1 Teoria E Lista De Exerc Cios Introdut Orios

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Geometria analı́tica11Teoria e lista de exercı́cios introdutóriosVeremos problemas básicos de Geometria analı́tica que tenham relaçãocom os conceitos básicos de GA. Como começamos por coordenadas depontos na reta, no plano e no espaço tridimensional, veremos primeiroestes problemas.Devemos nos lembrar das fórmulas básicas e dos critérios básicos.Afirmação. Dados os pontos A e B, o ponto médio dos dois éM A B.2A afirmação acima vale na reta, no plano e no espaço tridimensional.Se temos em r coordenadas de pontos e A tem coordenada 1 e Bcoordenada 3, então o ponto médio tem coordenada 1 32 1.Se temos no plano A(1, 3) e B(7, 3), então o ponto médio tem coorde3 3nadas ( 1 72 , 2 ) (4, 3).Se temos no espaço A( 1, 3, 7) e B(5, 1, 3), então o ponto médio deles3 1 7 3tem coordenadas ( 1 52 , 2 , 2 ) (2, 2, 5).Afirmação. A distância entre dois pontos é a raiz quadrada da soma dosquadrados das diferenças de suas coordenadas.Alguns exemplos: a distância entre os pontos A e B de coordenadas 2e 3 na reta r é 3 ( 2) 5. Observe que é igua ap (3 ( 2))2 25 5.pMais exemplos: A(1, 2), B(4, 6), d(A, B) (4 1)2 (6 2)2 9 16 25 5.

2 Fernando Antonio de Araujo CarneiroOutro: A(1, 2, 3), B(3, 4, 4), d(A, B) p(3 1)2 (4 2)2 (4 3)2 4 4 1 3.Problema 1. Encontre a fórmula do simétrico de B em relação a A.Resposta: 2A B.2Pontos em um segmentoAgora, vejamos qual é a regra para que um ponto C esteja no segmentoAB.C (1 t)A tB, t [0, 1].Além disso,d(A, C) td(A, B).d(B, C) (1 t)d(A, B).Portanto, o coeficiente de B mostra a proporção entre AC e AB, e ocoeficiente de A mostra a proporção entre BC e AB.

Geometria analı́tica33Pontos em uma retaE pontos numa reta em geral, quer dizer, C rAB ?Se C está em rAB , à direita de B, então B (1 t)A tC, t (0, 1).Logo,11tC B (1 t)A C (1 )A ( )B.tt11Observe que se t (0, 1) então t 1 e 1 t 0. Logo, C também écombinação linear de A e B, mas com um coeficiente maior que 1, o de B,e um negativo, o de A.Um exemplo é o simétrico S de A em relação a B: S 2B A. Ocoeficiente do B nessa combinação é a proporção entre d(A, S) e d(A, B),AS é o dobro de AB. E o 1 em módulo é a proporção de BS e AB, quetêm o mesmo comprimento.

4Fernando Antonio de Araujo CarneiroAnalogamente, se o ponto C está à esquerda de A, isto é, fora de AB,mas mais próximo de A, temosC (1 α)A αB,Exemplo 1. Os pontos do segmento AB são escrito da forma (1 t)A tB,com t entre zero e um. Vamos observar que os pontos de fora do segmentosão dessa forma também, mas agora por meio de exemplos. Se C está forade AB, à direita de B, então B pertence a AC. Suponha B 23 A 13 C.Então21B A C 3B 2A C C 3B 2A.33Do mesmo modo, suponha D na reta rAB à esquerda de A, e, portanto, Ano interior de DB, com A 34 D 41 B. Assim,3141A D B 4A 3D B D A B.4433Problema 2. Na figura acima temos os pontos dispostos de tal maneiraque DA AB BC CF F E. Encontre expressões para:1. D em função de A e B;2. D em função de A e C;3. E em função de A e B;4. F em função de A e B;

Geometria analı́tica55. A em função de E e F ;6. C em função de D e E.Resposta: vou fazer a segunda para ilustrar: C A 2(A D); logo,13C A 2A 2D 2D 3A C D A C.22Observe que a ordem deve ser respeitada e que DA AB BC CF F E implicaA D B A C B F C E F.1. D 2A B;2. D 23 A 12 C;3. E 4B 3A;4. F 3B 2A;5. A 4F 3E;6. C 52 D 35 E.Problema 3. Seja C na reta rAB tal que a razão entre AC e AB é 5 eBC e AB é 4. Expresse o ponto C como combinação linear de A e B. Eleestá mais próximo de A ou de B?Resposta: C 5B 4A.4Segmentos paralelos e comparação de sentidosVamos primeiro comparar segmentos que estão em retas distintas. Lembremos que dois segmentos paralelos estão contidos no mesmo plano, entãopodemos resolver o problema no plano que os contém.

6Fernando Antonio de Araujo CarneiroHá três situações possı́veis para segmentos paralelos.A primeira, AB e CD têm a mesma direção e o mesmo sentido e comprimentos diferentes. Assim, AB e CD formam um trapézio cujos ladossão AC, o segmento que une os extremos iniciais, e BD, o segmento queune os extremos finais. Como eles têm comprimentos diferentes, existe Efora do trapézio onde se cruzam as retas rAC e rBD . Assim, A (1 t)E tC, B (1 s)E sD, t, s [0, 1].Além disso, t s pois AB k CD e portanto os triângulos EAB e ECDsão semelhantes, assim, AB corta os lados EC e ED na mesma proporção.PortantoA tC (1 t)E B tD B A t(D C), t [0, 1].Observe que nesse caso a proporção entre B A e C D é um númeropositivo.

Geometria analı́tica7A segunda é quando AB e CD têm a mesma direção, mesmo sentido emesmo comprimento. Nesse caso AB e CD formam um paralelogramo delados AC e BD. Como as diagonais de um paralelogramo se cruzam numponto que as divide ao meio, temosA DB C B A D C.22Logo, a razão entre B A e C D é 1.A terceira é quando AB e CD têm sentidos opostos. Nesse caso, ACe BD são diagonais de um trapézio e se cruzam num ponto E. Como arazão de AE para AC e BE para BD são a mesma, vale E (1 t)A tC, E (1 t)B tD, t, s [0, 1].

8Fernando Antonio de Araujo CarneiroLogo,(1 t)A tC (1 t)B tD B A t(D C).1 tAssim, a proporção entre B A e D C é um número negativo. Podemosenunciar o critério de comparações da seguinte forma:i. AB e CD com a mesma direção se e só se B A e D C são proporcionais;ii. AB e CD com mesma direção e mesmo sentido se e só se B A eD C proporcionais com razão positiva;iii. AB e CD com mesma direção e sentidos opostos se e só se B A eD C proporcionais com razão negativa;iv. AB e CD com mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimentose e só se B A e D C proporcionais com razão 1.Problema 4. Dados AB e CD paralelos, AB com mesmo sentido de CDe o dobro de seu tamanho, encontre D em função de A, B e C.Resposta: D C 12 B 21 A.Problema 5. Dados A, B e C que não estão na mesma reta, encontre Dtal que ABCD é paralelogramo de diagonais AC e BD.Resposta: D A C B.Problema 6. Encontre D tal que ABCD é trapézio de bases paralelas ABe CD e diagonais AD e BC, sendo AB a base menor e CD o triplo deAB.Resposta: D C 3B 3A.

Geometria analı́tica59Recı́proca do critérioNa verdade, afirmamos o critério de comparação de segmentos de reta semdemonstrar a recı́proca, sem mostrar que B A e D C proporcionaisimplica AB e CD paralelos.Podemos dividir essa demonstração em dois casos:Primeiro: B A D C. Ou seja, razão de proporcionalidade 1 (ocaso 1 é praticamente igual). Nesse caso, vale A D B C, o que,por sua vez, implicaA DB C .22Assim, se estão em retas diferentes, formam um quadrilátero cujas diagonais têm pontos médios coincidentes. Assim, esse quadrilátero tem que serum paralelogramo e AB paralelo a CD. Se AB e CD não estão em retasdiferentes não há nada para se provar.Segundo: D C t(B A), t 6 1. Isso implicaD tA C tB Vamos definir E 11 t D1t1tD A C B.1 t1 t1 t1 t t1 t A.Então E rAD e E rBC . Se sãoa mesma reta, então terminou, eles são paralelos. Se não são, então ostriângulos EAB e ECD são semelhantes e, portanto, AB paralelo a CD.6Pontos interiores a um triânguloSabemos que um ponto C no segmento AB pode ser escrito comoC (1 t)A tB,

10Fernando Antonio de Araujo Carneirocom t [0, 1]. E um ponto no interior do triângulo ABC, de vértices A,B e C?Um ponto P no interior do triângulo ABC pode ser visto como umponto no segmento AD, sendo D no segmento BC, lado oposto a A: P (1 t)A tD, D (1 s)B sC, t, s [0, 1].LogoP (1 t)A t(1 s)B tsC.Assim, P no interior de ABC pode ser escrito como média ponderadados vértices, já que os coeficientes de A, B e C na igualdade acima somam1.Observe que t 12es 23nos dão113P A B ,33Co baricentro, encontro das medianas de ABC.Problema 7. Dados A, B e C formando um triângulo e P 14 A 12 B 14 C,encontre a ceviana que parte de A e contém P , isto é, encontre osegmento que parte de A até o lado oposto BC que contém P , encontrandoo extremo desse segmento que pertence a BC.Resposta: 23 B 13 C.

Geometria analı́tica711VetorAgora, dado um segmento AB, sabemos que várias informações a respeitodele dependem só da diferença das coordenadas do extremo final e doextremo inicial. Que informações podemos tirar de um segmento AB?1. seu comprimento: d(A, B);2. sua direção: a da reta que contém A e B;3. seu sentido: se A para B (o sentido oposto, de B para A, sendo o dosegmento BA).Como lidamos com essas informações com base na diferença de coordenadas? Dados um segmento AB:1. o comprimento é: B A ;2. a direção é a da reta dos pontos P (1 t)A tB, t número real;3. o sentido transparece melhor na comparação entre segmentos paralelos.Como podemos comparar essas informações a respeito de um segmentoe de outro? Primeiro, dados AB e CD,1. eles são paralelos se e só se D C e B A são proporcionais, isto é,existe k número real tal que D C k(B A);2. eles têm o mesmo sentido se k é positivo, têm sentidos opostos se k énegativo.3. o valor absoluto de k mede o quanto um é maior do que o outro, emborapossamos comparar comprimentos mesmo quando não são paralelos.

12Fernando Antonio de Araujo CarneiroSabendo que a diferença de coordenadas dos extremos contém as informações a respeito do comprimento, direção e sentido, podemos reunirnum mesmo conjunto aqueles segmentos que têm mesmo comprimento,direção e sentido. Esse conjunto é que é o vetor. Portanto, vetor é o conjunto de segmentos orientados equipolentes. Logo, AB e CD pertencemao mesmo vetor se e só se B A D C: {CD : D C B A}.AB é o conjunto dos segmentos orientados CD que são equipoO vetor ABlentes a AB. Assim, CD D C B A.AB podemos atribuir coordenadas, exatamente as coordenadasAo vetor ABda diferença B A.Algumas propriedades:i. A relação de equipolência é uma relação de equivalência e todo vetoré uma classe de equivalência;ii. Dado um vetor v, sempre há um segmento orientado que começa emA e pertence a v;iii. Em particular, todo vetor v tem um representante que parte da origem,e o extremo final desse representante tem as mesmas coordenadas dev.

Geometria analı́tica13Dados os pontos A(1, 2), B(3, 5), C( 1, 3), D(1, 6), B A (2, 3),D C (2, 3). Portanto, o vetor v (2, 3) é representado por AB e CD, CD. Se quisermos um representante desse vetore, portanto, v ABque parte da origem, se chamamos o ponto de coordenadas (2, 3) de E, OE representa v, e, assim, v OE.Problema 8. Fazer a mesma figura acima para o vetor u (3, 1) e os CD pontos A(2, 1), C(2, 0), isto é, ache B, D e E tais que u AB OE.

148Fernando Antonio de Araujo CarneiroSoma de vetoresDefinição. Sejam dois vetores u e v, a soma de u v é um vetor cujascoordenadas são as somas das coordenadas de u e v. Se são vetores noplano, u (xu , yu ) e v (xv , yv ), então u v (xu xv , yu yv ). Se sãovetores no espaço tridimensional, u (xu , yu , zu ) e v (xv , yv , zv ), entãou v (xu xv , yu yv , zu zv ).Propriedades. 1. dados dois vetores quaisquer u e v, u v v u;2. dados três vetores quaisquer u, v e w, u (v w) (u v) w;3. existe um vetor 0 tal que u 0 u para todo vetor u;4. dado u qualquer, existe um vetor u tal que u ( u) 0;Como podemos ver na figura acima, a soma de vetores geometricamenteé uma concatenação de caminhos retos. Ir de A para B e depois de B paraC equivale a ir de A para C. Em coordenadas:

Geometria analı́tica15 u B A, u v C A u v AC. v C B,Problema 9. Ver as propriedades acima nos casos em que conhecemosos representantes de u e v, isto é, fazendo desenhos no plano coordenado. o vetor u da propriedade 4 é o vetor BA, ePor exemplo, se u AB, BA AA 0.u ( u) AB9Multiplicação por um escalarDefinição. Seja o vetor u e o número real m, a multiplicação de u pelo escalar m é mu, um vetor cujas coordenadas são as de u multiplicadas por m.Se é vetores no plano, u (xu , yu ) e então mu (mxu , myu ). Se é vetorno espaço tridimensional, u (xu , yu , zu ) e então mu (mxu , myu , mzu ).Propriedades. 1. 0 · u 0;2. 1 · u u;3. ( 1) · u u;4. dados dois números reais m e n quaisquer e um vetor u, (m n)u mu nu;5. dados dois números reais m e n quaisquer e um vetor u, m(nu) (mn)u;6. dados um número real m e dois vetores u e v, m(u v) mu mv;

16Fernando Antonio de Araujo CarneiroGeometricamente, a multiplicação por um escalar gera os vetores paralelos ao vetor u que é multiplicado pelo escalar em questão.Observe que AB e CD paralelos equivale a D C e B A proporcionais,que, por sua vez, equivale a D C m(B A), que também equivale a mAB. CD mAB equivaleTambém observe que no caso da figura acima ACa C A m(B A), que equivale a C (1 m)A mB, que é acaracterização dos pontos que pertencem à reta que passa por A e B.Desse modo, os critérios de paralelismo e colinearidade podem ser escritos da seguinte maneira: e AB múltiplos um do outro, isto1. A, B e C colineares equivale a AC mAB; é, existe m número real tal que AC e CD são múltiplos um2. AB e CD segmentos paralelos se e só se ABdo outro.

Geometria analı́tica17 2AB e que os segProblema 10. Observe na figura acima que CDmentos são paralelos. Encontre as coordenadas dos pontos, calcule as dosvetores e encontre a relação entre eles. Você pode concluir daı́ o paralelismo, mas também pode tentar mostrar pela figura, sem uso de vetores,que os segmentos são paralelos.10Produto escalarO produto escalar é uma operação que procura enxergar o ângulo entredois vetores u e v. Vamos fazer um teste. e v AC vetores no plano de coordenadas (xu , yu )Sejam u ABe (xv , yv ), eles geram um triângulo retângulo ABC de ângulo de 90o novértice A se d(B, C)2 d(A, B)2 d(A, C)2 . Logo, (xv xu , yv yu ) 2 (xu , yu ) 2 (xv , yv ) 2

18Fernando Antonio de Araujo Carneiro(xv xu )2 (yv yu )2 x2u yu2 x2v yv2 x2v 2xv xu x2u yv2 2yu yv yu2 x2u yu2 x2v yv2 xu xv yu yv 0.O mesmo vale pro caso tridimensional (faça as contas como exercı́cio):se u e v geram um triângulo retângulo entãoxu xv yu yv zu zv 0. Problema 11. Tanto no caso do plano quanto do espaço, dados u AB mostre que d(A, B)2 d(A, C)2 d(B, C)2 é duas vezes a somae v AC,dos produtos das coordenadas de u e v.Vamos definir então uma operação de produto escalar: dados u e v, u · vé um número real cujo valor é a soma dos produtos das coordenadas de ue v.Ou seja, no planou · v : xu xv yu yve no espaçou · v xu xv yu yv zu zv .Com essa definição, temos as seguintes propriedades:Propriedades. 1. u · v v · u;2. (u v) · w u · w v · w;3. (mu) · v m(u · v) u · (mv);4. u · u u 2 ;5. u · u 0 se u 6 0.

Geometria analı́tica19 e v AC, d(A, B)2 A relação com ângulos: já vimos que, se u ABd(A, C)2 d(B, C)2 é o dobro do produto escalar. Mas, diz a lei doscossenos que2d(A, B)d(A, C)cos d(A, B)2 d(A, C)2 d(B, C)2 . e v AC, d(A, B) u e d(A, C) v . Assim, temosComo u AB2 u v cos 2u · v cos u·v. u v Outra maneira de calcular o ângulo entre os dois vetores é utilizar afórmula do cosseno da diferença de dois ângulos. Pela figura acima, se α éo ângulo de u com o eixo horizontal, e β o ângulo de v com o horizontal,temos cos(α) xu u e cos(β) xv v .Usando a fórmula:cos(α β) cos(α)cos(β) sen(α)sen(β) xu xvy u yv . u v u v

2011Fernando Antonio de Araujo CarneiroExercı́cios e CD. Problema 12. Dada a figura acima, calcule o ângulo entre ABProblema 13. Dados os vetores u (1, 2, 2) e v (7, 4, 4), calcule oângulo entre eles.Problema 14. Dada a figura acima, encontre o ponto H no lado AC talque BH é altura do triângulo ABC.

Geometria analı́tica21Problema 15. Dados os pontos A, B e C da figura acima, encontre D oponto mais próximo a C e que pertence à reta que passa por A e B.Problema 16. Primeiro, encontre G o baricentro de ABC. Depois, encontre D em AC o ponto mais próximo de G e que pertence à reta quepassa por A e C.Problema 17. Pela mesmo figura do exercı́cio anterior, encontre E nolado AC tal que BE divida o ângulo B̂ ao meio.

22Fernando Antonio de Araujo Carneiro12VersorOs problemas de divisão ao meio de ângulos entre vetores podem ser resolvidos com o conceito de versor. Dado um vetor u qualquer, que nãoseja o vetor nulo, o versor de u, Vu , é o vetor unitário de mesma direção emesmo sentido de u. Vetor unitário é todo aquele que tem módulo 1.Se Vu tem a mesma direção de u, então é múltiplo de u: Vu mu; setem a mesma direção, é múltiplo positivo de u: m 0. Se Vu é unitário,então:1 Vu mu m u 1 m 1u Vu . u u Por exemplo, 3 4 u (3, 4), então Vu ( , ),5 5 v (1, 2, 2), então Vv ( 1 , 2 , 2 ).3 3 3É um propriedade que distingue os losangos a de ter as diagonais comobissetrizes dos ângulos internos. Quando traçamos a diagonal do losango,ela o divide em dois triângulos isósceles congruentes, de modo que osângulos divididos pelas diagonais são divididos ao meio. Se traçamos adiagonal de um paralelogramo que não é losango, que não tem os quatrolados congruentes, a diagonal o divide em dois triângulos congruentes masnão isósceles, de modo que os ângulos internos não são divididos ao meio.

Geometria analı́tica23Como podemos usar essa propriedade para dividir ângulos ao meio?Dados dois vetores u e v, eles formam um paralelogramo. Se tiveremmódulos iguais, formam um losango, tipo especial de paralelogramo. Logo,se formamos o losango a partir dos versores de u e v, encontramos o vetorque divide o ângulo entre u e v em dois ângulos iguais.A figura acima mostra o paralelogramo formado por u e v e o formadopor Vu e Vv . Veja que as diagonais dos dois paralelogramos não necessariamente têm a mesma direção.Quando temos um triângulo ABC e queremos achar a bissetriz do ânguloÂ, isto é, quando queremos achar D no lado oposto BC tal que AD divide múltiplo da soma deo ângulo  ao meio, podemos procurar o vetor AD e AC. versores de AB

24Fernando Antonio de Araujo CarneiroSe D está no segmento BC então D (1 t)B tC e, portanto,D A (1 t)(B A) t(C A). Assim, (1 t)AB tAC. D A (1 t)(B A) t(C A) AD deve ser múltiplo da soma dos versores de AB e AC: Além disso, AD m( AB AC ) m AB m AC. AD AB AC AB AC é a combinação linear de AB ePela primeira equação vemos que AD cuja soma de coeficientes é um, pela segunda vemos que a soma deACcoeficientes ém AB m AC , que deve ser um, e assim encontramos o valor dem: AC mm AB 1 m AC AB AC AB ADDo mesmo modo: AC AC AB AB AB AC AB AC.

Geometria analı́tica25D AC AC AB B AB AC AB C.Problema 18. Utilize a fórmula anterior para mostrar que se AB AC , isto é, se o triângulo é isósceles, então a mediatriz é bissetriz.Problema 19. Dado o triângulo ABC com A(0, 0), B(3, 4) e C(4, 0),encontre D tal que AD é bissetriz de Â.Resposta:532 164D B C ( , ).999 913ObservaçõesPodemos resolver o exercı́cio 19 de outro modo, usando o produto escalar.Vou resolvê-lo por esse outro método.Se D está em BC, então D (1 t)B tC (3(1 t) 4t, 4(1 t)) (3 t, 4 4t). Agora, se AD divide  ao meio, então, se usarmos o produtoescalar para ver o ângulo que A

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