2 Variabile Aleatoare - Unitbv.ro
2Variabile aleatoareÎn practic¼a, variabilele aleatoare apar ca funcţii ce depind de rezultatul efectu¼arii unui anumit experiment. Spreexemplu, la aruncarea a dou¼a zaruri, suma numerelor obţinute este o variabil¼a aleatoare. În general, în experimenteîn care num¼ar¼am (maşini a‡ate pe şosea, arunc¼ari ale unui zar pân¼a la obţinerea unui şase, piese defecte, etc)variabilele aleatore obţinute sunt variabile aleatore discrete, iar în experimentele în care m¼asur¼am (voltajul electric, cantitatea de ap¼a de ploaie, duritatea unui anumit material, etc), variabilele aleatoare obţinute sunt variabilealeatoare continue.De niţia matematic¼a precis¼a este urm¼atoarea.De niţia 2.1 (Variabil¼a aleatoare) O variabil¼a aleatoare real¼a pe spaţiul de probabilitate ( ; F; P ) este o funcţieX : ! R m¼asurabil¼a în raport cu -algebrele corespunz¼atoare (F pe , respectiv -algebra Borelian¼a B pe R),adic¼a cu proprietatea c¼aX 1 (B) f! 2 : X (!) 2 Bg 2 Fpentru orice mulţime Borelian¼a B 2 B.Pentru a calcula diverse caracteristice numerice asociate variabilei aleatoare X, introducem funcţia de distribuţie corespunz¼atoare, dup¼a cum urmeaz¼a.De niţia 2.2 (Funcţia de distribuţie) Funcţia de distribuţie a unei variabile aleatoare este funcţia F FX :R ! R de nit¼a prinF (x) P (X x) ;x 2 R:(9)Observaţia 2.3 Folosind funcţia de distribuţie a variabilei aleatoare X putem spre exemplu determina probabilitatea ca variabila X s¼a ia valori într-un anumit interval (a; b]:P (X 2 (a; b]) P (a Xb) F (b)F (a) :Aceast¼a egalitate are loc deoarece evenimentele fX ag şi fa X bg sunt disjuncte, şi veri c¼a fXfa X bg fX bg, şi deci din De niţia 1.6 a probabilit¼aţii obţinemF (b)(10)ag [ P (X b) P (X a) P (a X b) F (a) P (a X b) ;de unde prin sc¼aderea lui F (a) se obţine relaţia (10).Are loc urm¼atoarea.Propoziţia 2.4 (De caracterizare a funcţiei de distribuţie) Funcţia de distribuţie F : R ! R a unei variabile aleatoare are urm¼atoarele propriet¼aţi.1. Este nedescresc¼atoare, adic¼a F (x)2. limx!1F (y) oricare ar x; y 2 R cu x y.F (x) 0 şi limx!1 F (x) 1.3. Este continu¼a la dreapta în orice punct, adic¼a limx&x0 F (x) F (x0 ).4. Are limit¼a la stânga în orice punct, şi are loc F (x0 ) : limx%x0 F (x) P (X x0 ).5. P (X x0 ) F (x0 )F (x0 ) :Reciproc, se poate ar¼ata c¼a dac¼a o funcţie F : R ! R veri c¼a propriet¼aţile 1) - 3) de mai sus, atunci exist¼a ovariabil¼a aleatoare (pe un anumit spaţiu de probabilitate) având F ca funcţie de distribuţie.Demonstraţie. Implicaţia direct¼a - exerciţiu.Pentru a demonstra implicaţia reciproc¼a, consider¼am spre exemplu spaţiul de probabilitate ( ; F; P ) cu (0; 1), F B\ (0; 1) -algebra mulţimilor Boreliene pe (0; 1), P - m¼asura Lebesgue, şi ar¼at¼am c¼a variabilaaleatoare X : ! R de nit¼a deX (!) sup fy 2 R : F (y) !g ;7!2 ;
are propriet¼aţile cerute. Pentru aceasta, ar¼at¼am mai întâi c¼a are loc egalitateaf! 2: X (!)xg f! 2:!F (x)g :(11)Dac¼a ! F (x), din de niţia variabilei aleatoare X (şi faptul c¼a F este nedescresc¼atoare), rezult¼a c¼a X (!) x.Pentru a demonstra incluziunea contrar¼a, dac¼a ! F (x), folosind continuitatea la dreapta a lui F rezult¼a c¼a exist¼a" 0 astfel încât ! F (x "), şi folosind din nou de niţia variabilei aleatoare X obţinem X (!)x " x,ceea ce demonstreaz¼a incluziunea contrar¼a.Folosind egalitatea (11), obţinemP (f! 2deoarece P aleatoare X.2.1: X (!)xg) P (f! 2:!F (x)g) P ((0; F (x)]) ((0; F (x)]) F (x) ;este m¼asura Lebesgue pe intervalul (0; 1), relaţie ce arat¼a c¼a F este funcţia de distribuţie a variabileiVariabile aleatoare discreteDe niţia 2.5 O variabil¼a aleatoare X :num¼arabil de valori.a dac¼a ea poate lua numai un num¼ar cel mult! R se numeşte discret¼Dac¼a x1 ; x2 ; x3 ; : : : sunt valorile posibile (distincte) ale lui X şi p1 P (X x1 ), p2 P (X x2 ) ; p3 P (X x3 ) ; : : : sunt probabilit¼aţile cu care variabila aleatoare X ia aceste valori, reprezent¼am variabila aleatoarediscret¼a X sub formax1 x2 x3 : : :X :(12)p 1 p2 p 3 : : :Observaţia 2.6 Dac¼a X este o variabil¼a aleatoare discret¼a ce ia valorile x1 ; x2 ; x3 ; : : : cu probabilit¼aţile p1 ; p2 ; p3 ; : : :,atunci au loc urm¼atoarele.1. Dac¼a I este un interval ce nu conţine nici una din valorile posibile ale variabilei aleatoare discrete X, atunciP (X 2 I) 0:(13)2. Probabilitatea ca variabila aleatoare X s¼a ia valori într-un interval I (a; b] este dat¼a deXP (a X b) pi ;(14)a xi badic¼a este egal¼a cu suma probabilit¼aţilor pi corespunz¼atoare valorilor posibile xi pentru care a xi3. Suma tuturor probabilit¼aţilor pi corespunz¼atoare valorilor xi este egal¼a cu 1, adic¼aXpi 1:b.(15)iMotivul este urm¼atorul:Xi 1pi Xi 1P (X xi ) P (X 2 fx1 ; x2 ; x3 ; : : :g) P ( ) 1:Dac¼a X este o variabil¼a aleatoare discret¼a, vom spune c¼a funcţia de distribuţie corespunz¼atoare este o funcţiede distribuţie discret¼a (sau c¼a X are o distribuţie discret¼a).De niţia 2.7 (Funcţie de densitate de probabilitate) Pentru o variabil¼a aleatoare discret¼a X ce ia valorilex1 ; x2 ; x3 ; : : : cu probabilit¼aţile p1 ; p2 ; p3 ; : : : ; de nim funcţia de probabilitate f fX a variabilei aleatoare Xprinpi ; dac¼a x xi (i 1; 2; 3; : : :)f (x) :0;în rest8
Figure 1: Gra cul funcţiei de probabilitate f (x) şi a funcţiei de distribuţie F (x) a variabilei aleatoare X reprezentând rezultatul arunc¼arii unui zar.Cunoscând funcţia de probabilitate a unei variabile aleatoare (sau valorile posibile şi probabilit¼aţile respective),putem determina funcţia de distribuţie corespunz¼atoare astfel:XXF (x) f (xi ) pi :(16)xi xxi xGra cul unei distribuţii discrete este o funcţie în scar¼a, cu salturi egale cu pi în punctele xi (i 1; 2; 3; : : :), caîn urm¼atoarele dou¼a exemple.Exemplul 2.8 S¼a consider¼am variabila aleatoare X reprezentând rezultatul arunc¼arii unui zar. Atunci X are cavalori posibile 1; 2; : : : ; 6 cu probabilit¼aţi 1 6 ecare, şi deci X este o variabil¼a aleatoare discret¼aX 123456161616161616:Funcţia de probabilitate corespunz¼atoare estef (x) 16;0;dac¼a x 2 f1; 2; : : : ; 6g;în restiar funcţia de distribuţie corespunz¼atoare este80; 1 6; 26 ;3F (x) 6; 4 65 ; 6;:1;dac¼adac¼adac¼adac¼adac¼adac¼adac¼ax 11 x 22 x 33 x 4 :4 x 55 x 66 xDe observat leg¼atura între gra cele funcţiei de probabilitate f (x) şi a funcţiei de distribuţie F (x) din Figura 1.Exemplul 2.9 S¼a consider¼am variabila aleatoare X reprezentând num¼arul de feţe stem¼a obţinute la aruncarea a 3monede.În acest caz variabila aleatoare X ia valorile 0; 1; 2; 3 cu probabilit¼aţile 18 ; 38 ; 38 ; 18 , deci putem reprezenta variabilaaleatoare sub forma0 1 2 3X :13318888Gra cul funcţiei de probabilitate f (x) şi a funcţiei de distribuţie F (x) este indicat în Figura 2.9
Figure 2: Gra cul funcţiei de probabilitate f (x) şi a funcţiei de distribuţie F (x) a variabilei aleatoare X reprezentând num¼arul de steme obţinute la aruncarea a dou¼a monede.Exemplul 2.10 (Problema aştept¼arii - spaţiu num¼arabil de evenimente ) Se arunc¼a în mod repetat o moned¼a şi se consider¼a variabila aleatoare X reprezentând num¼arul de încerc¼ari efectuate pân¼a la prima apariţie astemei.În acest caz variabila aleatoare X poate lua valorile 1; 2; 3; : : : (un num¼ar in nit, num¼arabil, de valori posibile),cu probabilit¼aţile P (X 1) P (S) 21 , P (X 2) P (BS) 12 12 14 , P (X 3) P (BBS) 12 12 12 18 ,şamd. Avem deci1 2 3 ::::X 111:::248De observat c¼a relaţia (15) este veri cat¼a în acest caz: folosind formula seriei progresiei geometrice, obţinem:XX 11 1 11 1 ::: pi 1:i22 4 82 1 12i 12.2i 1Variabile aleatoare continueVariabilele aleatoare continue apar în practic¼a atunci când într-un anumit experiment m¼asur¼am o anumit¼a cantitate,spre exemplu lungimea unui şurub, voltajul într-un circuit electric, timpul dintre dou¼a ateriz¼ari, etc.Reamintim c¼a în general funcţia de distribuţie a unei variabile aleatoare este o funcţie continu¼a la dreapta înorice punct. Dac¼a variabila aleatoare X este o variabil¼a aleatoare discret¼a, ce ia valorile distincte x1 ; x2 ; x3 ; : : :cu probabilit¼aţile p1 ; p2 ; p3 ; : : :, atunci funcţia de distribuţie FX (x) P (X x) corespunz¼atoare este o funcţieîn scar¼a, ce are salturi egale cu pi în punctele de discontinuitate xi , i 1; 2; 3; : : :. Prin contrast cu variabilelealeatoare discrete, de nim variabilele aleatoare continue, dup¼a cum urmeaz¼a.De niţia 2.11 (Variabil¼a aleatoare continu¼a şi absolut continu¼a) Spunem c¼a variabila aleatoare X este ovariabil¼a aleatoare continu¼a dac¼a funcţia de distribuţie corespunz¼atoare F : R ! R este o funcţie continu¼a peR.Dac¼a în plus funcţia de distribuţie este absolut continu¼a în raport cu m¼asura Lebesgue pe R, adic¼a dac¼a exist¼ao funcţie f : R ! [0; 1) integrabil¼a pe R astfel încâtZ xF (x) f (u) du;x 2 R,(17)1spunem c¼a X este o variabil¼a aleatoare absolut continu¼a.Observaţia 2.12 Variabilele aleatoare continue ce apar în practic¼a sunt în general şi absolut continue. Din acestmotiv, în continuare ne vom referi la variabile aleatoare continue înţelegând prin aceasta c¼a ele sunt şi absolutcontinue.10
Observaţia 2.13 Spre deosebire de variabilele aleatoare discrete, în cazul variabilelor aleatoare continue avemP (X x) 0(18)oricare ar x 2 R.Motivul este urm¼atorul: din continuitatea m¼asurii de probabilitate avemP (X x) lim P (a Xb)lim P (Xb)P (Xlim F (b)F (a)a%xb&xa%xb&xa%xb&xlima%xb&xZ xZa)bf (u) duaf (u) dux 0:Din relaţia (18) rezult¼a c¼a spre deosebire de cazul variabilelor aleatoare discrete, în cazul unei variabile aleatoareX continue urm¼atoarele probabilit¼aţi sunt egaleZ bP (a X b) P (a X b) P (a X b) P (a X b) F (b) F (a) f (u) du;(19)aRbtoate ind egale cu a f (u) du (aria de sub gra cul funcţiei de densitate f (x) între a şi b).Mai general, pentru orice interval I R avemZP (X 2 I) f (u) du:(20)IObservaţia 2.14 (Leg¼atura între funcţia de densitate şi cea de distribuţie) Dac¼a X este o variabil¼a aleatoarecontinu¼a având densitatea f; atunci relaţia (17) permite calculul funcţiei de distribuţie:Z xF (x) f (u) du;x 2 R:1Reciproc, dac¼a funcţia de densitate f este o funcţie continu¼a (eventual cu excepţia unui num¼ar nit de puncte),din relaţia (17) rezult¼a c¼a funcţia de distribuţie a unei variabile aleatoare continue este o funcţie continu¼a, şi maimult, c¼a este o funcţie derivabil¼a (eventual cu excepţia punctelor de discontinuitate ale funcţiei de densitate f (x)).Derivând relaţia (17) în raport cu x obţinemF 0 (x) f (x)(21)pentru orice x 2 R pentru care funcţia f (x) este continu¼a. Aceast¼a relaţie ne permite s¼a determin¼am funcţia dedensitate f (x) atunci când cunoaştem funcţia de distribuţie F (x).Observaţia 2.15 Dac¼a X este o variabil¼a aleatoare continu¼a având funcţia de densitate f (x), atunci au loc urm¼atoarele.1. Dac¼a I este un interval de numere reale, atunciP (X 2 I) Zf (u) du:2. Probabilitatea ca variabila aleatoare X s¼a ia valori într-un interval I (a; b] este dat¼a deZ bf (u) du;P (a X b) F (b) F (a) aadic¼a este egal¼a cu aria de sub gra cul densit¼aţii f (x) între a şi b (vezi Figura 3).11(22)I(23)
Figure 3: Probabilitatea P (a Xb) este egal¼a cu aria de sub gra cul densit¼aţii f (x) între a şi b.3. Integrala densit¼aţii f (x) este egal¼a cu 1, adic¼aZMotivul este urm¼atorul:Z11f (u) du 1:(24)1f (u) du P ( 1 X 1) P ( ) 1:1Exemplul 2.16 S¼a consider¼am variabila aleatoare continu¼a X având funcţia de densitate dat¼a de f (x) 0:75 1 x2pentru x 2 [ 1; 1] şi 0 în rest. S¼a se determine funcţia de distribuţie a variabilei aleatoare X şi s¼a se calculeze111XX 2 . Care este valoarea lui x pentru care P (X x) 0:5?probabilit¼aţile P22 şi P 4Folosind relaţia (17) distingem urm¼atoarele cazuri.i) Dac¼a x1, atunciZZxxF (x) f (u) du 1ii) Dac¼a1 xF (x) 0du 011; atunciZxf (u) du 1ZxZF (x) xf (u) du 18 0;0:5 0:75xF (x) :1;Zxu33u1iii) Dac¼a x 1 atunciAm obţinut deciu2 du 0:750:75 10:25x3 0:5 0:75x11u2 du 1:0:75 11x0:25x3 ;11 xx 11 :Pentru a calcula probabilit¼aţile cerute, folosim relaţia (53):12PX12 Z12f (u) du 0:7512Z12u2 du 0:6875112Alternativ, putem folosi relaţia (23), adic¼aP12X12 F12F12 0:5 0:7520:2580:512 X1212deoarece pentru o variabil¼a aleatoare continu¼a avem PÎn mod similar, avemP14X2 Z2f (u) du 0:7514Z P111412u2 du 0:75uu330:75 0:25 2812X1 14 0:6875;conform relaţiei (19).812560:3164
sau alternativP14X2 F (2)F14 10:5 0:7540:2564 812560:3164:Pentru a determina valoarea lui x pentru care are loc egalitatea P (X x) 0:5, s¼a observ¼am c¼a deoarece3P (X x) F (x), relaţia dat¼a se mai poate scrie sub formap Obţinem deci 0:5 0:75x 0:25x 0:5,p F (x) 0:5.23 şi x3 3. Cum numai soluţia x 0 convine (desau echivalent x x3 0, cu soluţiile x1 0, x2 ce?), avem x 0.ExerciţiiExerciţiul 2.1 Desenaţi gra cul funcţiei de probabilitatef (x) x214 ;0;x 2 f1; 2; 3gîn restşi a funcţiei de distribuţie corespunz¼atoare.Exerciţiul 2.2 Consider¼am funcţia de probabilitate f (x) kCx3 pentru x 2 f0; 1; 2; 3g şi 0 în rest. S¼a se determinevaloarea constantei k, şi s¼a se reprezinte gra c funcţia f şi funcţia de distribuţie F corespunz¼atoare.Exerciţiul 2.3 S¼a se reprezinte gra c funcţiile f şi F în cazul f (0) f (3) 61 , f (1) f (2) 13 . Poate funcţiaf avea alte valori nenule?Exerciţiul 2.4 Fie X variabila aleatoare reprezentând num¼arul de ani înainte ca o anumit¼a pies¼a s¼a se defecteze.Presupunem c¼a X are funcţia de probabilitate f (x) kx3 pentru x 2 f0; 1; 2; 3; 4g şi 0 în rest. S¼a se reprezintegra c funcţia f şi funcţia de distribuţie F corespunz¼atoare.Exerciţiul 2.5 Dac¼a variabila aleatoare X are funcţia de probabilitate f (x) determine valoarea constantei k şi probabilitatea P (X 3).kx!pentru x 2 N şi 0 în rest, s¼a seExerciţiul 2.6 S¼a se reprezinte gra c funcţia de densitate f (x) 41 pentru x 2 (2; 6) şi 0 în rest, precum şi funcţiade densitate F corespunz¼atoare. S¼a se determine probabilit¼aţile P (X 4) şi P (X 3).Exerciţiul 2.7 În exerciţiul anterior, s¼a se determine valoarea lui c astfel încât:a) P (Xc) 90%b) P (Xc) c) P (Xc) 5%12Exerciţiul 2.8 Funcţia de distribuţie F a unei variabile aleatoare X este dat¼a de F (x) 0 dac¼a x 0 şi F (x) 1 e 0:1x dac¼a x 0. S¼a se reprezinte gra c F şi funcţia de densitate f . S¼a se determine valoarea lui c astfel încâtP (X c) 95%.Exerciţiul 2.9 Fie X grosimea (în milimetri) a unei garnituri produse de o anumit¼a maşin¼a. Presupunem c¼avariabila aleatoare X are funcţia de densitate f (x) kx dac¼a 0:9 x 1 şi 0 în rest. S¼a se determine k. Careeste probabilitatea ca o garnitur¼a produs¼a va avea o grosime între 0:95 şi 1:05 mm?Exerciţiul 2.10 Dou¼a şuruburi sunt alese la întâmplare f¼ar¼a înlocuire dintr-o cutie ce conţine 7 şuruburi cu let pedreapta şi 3 şuruburi cu let pe stânga. Fie X variabila aleatoare reprezentând num¼arul de şuruburi extrase având letul pe partea stâng¼a. S¼a se determine P (X 0), P (X 1), P (X 2), P (1 X 2) şi P (0:5 X 5).Exerciţiul 2.11 S¼a se determine probabilitatea ca nici unul din cele trei becuri ale unui semafor s¼a nu trebuiasc¼aschimbat în primele h1500 ore de funcţionaredac¼a durata de viaţ¼a X a unui bec este o variabil¼a aleatoare avândi2densitatea f (x) 6 0:25 (X 1:5) pentru 1 x 2 şi 0 în rest, unde x este m¼asurat în multiplii de 1000 ore.Exerciţiul 2.12 Dac¼a diametrul X al unei bare este o variabil¼a aleatoare având densitatea f (x) k pentru1119:9x120:1 şi 0 în rest, aproximativ câte bare vor defecte într-un lot de 500 bare, dac¼a o bar¼a esteconsiderat¼a defect¼a când diametrul ei este mai mic decât 119:91 sau mai mare decât 120:09?13
Exerciţiul 2.13 Dac¼a durata de viaţ¼a a unui rulment este o variabil¼a aleatoare cu densitatea f (x) kepentru 0 x 10 şi 0 în rest, care este valoarea lui k? Care este probabilitatea P (X 5)?0:2xExerciţiul 2.14 S¼a se determine funcţia de probabilitate a variabilei aleatoare X reprezentând num¼arul de arunc¼ariale unui zar pân¼a la apariţia feţei 6. S¼a se veri ce c¼a are loc relaţia (52).Exerciţiul 2.15 Presupunem c¼a anumite şuruburi au o lungime L 400 X mm, unde X este o variabil¼a aleatoareavând densitatea f (x) 43 1 x2 pentru 1 x 1 şi 0 în rest. S¼a se determine valoarea lui c astfel încât cuprobabilitate de 95% un şurub va avea o lungime cuprins¼a între 400 c şi 400 c.Exerciţiul 2.16 Presupunem c¼a într-un proces automatizat de umplere a conservelor cu ulei, conţinutul unei conserve (în litri) este Y 100 X, unde X este o variabil¼a aleatoare având densitatea f (x) 1 jxj pentru jxj 1 şi0 pentru jxj 1. S¼a se reprezinte gra c f şi funcţia de distribuţie F corespunz¼atoare. Într-un lot de 1000 conserve,aproximativ câte conserve vor conţine 100 de litri de ulei sau mai mult? Care este probabilitatea ca o conserv¼a s¼aconţin¼a mai puţin de 99.5 litri ulei? Dar mai puţin de 99 litri ulei?Exerciţiul 2.17 Fie funcţia de densitate f dat¼a de f (x) kx2 dac¼a 0x2 şi 0 în rest. S¼a se determinevaloarea constantei k. S¼a se determine constantele c1 şi c2 astfel încât P (X c1 ) 0:1 şi P (X c2 ) 0:9.Exerciţiul 2.18 Fie X raportul vanz¼arilor la pro t pentru o anumit¼a rm¼a. Presupunem c¼a X are funcţia dedistribuţie F dat¼a de8x 2 0;x2 4F (x) ;2 x 3 :: 51;x 3S¼a se determine şi s¼a se reprezinte gra c funcţia de densitate f corespunz¼atoare. Care este probabilitatea ca Xs¼a e cuprins între 2:5 (40% pro t) şi 5 (20% pro t)?Exerciţiul 2.19 Fie X o variabil¼a aleatoare ce poate lua orice valoare real¼a. Care sunt complementarele evenimentelor fX bg, fX bg, fX ag, fX ag, fa X bg, fa X bg?Exerciţiul 2.20 Ar¼ataţi c¼a dac¼a a b atunci P (X2.3a)P (Xb).Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare: media şi dispersiaMedia unei variabile aleatoare X, notat¼a M (X), (X), X , , sau E (X), caracterizeaz¼a tendinţa central¼a a valorilor acesteia, iar dispersia variabilei aleatoare X, notat¼a 2 (X), 2X , 2 sau D2 (X), caracterizeaz¼a împr¼aştiereavalorilor lui X.Media M (X) a variabilei aleatoare X se de neşte prinPdac¼a X este o v.a. discret¼aR 1i xi f (xi )M (X) ;(25)xf(x)dxdac¼aXesteov.a.continu¼a1iar dispersia2(X) a variabilei aleatoare X se de neşte prin( P2(x) f (xi )dac¼a X este o v.a. discret¼a2R 1i i(X) ;2(x) f (x) dx dac¼a X este o v.a. continu¼a1(26)unde prin f am notat funcţia de probabilitate a lui X în cazul în care X este o variabil¼a aleatoare discret¼a, respectivfuncţia de densitate a lui X în cazul în care X este o variabil¼a aleatoare continu¼a.Abatereap¼atratic¼a medie (X) a variabilei aleatoare X se de neşte ca ind radicalul dispersiei, adic¼ap2 (X).(X) Media M (X) a unei variabile aleatoare X se mai numeşte valoarea aşteptat¼a / aşteptarea lui X, deoarece eaeste egal¼a cu valoarea medie a lui X atunci când se efectueaz¼a multe încerc¼ari.Cantit¼aţi precum M (X) (media) sau 2 (X) (dispersia) care indic¼a anumite propriet¼aţi ale distribuţiei în cauz¼ase numesc parametrii ai distribuţiei. Media şi dispersia sunt cei mai importanţi parametrii ai unei distribuţii.Observ¼am c¼a în general (cu excepţia cazului unei variabile aleatoare discrete având o singur¼a valoare posibil¼a),avem 2 (X) 0. În continuare vom presupune c¼a M (X) şi 2 (X) exist¼a (şi sunt nite), ca în majoritatea cazurilorce apar în probleme practice.14
Figure 4: Gra cul funcţiilor de densitate şi de distribuţie în cazul distribuţiei uniforme pe intervalul (a; b).Exemplul 2.17 Fie X variabila aleatoare reprezentând num¼arul de feţe stem¼a obţinut la aruncarea unei monede.În acest caz variabila aleatoare X este dat¼a deX şi deci obţinem media011212;111 1 222M (X) 0şi dispersia2 21201 1
2. Probabilitatea ca variabila aleatoare X s a ia valori într-un interval I (a;b] este dat a de P (a X b) X a x i b p i; (14) adic a este egal a cu suma probabilit atilor‚ p i corespunz atoare valorilor posibile x i pentru care a x i b. 3. Suma tuturo
Universitatea Babes-Bolyai Cluj- Director proiect Acad. Ioan Aurel POP, Partener Universitatea Transilvania din Braşov, Responsabil UniTBv Pârv, A.L., valoare proiect 19.900 euro 3. Visegrad Funds Standard Grant No 21520171/2015 (2016). Quality makes a difference, Coordonator Technological University of
Disciplinele principale studiate / competențe: Inginerie tehnologică asistată de calculator, AutoCad, AutoLisp etc. Inginer / specializarea: Tehnologia Construcțiilor de Mașini / Proiectare și tehnologie asistată de calculator Universitatea Transilvania din Brașov, B-dul Eroilor No.29, RO-500036, Brasov, www.unitbv.ro
268 STRUCTURAL DESIGN OF A BILLBOARD SUPPORTING STRUCTURE Aurel-Andrei Paraschiv1, Ionel Gavrilescu2 1 Transilvania University of Brașov, Brașov, ROMÂNIA, rectorat@unitbv.ro 2 "Dunărea de Jos" University of Galați, Galați, ROMÂNIA, rectorat@ugal.ro Abstract: This paper aims to evaluate the stresses and displacements of a three sided unipole billboard using the finite element
Corso di Statistica Medica Un modello di regressione multipla spiega la variabile dipendente Y in funzione di k variabili esplicative o regressori , con k 2: Per convenzione la prima variabile esplicativa x1 assume valore 1. Il primo coefficiente di regressione β1 rappresenta l’intercetta del modello.
va avea câte ceva de învățat, prietenilor, tuturor Către fiecare dintre voi, cei ce citiți aceste rânduri, se îndreaptă mulțumirile mele. Spuneam odată că Profesorul nu trebuie să fie altceva decât grădinarul sufletel
2. Bolero - an exercise for the orchestra and a masterpiece; main features of the work Maurice Ravel’s creation, despite the foresights of his contemporaries - Poulenc, Honegger, Milhaud who thought of it as obsolete, protruded and stood still in history, shining
Teza de abilitare Petrițan IC 5 (B) Realizări știintifice și profesionale și planuri de evoluție și dezvoltare a carierei (B-i) Realizări științifice și profesionale 1. Considerații introductive 1.1. Aspecte generale Creșterea cererii pentru bunuri și servicii ale ecosistemului forestier cât mai variate împreună cu
TARGET CONSOLIDATION CONTACT GROUP (TCCG) 4 June 2019 - 10:00 to 15:00 held at the premises of the European Central Bank, Sonnemannstraße 20, meeting room MB C2.04, on 2nd floor 1. Introductory Remarks The Chairperson of the Contact Group will welcome the participants and open the meeting introducing the Agenda. Outcome: The Chairperson welcomed the participants and briefly introduced the .
