TEORI GRUP DAN TEORI RING - WordPress

ALJABAR ABSTRAK( TEORI GRUP DAN TEORI RING )Dr. Adi Setiawan, M. ScPROGRAM STUDI MATEMATIKAFAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKAUNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANASALATIGA20110

KATA PENGANTARAljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah inti untuk programstudi matematika. Mata kuliah ini memerlukan kemampuan berfikir logis yang berbeda dengankemampuan berfikir yang diperlukan untuk mempelajari mata kuliah-mata kuliah lain sepertikalkulus misalnya. Liku-liku berfikir logis yang ditemui dalam mata kuliah ini memerlukanlatihan yang cukup agar terbentuk cara berfikir yang diperlukan dalam pemecahan masalah yangada dalam mata kuliah ini. Untuk membantu tercapainya tujuan itu, penulis dengan sengajamembuat tata letak penulisan bukti-bukti seperti kalau kita mengerjakan soal-soal dalam suatulatihan atau ujian sehingga nantinya akan memudahkan pemahaman.Dalam diktat kuliah Aljabar Abtsrak ini dibahas tentang teori grup dan teori ring.Sebagian besar bahan yang dipergunakan untuk menulis diktat kuliah ini mengambil dari pustaka[2] dan beberapa bagian lain mengambil dari pustaka [3], sedangkan pustaka yang laindipergunakan untuk melengkapi latihan-latihan.Penulis berharap bahwa diktat kuliah ini nantinya dapat berguna untuk meningkatkanmutu dalam proses pembelajaran mata kuliah Aljabar Abstrak pada program studi Matematikadalam Fakultas Sains dan Matematika. Kritik dan saran demi kebaikan diktat kuliah ini sangatlahpenulis harapkan.Salatiga, 25 Agustus 2011Penulis1

BAB IPENDAHULUANDasar-dasar teori tentang teori himpunan, berikut ini sangat penting dalam pembahasantentang teori grup.1. HimpunanHimpunan adalah suatu kumpulan obyek (kongkrit maupun abstrak) yang didefinisikandengan jelas. Obyek-obyek dalam himpunan tersebut dinamakan anggota himpunan.Contoh I.1 :1. Himpunan bilangan 0, 1, 2 dan 3.2. Himpunan : pena, pensil, buku, penghapus, penggaris.3. Himpunan : Negara-negara anggota ASEAN.Secara matematik, himpunan dapat dinyatakan dengan tanda kurung kurawal dandigunakan notasi huruf besar. Hal itu berarti, himpunan di atas ditulis secara matematik yaitu :1. A { 0, 1, 2, 3 }.2. B { pena, pensil, buku, penghapus, penggaris }.3. C { Negara-negara ASEAN }.Untuk membentuk himpunan, salah satu metode yang dapat digunakan adalah metode Roster(tabelaris) yaitu dengan menyebut atau mendaftar semua anggota, seperti pada himpunan A dan2

B sedangkan metode lainnya adalah metode Rule yaitu dengan menyebut syarat keanggotaannya.Sebagai contoh, penggunaan metode Rule adalahC { x x negara-negara ASEAN }.Kalimat di belakang garis tegak ( ) menyatakan syarat keanggotaan.Apabilasuatu obyek merupakan anggota dari suatu himpunan maka obyek itudinamakan elemen dan notasi yang digunakan adalah . Sebaliknya apabila bukan merupakananggota dinamakan bukan elemen, dan notasi yang digunakan adalah . Sebagai contoh, jikahimpunan A {0, 1, 2, 3 } maka 2 A sedangkan 4 A. Banyaknya elemen dari himpunan Adikenal dengan nama bilangan cardinal dan disimbolkan dengan n(A). Berarti pada contoh diatas n(A) 4.Himpunan A dikatakan ekuivalen dengan himpunan B jika n(A) n(B), dan biasadisimbolkan dengan A B. Berarti jika A dan B ekuivalen maka dapat dibuat perkawanan satusatu dari himpunan A ke himpunan B dan sebaliknya. Pada contoh di atas himpunanA {0, 1, 2, 3 } ekuivalen dengan himpunan E {2, 4, 6, 8}.Catatan :Pada saat menyatakan himpunan harus diperhatikan bahwa(i)Urutan tidak diperhatikan, himpunan {0, 1, 2, 3}, {1, 0, 3, 2} dipandang sama dengan{1, 2, 3, 0}(ii)Anggota-anggota yang sama hanya diperhitungkan sekali, {0, 0, 1, 1, 2, 3} dan {0, 1,2, 3, 3, 3} dipandang sama dengan {0, 1, 2, 3}.3

Himpunan semesta (universal set) adalah himpunan semua obyek yang dibicarakan.Himpunan semesta dinotasikan S atau U. Sebagai contoh jika A {0, 1, 2, 3} maka dapat diambilhimpunan semestanya U { bilangan bulat } atau U { himpunan bilangan cacah }, dll.Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota, dalam hal ini digunakannotasi atau { }. Sebagai contoh jikaD { bilangan ganjil yang habis dibagi dua }maka D atau D { }.Diagram Venn adalah diagram untuk menggambarkan suatu himpunan atau relasi antarhimpunan. Himpunan yang digambarkannya biasanya dalam bentuk lingkaran dan anggotanyaberupa titik dalam lingkaran dan himpunan semestanya dalam bentuk persegi panjang. Sebagaicontoh jika diketahui himpunan E { 2, 4, 6, 8 } dan himpunan semestanya adalah himpunanbilangan genap U dapat digambarkan dengan diagram Venn.Misalkan diketahui himpunan A dan B. Himpunan A dikatakan himpunan bagian(subset) jika dan hanya jika setiap elemen dari A merupakan elemen dari B. Notasi yang biasadigunakan adalah A B atau B A. Notasi A B dibaca A himpunan bagian dari B atau Atermuat dalam B, sedangkan notasi B A dibaca B memuat A.Contoh I.2 :Himpunan { 0 } { 0, 1, 2, 3 } sedangkan 0 { 0, 1, 2, 3 }.4

Dua himpunan dikatakan sama jika dan hanya jika keduanya mengandung elemen yangtepat sama. Hal itu berarti bahwa A B jika dan hanya jika setiap anggota A juga menjadianggota B dan sebaliknya setiap anggota B juga menjadi anggota A. Untuk membuktikan A Bmaka haruslah dibuktikan bahwa A B dan B A. Sebagai contoh A { 0, 1, 2, 3 } samadengan himpunan B { 1, 0, 2, 3 }. Perlu dicatat bahwa himpunan kosong merupakan himpunanbagian dari sebarang himpunan sehingga A.Jika A dan B himpunan maka A dikatakan himpunan bagian sejati (proper subset) B jikadan hanya jika A B dan A B. Notasi yang biasa digunakan adalah A B. Sebagai contoh{1, 2, 4 } { 1, 2, 3, 4, 5 }.Himpunan A { 0, 1, 2, 3 } bukan himpunan bagian himpunan G {1, 3, 6, 8} atauA G karena ada anggota A (misalnya 2) yang bukan anggota G.Dari suatu himpunan A dapat dibuat himpunan kuasa (power set) yaitu himpunan yanganggota-anggotanya adalah himpunan bagian dari himpunan A dan notasi yang digunakan adalah2A. Sebagai contoh, himpunan H { 1, 2 } maka 2A { , {1}, {2}, {1,2} }. Dalam hal inin(2A) 2n(A) 22 4.Dua himpunan A dan B dikatakan saling asing jika masing-masing tidak kosong danA B . Sebagai contoh himpunan A { 0, 1, 2, 3 }saling asingdengan himpunanE { 5, 6, 7, 8 }.Komplemen himpunan A adalah semua anggota dalam semesta yang bukan anggota A.Notasi komplemen A adalah AC. Secara matematik dapat ditulis sebagaiAC { x x U dan x A }.Sebagai contoh jika U { 1, 2, 3, , 10 } dan A { 3, 5, 7 } makaAC {1, 2, 4, 6, 8, 9,10}.5

Relasi antara himpunan A dan komplemennya yaitu AC dapat dinyatakan dalam diagram Venn.Dalam hal ini UC dan C U.Gabungan (union) dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggotaanggotanya terdiri atas semua anggota dari himpunan A atau B. Notasi yang digunakanadalah A B. Secara matematika A B { x x A atau x B }. Sebagai contoh jikaA { a, i, e } dan B { i, e, o, u } maka A B { a, i, e, o, u }. Dalam hal ini berlaku sifatA (A B} dan B (A B} dan juga A AC U.Irisan (intersection) dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggotanyaterdiri atas anggota himpunan A yang juga merupakan anggota himpunan B. Dalam hal inidigunakan notasi A B. Secara matematik A B { x x A dan x B }. Sebagai contoh jikaA { 2, 3, 5, 7} dan B { 2, 4, 6, 8 } maka A B { 2 }. Dalam operasi irisan berlaku bahwa(A B) A dan (A B) B dan juga A AC .Selisih antara himpunan A dan himpunan B adalah anggota A yang bukan B. Notasi yangdigunakan adalah A-B. Secara matematik A-B { x x A dan x B }. Sebagai contoh jikaA {0, 1, 2, 3} dan B { 3, 4, 5 } maka A-B { 0, 1, 2 }. Diagram Venn untuk selisih dapatdigambarkan.6

Jumlahan himpunan A dan B adalah himpunan A saja atau himpunan B saja tetapi bukananggota A dan B. Dalam hal ini digunakan notasi A B. Secara matematik dapat dinyatakansebagai A B { x x (A B) tetapi x (A B) }. Sebagai contoh jika A { 1, 2, 3, 4, 5 }dan B { 2, 4, 6 } maka A B { 1, 3, 5, 6 }. Diagram Venn dari operasi penjumlahan dapatdigambarkan. Catatan bahwa : A B (A B) - (A B) atau A B (A - B) (B - A).Hukum-hukum aljabar himpunan:1. Hukum komutatif :A B B A,A B B A.Bukti :Karena A B { x x A dan x B } makaA B { x x B dan x A } B A.Karena A B { x x A atau x B } makaA B { x x B atau x A } B A.2. Hukum assosiatif:A (B C) (A B) C,A (B C) (A B) C.3. Hukum idempoten:A A A,A A A.7

4. Hukum distributif :A (B C) (A B) (A C),A (B C) (A B) (A C).5. Hukum de Morgan :(A B)c Ac Bc,(A B)c Ac Bc.6. Jika A B maka A B A dan A B B.Himpunan bilanganHimpunan bilangan asli (natural number) N { 1, 2, 3, 4, 5, . }.Himpunan bilangan prima (prime number) P { 2, 3, 5, 7, 11, 13, . }.Himpunan bilangan cacah C { 0, 1, 2, 3, 4, . }.Himpunan bilangan bulat (integer) Z { ., -3, -2, -1, 0, 1,2, 3, . }.Himpunan bilangan real (real number) R adalah himpunan yang memuat semua bilangananggota garis bilangan.Himpunan bilangan rasional (rational number) Q { a/b a, b Z dan b 0 }Himpunan bilangan irrasional R – Q Qc { x R x Q }.2. Operasi binerDalam aljabar tidak hanya dibahas tentang himpunan tetapi juga himpunan bersamadengan operasi penjumlahan dan pergandaan yang didefinisikan pada himpunan.Definisi I.1Misalkan A himpunan tidak kosong.8

Operasi biner * pada A adalah pemetaan dari setiap pasangan berurutan x, y dalam A dengantepat satu anggota x * y dalam A.Himpunan bilangan bulat Z mempunyai dua operasi biner yang dikenakan padanya yaitupenjumlahan ( ) dan pergandaan (.). Dalam hal ini untuk setiap pasangan x dan y dalam Z,x y dan x.y dikawankan secara tunggal dengan suatu anggota dalam Z.Operasi biner mempunyai dua bagian dari definisi yaitu:1. terdefinisikan dengan baik (well-defined) yaitu untuk setiap pasangan berurutan x, ydalam A dikawankan dengan tepat satu nilai x*y.2. A tertutup di bawah operasi * yaitu untuk setiap x, y dalam A maka x*y masih dalam A.Contoh I.3:Diketahui N himpunan semua bilangan bulat positif.Didefinisikan * dengan aturan x*y x-y.Karena 3, 5 dalam N dan 3*5 3-5 -2 tidak berada dalam N maka N tidak tertutup dibawah operasi * sehingga * bukan operasi biner pada N.Contoh I.4:Didefinisikan operasi # dengan aturan x # y x 2y dengan x, y dalamN {1, 2, 3, }.Akan ditunjukkan bahwa # merupakan operasi biner.Jelas bahwa # terdefinisikan dengan baik karena rumus x 2y memberikan hasil tunggaluntuk setiap x, y dalam N.9

Untuk sebarang x, y dalam N maka jelas bahwa x 2y masih merupakan bilangan bulatpositif. Lebih jauh 2y x 0 jika x 0 dan y 0.Berarti hasil dari x 2y masih merupakan bilangan positif dan akibatnya N tertutup di bawahoperasi #.3. Hukum-hukum AljabarSuatu sistim aljabar terdiri dari himpunan obyek dengan satu atau lebih operasi yangdidefinisikan padanya. Bersama dengan hukum-hukum yang dibutuhkan dalam operasi.Definisi I.2Misalkan * operasi biner pada himpunan A.(1) operasi * assosiatif jika (a*b)*c a*(b*c) untuk semua a, b, c dalam A.(2) operasi * komutatif jika a*b b*a untuk semua a, b dalam A.Dalam pembahasan selanjutnya hukum-hukum dasar aljabar untuk penjumlahan danpergandaan yang didefinisikan pada bilangan bulat Z dan bilangan real R sebagai aksioma(axioms) yaitu diterima tanpa bukti.Contoh I.5:Operasi * didefinisikan pada himpunan bilangan real R dengan a*b (1/2)ab.Akan ditunjukkan bahwa * assosiatif dan komutatif.Karena (a*b)*c (1/2 ab)*c (1/2)((1/2 ab)c) (1/4) (ab)c10

dan pada sisi laina*(b*c) a*((1/2) bc) (1/2) a((1/2) bc) (1/4)(ab)cuntuk semua a, b dan c dalam R maka * assosiatif.Karena a*b (1/2)ab (1/2)ba b*auntuk semua a, b dalam R maka * komutatif.Contoh I.6:Operasi didefinisikan pada bilangan bulat Z dengan aturan a b a 2b.Akan ditunjukkan bahwa tidak komutatif dan tidak assosiatif.Karena pada satu sisi(a b) c (a 2b) c (a 2b) 2cdan pada sisi laina (b c) a (b 2c) a 2(b 2c) a (2b 4c) (a 2b) 4cdari kedua hasil tersebut tidak sama untuk c 0 maka tidak assosiatif.Karena a b a 2b dan b a b 2a dan kedua hasil ini tidak sama untuk a b maka tidakkomutatif.11