Fisika Matematika II 2011/2012
Fisika Matematika II2011/2012diterjemahkan dari:Mathematical Methods for Engineers and Scientists 1, 2, dan 3K. T. TangPenterjemah: Imamal Muttaqiendibantu oleh: Adam, Ma’rifatush Sholiha, Nina Yunia, Yudi Fadillah dan SalehKurniaJURUSAN FISIKAFAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGIUNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATISEPTEMBER 2011
ii
Daftar Isi1 Nilai Eigen Matriks1.11Nilai Eigen dan Vektor Eigen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.1.1Persamaan Sekular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.1.2Sifat-sifat dari Polinomial Karakteristik . . . . . . . . . . . . . . . . .81.1.3Sifat-sifat Nilai Eigen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10Beberapa Terminologi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111.2.1Konjugasi Hermitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111.2.2Ortogonalitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131.2.3Proses Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14Matriks Uniter dan Matriks Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161.3.1Matriks Uniter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161.3.2Sifat-sifat Matriks Uniter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171.3.3Matriks Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171.3.4Elemen Bebas dari Matriks Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . .191.3.5Transformasi Ortogonal dan Matriks Rotasi . . . . . . . . . . . . . . .20Diagonalisasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .221.4.1Transformasi Similaritas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .221.4.2Diagonalisasi Matriks Persegi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .251.4.3Bentuk Kuadratik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28Matriks Hermitian dan Matriks Simetrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .311.5.1Definisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .311.5.2Nilai Eigen Matriks Hermitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .321.5.3Pendiagonalan Matriks Hermitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .331.5.4Diagonalisasi Simultan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .411.6Matriks Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .441.7Fungsi sebuah Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .461.7.1Fungsi Polinomial sebuah Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .461.7.2Evaluasi Fungsi Matriks dengan Pendiagonalan . . . . . . . . . . . . .471.7.3Teorema Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .511.21.31.41.5
ivDAFTAR ISI2 Transformasi Vektor dan Tensor Cartesian2.12.22.359Sifat-sifat Transformasi Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .602.1.1Transformasi Vektor Posisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .602.1.2Persamaan Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .622.1.3Sudut Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .632.1.4Sifat-sifat Matriks Rotasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .662.1.5Definisi Vektor dan Skalar dalam Sifat Transformasi . . . . . . . . . .69Tensor Cartesian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .732.2.1Definisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .732.2.2Tensor Delta Kronecker dan Tensor Levi Civita . . . . . . . . . . . . .752.2.3Outer Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .782.2.4Kontraksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .792.2.5Konvensi Penjumlahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .812.2.6Medan Vektor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .832.2.7Aturan Pembagian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .862.2.8Sifat Simetri Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .872.2.9Pseudotensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88Contoh Fisika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .922.3.1Tensor Momen Inersia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .922.3.2Tensor Stress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .932.3.3Tensor Strain dan Hukum Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .963 Transformasi Laplace3.13.2Definisi dan Sifat-sifat Transformasi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.1.1Transformasi Laplace - Sebuah Operator Linier . . . . . . . . . . . . . 1033.1.2Transformasi Laplace untuk Turunan3.1.3Substitusi: Pergeseran s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.1.4Turunan sebuah Transformasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.1.5Tabel Transformasi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108. . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Solusi Persamaan Diferensial dengan Transformasi Laplace3.2.13.3103. . . . . . . . . . 108Menyelesaikan Persamaan Diferensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118Transformasi Laplace Fungsi Impulsif dan Fungsi Tangga . . . . . . . . . . . 1213.3.1Fungsi Delta Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.3.2Fungsi Tangga Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253.4Persamaan Diferensial dengan Fungsi Gaya Diskontinu . . . . . . . . . . . . . 1273.5Konvolusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1323.63.5.1Integral Duhamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1333.5.2Teorema Konvolusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134Sifat-sifat Transformasi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
vDAFTAR ISI3.6.1Transformasi Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1373.6.2Integrasi Transformasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1383.6.3Penskalaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1393.6.4Transformasi Laplace Fungsi Periodik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1393.6.5Invers Transformasi Laplace Melibatkan Fungsi Periodik . . . . . . . . 1413.6.6Transformasi Laplace dan Fungsi Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . 1423.7Ringkasan Operasi Transformasi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1433.8Aplikasi Tambahan Transformasi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1453.93.8.1Menghitung Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1453.8.2Persamaan Diferensial dengan Koefisien Variabel . . . . . . . . . . . . 1483.8.3Persamaan Integral dan Integrodiferensial . . . . . . . . . . . . . . . . 150Inversi dengan Integral Kontur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1524 Deret Fourier4.14.24.3159Deret Fourier untuk Fungsi Berperiode 2π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1594.1.1Ortogonalitas Fungsi Trigonometrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1594.1.2Koefisien Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1614.1.3Ekspansi sebuah Fungsi dalam Deret Fourier . . . . . . . . . . . . . . 162Konvergensi Deret Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1654.2.1Kondisi Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1654.2.2Deret Fourier dan Fungsi Delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166Deret Fourier Fungsi Berperiode Sebarang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1684.3.1Penggantian Interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1684.3.2Deret Fourier untuk Fungsi Genap dan Ganjil . . . . . . . . . . . . . . 1754.4Deret Fourier Fungsi Nonperiodik pada Selang Terbatas . . . . . . . . . . . . 1774.5Deret Fourier Kompleks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1824.6Metode Lompatan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1854.7Sifat-sifat Deret Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1904.84.7.1Teorema Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1904.7.2Jumlah Pangkat Bolak-balik Bilangan Bulat . . . . . . . . . . . . . . . 1914.7.3Integrasi Deret Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1944.7.4Turunan Deret Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195Deret Fourier dan Persamaan Diferensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1964.8.1Persamaan Diferensial dengan Syarat Batas . . . . . . . . . . . . . . . 1974.8.2Osilator Periodik Teredam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2005 Transformasi Fourier5.1209Integral Fourier sebagai sebuah Batas dari Deret Fourier . . . . . . . . . . . . 2095.1.1Integral Fourier Cosinus dan Sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2135.1.2Transformasi Fourier Cosinus dan Sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
viDAFTAR ISI5.2Tabel Transformasi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2195.3Transformasi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2195.4Transformasi Fourier dan Fungsi Delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2255.55.65.75.4.1Ortogonalitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2255.4.2Transformasi Fourier Melibatkan Fungsi Delta . . . . . . . . . . . . . 2265.4.3Pasangan Transformasi Fourier Tiga Dimensi . . . . . . . . . . . . . . 228Beberapa Pasangan Transformasi Penting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2315.5.1Fungsi Pulsa Persegi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2315.5.2Fungsi Gaussian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2315.5.3Fungsi Meluruh secara Eksponen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233Sifat-sifat Transformasi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2345.6.1Sifat Smetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2345.6.2Linieritas, Pergeseran, Penskalaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2355.6.3Transformasi Turunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2375.6.4Transformasi Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2375.6.5Teorema Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238Konvolusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2395.7.1Operasi Matematik Konvolusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2395.7.2Teorema Konvolusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2415.8Transformasi Fourier dan Persamaan Diferensial . . . . . . . . . . . . . . . . 2445.9Ketidakpastian Gelombang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
1Nilai Eigen MatriksDiberikan sebuah matriks A, untuk menentukan sebuah skalar λ dan matriks kolom tak nolx yang secara simultan memenuhi persamaanAx λx(1.1)disebut sebagai persamaan nilai eigen (eigen dalam bahasa Jerman yang berarti proper Inggris atau sebenarnya). Solusi dari persamaan ini berkaitan erat dengan pertanyaan apakahmatriks tersebut dapat ditransformasikan dalam bentuk diagonal.Persamaan nilai eigen banyak sekali dijumpai dalam aplikasi di bidang teknik seperti vibrasi mekanik, arus bolak-balik, dan dinamika benda tegar. Hal ini juga sangat penting dalamfisika modern. Semua struktur dalam mekanika kuantum berdasarkan pada diagonalisasi daribeberapa jenis matriks.1.11.1.1Nilai Eigen dan Vektor EigenPersamaan SekularDalam persamaan nilai eigen, nilai λ disebut sebagai nilai eigen (nilai karakteristik) danmatriks kolom x yang berkaitan dengan ini disebut sebagai vektor eigen (vektor karakteristik).Jika A adalah matriks n n (1.1) diberikan oleh a11 a12 · · · a1nx1x1 x2 a21 a22 · · · a2n x2 . . λ . . . . . xnxnan1 an2 · · · annKarena 1 0 ··· x2 0 1 · · · λ . λ . . . . . xn0 0 ···x1 0x1 0 x2 . λIx,. . . . 1xn
21. NILAI EIGEN MATRIKSdengan I adalah matriks satuan, kita dapat menuliskan (1.1) sebagai(A λI)x 0(1.2)Persamaan ini memiliki solusi nontrivial jika dan hanya jika determinan dari matrikskoefisien hilang (bernilai nol):a11 λa21.an1···a1na22 λ · · ·.a2n.a12an2··· 0.(1.3)ann λEkspansi dari determinan ini menghasilkan polinomial λ berderajat n, yang disebut sebagaipolinomial karakteristik P (λ). PersamaanP (λ) A λI 0(1.4)disebut sebagai persamaan karakteristik (persamaan sekular). Akar-akarnya sejumlah n adalah nilai eigen dan akan dinyatakan dengan λ1 , λ2 , . . . , λn . Nilainya dapat berupa bilanganriil dan juga kompleks. Ketika salah satu nilai eigen dimasukkan ulang pada (1.2), vektoreigen x(x1 , x2 , . . . , xn ) dapat dicari. Perhatikan bahwa vektor eigen dapat dikalikan dengankonstanta dan akan tetap menjadi solusi dari persamaan.Kita akan menuliskan xi sebagai vektor eigen untuk nilai eigen λi . Yaitu, jikaP (λi ) 0,makaAxi λi xi .Jika semua nilai eigen yang berjumlah n berbeda, maka kita akan memiliki n vektor eigenyang berbeda. Jika dua atau lebih nilai eigen sama, kita menyebutnya berdegenerasi. Dalampersoalan yang sama, sebuah nilai eigen yang berdegenerasi bisa memiliki satu buah vektoreigen. Di lain pihak, sebuah nilai eigen yang berdegenerasi juga bisa memiliki vektor eigenyang berbeda.Contoh 1.1.1. Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari A, jika!1 2A .2 1Solusi 1.1.1. Polinomial karakteristik dari A adalahP (λ) 1 λ221 λ λ2 2λ 3,
31.1. NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGENdan persamaan sekularnyaλ2 2λ 3 (λ 1)(λ 3) 0.Sehingga nilai eigennya adalahλ1 1,λ2 3.Jika kita pilih vektor eigen x1 berkaitan dengan nilai eigen λ1 1 adalahx11!x12, maka x1haruslah memenuhi:1 λ1221 λ1!x11!2 2 0 x12!2 2x11x12! 0.Sehingga bisa direduksi menjadi2x11 2x12 0.Sehingga vektor eigennya x11 x12 , yaitu x11 : x12 1 : 1. Sehingga vektor eigennyadapat dituliskan! 1x1 1.Sebuah konstanta, baik positif atau negatif, yang dikalikan dengan vektor eigen ini akan tetapmerupakan solusi, namun kita tidak akan menganggapnya sebagai vektor eigen yang berbeda.Dengan prosedur yang serupa, kita bisa menghitung vektor eigen untuk λ2 3 yaitu!!x211x2 .x221Contoh 1.1.2. Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari A, jika!3 5A .1 1Solusi 1.1.2. Polinomial karakteristik dari A adalahP (λ) 3 λ 51 1 λ λ2 2λ 2,dan persamaan sekularnyaλ2 2λ 2 0.Nilai eigennya adalahλ 1 i.Jika λ1 1 i dan vektor eigennya x1 adalahx11!x123 (1 i) 51 1 (1 i), maka x1 harus memenuhi!x11x12! 0,
41. NILAI EIGEN MATRIKSyang memberikan(2 i)x11 5x12 0,x11 (2 i)x12 0.Persamaan pertama memberikanx11 55(2 i)2 ix12 x12 x12 ,2 i4 11yang juga merupakan hasil yang sama dari persamaan kedua, seperti sudah seharusnya.Sehingga x1 dapat ditulis sebagaix1 2 i1!.Dengan cara yang sama, untuk λ λ2 1 i vektor eigen x2 diberikan oleh!2 ix2 .1Sehingga kita telah memiliki sebuah contoh untuk matriks riil dengan nilai eigen dan vektoreigen kompleks.Contoh 1.1.3. Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari A, jika 2 2 3 A 1 6 2 . 1 2 0Solusi 1.1.3. Polinomial karakteristik dari A adalah 2 λP (λ) 2 321 λ 6 λ3 λ2 21λ 45, 1 2 λdan persamaan sekularnyaλ3 λ2 21λ 45 (λ 5)(λ 3)2 0.Persamaan ini memiliki sebuah akar 5 dan dua akar yang sama -3λ1 5,λ2 3,λ3 3.Vektor eigen yang dimiliki oleh nilai eigen λ1 haruslah memenuhi persamaan 2 52 3x11 2 1 5 6 x12 0.x13 1 2 0 5
51.1. NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGENDengan metode eliminasi Gauss, persamaan ini dapat dituliskan 7 2 3x11 0 1 2 x12 0, 0 0 0x13yang berarti 7x11 2x12 3x13 0,x12 2x13 0.Dengan memilih x13 1 maka x12 2 dan x11 1. Sehingga untuk nilai eigen λ1 5,vektor eigennya x1 adalah 1 x1 2 .1Karena nilai eigen -3 berdegenerasi sebanyak 2, maka vektor eigen yang kita punyai bisa ataux1 dua buah. Marilah kita nyatakan vektor eigennya sebagai x2 . Vektor eigen ini haruslahx3memenuhi persamaan 2 3 2 12 3x1 1 3 6 x2 0. 2 0 3x3Dengan metode eliminasi Gauss, persamaan ini dapat dituliskan 1 2 3x1 0 0 0 x2 0, 0 0 0x3yang berartix1 2x2 3x3 0.Kita dapat menyatakan x1 dalam x2 dan x3 dan tidak terdapat batasan untuk x2 dan x3 .Ambil x2 c2 dan x3 c3 sehingga x1 2c2 3x3 , sehingga kita dapat menuliskan 3x1 2c2 3x3 2 x2 c2 c2 1 c3 0 . 01x3c3Karena c2 dan c3 sebarang, pertama kita bisa memilih c3 0 dan mendapatkan satu vektoreigen, kemudian yang kedus, kita memilih c2 0 untuk memperoleh vektor eigen yang lain.Sehingga berkaitan dengan nilai eigen λ 3 yang berdegenerasi ini, terdapat dua buah
61. NILAI EIGEN MATRIKSvektor eigen 2 x2 1 ,0 3 x3 0 .1Dalam contoh ini, kita hanya memiliki dua buah nilai eigen berbeda, tetapi kita tetap memiliki tiga buah vektor eigen yang berbeda.Contoh 1.1.4. Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari A, jika 466 .A 132 1 5 2Solusi 1.1.4. Polinomial karakteristik dari A adalahP (λ) 4 λ6613 λ2 1 5 2 λ λ3 5λ2 8λ 4,dan persamaan sekularnyaλ3 5λ2 8λ 4 (λ 1)(λ 2)2 0.Tiga buah nilai eigennyaλ1 1,λ2 λ3 2.Dari persamaan untuk vektor eigen x1 yang dimiliki oleh nilai eigen λ1 4 166x11 1 3 12 x12 0, 1 5 2 1x13kita memperoleh solusi 4 x1 1 . 3 x1 Vektor eigen x2 yang dimiliki oleh dua buah nilai eigen berdegenerasi, memenuhi persax3maan 4 266x1 1 3 22 x2 0. 1 5 2 2x3
71.1. NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGENDengan menggunakan metode eliminasi Gauss, kita dapat menunjukkan bahwa persamaanini ekivalen dengan 1 1 2 x1 0 2 1 x2 0, x30 0 0yang berartix1 x2 2x3 0,2x2 x3 0.Jika kita memilih x3 2, maka x2 1 dan x1 3, sehingga 3 x2 1 . 2Dua buah persamaan di atas tidak mengijinkan adanya vektor eigen yang merupakan perkalian dengan sebuah konstanta dikalikan x2 . Sehingga untuk matriks 3 3 ini, hanya terdapatdua buah vektor eigen yang berbeda.
81. NILAI EIGEN MATRIKS1.1.2Sifat-sifat dari Polinomial KarakteristikPolinomial karakteristik memiliki banyak sifat yang berguna. Untuk mengelaborasinya, pertama kita perhatikan kasus n 3.P (λ) a11 λa12a13a21a22 λa23a31a32a33 λa11a12 a21 a22 λa31 λa13 0a23a33 λa32a11 a12a13 a21 a22a23 00 00a11 a12 a21 a22 a23 a21 a220 A a33 λa13a23a33 λ0a13 λa230a33 λ0a11 λ a12a31a22a32 a33a32 λa11 a12a21 a22 a11 a13a31 a33a130 λ0a22 a23 000a11000 a21 λ a23 a21 λa31 a32 λ λ a12 a13 0a320 λa32 a33 λa31 a32 a33a230a31a23a11 a12 a13a22 λ a21 λa13a22a130a11a31 a32 a33 λ λ a12a120 0 0a32 a33a31a130a33 λ0 λ λ a23 00a22 a23a330000 λ00 λ!( λ) (a11 a22 a33 )( λ)2 ( λ)3 .(1.5)Sekarang jika λ1 , λ2 dan λ3 adalah nilai eigen, maka P (λ1 ) P (λ2 ) P (λ3 ) 0. KarenaP (λ) adalah polinomial orde 3, makaP (λ) (λ1 λ)(λ2 λ)(λ3 λ) 0.Dengan mengekspansikan polinomial karakteristikP (λ) λ1 λ2 λ3 (λ1 λ2 λ2 λ3 λ3 λ1 )( λ) (λ1 λ2 λ3 )( λ)2 ( λ)3 .Bandingkan dengan (1.5)λ1 λ2 λ3 a11 a22 a33 Tr A.Hal ini berarti jumlah nilai eigen sama dengan trace dari A. Hubungan ini sangat bergunauntuk mengecek apakah nilai eigen yang kita hitung benar. Selanjutnyaλ1 λ2 λ2 λ3 λ3 λ1 a11 a12a21 a22 a11 a13a31 a33 a22 a23a32 a33,
91.1. NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGENyang merupakan jumlah dari minor utama (principal minor ) atau minor dari elemen diagonal,danλ1 λ2 λ3 A .Hal ini berarti perkalian semua nilai eigen tidak lain adalah determinan dari A yang jugamerupakan hubungan yang sangat berguna. Jika A adalah matriks singular A 0, makapaling tidak salah satu nilai eigen adalah nol. Dari sini berarti jika matriks tersebut memilikiinvers, maka tidak ada nilai eigen yang nol.Perhitungan yang sama bisa digunakan untuk mengeneralisasi hubungan-hubungan iniuntuk matriks dengan orde
Fisika Matematika II 2011/2012 diterjemahkan dari: Mathematical Methods for Engineers and Scientists 1, 2, dan 3 K. T. Tang Penterjemah: Imamal Muttaqien dibantu oleh: Adam, Ma’rifatush Sholiha, Nina Yunia, Yudi Fadillah dan Saleh Kurnia JURUSAN FISIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI U
fisika terbagi atas beberapa bidang, hukum fisika berlaku universal. Tinjauan suatu fenomena dari bidang fisika tertentu akan memperoleh hasil yang sama jika ditinjau dari bidang fisika lain. Selain itu konsep-konsep dasar fisika tidak saja mendukung perkembangan fisika sendiri, tetapi juga perkemban
fisika dari kompleksitas gejala alam - Menjelaskan munculnya berbagai cabang ilmu fisika E. Fisika dan Teknologi - Melakukan diskusi kelas mengani peran sains sebagai peretas jalan perkembangan teknologi - Menjelaskan peran fisika dalam perkembangan teknologi F. Fisika Merupakan Produk Peradaban Kolektif - Melakukan diskusi kelas untuk
2 S e j a r a h F i s i k a ERA FISIKA MODERN A. Latar Belakang Lahirnya Fisika Kuantum Fisika modern merupakan salah satu bagian dari ilmu fisika yang mempelajari perilaku materi dan energy pada skala atomik dan partikel-partikel subatomik atau gelombang. Ilmu
Soal Matematika Model PISA Indonesia Tahun 2015 Soal Matematika Model PISA Menggunakan Konteks Lam. Soal UAN dan Jawaban Matematika SMA Lingkaran Soal UN dan Jawaban Matematika Peluang Soal Matematika Eksponen UM UNDIP Contoh Soal Matematika Masuk UGM Soal UN dan Jawaban Persamaan Linier Soal UN dan Jawaban Trigonometri
(E) Matematika,Geografi,Bahasa Indo nesia, Biologi, Fisika 32. Buku yang di simpan di tingkat keempat adalah buku . (A) Fisika (D) Geografi (B) Biologi (E) Matematika (C) Ekonomi 33. Buku yang disimpan tidak berdampingan dengan buku yang lain adalah buku . (A) Ekonomi, Kimia, Fisika (B) Fisika, Matemati
c. Tujuan Pembelajaran Matematika 10 d. Perlunya Belajar Matematika 10 e. Kesulitan Belajar Matematika 11 f. Penyebab kesulitan Belajar Matematika 13 g. Upaya Dalam Mengatasi Penyebab Kesulitan Belajar Matematika 22 2. Tunarungu 25 a. Pengertian Tunarungu 25 b
Tuntutan Perubahan Strategi Pembelajaran Matematika A. Praktek Pembelajaran Matematika Masa Lalu Pembahasan mata diklat strategi pembelajaran matematika ini akan dimulai dengan kegiatan mengilas-balik, merefleksi, atau merenungkan tentang hal-hal yang sudah dilakukan para guru matematika SMK selama bertahun-tahun di kelasnya masing-masing.
OMIClear Instruction A02/2014 Price List Versions Index 11.Apr.2014 Initial version. Revokes OMIClear Notice 03/2010 – Price List. 1.Feb.2015 Modification of the Price List, including: modification of the structure regarding the Fees on transactions in Futures, Forwards and Swaps .which depend on the monthly traded volume (now including 3 tiers of volume instead of 2). Clarification on the .
