republik Indonesia Tahun 2014 tentunya masih banyak

penyempurnaan buku ajar ini. 6. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah memberikan banyak bantuan kepada tim penulis sehingga buku ini dapat terwujud. Tim penulis berharap semoga buku ajar ini dapat menjadi salah satu buku yang dapat membentuk karakter generasi penerus bangsa yang sesuai dengan nilai-nilai Pancasila.

vi Buku Ajar Keperawatan Kesehatan JiwaTeori dan Aplikasi Praktik Klinik buku ini diharapkan dapat menjadi dasar mahasiswa memasuki dunia keperawatan dan menjadi seorang perawat professional dalam memberikan pelayanan keperawatan jiwa pada klien dan keluarga dalam berbagai kondisi, baik ditatanan rumah sakit maupun komunitas. Buku ajar ini disusun dengan mengacu pada kurikulum pendidikan .

Umpamanya, guru akan menulis unsur tanah, materi buku ajar dimulai dari tanah yang pernah dilihat siswa. Jika kita dapat memulai buku dari yang dikenal siswa, konsep yang akan diberikan akan mudah dikenali dan dipahami siswa. Buatlah Peta Pikiran Untuk mempermudah menjaring cakupan materi buku ajar yang akan ditulis, peta pikiran dapat membantunya.

BUKU AJAR MATAKULIAH GEOMETRI TRANSFORMASI TINJAUAN MATAKULIAH A. Deskripsi Singkat Mata Kuliah Mata kuliah ini membahas tentang geometri dari sudut pandang grup transformasi, konsep-konsep grup sebagai unsur dari struktur aljabar diterapkan melalui operasi pada transformasi atas bangun geometri di bidang datar.

Bilangan, Aljabar, Geometri dan Pengukuran, Statistika dan Peluang.Aspek yang dinaggap abstrak dan termasuk sulit dipahami siswa adalah aspek aljabar. Pada beberapa negara, siswa mulai mempelajari aljabar setelah 6 tahun belajar aritmetika, geometri, dan mungkin beberapa penanganan data, di sekolah dasar.