PENGANTAR Statistika Matematika

Buku ReferensiPENGANTARStatistikaMatematikaEdisi PertamaStb mawqSigit Nugroho, Ph.D.UNIB Press

PENGANTARSTATISTIKA MATEMATIKA

Sanksi Pelanggaran Pasal 72Undang-Undang Nomor 19 Tahun 2002 tentang Hak Cipta1. Barangsiapa dengan sengaja dan tanpa hak melakukan perbuatansebagaimana dimaksud dalam Pasal 2 ayat (1) atau Pasal 49 ayat (1) dan(2) dipidana dengan pidana penjara masing-masing paling singkat 1(satu) bulan dan/atau denda paling sedikit Rp. 1.000.000,00 (satu jutarupiah), atau pidana penjara paling lama 7 (tujuh) tahun dan/atau dendapaling banyak Rp. 5.000.000.000,00 (lima miliar rupiah)2. Barangsiapa dengan sengaja menyiarkan, memamerkan, mengedarkan,atau menjual kepada umum suatu ciptaan atau barang hasil pelanggaranHak Cipta atau Hak Terkait sebagaimana dimaksud pada ayat (1)dipidana dengan pidana penjara paling lama 5 (lima) tahun dan/ataudenda paling banyak Rp. 500.000.000,00 (lima ratus juta rupiah)

PengantarStatistikaMatematikaSigit Nugroho, Ph.D.Universitas BengkuluUNIB PressBengkulu2008

PENGANTAR STATISTIKA MATEMATIKASigit Nugroho, Ph.D.ISBN : 978-979-9431-33-2 360hal.Cetakan Pertama. Edisi 1. 2008.Penyeleksi Naskah :Fachri FaisalEditorDesain SampulJose RizalRatna Astuti Nugrahaeni:: Sigit Nugroho,Ph.D. 2008Hak Cipta dilindungi undang-undang.Diterbitkan pertama kali oleh UNIB Press, Jalan WR Supratman, Bengkulu.Dilarang keras menerjemahkan, memotokopi, atau memperbanyak sebagian atauseluruh isi buku ini tanpa izin tertulis dari penerbit.

Kata PengantarBuku yang berjudul “Pengantar Statistika Matematika” inidiperlukan sebagai landasan, pedoman atau rujukan bagi para mahasiswaatau siapa saja yang ingin mempelajari statistika matematika atau seringjuga disebut dengan teori statistika dengan baik, mudah dan benar.Materi buku ini biasanya disajikan untuk mata kuliah TeoriStatistika atau Statistika Matematika di jurusan Matematika atau jurusanStatistika selama 2 semester, yang masing-masing bobotnya 4 SKS.Materi untuk bagian pertama adalah Peluang, Peubah Acak, SebaranBersama, Sebaran Fungsi Peubah Acak dan Sifat Beberapa SebaranKontinu khususnya yang berkaitan dengan Sebaran Normal. Sedangkanmateri untuk bagian kedua berisikan Limit Sebaran Peubah Acak danSebaran Nilai Ekstrim, yang dilanjutkan dengan Teori Pendugaan Titik,Statistik Cukup dan Lengkap, Pendugaan Interval dan Teori PengujianHipotesis Statistika tentang parameter parameter populasi.Alternatif dari beberapa definisi maupun teorema juga diberikandalam buku ini, agar pemakai memperoleh gambaran adanya variasi carapenyampaian notasi akan hal tersebut.Ucapan terima kasih penulis sampaikan sebelum dansesudahnya kepada mereka yang memberikan masukan baik berupasaran atau kritik yang membangun. Penulis sampaikan kepada istri, Ir.Mucharromah, M.Sc., Ph.D., dan anak-anak, Shofa Ulfiyati Nugrahaenidan Ratna Astuti Nugrahaeni, yang telah dengan penuh pengertian dansabar memberikan motivasi serta dorongan guna penyelesaian tulisan ini.Kepada rekan-rekan sejawat yang telah memberikan masukan-masukanuntuk usaha penerbitan, penulis ucapkan ribuan terima kasih. Kepadasemua pengguna, juga diucapkan terima kasih dan semoga mendapatkanmanfaat dari karya tulis saya ini.Bengkulu, 20 Juli 2008Sigit Nugroho, Ph.D.Sigit Nugrohov

Oentoek:Mucharromah Nugroho, Ph.D.,Shofa Ulfiyati Nugrahaeni, danRatna Astuti Nugrahaeni

Daftar IsiKATA PENGANTAR . VDAFTAR ISI. VIIPELUANG . 1PENDAHULUAN . 1CARA MENYATAKAN PELUANG . 6DEFINISI PELUANG . 9PELUANG DALAM RUANG DISKRIT . 10PELUANG BERSYARAT . 15TOTAL PELUANG DAN ATURAN BAYES. 18PERISTIWA BEBAS . 21TEKNIK PENGHITUNGAN . 23Prinsip Multiplikasi . 23Permutasi dan Kombinasi . 24LATIHAN . 27PEUBAH ACAK . 31PENDAHULUAN . 31PEUBAH ACAK DISKRIT . 34Sebaran Bernoulli . 38Sebaran Binomial. 39Sebaran Hypergeometrik. 42Sebaran Geometrik . 44Sebaran Negatif Binomial. 46Sebaran Poisson. 49Sebaran Seragam Diskret. 51PEUBAH ACAK KONTINU. 52Sebaran Seragam Kontinu . 56Sebaran Gamma . 57Sebaran Eksponensial . 60Sebaran Weibull. 61Sebaran Normal . 63PARAMETER LOKASI DAN SKALA . 65SEBARAN CAMPURAN . 67LATIHAN . 67SEBARAN BERSAMA. 71PENDAHULUAN . 71SEBARAN DISKRET BERSAMA. 71

Sebaran X-Hypergeometrik. 72Sebaran Multinomial. 72SEBARAN KONTINU BERSAMA. 78PEUBAH ACAK INDEPENDEN . 84SEBARAN BERSYARAT . 87LATIHAN . 91SEBARAN FUNGSI PEUBAH ACAK . 95PENDAHULUAN . 95TEKNIK FUNGSI SEBARAN KUMULATIF . 95TEKNIK TRANSFORMASI. 99TRANSFORMASI BERSAMA . 103FORMULA KONVOLUSI . 106SEBARAN STATISTIK TATAAN. 107PENARIKAN CONTOH TERSENSOR . 113LATIHAN . 115SIFAT-SIFAT PEUBAH ACAK . 117PENDAHULUAN . 117SIFAT-SIFAT NILAI HARAPAN. 117MENDUGA RATA-RATA DAN RAGAM . 125BATAS-BATAS PELUANG . 128KORELASI . 130NILAI HARAPAN BERSYARAT. 134SEBARAN BIVARIAT NORMAL . 140APROKSIMASI RATA-RATA DAN RAGAM . 141FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN. 142SIFAT-SIFAT FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN. 146MOMEN FAKTORIAL DAN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN FAKTORIAL . 148FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN BERSAMA . 150LATIHAN . 152SIFAT BEBERAPA SEBARAN KONTINU . 155PENDAHULUAN . 155SIFAT-SIFAT SEBARAN NORMAL . 155SEBARAN KAI-KUADRAT. 158SEBARAN T-STUDENT . 161SEBARAN F-SNEDECOR . 164SEBARAN BETA . 166LATIHAN . 168LIMIT SEBARAN . 173viiiSigit Nugroho

DERETAN PEUBAH ACAK . 173PENDEKATAN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN . 177PENDEKATAN SEBARAN BINOMIAL. 182SEBARAN ASIMTOTIK NORMAL . 184SIFAT-SIFAT KONVERGEN STOKASTIK. 184BEBERAPA TEOREMA LIMIT LAINNYA . 187LATIHAN . 192SEBARAN NILAI EKSTRIM . 195SEBARAN ASIMTOTIK STATISTIK TATAAN EKSTRIM . 195LIMIT SEBARAN MAKSIMUM. 196LIMIT SEBARAN MINIMUM . 202LATIHAN . 206TEORI PENDUGAAN TITIK . 207PENDAHULUAN . 207BEBERAPA METODE PENDUGAAN . 210Metode Momen . 210Metode Kemungkinan Maksimum . 213KRITERIA UNTUK MENGEVALUASI PENDUGA . 224PENDUGA TAK-BIAS RAGAM MINIMUM SERAGAM . 227CONTOH BERUKURAN BESAR. 238SIFAT-SIFAT ASIMTOTIK PKM. 243PENDUGA BAYES DAN MINIMAX . 246PENDUGA KUADRAT MINIMUM . 252MODEL LINIER SEDERHANA . 253MODEL LINIER UMUM . 256PENDUGA KUADRAT TENGAH INVARIAN MINIMUM . 257LATIHAN . 259STATISTIK CUKUP DAN LENGKAP. 265PENDAHULUAN . 265STATISTIK CUKUP . 266STATISTIK LENGKAP DAN KELAS EKSPONENSIAL . 276LATIHAN . 287PENDUGAAN INTERVAL . 291PENDAHULUAN . 291INTERVAL KEPERCAYAAN . 292METODE KUANTITAS PIVOT . 296PENDEKATAN INTERVAL KEPERCAYAAN . 302METODE UMUM . 304Sigit Nugrohoix

LATIHAN . 305PENGUJIAN HIPOTESIS. 307PENDAHULUAN . 307HIPOTESIS MAJEMUK . 312UJI PALING KUASA . 313UJI PALING KUASA SERAGAM . 318LATIHAN . 325LAMPIRAN . 327DAFTAR PUSTAKA. 342INDEKS. 343xSigit Nugroho

PeluangPendahuluanDalam setiap studi ilmiah mengenai fenomena fisik, kitamungkin inginmenggunakan model matematik untukmenggambarkan atau memprediksi nilai observasi beberapakarakter yang diinginkan. Sebagai contoh, dalam ruang hampaudara, kecepatan benda yang jatuh setelah beberapa saat, t.Rumus v gt dimana g percepatan gravitasi bumi memberikangambaran model matematik yang bermanfaat untuk kecepatansebuah benda jatuh dalam ruang hampa udara. Ini merupakancontoh suatu model deterministik (deterministic model).Percobaan berulang dalam kondisi yang ideal akan tetapmenghasilkan hal yang sama, yang sudah tentu dapat diprediksidengan menggunakan model yang sudah ada. Namun, apabilakondisi ideal tak mungkin diperoleh, maka hasil tersebut tak dapatkita peroleh. Mungkin dapat diakibatkan oleh variabel yang takdiketahui atau tak dapat dikendalikan, seperti misalnya suhu dankelembaban udara, yang dapat mempengaruhi hasil studi.Demikian juga dapat dikarenakan karena kesalahan pengukuranatau hal lain yang dapat mempengaruhi hasil studi ilmiah tersebut.Lebih jauh lagi, kita tidak memeliki pengetahuan untuk menurunkanmodel yang lebih rumit yang sudah memperhitungkan semuapenyebab keragaman.Terdapat tipe fenomena lain dimana perbedaan hasilmungkin secara alami muncul karena suatu kebetulan, dan dengandemikian model deterministik tidak akan cocok lagi. Misalnya, dalampengamatan jumlah partikel yang dipancarkan oleh sumberradioaktif, waktu hingga suatu komponen elektronik gagal berfungsi,atau memenangkan suatu permainan. Motivasi mempelajari peluangini adalah sebagai dasar dalam mempelajari model probabilistik(probabilitic model) atau model stokastik (stochastic model).Terminologi percobaan (experiment) menunjuk kepadaproses untuk mendapatkan hasil observasi beberapa fenomena,dan performans suatu percobaan disebut sebagai suatu tindakan

Peluang(trial) dari suatu percobaan. Sedangkan hasil observasi, pada suatutindakan percobaan, disebut dengan keluaran (outcome).Definisi 1. 1.Suatu percobaan acak atau percobaan statistik adalah suatupercobaan dimana (a) semua jenis keluaran percobaan diketahuiterlebih dahulu (b) hasil dari percobaan tidak diketahui , dan (c)percobaan dapat diulang pada kondisi yang sama.Dalam teori peluang, yang kita pelajari adalah ketidakmenentuanpercobaan acak atau percobaan statistik ini. Percobaan semacamini biasanya diasosiasikan dengan suatu gugus , yaitu suatugugus semua kemungkinan keluaran suatu percobaan. Lebih jauhlagi kita hubungkan , suatu -field S anak gugus dari . Kitaingat bahwa -field merupakan kelas anak gugus yang tak kosongdari yang tertutup pada operasi gabungan dan komplementerhingga dan mencakup gugus . Elemen-elemen dari disebutdengan titik contoh.Definisi 1.2.Gugus semua keluaran yang mungkin dari suatu percobaan disebutdengan ruang contoh (sample space), dan dinotasikan dengan S.Bila dikaitkan dengan percobaan acak, maka kita punya definisiseperti berikutDefinisi 1. 3.Ruang contoh percobaan statistik merupakan pasangan ( ,S )dimana (a) , yaitu suatu gugus semua kemungkinan keluaransuatu percobaan, dan (b) S -field anak gugus dari .2Sigit Nugroho

PeluangTeladan 1. 1.Dalam percobaan pelemparan dua koin, dan muka dari tiap koinadalah yang akan diamati, maka ruang contohnya adalah S {GG,GA, AG, AA}. Catatan G Gambar dan A Angka.Teladan 1. 2.Seperti dalam Teladan 1.1 namun kita tidak ingin pengamatanmuka dari tiap koin, tapi ingin melihat atau mencatat banyaknya Gatau munculnya Gambar keluar, maka S {0,1,2}Teladan 1. 3.Jika sebuah bola lampu dinyalakan dan yang ingin diamati adalahumur sampai lampu tersebut tidak berfungsi lagi atau mati. Minimalsecara konsep, kita dapat tuliskan S {t 0 t }.Suatu ruang contoh S dikatakan terhingga (finite) jikamemiliki keluaran yang jumlahnya terhingga, seperti S {e1, e2, ,eN} dan dikatakan terbilang tak terhingga (countably infinite) atautak terbilang jika keluarannya dapat dituliskan sebagai fungsi satusatu dengan bilangan bulat positif S {e1, e2, }. Pengamatanbanyaknya Gambar yang muncul seperti dalam Teladan 1.2.membentuk ruang contoh terhingga. Sedangkan pengamatan umurlampu seperti dalam Teladan 1.3. membentuk ruang contoh tekterhingga. Sedangkan pengamatan seperti banyaknya semut yangberada dalam suatu kawasan tertentu membentuk suatu ruangcontoh terbilang tak terhingga.Definisi 1.4.Jika suatu ruang contoh S terhingga atau terbilang tak terhingga,maka ruang contoh ini disebut ruang contoh diskrit (discrete sampleSigit Nugroho3

Peluangspace). Ruang konseptual yang mencakup keluaran yangmengambil sembarang nilai bilangan nyata diantara dua titik, makaruang contoh dikatakan ruang contoh kontinu (continuous samplespace).Suatu gugus yang terhingga atau terbilang tak terhinggadisebut terbilang (count

Buku yang berjudul “ Pengantar S tatistika Matematika ” ini diperlukan sebagai landasan, pedoman atau rujukan bagi para mahasiswa atau siapa saja yang ingin mempelajari statistika matematika atau ser ing juga disebut dengan teori statistika dengan baik, mudah dan benar. Materi buk