Geometria Anal Tica I

Geom. Analı́tica IRespostas do Módulo I - Aula 101Geometria Analı́tica I10/05/2011Respostas dos Exercı́cios do Módulo I - Aula 10Aula 10Observação: Nos gráficos abaixo, uma fronteira preta significará fronteirafechada (que pertence à região) e uma linha clara signficará fronteira aberta (quenão pertence à região, normalmente representada por tracejado ou pontilhado)1.a. A equação xy 2 representa a hipérbole de focos (2, 2) e ( 2, 2),centro (0, 0) e assı́ntotas x 0 e y 0. Os focos pertencem à regiãoque satisfaz a inequação xy 2; de fato, 2 · 2 4 2 e ( 2) · ( 2) 4 2. O centro (0, 0), por outro lado não pertence à região, poisFundação CECIERJConsórcio CEDERJ

Geom. Analı́tica IRespostas do Módulo I - Aula 1020 · 0 0 1. Assim, a região definida por xy 2 é dada por A equação x2 y 2 1 representa a hipérbole de focos2, 0 e 222 2, 0 e centro (0, 0). Para o centro (0, 0), temos x y 0 02 0 1. Os focos, por sua vez, não satisfazem a inequação x2 y 2 1, pois ( 2)2 02 2 1 e ( 2)2 02 2 1. Assim, a regiãodefinida por x2 y 2 1 éFundação CECIERJConsórcio CEDERJ

Geom. Analı́tica IRespostas do Módulo I - Aula 103Tomando a interseção destas regiões, obtemosNote que a interseção das curvas que delimitam a região é calculadafazendo-se(xy 2x2 y 2 1Multiplicando a segunda equação por x2 , temosx4 (xy)2 x2 .Como (xy)2 4, temosx4 x2 4 0,que, resolvida em x2 nos dará2x 1 2Assim,sx 171 217. (Note que descartamos x2 (1 17)/2, pois, sendo este valor negativo, não poderia ser o quadrado de x.) Logo, 22 2y p .x1 17Fundação CECIERJConsórcio CEDERJ

Geom. Analı́tica IRespostas do Módulo I - Aula 104Assim, os pontos de interseção são s1 172 s 2 2 1 172 2 ,p, pe . 21 171 17b. A região definida por x y 1 0 éPor outro lado,(x 1)2 (y 1)2 2x x2 2x 1 (y 1)2 2x x2 (y 1)2 1,que é sempre satisfeita, uma vez que a soma de dois quadrados serásempre positiva, logo, maior ou igual a 1. Logo, a região definidapela segunda inequação é todo o R2 . Assim, a região da interseção éa mesma definida por x y 1 0, já apresentada acima.c.x2 y 2 2x 4y 1 x2 2x 1 y 2 4y 4 4 (x 1)2 (y 2)2 4,Fundação CECIERJConsórcio CEDERJ

Geom. Analı́tica IRespostas do Módulo I - Aula 105logo, a região definida pela primeira inequação éx2 y 2 6x 4y 4 x2 6x 9 y 2 4y 4 1 (x 3)2 (y 2)2 1,logo, a região é dada porComo y 0 descreve o semiplano positivo, a interseção das regiõesFundação CECIERJConsórcio CEDERJ

Geom. Analı́tica IRespostas do Módulo I - Aula 106será2.1x2 2x y a 0 x2 2x 1 y a 1 0 (x 1)2 4 (y (1 a)).4Sabemos que1(x 1)2 4 (y (1 a))4representa a parábola de vértice (1, 1 a), concavidade para baixo e foco(1, 1 a 1/4). Substituindo o foco, temos1(1 1)2 4 (1 a 1/4 (1 a)) 0 1/4,4que é FALSO! Assim, o foco não pertence à região. A região será entãodada porPara que a reta y 0 pertença a esta região, devemos ter, então, 1 a 0,Fundação CECIERJConsórcio CEDERJ

Geom. Analı́tica IRespostas do Módulo I - Aula 107logo a 1. Note que não poderia ser a 1, pois se a 1, o vértice(1, 1 a) (0, 0) não estará contido na região (pois ela é definida por um‘ ’, não por um ‘ ’), e assim faltaria um ponto da reta y 0.3.a. Seguindo a idéia da página 153, podemos dividir o a primeira equação x y 2 em dois sistemas,(x y 2x y 0(ou x y 2x y 0(onde o “ou” indica que tomaremos a união das regiões). O primeirosistema nos dáe o segundoA união das regiões será entãoFundação CECIERJConsórcio CEDERJ

Geom. Analı́tica IRespostas do Módulo I - Aula 108Note que até agora encontramos apenas a região correspondente àprimeira equação. A segunda, x y 2 pode ser encontrada pelomesmo processo, e seráA interseção destas regiões será entãoObservação: Vamos ver uma outra forma de lidar com inequaçõescomo x y 2. Se b 0, sabemos que a b a2 b2 . Assim, x y 2 x2 2xy y 2 4.Masx2 2xy y 2 4que é a equação da cônica degenerada dada pelas retasx y 2 e x y 2.Testando então um ponto de cada região, vemos quex2 2xy y 2 4Fundação CECIERJConsórcio CEDERJ

Geom. Analı́tica IRespostas do Módulo I - Aula 109será a região do plano entre as duas retas, esboçada acima ( o terceiroesboço deste item).b. Para x y 1, podemos proceder como acima e obter a união dossistemas((x y 1 x y 1ou,x 0x 0de soluções (respectivamente)cuja união seráAs outras equações nos dãox2 y 2 1 :Fundação CECIERJConsórcio CEDERJ

Geom. Analı́tica IRespostas do Módulo I - Aula 1010x y:A interseção das três regiões será:Fundação CECIERJConsórcio CEDERJ

Geom. Analı́tica IRespostas do Módulo I - Aula 1011c. A região serád. A região seráe. A região será4.a. Como visto no Exemplo 10.9, a região determinada por(x y 1)(y x 2) 0é a união das regiões definidas por(x y 1 0y x 2 0(oux y 1 0y x 2 0(De fato, para que (x y 1)(y x 2) seja negativo, é necessário eFundação CECIERJConsórcio CEDERJ

Geom. Analı́tica IRespostas do Módulo I - Aula 1012suficiente que x y 1 e y x 2 tenham sinais diferentes. Os pontosem que ao menos uma das equações se anula, estão naturalmente nasolução de algum dos sistemas).A solução do primeiro sistema ée a do segundo éAssim, a união será dada porb. A região determinada por(9x2 y 2 36x 27)(x2 4x y 4) 0Fundação CECIERJConsórcio CEDERJ

Geom. Analı́tica IRespostas do Módulo I - Aula 1013é a união das regiões definidas por(9x2 y 2 36x 27 0x2 4x y 4 0(ou9x2 y 2 36x 27 0x2 4x y 4 0(De fato, para que (9x2 y 2 36x 27)(x2 4x y 4) seja positivo,é necessário e suficiente que 9x2 y 2 36x 27 e x2 4x y 4tenham sinais iguai).A solução do primeiro sistema ée a do segundo éAssim, a união será dada porFundação CECIERJConsórcio CEDERJ

Geom. Analı́tica IRespostas do Módulo I - Aula 1014c. A região determinada por( x 4)(4x2 9y 2 40x 54y 145) 0é a união das regiões definidas por( x 4 04x2 9y 2 40x 54y 145 0(ou x 4 04x2 9y 2 40x 54y 145 0Vamos tentar entender a região definida por x 4 0. Note que x 4 0 x 4 4 x 4,Assim, o primeiro sistema definirá a regiãoDa mesma forma, para que x 4 0, é necessário e suficiente quex 4 ou x 4. Assim, o segundo sistema define a regiãoFundação CECIERJConsórcio CEDERJ

Geom. Analı́tica IRespostas do Módulo I - Aula 1015A união delas seráFundação CECIERJConsórcio CEDERJ

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