Prefazione - Gruppo Di Fisica Dei Sistemi Complessi Di Bologna

1. Principi generaliObiettivo della meccanica classica è l’analisi del moto di sistemi macroscopici siano questistelle e pianeti, un pendolo o un giroscopio, una sbarra elastica od un fluido. Sui fondamenti posti da Galileo è stato sviluppato, prima da Newton e poi da Eulero, un apparatomatematico che ha raggiunto la sua completa formalizzazione alla fine del secolo scorsonella cosiddetta meccanica analitica. Da questo apparato è emersa la nozione più generaleed astratta di sistema dinamico che estende la infrastruttura ed i metodi della meccanicaad un qualsiasi sistema deterministico, di cui cioè è possibile prevedere l’evoluzione neltempo, note che siano le condizioni iniziali e le leggi che che lo governano. Per questo motivo non è più solo la fisica a beneficiare degli sviluppi della meccanica ma anche disciplineda essa assai lontane.Dalla meccanica sono nati nuovi settori della matematica quali la geometria differenziale ela teoria ergodica e nel suo ambito si sono sviluppate nuove teorie fisiche. Basterà pensarealla teoria semiclassica di Bohr e Sommerfeld che ha precorso e preparato la formulazionedella meccanica quantistica ed alla teoria cinetica dei gas con cui Boltzmann ha posto lebasi della meccanica statistica. Nei capitoli che seguiranno si farà una presentazione dellameccanica newtoniana, lagrangiana ed hamiltoniana seguendo sostanzialmente l’ordine delsuo sviluppo storico, dedicando particolare attenzione ai suoi strumenti matematici edevidenziando gli aspetti geometrici. Questi infatti permettono di stabilire un ponte tra isistemi esplicitamente integrabili e quelli per cui siamo in grado di fare solo una analisiqualitativa e di cogliere la differenza profonda che esiste tra proprietà locali e globali di unsistema.

21. Principi generalic 88-08- 9820 1.1. INTRODUZIONEProblematiche attuali. La meccanica classica svolge un ruolo non secondario nellosviluppo delle tecnologie di punta richieste dalla ricerca nello spazio, dalla fisica subnucleare, dalla fisica dei plasmi confinati e costituisce un punto di riferimento per altre scienze(economiche, biologiche o sociali) per il crescente interesse suscitato dai sistemi non lineariin cui coesistono ordine e caos. I controlli di assetto e l’inserimento di veicoli spazialiin orbite che raggiungono con precisione estrema anche i pianeti esterni sono basati sucalcoli molto accurati di meccanica celeste. La realizzazione dei grandi acceleratori conmagneti superconduttori richiede la definizione di orbite stabili su un numero elevatissimodi rivoluzioni e presenta forti analogie con il problema della stabilità del sistema solare.Infine il controllo delle instabilità in un plasma, confinato magneticamente per raggiungere le condizioni di fusione termonucleare, richiede l’analisi del moto di cariche in campimagnetici fluttuanti. In questi casi, contrariamente a quanto avviene nelle applicazionidella meccanica alle tecnologie ordinarie, le forze in gioco e le risultanti equazioni sonodi natura non lineare. Una delle principali difficoltà nella realizzazione di un acceleratoredi grande energia e luminosità o di un Tokamak in cui la scarica si mantiene a lungo ècertamente dovuta alla parziale comprensione del comportamento quanto mai diversificatoe complesso dei sistemi non lineari, il cui studio costituisce oggi il fronte avanzato dellameccanica. Dopo un periodo di quiescenza, seguito alle grandi intuizioni di Poincaré versola fine del secolo scorso, da circa due decenni, si è risvegliato un grande interesse per isistemi dinamici non lineari, nei quali si è osservato il frequente insorgere di moti caotici edi strutture geometriche anomale. Il caos, assente nei modelli tradizionali della meccanica,sta assumendo il ruolo di un nuovo paradigma.Limiti di validità. La meccanica classica galileiana si applica ai sistemi macroscopiciin moto lento. Ciò significa che le velocità in gioco v debbono essere piccole rispetto allavelocità della luce c 3 1010 cm/sv 1(1.1.1)cIn queste condizioni, che sarebbero sempre verificate nel limite matematico c , dettoanche limite non relativistico, le leggi del moto per sistemi isolati, sono invarianti rispettoalle trasformazioni di Galileo tra sistemi di riferimento. Lo studio dei fenomeni elettromagnetici, che ha messo in evidenza come non sia lecito assumere la propagazione istantaneadi un segnale e come la velocità della luce sia costante rispetto ad ogni riferimento, hacondotto a sostituire le trasformazioni di Galileo con le trasformazioni di Lorentz. Comeconseguenza le leggi della dinamica, applicabili al moto di particelle veloci in campi elettromagnetici, vengono cambiate in modo da risultare invarianti rispetto alle nuove trasformazioni. Con questa estensione la meccanica descrive il moto di ogni particella prevedendone la traiettoria e cessa di essere applicabile soltanto quando la traiettoria non è piùdefinita per il manifestarsi di fenomeni di tipo ondulatorio. Questi fenomeni sono statiosservati a livello microscopico: la diffrazione di elettroni in un cristallo, gli spettri atomici di emissione od assorbimento di radiazione e l’effetto fotoelettrico hanno mostrato un

c 88-08- 9820 1.1. Introduzione3dualismo di comportamento ondulatorio e corpuscolare non conciliabile con la descrizioneclassica. Nella meccanica quantistica, che risolve questo dilemma, l’identità di un puntoviene sostituita da una misura di probabilità, associata ad una funzione d’onda che nedescrive l’evoluzione. La meccanica classica torna ad essere applicabile quando alla funzione d’onda che si propaga, si possono sostituire le traiettorie normali alle superfici di fasecostante, come avviene in ottica per i raggi luminosi. Ciò accade quando sono trascurabilii fenomeni di interferenza e diffrazione ossia quando la lunghezza d’onda è molto piccolarispetto alla scala su cui le proprietà del mezzo variano sensibilmente.Ad una particella di energia E e quantità di moto p mv risulta associata un’onda dilunghezza λ e periodo T dati daλ h,pT hE(1.1.2)dove h, detta costante di Planck, ha le dimensione di un’azione e vale h 6.6 10 27 erg · s.Per un sistema macroscopico la lunghezza d’onda è cosı́ piccola che non si possono manifestare fenomeni ondulatori e la descrizione classica è sempre corretta. Da punto di vistamatematico la meccanica classica diventa una teoria esatta nel limite h 0, detto appuntolimite classico.Modelli. Tornando definitivamente al mondo macroscopico ricordiamo che il successoiniziale della meccanica è consistito nel fornire uno schema interpretativo delle leggi diKeplero e del moto del pendolo. Le leggi stabilite da Newton si applicano ad un modelloideale, il punto materiale, costituito dal punto matematico con un attributo meccanico, lamassa. La formulazione matematica della meccanica nasce per sistemi semplici, costituitida precise entità geometriche, cui possiamo assimilare i sistemi reali mediante un processodi eliminazione degli attributi non essenziali e viene poi concettualmente estesa a sistemicomplessi.Ogni modello è specificato dalla dimensione d dello spazio in cui se ne descrive l’evoluzionee dalla distribuzione di massa tra i suoi componenti. La dimensione d corrisponde alnumero di gradi di libertà, cui si associano le coordinate indipendenti del sistema. Tra itipici modelli della meccanica possiamo citare i seguenti di cui ci occuperemo nel seguitopunto materiale liberod 3sistemi di N punti materiali liberid 3Npunto materiale vincolatod 3corpo rigidod 6corda elastica, sistemi continuid Combinando i modelli sopra elencati è possibile descrivere con il grado di accuratezzadesiderato un qualsiasi sistema classico. Uno stesso sistema fisico può essere rappresentatoda una serie di modelli di complessità crescente, che ne consentono una descrizione sempre più accurata. Ad esempio la terra sarà descritta come punto materiale, come corpo

41. Principi generalic 88-08- 9820 rigido sferoidale o come continuo elastico a seconda che si voglia studiare il suo moto dirivoluzione, la precessione degli equinozi o le sue oscillazioni libere.I sistemi continui, con i quali si descrivono i mezzi elastici, i fluidi o il campo elettromagnetico, si differenziano dai modelli con un numero finito di gradi di libertà, per l’apparatomatematico richiesto: equazioni alle derivate parziali anziché equazioni differenziali ordinarie.Interazioni. La descrizione di un sistema fisico richiede non solo la definizione di unmodello geometrico con attributi dinamici quali la distribuzione della massa tra i suoi costituenti ma anche la definizione delle interazioni tra le sue parti o con il mondo esterno,se il sistema non è isolato. La prima distinzione da fare è tra interazioni fondamentali,gravitazionale ed elettromagnetica, che si esercitano tra due masse o due cariche elettriche puntiformi, e di tipo fenomenologico, che schematizzano l’effetto macroscopico diinterazioni fondamentali tra i componenti elementari di un sistema. Tra queste basteràcitare le forze elastiche e dissipative, proporzionali rispettivamente allo spostamento edalla velocità, che descrivono le interazioni che richiamano un sistema verso una posizionedi equilibrio o meccanismi (attrito, viscosità) che ostacolano il moto provocando perditedi energia meccanica.Determinismo e predicibilità. Le leggi della meccanica classica hanno carattere deterministico. Infatti un sistema isolato di cui conosciamo le interazioni è descritto da unsistema di equazioni differenziali ordinarie. Note le posizioni e le velocità iniziali dei puntidel sistema, la soluzione di queste equazioni, che esiste ed è unica sotto opportune condizioni di regolarità delle interazioni e dei vincoli, ne determina il moto futuro e passato.Questa affermazione che trovava il suo massimo fondamento nel completo accordo tra lepredizioni della meccanica celeste e le osservazioni astronomiche, venne esaminata criticamente da Poincaré nel tentativo di capire le ragioni per cui il problema dei tre corpi nonpoteva essere risolto analiticamente come molti altri problemi della meccanica. Poincaréscoprı̀ che accanto ai moti ordinati, su cui è fondata la comune percezione di predicibilità,esistono altri moti, la cui caratteristica principale è una estrema irregolarità, che giustifical’appellativo caotici. I moti ordinati, tipici dei sistemi cosiddetti integrabili hanno unasemplice struttura geometrica e sono prevedibili in senso stretto, perché un errore o indeterminazione nelle condizioni iniziali si propaga linearmente nel tempo. I moti caoticiinvece sono caratterizzati da una forte instabilità, poiché orbite inizialmente vicine divergono esponenzialmente nel tempo, e da strutture geometriche complesse in cui le traiettorieformano un groviglio inestricabile. Pertanto se vogliamo fare una distinzione tra sistemisemplici e sistemi complessi quello che conta non è tanto il numero di gradi di libertà quantoil fatto che il sistema presenti solo moti ordinati, oppure no. I moti nei sistemi conservativiintegrabili sono riconducibili a rotazioni uniformi su cerchi; punti, inizialmente vicini, simuovono su di essi con uno sfasamento, che cresce linearmente nel tempo. Nei sistemi nonintegrabili si manifesta una impredicibilità fisica poiché la previsione della posizione di unpunto ad un istante t implica una conoscenza del dato iniziale con un numero di decimaliche cresce linearmente con t. I sistemi completamente caotici finiscono tuttavia per essere prevedibili sotto altro forma se alla conoscenza impossibile dell’evoluto di un punto sisostituisce il calcolo di valori medi, applicando a questi i metodi tipici della statistica.Questi nuovi aspetti della meccanica sono oggetto di notevole interesse non solo dal punto

c 88-08- 9820 1.2. Spazi vettoriali5di vista matematico ma anche dal punto di vista fisico, per l’accresciuta possibilità disperimentare con interazioni fortemente non lineari.1.2. SPAZI VETTORIALIIl moto di un sistema meccanico viene descritto specificando a ciascun istante la posizionedei suoi punti rispetto ad un sistema di riferimento. A ciascun punto si associa un vettore posizione che appartiene allo spazio euclideo tridimensionale. Un punto ad un istanteassegnato definisce un evento, cui si associa un vettore dello spazio euclideo quadridimensionale.Spazio, tempoAssumiamo come primitive le nozioni di spazio e tempo e diamo di esse una definizioneoperativa. Le misure di spazio sono riconducibili a misure di distanza, per effettuare lequali è necessario disporre di un regolo campione opportunamente suddiviso. Il modernoregolo campione è costituito dalla lunghezza d’onda di una particolare riga spettrale. Datidue punti si misura la reciproca distanza e la collocazione di un punto nello spazio vieneindividuata misurando le distanze da tre piani mutuamente ortogonali.Le misure di tempo sono legate all’esistenza di fenomeni periodici che rendono possibili lacostruzione di orologi, strumenti che riconducono le misure di intervalli di tempo a misuredi posizione. Dopo aver misurato il tempo attraverso la periodicità del moto della terra,sono stati costruiti gli orologi meccanici e successivamente gli orologi atomici, il cui periodoè quello della radiazione emessa da un atomo su una particolare riga spettrale.Notiamo che la precisione, con cui lunghezze e tempi possono essere misurate, raggiungeed oltrepassa il limite di applicabilità della meccanica classica. Anche se c’è un limiteinferiore per le distanze e gli intervalli di tempo che possono essere misurati assumeremocomunque comunque che distanze e tempi appartengano al corpo dei numeri reali R.Spazi vettorialiIndichiamo con A3 l’insieme dei punti dello spazio ordinario, che costituisce uno spazioaffine. Avendo definito evento un punto ad un dato istante di tempo, l’insieme di tutti glieventi è uno spazio affine A4 . Consideriamo le coppie ordinate di punti (Q, P ) dello spazioaffine A3 stabilendo che due coppie (O, P ) e (O′ , P ′ ) sono equivalenti(O, P ) (O′ , P ′ )(1.2.1)se i corrispondenti segmenti orientati sono paralleli, equiversi e di ugual lunghezza, riconducibili cioè l’uno all’altro mediante trasporto parallelo . Data una coppia ordinata (O, P )la classe di equivalenza di tutte le coppie definisce un vettore, che indichiamo con rr (O, P ) (O′ , P ′ ) (O′′ , P ′′ ) . . .(1.2.2)

6c 88-08- 9820 1. Principi generaliPPPP1221PP33OFigura 1.2.1. Spazio affine A3 (lato sinistro), spazio vettoriale R3 (lato destro).La distanza tra i punti di una coppia ordinata (O, P ), che indichiamo con d(O, P ), è lastessa per tutte le coppie equivalenti e vien detta modulo o norma euclidea del vettore r d(O, P ) d(O′ , P ′ ) d(O′′ , P ′′ ) . . .(1.2.3)Se in ciascuna classe di equivalenza di coppie ordinate scegliamo quella il cui punto inizialeè un punto fissato O, che chiamiamo origine, ad ogni punto P dello spazio risulta associatoil vettore r (O, P ), vedi figura 1.2.1. Scelta una origine Ω nello spazio-tempo A4 ad ognievento E associamo il vettore w R4 corrispondente alla coppia (Ω, E).Per indicare un vettore useremo anche la notazione seguenter (O, P ) P O(1.2.4)che consente di estendere ai punti le proprietà algebriche della somma se definiamo lasomma tra due vettori r1 (O, P1 ) e r2 (O, P2 ) (P1 , P ) come il vettore r (O, P )r1 r2 (O, P1 ) (O, P2 ) (O, P1 ) (P1 , P ) (O, P )(1.2.5)Tale definizione, che corrisponde alla classica regola del parallelogramma come mostra lafigura 1.2.2, usando la notazione (1.2.4), diventar1 r2 P1 O P2 O P1 O P P1 P O r(1.2.6)Il vettore nullo è 0 (O, O), l’opposto di un vettore r (O, P ) è r (P, O) e si har ( r) 0.La moltiplicazione di un vettore r (O, P ) per un numero reale λ è un vettore r′ (O, P ′ )parallelo al primo, di ugual (opposto) verso se λ 0 (λ 0) e normakλrk λ krk(1.2.7)Avendo definito una legge di composizione interna, la somma, ed una legge di composizioneesterna, la moltiplicazione per un parametro reale, l’insieme dei vettori diventa uno spaziovettoriale; questo spazio, munito della norma euclidea, viene indicato con R3 .

c 88-08- 9820 1.2. Spazi vettoriali7Prodotto scalare e vettorialeDefiniamo prodotto scalare l’ applicazione bilineare R3 R3 R, che a due vettori associail numero reale dato dal prodotto delle loro norme per il coseno dell’angolo α tra essicompreso, vedi figura 1.2.2.r1 · r2 kr1 k kr2 k cos α(1.2.8)Due vettori si dicono ortogonali se il loro prodotto scalare è nullo.PP1P2αOP2OP1Figura 1.2.2. Somma di vettori (lato sinistro); prodotto scalare (lato destro).La definizione di prodotto scalare implicakrk (r · r)1/2(1.2.9)la proprietà commutativa e quella distributiva rispetto alla somma, vedi figura 1.2.3.r · (λ1 r1 λ2 r2 ) λ1 r · r1 λ2 r · r2(1.2.10)Inoltre da 1 cos α 1 seguono la disuguaglianza di Schwarz e quella triangolare r1 · r2 kr1 k kr2 k, kr2 k kr1 k kr2 r1 k kr2 k kr1 k(1.2.11)Si definisce prodotto vettoriale una applicazione bilineare R3 R3 R3 che ai vettori r1e r2 associa il vettore r ad essi ortogonale. Il verso di r è tale che la rotazione antiorariache sovrappone r1 a r2 risulti di un angolo α π; la norma di r è data dal prodotto dellenorme di r1 e r2 per il seno α.r r1 r2 ,krk kr1 k kr2 k sin α(1.2.12)Dalla definizione segue che il prodotto vettoriale non è commutativo r1 r2 r2 r1 magode della proprietà distributiva rispetto alla somma. La norma del prodotto vettoriale èl’area del parallelogramma che ha i due vettori come lati.r1 x r r2BBBBBBBBBBBBBBBFigura 1.2.3. Proprietà distributiva del prodotto scalare (lato sinistro), prodotto vettoriale (lato destro).

8c 88-08- 9820 1. Principi generaliBasi e rappresentazioniTre vettori e1 , e2 , e3 di R3 si dicono linearmente indipendenti se la loro combinazionelineare si annulla solo se i coefficienti sono nullix1 e1 x2 e2 x3 e3 0 x1 x2 x3 0(1.2.13)In R3 tre vettori sono linearmente indipendenti se non sono coplanari, vedi figura 1.2.4;essi formano una base nello spazio perché ogni altro vettore sarà linearmente dipendenteda essi, esprimibile cioè come una loro combinazione lineare. Per un vettore generico xscriveremox x1 e1 x2 e2 x3 e3(1.2.14)Una base si dice ortonormale, se i vettori ei sono ortogonali e di modulo unitarioei · ek δi,k ,δi,k ½10per i kper i 6 k(1.2.15)dove δik è detto simbolo di Kronecker. Le componenti xi di un vettore x in una baseortonormale sono uguali al prodotto scalare tra x ed i vettori ei della basexi ei · x(1.2.16)In una base scelta ad ogni vettore risulta associata una te

Sistemi dinamici piani. . Obiettivo della meccanica classica e l’analisi del moto di sistemi macroscopici siano questi stelle e pianeti, un pendolo o un giroscopio, una sbarra elastica od un fluido. Sui fonda-menti posti da Galileo e stato sviluppato, prima da