Geometria Anal Tica - Programa C Ao Linear

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Ga - Programação linear1Geometria analı́tica - Programação linearPerı́odo de 2014.1 - Prof. Fernando CarneiroRio de Janeiro, Junho de 20141IntroduçãoEstudaremos as retas no plano euclidiano bidimensional e uma interessante aplicação,que recebe o nome de programação linear.Antes, devemos verificar as diferenças entre a geometria analı́tica no plano e no espaço.Primeiro, os pontos e vetores são representados por somente duas coordenadas: (x, y).O produto escalar continua o mesmo e ainda serve para calcular ângulos. Se u (a, b)e v (a0 , b0 ) então u · v aa0 bb0 .O ângulo entre dois vetores continua sendocos θ u · v. u v Também a projeção de v (a0 , b0 ) na direção de u (a, b) tem a mesma fórmulaproj u v ( u · vaa0 bb0) u ( 2)(a, b). v · va b2Quanto ao produto vetorial, só serve para calcular àreas. A área do paralelogramogerado por u e v será (a, b, 0) (a0 , b0 , 0) (0, 0, ab0 a0 b) ab0 a0 b .Quanto à ortogonalidade, somente pares de vetores podem ser ortogonais entre si.Trios de vetores não podem ser ortogonais dois a dois. Portanto essa utilidade do produtovetorial desaparece no caso do plano. Neste caso, dado u (a, b) existe uma maneirasimples de achar um vetor ortogonal a u: é só inverter a posição das coordenadas e mudaro sinal de uma delas, ou seja n ( b, a) u (a, b).O produto misto perde totalmente a utilidade já que no caso coplanar ele é nulo.

Ga - Programação linear22Equação da reta no planoDados o ponto P (x, y) e A(x0 , y0 ) no plano e o vetor n (a, b), a seguinte equação · n 0APdetermina uma reta no plano. Mais especificamente, determina a reta que passa peloponto A e tem vetor normal n (a, b).Isso acontece porque no plano cada direção tem somente uma direção ortogonal. Nocaso de vetores, isso significa que cada vetor n (a, b) tem um representante ortogonal,o vetor v ( b, a).Desenvolvendo a equação temos · n a(x x0 ) b(y y0 ) ax by (ax0 by0 )0 AP 0 ax by d, tal que d : ax0 by0 ,ou ax by d.Vamos definir a inclinação da retaax by dcomo a tangente de um dos ângulos que a reta faz com o eixo Ox:atan θ .b

Ga - Programação linear3Na figura acima temos a reta3x 4y 12,de inclinação 43 .Para o próximo tópico, devemos saber além de retas, de semi-planos. Um semi-plano,como diz o nome, é metade do plano. Para dividir o plano em duas metades, precisamosde uma reta. Portanto, a cada semi-plano associamos uma reta. Ela divide o planobidimensional em dois semi-planos, Se a reta tem equação geralax by dos semi-planos sãoax by d e ax by d.

Ga - Programação linear4Na figura acima temos a reta que define o semi-planox y 4.O vetor normal é o vetor (1, 1) e seguindo o sentido do vetor normal vamos da retax y 0até a retax y 4e assim por diante.3Posição relativa entre duas retasDadas duas retasr1 : ax by d, r2 : a0 x b0 y d0o ângulo entre r1 e r2 é o menor ângulo formado pelas duas retas. Isto implica que oângulo está entre 0o e 90o . Dados os vetoresn1 (a, b), n2 (a0 , b0 )normais a r1 e r2 respectivamente, se α é o ângulo entre n1 e n2 , o menor ângulo entre asretas será α ou 180o α, dependendo do sentido dos vetores normais escolhidos. Logo,como o cosseno do ângulo entre as retas é positivo e é o valor de cosseno de α e de 180o αa menos de um sinal, vale a fórmula:n1 · n2cos θ . n1 n2

Ga - Programação linear5Exemplo 3.1. Sejam as retasr1 : x y 1, r2 : 4x 3y 2.O ângulo entre elas é 4 3 2cos θ .102·5Exemplo 3.2. Retas ortogonais têm vetores normais ortogonais:r3 : 2x 2y 5, r4 : x y 3.Podemos agora estudar a posição relativa entre duas retas no plano. São duas asposições possı́veis: paralelas ou concorrentes. A posição relativa pode ser determinadade acordo com o ângulo entre duas retas, ou a interseção ou a distância.Posição relativa Paralelas distintas ConcorrentesÂngulo 06 0Interseção 1 pontoDistância6 0 0Considerando os dois exemplos dessa seção, r1 e r2 são concorrentes, r3 e r4 tambémsão concorrentes, e r1 e r3 são paralelas distintas.O cosseno do ângulo entre r1 e r2 e do ângulo entre r3 e r4 é diferente de 1 e, portanto,esses ângulos são diferentes de zero.O cosseno do ângulo entre r1 e r3 é 1 e portanto o ângulo entre elas é zero: 2 2 1.cos θ 2·2 2Outra maneira de concluir que são paralelas é verificar se os vetores normais são paralelos- no caso dos exemplos são iguais, (1, 1) e (2, 2).Agora descobriremos a interseção dos dois exemplos anteriores.A interseção entre r1 e r2 é o ponto que satisfaz às duas equações: x y 1,3x 3y 3,52 7x 5 x , y .774x 3y 24x 3y 2A interseção entre r3 e r4 é o ponto que satisfaz às duas equações: 2x 2y 5,2x 2y 5,11 1 4x 11 x , y .44x y 32x 2y 6A interseção entre r1 e r3 é o ponto que satisfaz às duas equações: x y 1,2x 2y 2, 5 6 r1 r3 .2x 2y 52x 2y 5

Ga - Programação linear6A distância nos dois primeiros casos é zero porque as retas são concorrentes, i.e., têmum ponto em comum. No último, é dada pela fórmula: d1 d2 d(s1 , s2 ) ,a2 b 2tal ques1 : ax by d1 , s2 : ax by d2 .No caso de r1 e r2 temos: r1 : x y 1,r1 : 2x 2y 2, 2 5 33 2. d(r1 , r3 ) 4r3 : 2x 2y 5r3 : 2x 2y 522 222 24Programação linearVamos começar por um exemplo.Exemplo 4.1. Seja um fabricante de sofás, que produz os sofás A e B. Os dois sofás sãofeitos com tecidos de brim e lona. O fabricante tem somente 240m2 de lona e 160m2 debrim. Um sofá do tipo A tem 6m2 de lona e 2m2 de brim, um do tipo B tem 4m2 debrim e 4m2 de lona. O fabricante tem um lucro de 160 reais por cada sofá, independentedo tipo. Quantos sofás de cada tipo ele deve fazer para maximizar o lucro?Vamos estudar os conceitos envolvidos na solução.Primeiro, devemos maximizar o lucro. Se dizemos que x é a quantidade de sofás dotipo A e y a de sofás do tipo B, então devemos maximizar160x 160y.Note que cada valor fixo do lucro representa uma reta no plano:160x 160y 0, 160x 160y 1, 160x 160y 10representam retas paralelas no plano.As primeiras informações a respeito das quantidades envolvidas no problema representam restrições. Vamos colocá-las numa tabela:LonaBrimA B6 42 4Total240160A tabela quer dizer que valem as seguintes restrições: 6x 4y 2402x 4y 160Além disso, como o fabricante não pode produzir um número negativo de sofás, vale

Ga - Programação linear7 x 0y 0As restrições todas juntas são, portanto: x 0y 0 6x 4y 240 2x 4y 160Note que as restrições são dadas por quatro semiplanos no plano bidimensional. Asretas que definem estes semiplanos são x 0 y 0 6x 4y 240 2x 4y 160As quatro retas formam a figura abaixo. A interseção dos semiplanos é o interior dopolı́gono colorido da mesma figura.Na figura os pontos sãoA(0, 0), B(0, 60), C(0, 40), D(80, 0), E(40, 0).

Ga - Programação linear8F é a interseção entre as duas retas 6x 4y 2402x 4y 160que vamos calcular depois.Se desenhamos o feixe de retas paralelas160x 160y d, d real,na figura acima, teremos a figura abaixo:Veja que o valor de d aumenta seguindo o vetor normal (160, 160). Na figura issosignifica que o lucro máximo é atingido no ponto F . Logo, devemos achar F e descobrirem que reta160x 160y do ponto F está.Como F é a interseção entre as retas 6x 4y 2402x 4y 160temos que(6x 4y) (2x 4y) 240 160 80 x 20, y 30,e portanto F (20, 30) e a reta é160x 160y 8000.A conclusão é que o lucro máximo é de 8000 reais e esse lucro é obtido fabricando 20sofás do tipo A e 30 do tipo B.

Ga - Programação linear9A última observação é que as inclinações das retas que definem os semiplanos dasrestrições são x 0: y 0:0 36x 4y 240 : 2 2x 4y 160 : 12Em ordem:130 .22Exatamente porque a inclinação das retas do feixe de paralelas160x 160y dé 1 e está entre 21 e 32 que o máximo é atingido na interseção entre as retas de inclinação1e 32 .2Além disso, se projetamos o vetor normal (1, 1) a160x 160y dna direção das retas que definem os semiplanos dados pelas restrições, teremos1proj(0,1) (1, 1) (0, 1);221( 4, 6) ( 2, 3);5213 21proj( 4,2) (1, 1) ( 4, 2) (2, 1);205 11proj( 1,0) (1, 1) ( 1, 0) (1, 0).22Projetando sobre os lados do polı́gono temos:proj( 4,6) (1, 1)

Ga - Programação linear10As projeções sobre os lados mostram um caminho que vai do mı́nimo do lucro, 0 noponto (0, 0), até o máximo do lucro, 8000 no ponto (20, 30).Exemplo 4.2. Uma criança tem motos e carrinhos, todos sem rodas. As motos e oscarrinhos de brinquedo usam o mesmo tipo de roda. São ao todo 20 motos, 20 carros e80 rodas. Ela quer maximizar a quantidade de brinquedos completos: motos com todasas rodas (duas) e carros com todas as rodas (quatro). Qual a distribuição que ela devefazer para atingir esse máximo? Quantos brinquedos completos terá, depois de feita amelhor distribuição?Solução: As restrições são as seguintes: x 0 y 0 x 20 y 20 2x 4y 80As inclinações das retas que definem as restrições são10, , .2Devemos maximizar x y, que tem inclinação 1. Logo, será a interseção entre as retasx 20, de inclinação infinita, e a reta 2x 4y 80, de inclinação 12 :x 20 2 · 20 4y 80 4y 40 y 10.

Ga - Programação linear11Logo, ela tem que distribuir entre 20 motos e 10 carros, totalizando 30 brinquedos completos. Exercı́cio 1. Dadas as restrições x 0,y 0, 18 2x y, 21 x 2y,maximizar3x 2y.Solução: As inclinações das restrições são x 0 : , y 0 : 0, 18 2x y : 2, 21 x 2y : 1 ,23e a inclinação do valor a ser maximizado é 2 . Se fizermos a figura da região dada pelasrestrições vemos que o máximo é atingido na interseção: 18 2x y : 2,1 3y 24 y 8, x 21 2y 21 16 5. 42 2x 4y : ,2

Ga - Programação linear12E o máximo é3x 2y 3 · 5 2 · 8 31. Exercı́cio 2. Dadas as restrições x 0,y 0, 18 2x y, 21 x 2y,maximizar5x 2y.Solução:As inclinações das restrições são as mesmas do exercı́cio anterior e ainclinação do valor a ser maximizado é 25 . Se fizermos a figura da região dada pelasrestrições vemos que o máximo é atingido na interseção: 18 2x y : 2, y 0 2x 18 0 x 9.0 y,E o máximo é5x 2y 5 · 9 2 · 0 45. Exercı́cio 3. Dadas as restrições x 0,y 0, 18 2x y, 21 x 2y,descobrir o máximo deax byem função de a e b e as quantidades de x e y que garantem esse máximo.Solução: Os vértices da região dada pelas restrições sãoA(0, 0), B(0,21), C(5, 8), D(9, 0).2Se fizermos a figura veremos que se a inclinaçãoab1a 22bestá entre12e 2, i.e.

Ga - Programação linear13então o máximo é atingido em C e será5a 8b.Sea 2bentão acontece em D e o máximo será9a.Se1a b2então será em B e teremos como máximo21b.2Sea 2bo máximo não é atingido num ponto mas no segmento CD. Sea1 b2o máximo não é atingido num ponto mas no segmento BC. Exercı́cio 4. Uma fábrica produz o produto A e o produto B. Na fábrica temos trêsunidades, a de mistura, a de corte e a de embalagem. Cada uma das unidades trabalhaoito horas por dia. Uma tonelada do produto A passa uma hora na unidade de misturae meia hora na de embalagem. Uma tonelada do produto B passa meia hora na unidadede corte e quarenta minutos na de embalagem. Cada tonelada de produto A dá um lucrode 100 reais e cada tonelada do B um lucro de 80 reais. Quanto a fábrica deve produzirdos produtos A e B para maximizar o lucro. Faça a modelagem do problema e desenheo polı́gono que representa as possı́veis soluções.Solução: Se colocamos as informações em uma tabela h8h8h

Ga - Programação linear14Então as restrições são:x 0,y 0,8 x,1 8 y, 2 1 8 x 2 y,23 e o valor a ser maximizado é100x 80y.Colocando essas informações no plano com eixos coordenadas temos a figura abaixo:tal que os pontos na figura sãoA(0, 0), B(0, 16), C(8, 0), D(8, 16), E(16, 0), F (0, 12), G(0, 10).Portanto a reta que passa por C e G é do tipo100x 80y d,e a reta que passa por E e F é12x y 8.23Calculando os vértices da região determinada pelas restrições vemos que são os pontosA, C, F e H. Além disso, pela inclinação de100x 80y d

Ga - Programação linear15e pela figura, o máximo ocorre no vértice H(8, 6). Logo, precisamos de 8 toneladas doproduto A e 6 do produto B, e o máximo é100 · 8 80 · 6 1280. Exercı́cio 5. Uma dieta que consiste nos nutrientes A e B possui as seguintes restrições:o sujeito deve consumir no mı́nimo 56 gramas de proteı́na, 20 gramas de gordura e 30 decarboidratos. O produto A tem por unidade 16 gramas de proteı́na, 5 gramas de gordurae 10 gramas de carboidratos enquanto o B tem por unidade 14 gramas de proteı́na, 8de gordura e 6 de carboidratos. Encontre o custo mı́nimo da dieta e as quantidades dosprodutos A e B que minimizam o custo nos casos: os dois nutrientes custam o mesmo valor por unidade; A custa o dobro de B; A custa 90 centavos e B custa 60 centavos.Solução: Se colocamos as informações em uma tabela temos:A B Mı́nimoProteı́na16 1456Gordura5 820Carboidratos 10 630Então as restrições são:x 0,y 0,16x 14y 56, 5x 8y 20, 10x 6y 30, e o valor a ser maximizado éax by,a e b tais que, em cada caso a b; a 2b; a 90 e b 60.

Ga - Programação linear16Os vértices da região definida pelas restrições sãoA(0, 0), B(0, 5), D(4, 0),H é a interseção de 16x 14y 56 e8x 7y 2824x 21y 842120 x ,y 111110x 6y 305x 3y 1535x 21y 105e I a interseção de 77 x y 16x 14y 56 e82 ( 8 7 )y 1 y 20 , x 84 5 8229295x 8y 20 x 8y 45como podemos ver na figura abaixo: Se a b o mı́nimo acontece em I( 84, 20 ) e será29 29104a.29Se a 2b o mı́nimo acontece em B(0, 5) e será5a.Se a 90 e b 60 o mı́nimo acontece em H( 21, 20 ) e será11 113090.

Ga - Programação linear17Exercı́cio 6. [?]: Uma indústria fabrica dois tipos de papel e para isso utiliza somenteuma máquina. Devido a certas restrições de matéria prima, não se pode produzir maisdo que 4 toneladas de papel do tipo A e 6 toneladas do papel do tipo B. Requer-se umahora de máquina para produzir uma tonelada de papel, tanto do tipo A quanto do tipoB. O lucro por tonelada de papel do tipo A é de 2000 reais, por tonelada de papel dotipo B é de 5000 reais. O tempo de utilização da máquina é de 8 horas por dia. Deseja-semaximizar o lucro.Exercı́cio 7. [?]: Uma pequena indústria usa três tipos de matéria prima, P , Q e R paraa fabricação de dois produtos: A e B. As matérias primas em disponibilidade são 20unidades de P , 12 de Q e 16 de R. Por razões tecnológicas, uma unidade do produto Anecessita de 2 de P , 2 de Q e 4 de R, uma unidade de B necessita de 4 de P , 2 de Q e 0de R. O lucro por unidade de A é de 5 reais, por unidade de B é de 10 reais. Qual é olucro máximo e quais as quantidades produzidas de A e B para se obter o lucro máximo?References[1] Ana Catarina Hellmeister - editora, Geometria em sala de aula, SBM.[2] Elon Lages Lima, Coordenadas no plano, SBM.[3] George Dantzig, The diet problem, Vol. 20, No. 4, The Practice of MathematicalProgramming (Jul. - Aug., 1990), pp. 43-47.[4] Hilton Machado Programacao linear, 10o coloquio brasileiro de matematica,IMPA (1975).[5] Maria Angelo de Camargo, Programacao linear - exercicio resolvido com inequacao, Pagina 3 Pedagogia e Comunicacao - Uol educacao.[6] Mario Jorge Ferreira Braga, Mihail Lermontov, Maria Augusta Soares Machado,Modelos de programação linear, Imprensa Naval, Rio de Janeiro, 1985.[7] Sultan, Linear programming: an introduction with applications, CreateSpaceIndependent Publishing Platform; 2 edition (July 12, 2011).

Ga - Programa c ao linear 1 Geometria anal tica - Programa c ao linear Per odo de 2014.

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