TUGAS MANDIRI MATRIKS Mata Kuliah : Matematika Ekonomi

TUGAS MANDIRIMATRIKSMata Kuliah : Matematika ekonomiNamaMahasiswa : SurianiNIM: 140610098Kode Kelas: 141-MA112-M6Dosen: NeniMarlinaPurbaS.PdUNIVERSITAS PUTERA BATAM2014

KATA PENGANTARPuji syukur kehadirat tuhan yang maha esa atas segala berkat sertaanugerahnya sehingga saya dapat menyelesaikan penyusunan makalah ini denganbaik dan dalam bentuk yang sederhana. Semoga makalah ini dapat dipergunakansebagai salah satu acuan petunjuk maupun pedoman bagi pembaca mengenaipengetahuan dasar mengenai matriks.Pada pokok pembahasan,disajikan materi mengenai matriks dan jenis sertahal-hal yang behubungan dengan matriks.Dalam makalah ini,saya tidak lupa menyajikan contoh aplikasi matriks dalambisnis dan manajemen dan dapat anda lihat pada bab pembahasan.Harapan saya semoga makalah ini menambah pengetahuan danpengalaman bagi pembaca, walaupun saya akui masih banyak terdapatkekurangan dalam penyajian makalah ini.Akhir kata saya sampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telahberperan serta dalam penyusunan makalah ini. Saya sangat mengharapkan kritikdan saran yang membangun untuk pembuatan makalah berikutnya, terima kasih.Batam,22 Oktober 2014Suriani

DAFTAR ISIKATA PENGANTAR . iDAFTAR ISI . iiBAB IPENDAHULUAN1. 1 Latar Belakang . 1BAB IIPEMBAHASAN2. 1 Matriks . 22.1.1 Definisi matriks . 22.1.2 Jenis-jenis matriks . 22.2 Transpose matriks . 82.2.1 sifat transpose matriks . 82.3 Operasi matriks . 92.3.1 Definisi operasi matriks . 92.3.2 penjumlahan dan pengurangan . 92.3.3 Perkalian scalar matriks . 102.3.4 Perkalian matriks . 102.3.5 Perkalian langsung . 112.3.6 Pangkat suatu matriks. 122.3.7 operasi baris elementer . 132.4 Dekomposisi matriks . 132.4.1 Definisi dekomposisi matriks . 132.4.2 Metode crout . 132.4.3 Metode doolitle . 142.4.4 Metode cholesky . 142.4.5 Metode eliminasi gauss . 152.4.6 Minor dan Kofaktor matriks . 164.4.7 Matriks adjoint . 17

2.5 Determinan matriks . 182.5.1 Definisi determinan matriks . 182.5.2 Metode sarrus . 182.5.3 Metode minor dan Metode kofaktor. 182.5.4 Metode CHIO . 192.5.5 Metode eliminasi gauss . 202.5.6 Sifat determinan matriks . 212.6. Invers matriks . 222.6.1 Definisi invers matriks . 222.6.2Metode substitusi . 222.6.3Sifat-sifat invers matriks . 222.7. penyelesaian system persamaan linear dengan metode cramer . 232.8. Aplikasi dalam bisnis dan manajemen . 24BAB III PENUTUP3.1. Kesimpulan . 243.2. Saran . 24DAFTAR PUSTAKA . iv

BAB IPENDAHULUANMatriks yang sering dijumpai adalah matriks yang entri-entrinya bilanganbilangan real atau kompleks. Seperti diketahui bahwa himpunan bilangan realmerupakan field terhadap operasi penjumlahan dan perkalian. Salah satu contohmatriks yang entri-entrinya merupakan field adalah matriks yang dapatdidiagonalisasi. Matriks yang dapat didiagonalisasi banyak diterapkan dalamberbagai ilmu khususnya dalam matematika yangdapatdidiagonalisasi, pertama diberikan matriks A yang berukuran n x n, maka dicarimatriks taksingular P yang mendiagonalkan A, sedemikian hingga diperoleh suatumatriks diagonal D P-JAP. Matriks taksingular P, diperoleh dengan caramencari nilai eigen dari matriks A, kemudian ditentukan vektor eigen yangbersesuaian dengan masing-masing nilai eigen yang diperoleh tadi. Tiap-tiapvektor eigen yang diperoleh tadi membentuk kolom-kolom matriks taksingular P.Kemudian dilakukan pendiagonalan, yaitu dengan mencari vektor eigen yangbebas linear satu sarna lain, dan seterusnya. Pembahasan mendasar mengenaimatriks terutarna yang berkaitan dengan matriks yang dapat didiagonalisasi ini,telah jelas dikemukakan dan disajikan dalam sejumlah buku referensi yangbiasanya digunakan oleh para mahasiswa sebagai salah satu buku perkuliahanumum. Tetapi dilain pihak, akan muncul suatu masalah bagaimana jika adasebuah contoh yang lain untuk matriks yang dapat didiagonalisasi sehingga adasuatu matriks bujur sangkar A 1.

BAB IIPEMBAHASAN2.1MATRIKS2.1.1 Definisi matriksMatriks adalah kumpulan bilangan-bilangan yang diatur dalambaris-baris dan kolom-kolom berbentuk persegi panjang serta termuatdiantara sepasang tanda kurung.Matriks dapat dinyatakan sebagai :Am x n aij m x nDimana : aij elemen atau unsure matriksI 1,2,3, m, indeks barisJ 1,2,3,. n, indeks kolomMatriks dinyatakan dalam huruf besar A,B,P, atau huruf yang lain.unsur matriks :Jumlah baris MJumlah kolom NOrdo atau ukuran matriks m x nElemen-elemen diagonal a11, a22, amnMatriks dapat didefinisikan juga sebagai kumpulan beberapa vectorkolom atau vector baris.2.1.2Jenis-jenis matriksBerdasarkan susunan elemen matriks Matriks kuadrat/bujur sangkarMatriks bujur sangkar (square matrix) adalah matriks dimanajumlah baris (M) sama dengan jumlah kolom (N) atau M NContoh : Matriks A [] Bujur sangkar berorde 2 Matriks NolMatriks nol ( null matrix) adalah matriks dimana semuaelemennya mempunyai nilai nol (0).Contoh : Matriks B []

Matriks diagonalMatriks diagonal (diagonal matrix) adalah matriks dimanasemua elemen diluar diagonal utamanya adalah nol (0) danminimal ada 1 elemen pada diagonal utamanya bukan nol.Contoh : Matriks A3X3 [] Matriks kesatuan/identitasMatriks ini ditulis dengan l. jenis matriks bujur sangkar yangsemua elemen diagonalnya sama dengan 1.Contoh : Matriks l2 [] Matriks scalarMatriks scalar (scalar matrix) adalah matriks diagonal dimanaelemen pada diagonal utamanya bernilai sama tetapi bukan 1 ataunol.Contoh : A [] Matiks tridiagonalMatriks tridoagonal (tridiagonal matrix) adalah diagonal dimanaelemen sebelah kiri dan kanan diagonal utamanya bernilai tidaksama dengan nol (0).Contoh : A [] Matriks segitiga bawahMatriks segitiga bawah (lower triangular matrix, L ) adalahmatriks diagonal dimana elemen disebelah kiri (bawah) diagonalutama ada yang bernilai tidak sama dengan nol.Contoh : L [] Matriks segitiga atas

Matriks segitiga atas (upper triangular matrix,U) adalah matriksdiagonal dimana elemen disebelah kanan (atas ) diagonal utamanyaada yang bernilai tidak sama dengan nol.Contoh : U [] Matriks simetrisMatriks simetris (symmetric matrix) adalah matriks bujursangkar dimana diagonal utamanya berfungsi sebagai cermin ataurefleksi ( A’ A )Contoh : A3X3 [] Matriks miringMatriks miring ( skew matrix) adalah matriks bujur sangkardimana elemen diagonal ke aij dengan -aij atau (aij -aij) untuksemua I dan j tetapi elemen diagonal utama tidak semua nyabernilai nol.Contoh : M [] Matriks miring simetrisMatriks miring simetris (skew-symmetric matrix) adalahmatriks bujur sangkar dimana elemen ke aij sama dengan -aij atau(aij aij ) untuk semua I dan j dan semua elemen diagonal utamabernilai nol.Contoh : M [] berlaku MT -MBerdasarkan sifat operasi matriks Matriks singularMatriks singular (singular matrix) adalah matriks yangdeterminannya bernilai nol.

Contoh : A [ ]Matriks non singularMatriks non singulars (non singular matrix) adalah matriks yangdeterminannya bernilai tidak sama dengan nol.Contoh : A [ ]Matriks hermitMatriks hermit (hermit matrix) adalah matriks bujur sangkaryang transpose conjugatenya sama dengan matriks itu sendiri atauMT Conjugate kompleks matriks M.Contoh :] , ̅ [M [̅̅̅̅ [ ]] MMatriks hermit miringMatriks hermit miring ( skew hwrmit matrix) adalah matriksbujur sangkar yang transpose conjugatenya sama dengan negativematriks itu sendiri atau Mr -MContoh :[M ]],M [ [,M] -M Matriks uniterContoh :M [MMT [], M [][ Matriks uniter],dan MT [] [] []]

Matriks uniter ( uniter matrix) adalah bujur sangkar yangtransposenya sama dengan invers conjugatenya atau MT ̅ TAtau ̅̅̅̅̅ T MMT 1 orthogonalMatriks orthogonal ( orthogonal matrix) adalah matriks bujursangkar yang transpose nya sama dengan invers nya atau MT M-1ATAU MTM 1Contoh :M * Dan MT * MTM * * [] 1 Matriks normalMatriks normal ( normal matrix) adalah bujur sangkar yangmempunyai sifat : M ̅ T ̅ TContoh :M [], M [̅T []M ̅ T MTM [ [] [][ 2 []] []]] 2̅ Matriks involunterMatriks involunter (involunter matrix) adalah matriks yang jikadikalikan dengan matriks itu sendiri akan menghasilkan matriksidentitas atau M2 1Contoh :

M * M2 M1M * * [] 1 Matriks idempotentMatriks idempotent (idempotent matrix) adalah matriks yangjika dikalikan dengan matriks itu sendiri akan menghasilkanmatriks asal atau M2 M.Contoh :M []M2 [][] [] M Matriks nilpotentMatriks nilpotent (nilpotent matrix) adalah matrix bujur sangkardimana berlaku A3 0 Atau An 0, bila n 1,2,3,.Contoh :Matriks nilpotent daro ordo 3 x 3A [A3 A.A.A []][][] 02.2 Transpose matriksJika M adalah matriks ukuran m x n maka transpose dari A dinyatakanoleh AT, A1, atau A’ . Didefinisikan menjadi matriks n x m yang merupakanhasil dari pertukaran baris dan kolom dari matriks A.Amxn (Aij),Dimana : Bij AijContoh :

Tentukan transpose dari matriks berikut :A [], B []Solusi :AT [2.2.1] BT []Sifat-sifat matriks transposeTranspose dari transpose suatu matriks adalah jumlah atau selisihmatriks masing-masing transpose. Dan ini dapat ditulis dengan,[ ]’ ATranspose dari suatu jumlah atau selisih matriks adalah jumlah atauselisih matriks masing-masing transpose. Dan ini dapat ditulisdengan,[]’ A’ B’Transpose dari suatu hasil kali matriks adalah perkalian daritranspose-transpose dalam urutan yang terbalik. Hal ini dapat ditulisdengan,[]’ B’ A’ atau []’ C,B,A,.2.3 Operasi matriks2.3.1Definisi operasi matriksOperasi matriks adalah operasi aljabar terhadap dua atau lebihmatriks yang meliputi :2.3.2Penjumlahan dan penguranganJumlah matriks A dan B apabila ditulis A B adalah sebuahmatriks baru yaitu matriks C.Contoh :

Diketahui bahwa matriks A1 [ ], A2 [[], B1 [ ] dan B2 ] Operasi penjumlahanMatriks A1 B1 [] [ ]Matriks A2 B2 [][] [] Operasi penguranganMatriks A1 B1 A1 (-B1)Matriks A1 – B1 []Matriks A2 B2 [2.3.3] []Perkalian scalar matriksApabila ʎ adalah suatu bilangan dan a aij. Maka perkalian ʎdengan matriks A dapat ditulis :A ʎ (aij ) ( aij )Dengan kata lain, matriks ʎA diperoleh dari perkalian semuaelemen matriks A dengan ʎContoh :Diketahui bahwa matriks B [Tentukanlah ʎ B tersebut !Jawab :ʎB [ʎB []]] dan ʎ -1

2.3.4Perkalian matriksPerkalian matriks tidak komutatif maksudnya bila matriks Adalam ABBASistem persamaan linear Ax d adalah non singular, maka A-1 bisadicari dan penyelesaian system akan menjadi Xl A -1 dApabila matriks A (aij) berorde (pxq) dan matriks B (bij) berorde(qxr), maka perkalian matriks A dan B dapat ditulis sebagaimatriks baru,yaitu matriks C A X B.Contoh :Diketahui bahwa matriks A [[] dan matriks B ] tentukanlah matriks C matriks A X Matriks B.Jawab :A (2x3)Xb(3x3) C(2X3) []X[] [] [] Sifat perkalian matriksJika A adalah matriks ukuran mxn. Matriks B dan Cmempunyaiukuranyangmemungkinkanpenjumlahan dn perkalian. Maka,A (BC ) A (BC)A ( B C ) AB AC(B C) A (BA C)r (AB) (rA) BImA A AIn2.3.5Perkalian langsunguntukoperasi

Pembagian matriks biasanya dilakukan pada matriks bujursangkar jika A dan B matriks sama ukuran MxN ( m n ) makapembagian matriks A dan B sebagai berikut :Cmxn Dmn A-1 Dan B-1masing-masing adalah invers matriks A dan BA.A-1 1B.B-1 1Contoh :Jika A [] dan B [] tentukanlah C Solusi :C 2.3.6 [][][][ [][ []] ][]Pangkat suatu matriksJika A adalah suatu matriks bujur sangkar dan p dan q bilanganbulat positif, maka pangkat dari matriks A sebagai berikut :AP Aq (A )P q(Ap)q ApqContoh :Jika diketahui matriks berikut A [Tentukan dan buktikan :A3A2A A2 1 A3(A2)2 A2X2 A4Jawab :]

A3 [][][A2 [][]A2A [][][[]]] []Jadi A2A A22.3.7A2 [][][A2 [][][A4 [][][]]][][]Operasi baris elementerOperasi baris elementer (OBE) dalah menukar suatu barismatriks dengan baris matriks yang lainnya atau mengalikan suatubaris dengan bilangan k (scalar) dimana k0 kemudian hasilnyaditambahkan kebaris lainnya pada matriks.Contoh :[] [][] [] b2 b2 4b3B23(4) : b2 (baru) b2(lama) 4 x b3B2 4b3 B2 ( baris b2 baru )2.4 Dekomposisi matriks2.4.1Definisi dekomposisi matriksDekomposisi matriks adalah transformasi atau modifikasi darisuatu matriks menjadi matriks segitiga bawah (L) dan atau matrikssegitiga atas (U).