MODEL SIR (SUSCEPTIBLE, INFECTIOUS, RECOVERED) UNTUK .

e-Jurnal Matematika Vol. 1 No. 1 Agustus 2012, 52-58MODEL SIR (SUSCEPTIBLE, INFECTIOUS,RECOVERED) UNTUK PENYEBARANPENYAKIT TUBERKULOSISK. QUEENA FREDLINA 1, TJOKORDA BAGUS OKA2,I MADE EKA DWIPAYANA31,2,3Jurusan Matematika, Fakultas MIPA Universitas Udayana,e-mail: 1queen of scorp@yahoo.comAbstractTuberkulosis (TB) merupakan salah satu penyakit penyebab kematian di negaraberkembang. Oleh karena itu, perlu dilakukan analisis yang dapat diterima secarailmiah terhadap peristiwa penyebaran penyakit tuberkulosis. Salah satunya dapatdipandang dalam bentuk model matematika. Model penyebaran penyakit TB yangdisusun menghasilkan persamaan model yang menggambarkan penyebaranpenyakit TB pada kelas susceptible, infectious dan recovered. Model yangterbentuk perlu dianalisis dengan mencari titik kritis, nilai eigen dan basicreproduction ratio. Kemudian dilakukan simulasi menggunakan metode RungeKutta orde 4 untuk menguji analisis parameter. Dari hasil analisis akan didapatparameter yang paling berpengaruh dalam penyebaran tuberkulosis adalah lajupenularan dan laju kesembuhan. Dengan demikian penyebaran tuberkulosis dapatdikendalikan dari kejadian epidemi dengan membuatatau menurunkanlaju penularan dan meningkatkan laju kesembuhan.Keywords: model matematika, tuberkulosis (TB), basic reproduction ratio (Runge-Kutta),1. PendahuluanTuberkulosis merupakan salah satu penyebab kematian di negara-negaraberkembang yang disebabkan oleh baketeri mycobacterium. Bakteri ini pertamakaliditemukan oleh Robert Koch pada tanggal 24 Maret 1882. Gejala-gejala penderita TBdiantaranya batuk-batuk, sakit dada, nafas pendek, hilang nafsu makan, berat badan turun,demam, kedinginan, dan kelelahan.Penyakit TB merupakan penyebab kematian nomor tiga setelah penyakitkardiovaskular dan penyakit saluran pernafasan pada semua kelompok usia, dan nomorsatu dari golongan penyakit infeksi [1].Berdasarkandata World Health Organization (WHO) pada tahun 2007menyatakan jumlah penderita tuberkulosis di Indonesia sekitar 528 ribu atau berada diposisi tiga di dunia setelah India dan Cina. Laporan WHO pada tahun 2009, mencatatperingkat Indonesia menurun ke posisi lima dengan jumlah penderita TBC sebesar 429ribu orang. Saat ini Indonesia menempati urutan ke-9 dari 27 negara yang mempunyaibeban tinggi Multi Drug-Resistant Tuberculosis (MDR-TB) [2].Dalam pembuatan model matematika untuk penyebaran penyakit TB, populasi1Mahasiswa Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana2,3Staf Pengajar Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

K. Queena Fredlina, Tjokorda Bagus Oka, I M.Eka DwipayanaModel SIR untuk PenyebaranPenyakit Tuberkulosismanusia dibagi menjadi 3bagian yaitu : sub populasi Susceptible adalah sub populasiyang rentan terhadap penyakit TB, sub populasi Infectious adalah sub populasi yangterinfeksi dan menularkan TB, dan sub populasi Recovered adalah sub populasi yangtelah sembuh.Model yang disusun adalah model matematika dengan bentuk sistem persamaandiferensial yang bergantung pada variabel-variabel yang meyatakan tiap-tiap populasi.Selanjutnya dilakukan analisis parameter dan mencari basic reproduction ratio (R0) danuntuk simulasi numerik dengan metode Runge Kutta Orde 4.Tujuan dari penelitian adalah: (1) mengetahui cara mengontruksi model penyebaranpenyakit tuberculosis dan (2) mengetahui parameter yang berpengaruh paling signifikandalam model penyebaran penyakit tuberculosis.2. Metode PenelitianPenelitian ini dilakukan dengan menggunakan metode penelitian kepustakaan ataustudi literatur. Hal ini dilakukan untuk mendalami, mencermati, menelaah, danmengidentifikasi pengetahuan yang menunjang penelitian ini. Sumber-sumber yangdigunakan dapat berupa buku, jurnal penelitian, skripsi, tesis, maupun internet.Adapun langkah-langkah dalam pembentukan model matematika penyebaranpenyakit tuberkulosis adalah: (1) Indentifikasi Masalah, yaitu membaca dan memahamiliteratur yang berkaitan dengan penyakit tuberkulosi dan pemodelan matematika,sehingga dapat menentukan sub-sub populasi yang akan digunakan dalam model; (2)Membuat Asumsi, yaitu dalam pembuatan model matematika tidak semua faktor yangberpengaruh dalam penyebaran penyakit tuberkulosis dapat dimodelkan secaramatematika, oleh karena itu perlu disederhanakan dengan melakukan reduksi faktorfaktor yang berpengaruh terhadap peristiwa ini; (3) Menyelesaikan danMenginterpretasikan Model, setelah model terbentuk, perlu diselesaikan secaramatematika yaitu melakukan analisis parameter dengan mencari titik kritis, nilai eigen,dan basic reproduction ratio (R0); (4) Verifikasi Model, setelah dilakukan analisis padamodel, perlu melihat simulasi model. Simulasi dilakukan untuk menguji hasil analisis danmelihat pengaruh dari parameter. Untuk simulasi numerik menggunakan metode RungeKutta Orde 4.3. Hasil dan Pembahasan3.1. Pembentukan Model Matematika TuberkulosisDalam pembentukan model penyebaran tuberkulosis, populasidibagi menjadi3 sub populasi yaitu: Susceptible, Infectiousdan Recovered.Jumlah populasi akan bertambah karena kelahiran sebesar , denganadalahkonstan.akan berkurang karena kematian dengan laju . Kontak langsung denganindividu yang terinfeksi menyebabkan individu pada populasi rentan akan ikut terinfeksidan akan masuk menjadi populasi . Hal ini menyebabkan berkurangnya populasi . Lajupenularan penyakit TB adalah .Kelas menyatakan individu yang terinfeksi dan dapat menularkan TB kepadaorang lain.Berkurangnya populasi ini disebabkan oleh kematian karena faktor lain denganlaju dan kematian karena penyakit TB dengan laju . Individu yang terinfeksi TBdan masuk dalam populasi . Hal ini jugamenyebabkan berkurangnya populasi .Individu dalam kelasdiasumsikan tidak akan kambuh kembali menjadipenderita TB. Berkurangnya populasi ini disebabkan oleh kematian dengan laju .dapat sembuh secara spontan dengan laju53

e-Jurnal Matematika Vol. 1 No. 1 Agustus 2012, 52-58Dari asumsi di atas dapat dibuat diagram alir mengenai model matematikatuberkulosis seperti terlihat pada Gambar 1:SIRGambar 1 Diagram Alir Model Matematika TuberkulosisBerdasarkan asumsi dan Gambar 1 maka model matematika dari penyebaranpenyakit tuberkulosis adalah:(1)Dengan.3.2.Analisis Model Matematika3.2.1. Titik KritisUntuk mencari titik kritis, sistem (1) dibuat dalam posisi konstan terhadapwaktu yaitu kondisi dimanai.,, dan.Dengan demikian diperoleh dua titik kritis yaitu:, yang memberikan disease-free equilibrium,ii., dengan:,,,.Dalam kehidupan nyata, jumlah populasi manusia tidak mungkin negatif, olehkarena itu titik kritis ini harus diberi syarat agar bernilai positif. Nilai dan sudah pastipositif, oleh karena itu yang perlu diberi syarat adalah nilaiDengan demikian, nilai pasti akan positif juga.agar bernilai positif.3.2.2. Nilai EigenNilai Eigen berfungsi untuk mengetahui kestabilan dari suatu sistem. Untukmencari nilai eigen, hal pertama yang perlu dilakukan adalah mencari matriks Jacobian( ). Matriks Jacobian dari sistem (1) adalah: 54

K. Queena Fredlina, Tjokorda Bagus Oka, I M.Eka DwipayanaModel SIR untuk PenyebaranPenyakit TuberkulosisSubstitusikan titik kritis yang telah didapat ke dalam, dengan demikian akandiperoleh dua matriks Jacobian.Dengan mengetahui matriks Jacobian, nilai eigen dapatdicari dengan:Dengan demikian diperolehatau nilai eigen untuk titik kritis (i) adalah:(2)Sedangkan nilai eigen untuk titik kritis (ii) yaitu:.(3)Dengan,, dan.Suatu sistem dikatakan stabil apabila semua nilai eigen dari sistem tersebut bernilainegatif ataudengan1, 2, dan 3. Nilai eigen (2) akan stabil dan menuju titikkritisapabilaatau. Hal ini akanbertentangan dengan syarat untuk titik kritis (ii). Ini menyebabkan populasi dan akanbernilai negatif, dalam halnya kehidupan nyata tidak mungkin terjadi kondisi seperti inimaka titik kritis (ii) dapat diabaikan. Dapat dikatakan titik kritis (ii) akan ada dan stabilapabila nilai eigen (2) tidak stabil.Untuk membuat nilai eigen (3) stabil, ketiga nilai eigen harus negatif. Nilai darisudah negatif, sehingga nilai daridanperlu diberi syarat agar bernilai negatif juga.Nilaipasti positif, sehingga penyebut dari nilai eigen pasti positif. Oleh karenaitu pembilang harus bernilai negatif.Karena pasti positif maka haruslah juga bernilai positif agar. Selainitujuga harus bernilai positif, karena jika tidak nilai eigen akan bernilai positif danmenjadi tidak stabil.Apabila syarat untukterpenuhi maka nilai untukjuga pasti terpenuhi. Hal inidikarenakan bilamaka nilai darijugakurang dari nol.Dengan stabilnya nilai eigen (3), nilai eigen (2) akan menjadi tidak stabil. Dapatdilihat (3) akan stabil jika memenuhi syaratatauyangmenyebabkan nilai eigen (2) menjadi positif dan tidak stabil. Dapat dikatakan titik kritis(i) stabil maka titik kritis (ii) akan menjadi tidak stabil, begitu pula sebaliknya.3.2.2.Basic Reproduction Ratio ()Di dalam epidemiologi, tingkat penyebaran suatu penyakit menular biasa diukurdengan suatu nilai yang disebut basic reproduction ratio ( ). Agar terbebas dari infeksiTB, harus dibuat. Dalam hal ini setiap penderita hanya dapat menyebarkanpenyakit kepada rata-rata kurang dari satu penderita baru, sehingga pada akhirnyapenyakit akan hilang. Sedangkan, apabilamaka setiap penderita dapatmenyebarkan penyakit kepada rata-rata lebih dari satu penderita baru, sehingga padaakhirnya akan terjadi epidemik [3].55

e-Jurnal Matematika Vol. 1 No. 1 Agustus 2012, 52-58Untuk mencari, karena yang ingin dikendalikan adalah populasi yangmenyebarkan infeksi TB maka hanya diperlukan model pada persamaan (1). Misalkanadalah turunan dariterhadap , dimana. Dengan demikian dapatdiketahui. Sehingga diperoleh:(4)Substitusikan titik kritispada (4), sehingga:Dari persamaan di atas dapat diketahuidan. Dari sini diperoleh:terjadi apabilasedangkanterjadi apabila. Berdasarkan hasilyang diperoleh, untuk membuat,penyebut harus lebih besar dari pada pembilang. Kematian karena faktor lain ( )dan kematian karena tuberculosis ( ) tidak dapat ditingkatkan. Oleh karena ituyang perlu dilakukan adalah penyembuhan atau pengobatan bagi penderita TB,sehingga laju kesembuhan ( ) akan meningkat. Selain itu laju penularan penyakitTB ( ) juga harus diturunkan, dengan demikian tingkat penyebaran infeksi TBakan berkurang sehingga penyakit lebih dapat dikendalikan dari keadaan epidemi.Jadi dapat dikatakan, dari analisis ini akan diketahui parameter yang palingberpengaruh dari semua parameter yang ada dalam model penyebarantuberkulosis adalah parameter dan .3.3. Simulasi Analisis Numerik3.3.1. Simulasi untuk.Berdasarkan syarat agar, diberikan nilai,,,, danSehingga diperoleh titik kritis sebagai berikut:i., dan.Titik kritis (ii) dapat diabaikan karena populasi bernilai negatif. Ini berarti hanyadigunakan satu titik kritis yaitu titik kritis (i) yang memberikan disease-free-equilibrium.ii.Nilai eigen dapat ditemukan dengan mensubstitusikan parameter yangdidapat ke nilai eigen (2) dan (3), sehingga didapat nilai eigen sebagai berikut:i. Untuk titik kritis (i),ii. Untuk titik kritis (ii),Dapat dilihat nilai eigen yang stabil adalah nilai eigen untuk titik kritis (i), iniberarti sistem akan menuju ke titik kritis. Halini merupakan kondisi yang diharapkan karena akan menuju kondisi yang bebas penyakitTB.Dengan metode Runge-Kutta orde 4 akan diperoleh perilaku dinamik dari sistemyang terbentuk di atas dan dalam simulasi ini menggunakan nilai awal:,,,, dan nilai,dengan dalam bulan, sehingga dengan demikian diperoleh Gambar 2.56