1. Mappe E Ricorrenze - Gruppo Di Fisica Dei Sistemi .

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1. Mappe e ricorrenzeI sistemi dinamici sono caratterizzati da uno spazio delle fasi o degli stati, da una legge dievoluzione che a ciascuno stato associa lo stato successivo e da una misura di probabilità.I sistemi dinamici a tempo continuo sono caratterizzati da una legge di evoluzione chesi ottiene risolvendo una equazione differenziale del primo ordine. Il cambiamento distato dall’istante t a t dt dipende solo dallo stato al tempo t ed è specificato da uncampo vettoriale nello spazio delle fasi. In un sistema dinamico discreto la evoluzioneè definita da una successione di stati ed il passaggio da uno stato allo stato successivoè specificato da una applicazione dello spazio delle fasi in sé che chiamiamo mappa. Ilprocesso iterativo con cui una mappa genera un’orbita si chiama ricorrenza. Lo studio diun sistema dinamico inizia con la ricerca dei punti di equilibrio, detti punti fissi nel casodi una mappa, e la determinazione della loro stabilità. Un punto di equilibrio costituiscela forma pi semplice di orbita e la sua stabilità dipende dal comportamento delle orbiteche hanno origine in un suo piccolo intorno: se restano confinate, l’equilibrio è stabile, seciò non avviene è instabile. Analogamente un’orbita è stabile se la distanza dei suoi puntida quelli di un’orbita con punto iniziale scelto in un piccolo intorno cresce linearmente,instabile se cresce esponenzialmente. Infine un sistema si dice strutturalmente stabile seuna piccola variazione del parametro da cui dipende non altera la stabilità delle sue orbiteed in particolare dei suoi punti di equilibrio. Quando un punto di equilibrio cambia stabilitàsi ha una biforcazione. Un punto di equilibrio stabile si dice attrattivo se le orbite originateda un qualsiasi punto di un suo intorno convergono ad esso asintoticamente. Qundo vi sonopiù punti di equilibrio attrattivi gli insiemi di punti, le cui orbite convergono a ciascuno diquesti, si chiamano bacini attrazione e possono avere una struttura geometrica complessa.In questo capitolo analizzeremo le mappe ed i loro punti fissi, tenendo presente che questepossono essere modelli di sistemi dinamici, approssimazioni di sistemi a tempo continuooppure algoritmi per risolvere problemi di calcolo numerico quali la ricerca degli zeri diuna funzione. Modelli dinamici come la mappa di Hénon o la mappa standard, che sonostati proposti come prototipi di sistemi con orbite regolari e caotiche, saranno analizzatinel seguito. Nel calcolo numerico di una ricorrenza, ottenuta iterando una mappa, l’unicoerrore che si commette è quello di arrotondamento, dovuto alla precisione finita con cui inumeri reali sono rappresentati in un calcolatore e la legge con cui questo errore cresce nelcorso del processo iterativo dipende dalla stabilità dell’orbita.Evoluzione continua e discretaLa meccanica classica studia l’evoluzione di un sistema fisico rispetto al tempo t R. Lospazio degli stati è uno spazio euclideo R2d detto spazio delle fasi, dove d è il numero digradi di libertà . In generale per un sistema delerministico, il cui spazio delle fasi è Rd , ilpassaggio da uno stato x(t) al tempo t allo stato successivo x(t dt) non dipende daglistati precedenti. Quindi la legge di evoluzione x(t) St (x0 ) da stato iniziale x0 al tempot 0 allo stato al tempo t si ottiene risolvendo l’equazione differenzialedx(t) Φ(x(t))dt1(1.1)

con condizione iniziale x0 . Il campo vettoriale Φ è una applicazione Rd Rd che rappresenta la legge con cui cambia lo stato del sistema. Per un sistema meccanico il campo Φ èdeterminato dalle leggi di Newton, tenendo presente che per un punto materiale le componenti di x sono le coordinate spaziali e le componenti della sua quantità di moto. I puntidi equilibrio x sono particolari orbite invarianti rispetto alla evoluzione ossia St (x ) x e quindi sono quelli in cui il campo vettoriale si annulla Φ(x ) 0. I punti di equilibriosono quindi i punti critici di Φ e saranno indicati anche con xc . Un’orbita è periodica seesiste un numero reale T detto periodo tale che x(t T ) x(t) per ogni t.Per un sistema a tempo discreto la evoluzione è rapprentata da una successione di statix0 , x1 , . . . , xn , . . . ed il passaggio da uno stato allo stato suceesivo è dato da una mappaM (x) che è ancora una applicazione dello spazio delle fasi in sé.xn 1 M (xn )(1.2)Un punto di equilibrio x è un’orbita della mappa ossia M (x ) x . Ad un sistemacontinuo possiamo associare in modo univoco un sistema discreto scegliendo una una successione di intervalli temporali tn n t e ponendo xn x(tn ) da cui segue chexn 1 S t (xn )(1.3)e quindi M (x) S t (x). Viceversa ad una mappa non è possibile associare univocamenteun sistema continuo. Quando t 0 la mappa è approssimata da M (x) x t Φ(x)a meno di un errore di ordine ( t)2 e su questo principio si basano tutti i medodi di approssimazione per i sistemi a tempo contnuo. Il processo iterativo che permette di calcolarel’orbita di una mappa M si basa sulle successive composizioni di questa applicazioneM 2 (x) M M (x) M (M (x))M n (x) M M {z · · · M}(x)(1.4)n volteQuando non vi sia ambiguità useremo la notazione M n (x) M n (x) per indicare lacomposizione fatta n volte anziché la potenza n-sima.Punti fissiIl punto fisso x di una mappa M (x) corrisponde al punto di equilibrio di un sistema atempo continuo e soddisfa la condizionex M (x )(1.5)Se x0 x l’orbita xn x si riduce ad un punto. Se x è un punto fisso della mappaiterata p volte esso genera un’orbita periodica di periodo p della mappa M , ossia una orbitaformata da p punti x , x ,1 M (x ), . . . , x p 1x k M (x k 1 )k 1, . . . , p 12(1.6)

con x p x . Ciascuno dei p punti che costitiscono l’orbita periodica di M è un puntofisso di M p . InfattiM p (x j ) M p (M j (x )) M j (M p x ) M j (x ) x jj 0, . . . , p 1(1.7)Si ha quindi che x n p x n per qualsiasi n, che esprimela condizione di periodicità .StabilitàUn punto fisso x si dice stabile se ogni orbita con punto iniziale sufficientemente vicinoad esso rimane confinata in un suo intorno. Si ha quindi stabilità se a qualsiasi sfera diraggio R R mx dove R mx dipende da x e da M , possiamo associare una sfera di raggior R tale chekx0 x k r kxn x k Rn 1(1.8)Se inoltre si verifica chelim kxn x k 0n (1.9)si dice che il punto fisso è attrattivo. Trovare i punti fissi e determinarne la stabilità èsemplice per le mappe lineari. Se M (x) Ax l’unico punto fisso è x 0 se det(A) 6 0.Se invece det(A) 0 la matrice ha un autovettore e0 con autovalore nullo ed in questocaso si ha una retta di punti fissi x α e0 dove α è un parametro reale. Nel caso linearepiù generale abbiamox (I A) 1 bM (x) Ax b(1.10)punché I A sia invertibile. Va quindi escluso il caso in cui A ha un autovalore uguale ad1. Ricordiamo che la norma di una matrice è definita dakAk maxx RdkAxkkxk(1.11)e dalla definizione segue che kAk2 è il massimo autovalore della matrice definita positivaAT A. Per la mappa lineare M (x) Ax, che ha il punto fisso nell’origine, si trova chekxn k kAxn 1 k kAk kxn 1 k kAkn kx0 k(1.12)Il punto fisso è quindi stabile ed attrattivo se kAk 1. Questa condizione è sufficiente manon necessaria. Infatti scrivendo kxn k kBn k kx0 k, dove B2n (An )T An , risulta che siha stabilità se le norme di Bn formano una successione limitata e convergente a zero. Lacondizione necessaria e sufficiente perché il punto fisso x sia stabile ed attrattivo è chegli autovalori di A abbiano modulo minore di 1, come si mostrerà alla fine del prossimocapitolo.Una mappa M si dice strutturalmemte stabile se piccole variazioni della mappa stessa nonalterano la topologia delle orbite. Tale argomento verrà affrontato nel prossimo capitolodedicato alle biforcazioni.3

Velocità di convergenzaQuando una mappa M ha un punto fisso attrattivo x è importante stabilire la velocitàcon cui l’orbita xn converge al punto fisso. A tal fine definiamo l’erroreen kxn x k(1.13)Se esiste un L 1 per cui en Ln e0 la convergenza vien detta lineare, perché log enndecresce linearmente. Se en C(L e0 )2 la convergenza, che si ha se e0 L 1, viene dettaquadratica. In generale se l’errore decresce con la potnza αn la convergenza viene detta diordine α. La condizione che determina la velocità di convergenza è la sguente.Proposizione Una mappa M Hölderiana di ordine α 1 con un punto fisso x kM (x) M (x )k kM (x) x k L kx x kα(1.14)è contrattiva se α 1 e L 1 oppure se α 1 e e0 L1/(α 1) 1.Notiamo cheen kxn x k kM (xn 1 ) M (x )k L eαn 1(1.15)Se α 1 si ha che en Len 1 e la convergenza è lineareen Ln e0(1.16)Se α 1 abbiamo2223αα1 α ααen L eαen 2 L1 α (L eα L1 α α eαn 1 L(L en 2 ) Ln 3n 3 )(1.17)In generale si ha quindien L1 α α2 . αn 1neα0 Lαn 1α 1neα0 L1 α 1In particolare per α 2 la convergenza quadratica e risulta cheen L 1 (L e0 )2n L1α 1e0 αn(1.18)(1.19)da cui segue che per ogni condizione iniziale tale che L e0 1 si ha convergenza. Supponendo che e0 0.1 e che L 1 si vede che dopo 4 iterazioni l’errore è 10 16 vale a direuguale all’errore di macchina nelle rappresentazione dei reali con 8 bytes.Consideriamo ora una mappa M (x) con x R, che abbia derivata seconda continua. Se ilpunto fisso x non è critico ossia M ′ (x ) 6 0 lo sviluppo di Taylor al primo ordine rispettoa x è dato daM (x) x M ′ (ξ)(x x )(1.20)4

dove ξ(x) è una funzione continua di x il cui valore è compreso tra x e x . Se supponiamoche M ′ (x ) 1 ǫ, con 0 ǫ 1, per la continuità di M ′ (ξ(x)) esiste un r sufficientemente piccolo tale per x x r si ha che M ′ (ξ(x)) 1 ǫ/2 e di conseguenza M (x) x L x x con L 1 ǫ/2 1. Quindi la condizione di contrazione èsoddisfatta e per ogni condizione iniziale tale che x0 x r la successione xn convergea x .Se il punto fisso è critico M ′ (x ) 0 allora dallo sviluppo di Taylor in x con il resto alsecondo ordine1M (x) x M ′′ (ξ)(x x )2(1.21)2e in un fissato intorno di x si ha M ′′ (ξ) /2 L. Pertanto si ha che M (x) x L x x 2e in questo secondo caso la convergenza risulta essere quadratica.Sviluppo di TaylorPer completezza richiamiamo la formula del resto di Taylor, sopra utilizzata per stimarela velocità di convergenza. Data una funzione di classe C N 1 definita su R, lo sviluppo diTaylor attorno al punto x0 si scrivenX(x x0 )k (k)f (x0 ) Rn (x)f (x) k!k 00 n N(1.22)dove il resto di Taylor di ordine N è definito da1Rn (x) n!Zxx0dx′ (x x′ )n f n 1 (x′ )(1.23)Integrando per parti si ha la ricorrenzaRn (x) (x x0 )n (n)f (x0 ) Rn 1 (x)n!(1.24)la quale, partendo con R0 (x) f (x) f (x0), consente di ottenere lo sviluppo fino all’ordinen N . Per una stima del resto di Taylor Rn di utilizza il secondo teorema della mediaosservando che (x x′ )n 0 nell’intervallo di integrazione e quindi esiste uno ξ(x) compresotra x0 e x tale cheRn (x) f(n 1)1(ξ)n!Zxx0(x x′ )n dx′ f (n 1) (ξ)(x x0 )n 1(n 1)!(1.24)EsempiConsideriamo alcuni semplici esempi come la mappa lineare e quadratica in R, la mappalineare in R2 ed una mappa quadratica di R2 nota come mappa di Hénon5

Mappa lineareLa mappa lineare unidimensionaleM (x) ax 1ha punto fisso x (1 a) 1 e se a 1 è contrattiva. La mappa si scrive anche nella formaM (x) x a(x x ) e quindi si ha L a . Nella figura 1 si mostra e l’interpretazionegeometrica di questa convergenza: si traccia il grafico della mappa y M (x) e della rettay x. La successione è data day0 M (x0 )x1 y 0y1 M (x1 ).xn yn 1yn M (xn )(1.26)e la rappresentazione è data dalla scala tratteggiata mostrata nella figura 1. È evidenteche si convergenza quando a 1.yy xy M(x)xx x32x1x0Figura 1.1 Interpretazione geometrica della convergenza lineare per la mappa M (x) ax 1 con 0 a 1.Mappa quadraticaScegliamo una mappa che abbia un punto fisso nella origineM (x) bx ax2(1.27)ie che ha il secondo punto fisso in x (b 1)/a. Notiamo che da M ′ (x ) b 2ax 2 bsegue che se 1 b 3 il punto fisso è attrattivo. Quando b 2 è il punto fisso x 1/a ècritico e la convergenza è quadratica. In questo caso la mappa si riscrive nella formaM (x) x a(x x )2x 1a(1.28)Nella figura si mostra la costruzione geometrica della successione xn che converge quadraticamente al punto fisso. Per la mappa quadratica(1.27) il punto ξ(x) che compare nel resto6

dello sviluppo di Taylor è in punto medio dell’intervallo che ha x e x come estremi. Infatti sviluppo al secondo ordine è esatto M (x) M (x ) M ′ (x ) 21 M ′′ (x x )2 econfrontandolo con la formula al primo ordine per il restoM (x) x (2 b)(x x ) a(x x )2 x M ′ (ξ)(x x )(1.27)M ′ (ξ) b 2aξ 2 b a(x x )(1.28)dovesi trovaξ(x) b 1 11 (x x ) (x x )a22y(1.29)y xy M(x)xx0x1x2Figura 1.2 Interpretazione geometrica della convergenza quadratica per la mappa M (x) 2x ax2Mappe lineari del pianoConsideriamo una mappa M (x) nel piano delle fasi R2 dove x (x, p)T indicando con T iltrasposto di una matrice. Una mappa lineare M (x) b Ax ha punto fisso x (I A) 1 bpurché I A sia invertibile e si scriveM (x) x A(x x )(1.30)Una condizione sufficiente perché il punto fisso sia attrattivo è che kAk 1 ossia chel’autovalore massimo della matrice positiva AT A sia minore di 1. Quando tale condizionenon è verificata osserviamo cheen kxn x k kAn (x0 x )k kAn k e0(1.31)Quindi il punto fisso è attrattivo se kAn k 0 per n , condizione che può verificarsianche se kAk 1. Se A ha autovalori reali, una trasformazione di similitudine la trasformanella matrice diagonale U diag (µ , µ ), che è la sua forma normale e il punto fisso è7

attrattivo se µ µ 1. Se glisono uguali la forma normale di A è qualle autovalori 0 1di Jordan U µ I N dove N è nilpotente e il punto è atrattivo se µ 1.0 0Infine se gli autovaloti sono complessi coniugati µ e iω la forma normale è U µR(ω) doveR è la matrice di rotazione e il punto fisso è attrattivo se µ 1. Se µ 1 il punto fissoè stabile ma non attrattivo. Una discussione approfondita sarà sviluppata nel prossimocapitolo.La mappa quadratica in R2Consideriamo una particolare mappa quadratica che ha la seguente forma xcos ωsin ω M (x) η R(ω) R(ω 2p x sin ω cos ω(1.32)Qunado η 1 è nota come mappa di Hénon ed ha due punti fissi uno nell’origine e l’altroin x (x , p )Tωωx 2 tanp 2 tan2(1.33)22L’origine è stabile ma non attrattiva, l’altro punto fisso è instabile. Infatti la mappalinearizzata attorno all’origine è una pura rotazione, mentre traslando le coordinate rispettoall’altro punto fisso x′ x x , p′ p p la mappa diventa ′ 0cos ω 4 sin ω tan(ω/2)sin ωx R(ω) (1.34)M (x′ ) ′2′xp sin ω 4 cos ω tan(ω/2) cos ωIl punto fisso è instabile poiché la mappa linearizzata ha autovali reali con µ 1. Quandoη 1 l’origine diventa un punto fisso attrattivo. L’altro punto fisso dato da 2 1 η cos ω1 η cos ωη 2 sin2 ωx Fp FF 1 η cos ω η sin ωη sin ω1 η cos ω(1.35)risulta invece ancora instabile. Questa mappa corrisponde ad un oscillatore anarmonicoquando ω 0 e η 1 produce l’effetto di una forza dissipativa.Ricerca degli zeriSpesso la soluzione di un problema comporta il calcolo il calcolo degli zeri una funzione etranne il caso di un polinomio di grado 4 non è possibile determinarli analiticamente.Talora è possibile ottere soluzioni approssimate con il metodo peturbativo, ma in generale ènecessario utilizzare degli algoritmi per la loro determinazione numerica. Qui esaminiamoil metodo di Newton e quello di bisezione, basati entrambi sul calcolo di una ricorrenza dicui esaminiamo la rapidità di convergenza. Questi metodi si applicano al calcolo degli zeridi una funzione ed hanno estensioni multidimensionali. Esistono molti altri metodi tra cuiquello di Haley e di Laguerre cui si accener brevemente.8

Il metodo di NewtonQuesto metodo consiste nel costruire una ricorrenza che converge allo zero di una funzionef (x) dove x R partendo dalla sua linearizzazione attorno ad un punto iniziale assegnato.La figura 3 mostra l’interpretazione geometrica del metodo che consiste nel trovare il puntox1 in cui la tangente al grafico della funzione in x0 interseca l’asse x. Si costruisce quindila retta tangente al grafico y f (x) della funzione nel punto (x1 , y1 ) dove y1 f (x1 ) e sidetermina la sua intersezione x2 con l’asse x. Il procedimento ora descritto, ed illustratonella figura 3, viene chiamato metodo di Newton delle tangenti.yy f(x)x2x1x0Figura 1.3 Interpretazione geometrica del metodo di Newton tangentiIterando il procedimento si costruisce una successione x0 , x1 , . . . , xn . . . la cui convergenzaallo zero della funzione è quadratica. Nel caso in cui la funzione abbia più zeri, la successione converge ad uno di questi. Per ogni zero esiste un insieme, detto bacino di attrazione,i cui punti generano successioni ad esso convergentiProposizione Data la funzione f (x) : R R che assumiamo di classe C 2 , la mappaM (x) x f (x)f ′ (x)f ′ (x) dfdx(1.36)ha un punto fisso x in ogni zero non critico della funzione f (x ) 0, f ′ (x ) 6 0 e laconvergenza ad x della successione xn M (xn 1 ) con punto iniziale x0 , nel suo bacinodi attrazione, risulta essere quadratica.Prova: lo sviluppo di Taylor di f (x) al primo ordine attorno al punto x0 è dato da f (x) ℓ(x) R1 (x) doveℓ(x) f (x0 ) (x x0 )f ′ (x0 )(1.37)Se approssimiamo la funzione con la sua parte lineare ℓ(x) lo zero, che indichiamo con x1 ,è dato da ℓ(x1 ) 0 ossiaf (x0 )x1 x0 ′(1.38)f (x0 )9

Se prendiamo x1 come nuovo punto iniziale e linearizziamo f (x) attorno ad esso, lo zerodella funzione linearizzata èx2 x1 f (x1 )f ′ (x1 )(1.39)Continuando il procedimento otteniamo una successione corrispondente alle iterazioni dellamappaM (x) x f (x)f ′ (x)(1.40)La successione converge al punto fisso x M (x ) dove f (x ) 0 purché sia f ′ (x ) 6 0.La continuità di f ′ (x) ci assicura che essa è non nulla in un intorno di x se f ′ (x ) 6 0. Questo è evidente anche dalla interpretazione geometrica. Se vicino allo zero x visono punti critici, occorre che l’intorno di x , in cui si sceglie la condizione iniziale, siasufficientemente piccolo affinché f ′ (x) c 0 perché il metodo converga.Per provare che la convergenza è quadratica mostriamo che il punto fisso x della mappaM (x) è critico. Infatti daf (x)f ′′ (x)M (x) 1 1 f ′ 2 (x)′(1.41)segue che M ′ (x ) 0. L’errore en è dato da (1.19) dove la costante L è il massimo diM ′′ (x) nell’intervallo x x r in cui scegliamo il punto iniziale. Si noti che M ′′ (x ) f ′′ (x )/f ′ (x ).Come esempio consideriamo la funzione f (x) x2 1 per la quale si ha M (x) x/2 1/(2x). La funzione ha due zeri x 1 e la successione xn generata da M (x) convergea x 1 se x0 0 a 1 se x0 0. Scegliendo x0 2 si ha x1 5/4, x2 41/40 ex3 3281/3280.Il metodo delle secantiUna alternativa, che evita il calcolo delle derivata, consiste nel costruire una successionedi approssimazioni lineari che utilizzano il valore della funzione in due punti anziché delladerivata in un punto, da cui il nome di metodo delle secanti. Inizializziamo il metodoscegliendo due punti x0 , x1 sufficientemente prossimi allo zero della funzione che approssimiamo con la retta y ℓ(x) che la interpolaℓ(x) f (x0 ) f (x1 ) f (x0 )(x x0 )x1 x010(1.42)

Figura 1.4 Interpretazione geometrica del metodo di Newton secantiLo zero di L(x) che indichiamo x2 è dato da x2 x0 f (x0 ) (x1 x0 )/(f (x1 ) f (x0 )) eal passo n otteniamoxn 1 xn 1 xn xn 1f (xn 1 )f (xn ) f (xn 1 )Se la funzione è di classe C 2 la velocità di convergenza è di ordine α (1 intermedia tra lineare e quadratica.(1.43) 5)/2 1.62Per provarlo un intorno di x poniamo ǫn xn x e sviluppiamo f (xn ) e f (xn 1 ) inserie di Taylor f (xn ) f ′ (x ) (ǫn A ǫ2n ) O(ǫ3n ) dove A 21 f ′′ (x )/f ′ (x ). Sostituendonella ricorrenza si trova cheǫn 1 ǫn 1 ǫn 11 Aǫn 1 O(ǫ3n ) A ǫn ǫn 1 O(ǫ3n )1 A(ǫn ǫn 1 )(1.44)21 α αSe assumiamo che en ǫn Leαen 1 sostituendo troviamo chen 1 e quindi en 1 L21 αα 1 αLen 1 A L en 1 . Quest’ultima realazione è soddisfatta da α2 1 α e Lα A da cui segue che α (1 5)/2.Una interpolazione quadratica, vedi capitolo 2, a f (x) costruita a partire da tre puntiiniziali conduce al metodo di Muller la cui convergenza è di ordine α 1.84. Una interpolazione razionale f (x) f (x0 )(1 Ax)/(1 Bx) che coincide con lo sviluppo di Taylorfino all’ordine 2, vedi capitolo 6, conduce al metodo di Haley la cui convergenza è cubica,vedi appendice per maggiori dettagli.Ricerca per continuità e deflazioneQuando si vogliono trovare più zeri, reali o complessi di una funzione f (x), il procedimentoda usare consiste nel trovare il primo zero x(1) nel cui bacino di attrazione cade il puntoiniziale x0 . Si considera quindi la funzione f (x)/(x x(1) ) e si determina lo zero x(2) nel11

cui bacino di attrazione si trova punto iniziale. Si itera il procedimento fino a trovare tuttigli zeri desiderati, se questi sono in numero finito. Nel caso dei polinomi esistono altrimetodi per la ricerca degli zeri e particolarmente efficace è ilmtodo di di Laguerre, vediappendice. Ulteriori dettagli ed i programmi per la ricerca degli zeri di una funzione sitrovano sul Numerical Rcipies [1]Se la funzione dipende da un parametro f (x, α) e si conosce lo zero per un suo particolarevalore f (x0 , α0 ) 0, allora supposto che f (x, α) 0 sia localmente invertibile, è possibileseguire lo zero per continuità al variare di α costruendo in tal modo la traiettoria x x(α). In tal caso la ipotesi di regolarità f C 2 e la condizione xf (x0 , α0 ) 6 0, che gararantiscela invertibilità locale, è la stessa che assicura la convergenza del metodo di Newton. L’unicopunto delicato è la scelta dell’incremento in α, che deve essere sufficientemente piccoloaffinché non si esca dal bacino di attrazione dello zero che si sta calcolando.Sviluppo di Taylor in più variabiliLo sviluppo di Taylor per funzioni di più variabili f (x) con x Rd a partire da un puntox0 si ottiene a partire dallo sviluppo di Taylor in una singola variabile scegliendo il puntox su una retta di equazionex x0 e tkek 1(1.45)Se poniamog(t) f (x0 te)(1.46)lo sviluppo di Taylor di g(t) attorno a t 0 genera lo sviluppo di Talor di f (x) attorno ax0 . Fissato e abbiamo chedg De f (x)dtdDe e ·X ej x j 1 xj(1.47)dove De è la la deriva direzionale lungo e. Ponendo g (k) (t) dk /dtk lo sviluppo di Taylordi g(t) è espresso danXtk (k)g(t) g (0) R̂n (t)k!k 0Z1R̂n (t) n!t0(t s)n g (n 1) (s) ds(1.48)Ne segue che lo svilpuppo di Taylor per f (x) è dato danXtk kD f (x0 ) Rn (x)f (x) k! ek 01Rn (x) n!Z0t(t s)n De(n 1) f (x0 s e) ds(1.49)Notiamo anche che le derivate possono essere scritte nel modo seguentetk Dek f (x0 ) Xj1 ,.,jk kf (x) xj1 . . . xjk12x x0(x x0 )j1 · · · (x x0 )jk(1.50)

Usando il teorema della media l’espressione per il resto è datatn 1R̂n (t) g (n 1) (τ )(n 1)!tn 1Rn (x) Den f (x0 τ e)(n 1)!(1.51)dove 0 τ t. Ad esempio lo sviluppo al prino ordine è dato da ff (x) f (x0 ) (x x0 ) · xx x01 2 f (x x0 ) (x x0 ) ·2 x x(1.52)x x0 τ eSi noti che lo sviluppo di Taylor è un caso particolare dello sviluppo in t del flusso generatoda un campo Φ(x) quando questo è uniforme Φ e, vedi capitolo 8. Se lo sviluppo diTaylor è convergente la funzione f (x) è rappresentata dalla seriet DΦf (x) e Xtn nf (x0 ) D f (x0 )n! en 0(1.53)dove x è dato da (1.45). Questo un caso particolare di serie di Lie per il campo uniformee che genera una evolutione lineare x(t) data da (1.45).Metodo di Newton in più dimensioniConsideriamo una applicazione f (x) : Rd Rd . La ricerca di suo zero f (x ) 0 corrisponde alla soluzione del sistema di equazioni f1 (x1 , . . . , xd ) 0. fd (x1 , . . . , xd ) 0(1.54)Il procedimento è del tutto simile a quella del caso unidimensionale se si utilizza il metododelle tangenti. Se indichiamo con F la matrice jacobiana della trasformazioneFij (x) fi(x) xj(1.55)l’approssimazione lineare della funzione ottenuta dallo sviluppo di Taylor al primo ordineè ℓ(x) f (x0 ) F(x0 )(x x0 ) ed il suo zero è dato da x1 x0 F 1 (x0 ) f (x0 ). Iterandoil procedimento si trova che lo zero di f (x) è il punto fisso della applicazioneM(x) x F 1 (x)f (x)(1.56)Ne segue quindi che la successione definita daxn xn 1 F 1 (xn 1 )f (xn 1 )13(1.57)

converge quadraticamente ad uno zero x della applicazione f . La interpretazione geometrica nel caso d 2 è chiara: se x (x, y) le superfici z f1 (x, y) e z f2 (x, y) intersecanoil piano z 0 in due curve la cui intersezione è lo zero della applicazione f (x). Nel punto(x0 , y0 , z0 1 ) dove z0 1 f1 (x0 , y0 ) costruiamo il piano tangente alla superficie z f1 (x, y)e nel punto (x0 , y0 , z0 2 ) dove z02 f2 (x0 , y0 ) costruiamo il piano tangente alla tangentealla superficie z f2 (x, y). Questi piani intersecano il piano z 0 in due rette la cuiintersezione è una approssimazione allo zero della applicazione. Il metodo delle secanti,sempre nel caso d 2, si realizza prendendo tre punti iniziali x0 , x1 , x2 e costruendo i duepiani che passano per i corrispondenti punti delle due superfici.Come esempio di applicazione del metodo di Newton consideriamof1 (x, y) y 2 x2 1f2 (x, y) y 2 x2 3(1.58)Notiamo che f1 (x, y) 0 è la equazione una iperbole equilatera con i suoi due rami aventiper asintoti le rette y x, mentre f2 (x, y) 0 è la equazione di un cerchio, vedi figura.Le soluzioni di f1 , f2 0 sono date dalle intersezioni di queste curve.32y10-1-2-3-3-2-10x123 Il sistema di equazioni ha 4 zeri dati da (x , y ) con x 1 e y 2. La successioneper il metodo di Newton è data da 2 1 x2nyn ynyn x2n 1xn 1xnx n2xn 124xn yn2 y xn xnyn2 x2n 3yn 1ynyn 2ynn(1.59)In questo caso si hanno due mappe unidimensionali per x e y che corrispondono al metododi Newton applicato a f (x) x2 1 e g(y) y 2 2 i cui zeri sono quelli del sistemaf1 (x, y) 0 e f2 (x, y) 0.I bacini di convergenzaSe una funzione f (x) ha piú zeri individuare i rispettivi bacini di attrazione è un problemadifficile. Se tutti gli zeri sono reali i bacini dipendono dai punti critici della funzione, ossiadagli zeri della derivata prima. Vicino ai punti critici la convergenza rallenta. Nella figura14

5 si mostrano i bacini di attrazione nel piano complesso z x iy per gli zeri della funzionef (z) z 3 1. Ciascun colore corrisponde ad un bacino. Si noti che la frontiera dei baciniha una proprietà di invarianza di scala ed è una curva frattale con dimensione non intera.Figura 1.5 Bacini di attrazione nel metodo di Newton tangenti per gli zeri complessi di f (z) z 3 1.Il cerchietti gialli indicano gli zeri della funzione e nei tre colori sono visualizzati i rispettivi bacini diattrazione. La figura è costruita su una griglia di 200 200 punti iniziali cui si applica il metodo di Newton.Il metodo di bisezioneQuesto metodo si applica al calcolo dello zero di una funzione f (x) : R R che si supponesia l’unico in un intervallo iniziale [x0 , x1 ] i cui estremi hanno segnatura opposta ossia in cuila funzione assume segni opposti f (x0 ) f (x1 ) 0. Consideriamo quindi il punto di mezzoe poniamo x2 (x0 x1 )/2 e x3 x1 se il punto medio ed x1 hanno segnatura oppostaaltrimenti poniamo x2 x0 e x3 (x0 x1 )/2 se x0 e il punto medio hanno segnaturaopposta. In modo analogo se al passo n abbiamo l’intervallo [x2n , x2n 1 ] calcoliamo ilpunto successivo x2n 2 come segue x2n 2 x2n x2n 12x2n 2 x2nx2n 3 x2n 1x2n 3 sex2n x2n 12se2n 1f ( x2n x) f (x2n 1 ) 022n 1f (x2n ) f ( x2n x)2(1.60) 0Al passo n abbiamo dunque un intervallo [x2n , x2n 1 ] ai cui estremi la funzione ha segnoopposto e che quindi contiene lo zero x della funzione. Siccome l’intervallo si dimezza ad15

ogni iterazione, al passo n si hax2n 1 x2n x1 x02n(1.61)e quindi la distanza del punto medio (x2n 1 x2n )/2 da x è minore di (x1 x0 )/2n 1 .Qualunque sia l’intervallo iniziale in meno di 60 passi si raggiunge la precisione di macchina.yy M(x)x4x0x2x3x1Figura 1.6 Interpretazione geometrica del metodo di bisezioneQuesto procedimento ha estensioni multidimensionali ove è associato al metodo del gradotopologico. Se abbiamo una applicazione f (x) (f1 (x, y), f2(x, y) ) le linee f1 0, f2 0,nella cui intersezione cade lo zero della applicazione, dividono un quadrato in cui cade lozero in quattro regioni che indicheremo con la segnatura , , , definita dalsegno di f1 , f2 . Consideriamo quindi un rettangolo A, B, C, D i cui vertici cadono nellequattro regioni e che quindi contiene lo zero di f . L’algoritmo per trovare lo zero consitenel partire da un lato AB del quadrato e considerare il punto medio E. Delle coppie(A, E) e (E, B) si scarta quella con la stessa segnatura. Nell’esempio della figura 5 siscarta il punto B in quando ha la stessa segnatura di E. Si considera il nuovo quadrilateroAECD e si prende il secondo lato EC procedendo in verso antiorario. Di questo lato siconsidera il punto medio F e tra le coppie EF e F C si scarta EF poiché i suoi puntihanno la stessa segnatura. Il nuovo quadrilatero è AF CD. Si considera quindi il latosuccessivo CD ed il suo punto medio G. Tra le due nuove coppie GC e DG si scartala prima perché i due punti hanno la stessa segnatura e quindi il nuovo quadrilatero è

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