Análisis De Varianza - UNAM

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Universidad Nacional Autónoma de MéxicoFacultad de Estudios Superiores CuautitlánPRESENTACIÓNAnálisis de Varianza ANOVA es el onceavo fascículo, de una serie de guías deestudio en las que se desarrollan los temas de los programas de las asignaturasdel área de Probabilidad y Estadística, así como temas selectos quecomplementan el aprendizaje de de esta disciplina. Tienen la característica deque el estudiante adquiera sólo aquella que trate el tema que necesite reforzar oel que sea de su propio interés.Estas guías de estudio pretenden reorientar y actualizar el enfoque con el que sedebe abordar el estudio de los métodos estadísticos, despertando la inquietudpor aprender y resolver los problemas y casos planteados.Cada guía integra el desarrollo del tema con ejercicios, casos de estudio y con lasección llamada Aprendiendo.com. En esta última sección se le proporciona alestudiante un ambiente interactivo, utilizando los recursos disponibles enInternet, de tal forma que los casos planteados los desarrolle en ambientes deaprendizaje que le permitan encontrarse con el conocimiento, “manipularlo”,hacerlo suyo. Con esta filosofía se utilizan applets, sitios de internet con acceso abases de datos reales, software de uso libre y en general los recursos de la Web2.0, que se refieren a una segunda generación en la historia de la Web basada encomunidades de usuarios, que fomentan la colaboración y el intercambio ágil deinformación entre los mismos.Nuestro reconocimiento a la Dirección General de Asuntos del PersonalAcadémico de nuestra Casa de Estudios, que a través del Programa de Apoyo aProyectos para la Innovación y Mejoramiento de la Enseñanza (PAPIME) haapoyado nuestro proyecto “Implantación de un Laboratorio Virtual deEstadística y Elaboración de las Guías de Estudio con Soporte Multimedia” clavePE302709.Los AutoresAnálisis de la Varianza ANOVAhttp://www.cuautitlan.unam.mx

Universidad Nacional Autónoma de MéxicoFacultad de Estudios Superiores CuautitlánIntroducciónLa observación y la experimentación son la base en que se apoya la investigaciónpara el estudio de fenómenos, presentes en la naturaleza. Mediante laobservación se describe el fenómeno con todas las circunstancias que lo rodean,pero no se puede atribuir sus efectos a una causa específica. Con la ayuda de laexperimentación se estudian dichos fenómenos en forma controlada, aislandoaquellos factores que pudieran enmascarar el efecto que ocasiona la causa deinterés sobre dicho fenómeno.En el estudio experimental de un fenómeno se plantea una hipótesis, para cuyaprueba se diseña un procedimiento de ejecución, que se denomina diseño delexperimento. Esta hipótesis, al ser probada requiere generalizarla por lo que esnecesario asociarle una medida de probabilidad. Los diseños experimentales,cuya metodología es ampliamente usada en la investigación se realizan a fin decomparar los efectos de las diferentes variables experimentales independientesconocidas con el nombre de factores sobre una variable dependiente conocidacomo variable de respuesta. .Un diseño experimental debe adecuarse al material experimental con que secuenta y a las preguntas que desea contestar el investigador. Sus resultados seresumen en un cuadro de Análisis de Varianza y en una Tabla de Comparación deMedias de Tratamientos, que indican las diferencias entre dichas medidas. Elanálisis de varianza proporciona la variación de la variable de interés, en fuentesexplicables por algunos factores y la variación debida a fuentes para las cuales elinvestigador no tiene control, no puede medir y no le es posible explicar oatribuir a algún factor en particular; variaciones que conforman el llamado errorexperimental. Por ejemplo: si se realiza un experimento en el cual se estudian 4tipos de dietas para cerdos de engorda y se medie la ganancia de peso, lavariación de dicha ganancia puede descomponerse en la fuete de variaciónatribuible a las diferentes dietas y alas fuentes desconocidas o errorexperimentalAnálisis de la Varianza ANOVAhttp://www.cuautitlan.unam.mx

Universidad Nacional Autónoma de MéxicoFacultad de Estudios Superiores CuautitlánDiseño Completamente Al Azar (Dca)Este diseño consiste en la asignación de los tratamientos en formacompletamente aleatoria a las unidades experimentales. Se entiende porunidades experimentales a los objetos sobre los cuales se hacen mediciones.Debido a su aleatorización irrestricta, es conveniente que se utilicen unidadesexperimentales lo más homogéneas posibles: animales de la misma edad, delmismo peso, similar estado fisiológico; parcelas de igual tamaño, etc., de talmanera que se minimice la magnitud del error experimental, ocasionado por lavariación intrínseca entre las unidades experimentales.AleatorizaciónPara ejemplificar el proceso de aleatorización irrestricta de los tratamientos a lasunidades experimentales, supóngase que en la elaboración de las donas sequieren probar cuatro tipos de aceite, ya que parece que la cantidad de aceiteabsorbida por la masa depende del tipo de aceite. Se tiene un solo factor que esel aceite con cuatro niveles o tratamientos: aceite de cártamo (A), aceite degirasol (B), aceite de semilla de maíz (C) y aceite de soya (D). Para probar siexiste efecto del tipo de aceite sobre la variable de respuesta, es decir, sobre lacantidad de aceite absorbido se planea realizar un diseño unifactorial ocompletamente al azar. Supongamos que se elabora la masa y que cada aceitese prueba en 6 porciones de 100 gramos cada una. Las unidades experimentalesson las porciones de masa que son homogéneas, por lo que el diseñocompletamente al azar es adecuado.El proceso de aleatorización puede realizarse de la siguiente manera:Paso 1. Se numeran las unidades experimentales, es decir las 24 pociones de 100gr de masa del 00 al 23Paso 2. Utilizando una tabla de números aleatorios se seleccionan, números dedos dígitos comprendidos entre 00 y 23. Los primeros 6 seleccionados indicanlas porciones de masa que serán asignadas al tipo de aceite A, los siguientes 6indican las porciones que serán asignadas al tipo de aceite B y asísucesivamente. La asignación aleatoria de las porciones a los tipos de aceite semuestra en la siguiente tabla.Análisis de la Varianza ANOVAhttp://www.cuautitlan.unam.mx

Universidad Nacional Autónoma de MéxicoFacultad de Estudios Superiores CuautitlánTipo de 12220821Tabla 1. Aleatorización de las porciones de las porciones de masaEstos valores aleatorios aseguran que cada una de las asignaciones detratamientos posibles tenga la misma probabilidad de ocurrenciaAnálisis De VarianzaEl análisis de varianza (ANOVA), se refiere en general a un conjunto desituaciones experimentales y procedimientos estadísticos para el análisis derespuestas cuantitativas de unidades experimentales. El problema más sencillode ANOVA se conoce como el análisis de varianza de un solo factor o diseñocompletamente al azar, éste se utiliza para comparar dos o más tratamientos,dado que sólo consideran dos fuentes de variabilidad, los tratamientos y el erroraleatorio.En este todas las corridas experimentales se deben de realizar en un ordenaleatorio. De esta manera, si durante el estudio se hacen 𝑁 pruebas, éstas secorren al azar, de manera que los posibles efectos ambientales y temporales sevayan repartiendo equitativamente entre los tratamientos.Vamos a suponer que se tienen 𝑘 poblaciones o tratamientos, independientes ycon medias desconocidas 𝜇1 , 𝜇2 , . . . , 𝜇𝑘 , así como varianzas tambiéndesconocidas, pero que se supone que son iguales 𝜎12 𝜎22 . . . 𝜎𝑘2 𝜎 2 . Laspoblaciones pueden ser 𝑘 métodos de producción, 𝑘 tratamientos, 𝑘 grupos,etc., y sus medias se refieren o son medidas en términos de la variable derespuesta.Análisis de la Varianza ANOVAhttp://www.cuautitlan.unam.mx

Universidad Nacional Autónoma de MéxicoFacultad de Estudios Superiores CuautitlánSi se decide hacer un experimento completamente al azar para comparar laspoblaciones, que cumpla las condiciones antes mencionadas, entonces se tieneque hacer mediante la hipótesis de igualdad de medias:𝐻0 : 𝜇1 𝜇2 . . . 𝜇𝑘 𝜇𝐻1 : 𝜇𝑖 𝜇𝑗 para algún 𝑖 𝑗Los datos generados para un diseño completamente al azar para comparardichas poblaciones se pueden escribir tal y como se muestra en la tabla 2El número de tratamientos 𝑘 es determinado por el investigador y depende delproblema en particular de que se trata. El número de observaciones en cadatratamiento debe escogerse con base a la variabilidad que se espera observar enlos datos, así como en la diferencia mínima que el experimentador considera quees importante detectar. Por lo general se recomiendan entre 5 y 30 medicionesen cada tratamiento. En caso de que los tratamientos tengan efecto, lasobservaciones 𝑦𝑖𝑗 de la tabla 1 se puede escribir como el modelo estadísticolineal dado por:donde:𝑌𝑖𝑗 𝜇 𝜏𝑖 𝜀𝑖𝑗 (1)𝜇 – Es el parámetro de escala común a todos los tratamientos, llamadomedia global𝜏𝑖 – Es un parámetro que mide el efecto del tratamiento 𝑖𝜀𝑖𝑗 – es el error atribuido a la medición 𝑦𝑖𝑗Análisis de la Varianza ANOVAhttp://www.cuautitlan.unam.mx

Universidad Nacional Autónoma de MéxicoFacultad de Estudios Superiores Cuautitlán𝑇1𝑦11𝑦12 𝑦1𝑗 𝑦1𝑛𝑛1𝑦1 𝑦 1 𝑇2𝑦21𝑦22 𝑦2𝑗 𝑦2𝑛𝑛2𝑦2 𝑦 2 TRATAMIENTOS𝑇3 𝑦31 𝑦32 𝑦3𝑗 𝑦3𝑛 𝑛3 𝑦3 𝑦 3 𝑇𝑖𝑦𝑖1𝑦𝑖2 𝑦𝑖𝑗 𝑦𝑖𝑛𝑛𝑖𝑦𝑖 𝑦 𝑖 Tabla 2. Diseño completamente al azar𝑇𝑘𝑦𝑘1𝑦𝑘2 𝑦𝑘𝑗 𝑦𝑘𝑛𝑛𝑘𝑦𝑘 𝑦 𝑘 𝑁𝑌 𝑌 Este modelo implica que actuarían a lo más dos fuentes de variabilidad: lostratamientos y el error aleatorio. La media global de la variable de respuesta nose considera una fuente de variabilidad por ser una constante en todos lostratamientos, que es un punto de referencia con el cual se comparan lasrespuestas medias de los tratamientos, tal como lo muestra la figura 1.Figura 1. Representación de los efectos de los tratamientos en un diseñocompletamente al azar.Análisis de la Varianza ANOVAhttp://www.cuautitlan.unam.mx

Universidad Nacional Autónoma de MéxicoFacultad de Estudios Superiores CuautitlánEntonces las hipótesis también se pueden escribir como:𝐻0 : 𝜏1 𝜏2 . . . 𝜏𝑘 0𝐻1 : 𝜏𝑖 0 para algún 𝑖Si la respuesta media de un tratamiento particular 𝜇𝑖 , es muy diferente de lamedia global 𝜇, es un síntoma de que existe un efecto de dicho tratamiento, yaque 𝜏𝑖 𝜇𝑖 𝜇. La diferencia que deben tener las medias entre sí para concluirque hay un efecto, es decir que los tratamientos sean diferentes, no lo dice elanálisis de la varianza.El modelo estadístico de la ecuación (1) describe dos situaciones diferentes conrespecto a los efectos de los tratamientos. La primera, los 𝑘 tratamientospueden ser elegidos explícitamente por el investigador; en este caso se quierenprobar las hipótesis acerca de las medias de los tratamientos y las conclusionesse aplican únicamente a los niveles del factor considerados en el análisis. Lasconclusiones no pueden extenderse a tratamientos similares que no fueronconsiderados expresamente. También si se quisiera estimar los parámetros delmodelo (𝜇, 𝜏𝑖 , 𝜎 2 ). A éste se le llama modelo con efectos fijos. De maneraalternativa, los 𝑘 tratamientos podrían ser una muestra aleatoria de unapoblación más grande de tratamientos. En esta situación se desearía poderextender las conclusiones (las cuales se basan en la muestra de los tratamientos)a la totalidad de los tratamientos de la población, que se haya considerado en elanálisis o no. Aquí las 𝜏𝑖 son variables aleatorias, y el conocimiento de las 𝜏𝑖particulares que se investigaron es relativamente inútil. Más bien, se prueban lashipótesis acerca de la variabilidad de las 𝜏𝑖 y se intenta estimar su variabilidad. Aéste se le llama modelo con efectos aleatorios o modelo de los componentes dela varianza.Análisis del estadístico del modelo con efectos fijosEl análisis de varianza es la técnica central en el análisis de datos experimentales,la idea es separar la variación total en partes con las que contribuye cada fuentede variación en el experimento, en el diseño completamente al azar se separa lavariabilidad debida a los tratamientos y debida al erros.Análisis de la Varianza ANOVAhttp://www.cuautitlan.unam.mx

Universidad Nacional Autónoma de MéxicoFacultad de Estudios Superiores CuautitlánCuando la primera predomina claramente sobre la segunda, es cuando seconcluye que los tratamientos tienen efecto también se puede decir que lasmedias son diferentes. Cuando los tratamientos no dominan y contribuyen igualo menor que el error, por los que se concluye que las medias son iguales y queno hay diferencias significativas entre los tratamientos, esto lo podemos ver enla figura 2.Figura 2. División de la variación total en sus componentes en un Diseñocompletamente al azarDe la figura 1 se puede observar claramente que:𝜏𝑖 𝜇𝑖 𝜇 (2)En la figura 3 podemos observar el error residual de cada una de lasobservaciones y este se puede escribir de la forma:𝜀𝑖𝑗 𝑦𝑖𝑗 𝜇𝑖 (3)Pero la ecuación (2) y (3) se pueden escribir como𝜇𝑖 𝜏𝑖 𝜇 (4)𝜇𝑖 𝜀𝑖𝑗 𝑦𝑖𝑗 (5)Igualando la ecuación (4) y (5) se tiene:𝜏𝑖 𝜇 𝜀𝑖𝑗 𝑦𝑖𝑗Análisis de la Varianza ANOVA(6)http://www.cuautitlan.unam.mx

Universidad Nacional Autónoma de MéxicoFacultad de Estudios Superiores CuautitlánFigura 3. El error residual para el tratamiento uno.Despejando a 𝑦𝑖𝑗 tenemos:𝑦𝑖𝑗 𝜇 𝜏𝑖 𝜀𝑖𝑗(7)𝑦𝑖𝑗 𝜇 𝜏𝑖 𝜀𝑖𝑗(8)Sabe que la media de 𝑦𝑖𝑗 difiere de la media de la población, entonces laecuación (7) se transforma en:Sustituyendo las ecuaciones (2) y (3) en la ecuación (8) obtendremos:(𝑦𝑖𝑗 𝜇) (𝜇𝑖 𝜇) (𝑦𝑖𝑗 𝜇𝑖 ) .(9)En la ecuación (9) podemos ver que la desviación de una observación conrelación a la gran media (desviación total) se descompone en el efecto de lostratamientos (desviación entre tratamientos) o desviación de cada tratamientoen relación a la gran media y en el error residual (desviación dentro de cadatratamiento) o desviación de cada observación con relación a su propiotratamiento.Si tomamos los datos de la tabla 1 observamos que la identidad correspondientea nuestro modelo para muestras es:(𝑦𝑖𝑗 𝑌 ) (𝑦 𝑖 𝑌 ) (𝑦𝑖𝑗 𝑦 𝑖 ) .(10)Análisis de la Varianza ANOVAhttp://www.cuautitlan.unam.mx

Universidad Nacional Autónoma de MéxicoFacultad de Estudios Superiores CuautitlánSi elevamos al cuadrado los términos de ambos miembros de la igualdad de laecuación (10), obtenemos las distintas sumas de cuadrados:2(𝑦𝑖𝑗 𝑌 )2 (𝑦 𝑖 𝑌 ) (𝑦𝑖𝑗 𝑦 𝑖 ) (𝑦𝑖𝑗 𝑌 )2 (𝑦 𝑖 𝑌 )2 (𝑦𝑖𝑗 𝑦 𝑖 )2 2(𝑦 𝑖 𝑌 )(𝑦𝑖𝑗 𝑦 𝑖 (11)obteniendo las sumatorias la ecuación (11) se puede escribir como:𝑘𝑛𝑘𝑛 (𝑦𝑖𝑗 𝑌 ) (𝑦 𝑖 𝑌 2𝑖 1 𝑗 1𝑖 1 𝑗 1𝑘𝑛)2𝑘𝑛 (𝑦𝑖𝑗 𝑦 𝑖 )2 𝑖 1 𝑗 12 (𝑦 𝑖 𝑌 )(𝑦𝑖𝑗 𝑦 𝑖 )(12)𝑖 1 𝑗 1el último término de la ecuación (12) se puede escribir como:𝑘𝑛𝑘𝑛𝑖 1𝑗 12 (𝑦 𝑖 𝑌 )(𝑦𝑖𝑗 𝑦 𝑖 ) 2 (𝑦 𝑖 𝑌 ) (𝑦𝑖𝑗 𝑦 𝑖 )𝑖 1 𝑗 1tomando el último término tenemos que:𝑛𝑛𝑛𝑗 1𝑗 1𝑗 1 (𝑦𝑖𝑗 𝑦 𝑖 ) 𝑦𝑖𝑗 𝑦 𝑖 se sabe queentonces𝑛𝑦 𝑖 𝑦𝑖 𝑛 (𝑦𝑖𝑗 𝑦 𝑖 ) 𝑦𝑖 𝑛 𝑗 1Análisis de la Varianza ANOVA𝑦𝑖 𝑦𝑖 𝑦𝑖 0𝑛http://www.cuautitlan.unam.mx

Universidad Nacional Autónoma de MéxicoFacultad de Estudios Superiores Cuautitlánpor lo tanto𝑘𝑛2 (𝑦 𝑖 𝑌 )(𝑦𝑖𝑗 𝑦 𝑖 ) 0𝑖 1 𝑗 1la suma de cuadrados de la ecuación (12) nos queda como𝑘𝑛𝑘𝑛 (𝑦𝑖𝑗 𝑌 ) (𝑦 𝑖 𝑌 2𝑖 1 𝑗 1donde:𝑘𝑖 1 𝑗 1)2𝑘𝑛 (𝑦𝑖𝑗 𝑦 𝑖 )2𝑖 1 𝑗 1𝑛 (𝑦𝑖𝑗 𝑌 )2 𝑆𝐶𝑇𝑜𝑡 suma de cuadrados total.𝑖 1 𝑗 1𝑘𝑛 (𝑦 𝑖 𝑌 )2 𝑆𝐶𝑇𝑟𝑡 suma de cuadrados entre tratamientos𝑖 1 𝑗 1𝑘𝑛 (𝑦𝑖𝑗 𝑦 𝑖 )2 𝑆𝐶𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟𝑖 1 𝑗 1 suma de cuadrado dentro de los tratamientosEs posible obtener eficientes fórmulas para las sumas de cuadrados,expandiendo y simplificando las expresiones anteriores. Esto produce𝑆𝐶𝑇𝑜𝑡𝑛𝑘𝑛 (𝑦𝑖𝑗 𝑌 ) 𝑦𝑖𝑗2 Y𝑆𝐶𝑇𝑟𝑡Análisis de la Varianza ANOVA𝑘𝑖 1 𝑗 1𝑘𝑛2𝑖 1 𝑗 1𝑘 (𝑦 𝑖 𝑌 )2 𝑖 1 𝑗 1𝑖 12𝑦𝑖 𝑌 2 𝑛𝑁𝑌 2𝑁(13)(14)http://www.cuautitlan.unam.mx

Universidad Nacional Autónoma de MéxicoFacultad de Estudios Superiores CuautitlánLa suma de cuadrados del error se obtiene mediante sustracción como𝑆𝐶𝑇𝑜𝑡 𝑆𝐶𝑇𝑟𝑡 ��𝑟 𝑆𝐶𝑇𝑜𝑡 𝑆𝐶𝑇𝑟𝑡(16)En las ecuaciones anteriores se puede ver que las sumas de cuadrado son losnumeradores de las varianzas respectivas, que el ANOVA se llama cuadradosmedios. A partir de las sumatorias de cuadrados, es posible obtener dosestimadores insesgados de la varianza poblacional 𝜎 2 . Se puede demostrar quecuando las medias de los tratamientos son iguales (𝐻0 : 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎) tanto lasuma de cuadrados de los tratamientos como la suma de cuadrados del errordivididas entre sus respectivos grados de libertad proporcionan estimadoresinsesgados e independientes de 𝜎 2 .Dentro de los tratamientos, se tiene que: 𝑘𝑖 1 𝑛𝑗 1(𝑦𝑖𝑗 𝑦 𝑖 )2𝑛 1proporciona un estimador insesgado de la varianza de su grupo y bajo elsupuesto de que las varianzas de los tratamientos son todas iguales, se puedenponderar las varianzas de los 𝑘 tratamientos para obtener: 𝑘𝑖 1 𝑛𝑗 1(𝑦𝑖𝑗 𝑦 𝑖 )2 𝑘𝑖 1 𝑛𝑗 1(𝑦𝑖𝑗 𝑦 𝑖 )22 𝑠𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝐶𝑀𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟𝑘 𝑖 1 𝑛 1𝑁 𝑘que es la varianza dentro de los tratamientos o varianzas del error o cuadradosmedios del error.El segundo estimador de 𝜎 2 se obtiene de la varianza de medias conocida(Teorema del Limite Central) 𝜎𝑥̅2 𝜎 2 𝑛, que al despejar 𝜎 2 se tiene 𝜎 2 𝑛𝜎𝑥̅2 .Pero, un estimador insesgado de 𝜎𝑥̅2 calculado a partir de las 𝑘 muestras: 𝑘𝑖 1(𝑦 𝑖 𝑌 )2𝑠𝑥̅2 𝑘 1Análisis de la Varianza ANOVAhttp://www.cuautitlan.unam.mx

Universidad Nacional Autónoma de MéxicoFacultad de Estudios Superiores Cuautitlánde donde𝑛𝑠𝑥̅2𝑛 𝑘𝑖 1(𝑦 𝑖 𝑌 )2 𝑘 1Se puede ver que el numerador de esta expresión es la suma de cuadrados entretratamientos. Esta suma de cuadrados dividida entre los correspondientesgrados de libertad, es llamada la varianza entre tratamientos o cuadradosmedios entre tratamientos.Si la hipótesis nula es cierta, se esperará que estos dos estimadores de 𝜎 2 seanaproximadamente iguales y el cociente:2𝐶𝑀𝑇𝑟𝑡𝑠𝑇𝑟𝑡 2𝐶𝑀𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟Que es una variable de F de Fisher y será la unidad o casi la unidad. Por elcontrario si (𝐻0 : 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑎 ); es decir, si los efectos de los tratamientos no son nulos,esto tenderá a ser significativamente menor que la unidad. Así se rechazará (𝐻0 �es mayor que la F de tablas ( F teórica) 𝐹1 𝛼,𝑔𝑙 𝑇𝑟𝑡,𝑔𝑙 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 donde 𝑔𝑙 𝑇𝑟𝑡 𝑘 1 y𝑔𝑙𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑁 𝑘. Todo esto se puede sintetizar en una tabla llamada tabla deANOVA (tabla3).Análisis de la Varianza ANOVAhttp://www.cuautitlan.unam.mx

Universidad Nacional Autónoma de MéxicoFacultad de Estudios Superiores CuautitlánFuente tamientosoerrorresidualGradosdelibertad(gl)𝑘 1𝑁 𝑘Suma de Cuadrados(SC)𝑆𝐶𝑇𝑟𝑡𝑘2𝑦𝑖 𝑌 2 𝑛𝑁𝑖 1𝑘𝑛𝑆𝐶𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑦𝑖𝑗2𝑖 1 𝑗 1𝑘Total𝑁 1𝑘2𝑦𝑖 𝑛𝑖 1𝑛Varianza ��𝑟𝑡𝑆𝐶𝑇𝑟𝑡 𝑘 1𝐹𝑐𝑎𝑙𝑐𝐶𝑀𝑇𝑟𝑡 ��𝑟𝑆𝐶𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑁 𝐾𝑆𝐶𝑇𝑜𝑡 𝑦𝑖𝑗2𝑖 1 𝑗 1𝑌 2 𝑁Tabla 3. Tabla de ANOVA para un diseño completamente al azarVamos a realizar un ejemplo, suponga que la empresa “Sabrosita” se dedica a laelaboración y venta de botanas, un ingeniero en alimentos a observado que enlas frituras, las rosquillas absorben grasa en diversas cantidades, y estáinteresado en saber si la cantidad absorbida depende del tipo de grasa que seutiliza, para esto, desarrolló un experimento en el cual se prepararon 24 bolsasde 250 gramos y se cocieron con cuatro diferentes tipos de aceites (aceite decártamo (A), aceite de girasol (B), aceite de semilla de maíz (C) y aceite de soya(D)). Los datos obtenidos de grasa absorbida en miligramos se muestran en latabla 4.El ingeniero se pregunta si estos datos aportan suficiente evidencia para indicaruna diferencia entre los diferentes tipos de aceites.En análisis de la varianza se desarrolla como sigue:Análisis de la Varianza ANOVAhttp://www.cuautitlan.unam.mx

Universidad Nacional Autónoma de MéxicoFacultad de Estudios Superiores CuautitlánPrimero se deben plantear las hipótesis, para este ejemplo se tiene:𝐻0 : 𝜇𝐴 𝜇𝐵 𝜇𝐶 𝜇𝐷𝐻1 : 𝜇𝑖 𝜇𝑗 para algún 𝑖 𝑗o bien𝐻0 : 𝜏𝐴 𝜏𝐵 𝜏𝐶 𝜏𝐷 0𝐻1 : 𝜏𝑖

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