KVANTNA MEHANIKA - UNIRI
KVANTNA MEHANIKAPregled formulaVelimir LabinacSveučilište u Rijeci, Odjel za fizikuE-mail: velimir.labinac@ri.ht.hrWWW: http://www.phy.uniri.hr/ vlabinac4. ožujka 2021.
SadržajI SCHRÖDINGEROVA JEDNADŽBA U 1-D71 Valna funkcija1.1 Schrödingerova jednadžba . . . . . . . .1.2 Statistička interpretacija . . . . . . . . . .1.3 Normalizacija . . . . . . . . . . . . . . .1.4 Opservable . . . . . . . . . . . . . . . .1.4.1 Primjeri opservabli . . . . . . . .1.5 Prosječna vrijednost operatora . . . . . .1.6 Princip neodredenosti za položaj i implus1.7 Struja vjerojatnosti . . . . . . . . . . . .7777888992 Osnovna svojstva Schrödingerove jednadžbe2.1 Vremenski-neovisna Schrödingerova jednadžba . . . . .2.2 Stacionarna stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3 Jednadžba svojstvenih vrijednosti za hamiltonijan H . .2.3.1 Hamiltonijan i ukupna energija . . . . . . . . . .2.4 Svojstvene funkcije hamiltonijana H . . . . . . . . . . .2.4.1 Skup funkcija {un (x)} je potpun i ortonormiran.2.5 Rubni uvjeti za valnu funkciju . . . . . . . . . . . . . .2.6 Ehrenfestov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101010101111111212.1313131414164 Slobodna čestica4.1 Ravni val . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2 Valni paket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1717175 Potencijal oblika delta-funkcije5.1 Potencijal oblika delta-funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.1.1 Vezano stanje: E E 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.1.2 Stanja raspršenja: E 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181818196 Harmonički oscilator6.1 Analitička metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.1.1 Valne funkcije i energije harmoničkog oscilatora6.1.2 Valna funkcija i energija osnovnog stanja . . . .6.2 Algebarska metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.2.1 Operatori podizanja i spuštanja . . . . . . . . . .6.2.2 Komutator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202020202020213 Potencijalna jama3.1 Vezana stanja i stanja raspršenja . .3.2 Beskonačna potencijalna jama . . .3.3 Konačna potencijalna jama . . . . .3.3.1 Vezana stanja: V0 E 03.3.2 Stanja raspršenja: E 0 . .1.
II POSTULATI KVANTNE MEHANIKE227 Ket i bra vektori7.1 Ket vektori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.2 Baza vektorskog prostora . . . . . . . . . . . . . . .7.2.1 Primjer: vektorski prostor V 3 . . . . . . . .7.3 Bra vektori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.4 Skalarni produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.5 Ortogonalnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.6 Ortonormirana baza . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.7 Norma vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.8 Zapis vektora u ortonormiranoj bazi . . . . . . . . .7.9 Relacija potpunosti . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.10 Zapis vektora pomoću jednostupčane matrice . . . .7.11 Prikaz skalarnog produkta u zadanoj bazi . . . . . .7.12 Prebrojiva i neprebrojiva baza . . . . . . . . . . . .7.13 Zapis vektora u ortonormiranoj, neprebrojivoj bazi .7.14 Linearne transformacije (linearni operatori) . . . . .7.15 Zapis operatora u prebrojivoj, ortonormiranoj bazi . .7.16 Zapis operatora u neprebrojivoj, ortonormiranoj bazi7.17 Zapis operatora pomoću ket i bra vektora . . . . . .22222222222323232323242425252526262627.8 Hermitski operatori8.1 Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori . . . . . . . . . . .8.2 Postupak traženja svojstvenih vrijednosti i svojstvenih vektora8.3 Degenerirane svojstvene vrijednosti . . . . . . . . . . . . . .8.4 Hermitski operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.5 Svojstva hermitskih operatora . . . . . . . . . . . . . . . . .8.6 Dijagonalna matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .282828292929309 Valne funkcije i vektori stanja9.1 Skalarni produkt valnih funkcija . . . . . . . . . . .9.1.1 Primjeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.2 Primjeri baza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.2.1 Operator položaja . . . . . . . . . . . . . . .9.2.2 Operator impulsa . . . . . . . . . . . . . . .9.3 Valna funkcija iz impulsnog prostora . . . . . . . . .9.4 Važni matrični elementi operatora položaja i impulsa9.5 Ravni val i Fourierova transformacija . . . . . . . .313131323232323233.343434343434353535353610 Postulati kvantne mehanike10.1 Komutator . . . . . . . . . . . . . . . . .10.1.1 Svojstva komutatora . . . . . . .10.2 Fundamentalne komutacijske relacije . . .10.3 Kompatibilne opservable . . . . . . . . .10.4 Potpun skup komutirajućih operatora . . .10.4.1 Primjer 1: slobodna čestica u 3-D10.4.2 Primjer 2: vodikov atom . . . . .10.5 Princip neodredenosti . . . . . . . . . . .10.5.1 Primjer . . . . . . . . . . . . . .10.6 Derivacija prosječne vrijednosti operatora2.
10.7 Postulati kvantne mehanike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10.7.1 Amplituda vjerojatnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3637III ANGULARNI MOMENT3811 Orbitalni angularni moment11.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.2 Definicija orbitalnog angularnog momenta . . . .11.3 Komutacijske relacije . . . . . . . . . . . . . . .11.3.1 Transpozicija . . . . . . . . . . . . . . .11.4 Zapis operatora Lz u bazi { ri} . . . . . . . . . .11.5 Svojstvene vrijednosti i svojstvene funkcije za Lz11.6 Operator L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.7 Zapis operatora L2 u bazi { ri} . . . . . . . . . .11.8 Svojstvene vrijednosti i svojstvene funkcije za L211.9 Zajednička baza za Lz i L2 . . . . . . . . . . . 44444454545454546464612 Spin12.1 Definicija . . . . . . . . . . . . . . .12.1.1 Primjeri . . . . . . . . . . . .12.2 Zajednička baza za S2 i Sz . . . . . .12.3 Spin s 1/2 . . . . . . . . . . . . .12.3.1 Dvokomponentni spinori . . .12.3.2 Paulijeve matrice . . . . . . .12.3.3 Zapis pomoću ket i bra vektora12.3.4 Primjer . . . . . . . . . . . .12.4 Orbitalni i spinski prostor . . . . . . .12.4.1 Primjer . . . . . . . . . . . .13 Zbrajanje angularnih momenata13.1 Opis u bazi { j1 j2 ; m1 m2 i} . . . . . . . . . . . . .13.1.1 Komutacijske relacije . . . . . . . . . . . .13.1.2 Kvantni brojevi jα , mα . . . . . . . . . . .13.1.3 Relacije ortonormiranosti . . . . . . . . . .13.2 Opis u bazi { j1 j2 ; jmi} . . . . . . . . . . . . . . .13.2.1 Komutacijske relacije . . . . . . . . . . . .13.2.2 Kvantni brojevi j, m . . . . . . . . . . . .13.2.3 Relacije ortonormiranosti . . . . . . . . . .13.3 Clebsch-Gordanovi koeficijenti . . . . . . . . . . .13.3.1 Svojstva Clebsch-Gordanovih koeficijenata13.4 Dvije čestice sa spinom 1/2 . . . . . . . . . . . . .IV SCHRÖDINGEROVA JEDNADŽBA U 3-D4814 Sferno-simetrični potencijal14.1 Schrödingerova jednadžba u 3-d . . . . . . . .14.2 Statistička interpretacija . . . . . . . . . . . . .14.3 Vremenski-neovisna Schrödingerova jednadžba14.4 Stacionarna stanja . . . . . . . . . . . . . . . .14.5 Struja vjerojatnosti . . . . . . . . . . . . . . .4848484849493.
14.6 Ehrenfestov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . .14.7 Schrödingerova jednadžba u sfernim koordinatama14.7.1 Laplaceov operator u sfernim koordinatama14.7.2 Orbitalni angularni moment . . . . . . . .14.7.3 Radijalna Schrödingerova jednadžba . . . .14.7.4 Normalizacija funkcije u (r) . . . . . . . .15 Vodikov atom15.1 Vodiku slični ioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15.2 Radijalna jednadžba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15.2.1 Funkcije {Rnl } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15.3 Kvantni brojevi u vodikovom atomu ili vodiku sličnom ionu15.3.1 Degeneracija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15.3.2 Primjer: osnovno i prvo pobudeno stanje . . . . . .15.4 Korisne formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .494949495050.515151525252535316 Čestica u električnom i magnetskom polju16.1 Hamiltonijan za česticu u EM polju . . . . . . . . .16.2 Magnetski moment . . . . . . . . . . . . . . . . . .16.2.1 Magnetski moment elektrona . . . . . . . . .16.3 Coulombov izbor . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16.4 Baždarne transformacije . . . . . . . . . . . . . . .16.5 Schrödingerova jednadžba i baždarne transformacije.5454545455555617 Identične čestice17.1 Postulat o simetrizaciji valne funkcije . . . . .17.1.1 Sustav dviju identičnih čestica . . . . .17.1.2 Primjer . . . . . . . . . . . . . . . . .17.1.3 Sustav N identičnih čestica . . . . . .17.1.4 Zapis postulata pomoću valnih funkcija17.1.5 Primjer . . . . . . . . . . . . . . . . .17.2 Bozoni i fermioni . . . . . . . . . . . . . . . .17.3 Paulijev princip isključenja . . . . . . . . . . .17.4 Sustavi neinteragirajućih čestica . . . . . . . .17.4.1 Slaterova determinanta . . . . . . . . .5757575758585959596060.V APROKSIMATIVNE METODE. TEORIJA RASPRŠENJA6118 Varijacijski princip6119 Vremenski-neovisan račun smetnje: nedegenerirana stanja19.1 Nesmetani i smetani problem . . . . . . . . . . . . . . .19.1.1 Osnovne pretpostavke . . . . . . . . . . . . . .19.2 Korekcije energije i vektora stanja . . . . . . . . . . . .19.2.1 Korekcije prvog reda . . . . . . . . . . . . . . .19.2.2 Korekcije drugog reda . . . . . . . . . . . . . .19.2.3 Konvergencija rješenja . . . . . . . . . . . . . .19.3 Normalizacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62626262636363634.
20 Vremenski-neovisan račun smetnje: degenerirana stanja20.1 Početne pretpostavke . . . . . . . . . . . . . . . . . .20.2 Prvi red računa smetnje . . . . . . . . . . . . . . . . .20.3 Teorem o dijagonalizaciji smetnje . . . . . . . . . . .20.3.1 Napomena . . . . . . . . . . . . . . . . . . .646464656521 Vremenski-ovisan račun smetnje21.1 Podjela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21.2 Diracov račun smetnje . . . . . . . . . . . . . . . . .21.2.1 Schrödingerova jednadžba za vremenski-ovisan21.2.2 Pretpostavke Dircovog računa smetnje . . . . .21.2.3 Korekcije nultog reda . . . . . . . . . . . . . .21.2.4 Korekcije prvog reda . . . . . . . . . . . . . .21.2.5 Korekcije drugog reda . . . . . . . . . . . . .21.2.6 Normalizacija . . . . . . . . . . . . . . . . . .21.2.7 Vjerojatnosti prijelaza . . . . . . . . . . . . .21.3 Važniji primjeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21.3.1 Konstantna smetnja . . . . . . . . . . . . . . .21.3.2 Harmonička smetnja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .hamiltonijan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6666666667686868686869696922 Teorija raspršenja. Bornova aproksimacija22.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . .22.2 Klasična teorija raspršenja . . . . . . .22.3 Kvantna teorija raspršenja . . . . . . .22.4 Bornova aproksimacija . . . . . . . . .7070707071.72727272737323 Metoda parcijalnih valova23.1 Pretpostavke . . . . . . .23.2 Područje detekcije čestica23.3 Područje raspršenja . . .23.4 Udarni presjeci . . . . .23.5 Fazni pomaci . . . . . .VI PRILOZI7424 Fourierov red i Fourierov integral7425 Diracova delta funkcija δ(x)7426 Hermiteovi polinomi Hn (x)7627 Legendreovi polinomi Pl (x)7728 Pridružene Legendreove funkcije Plm (x)7829 Sferni harmonici (kugline funkcije) Ylm (θ, φ)7930 Laguerreovi polinomi Lq (x)8031 Pridruženi Laguerreovi polinomi Lrq (x)815
(1)(2)32 Sferne Besselove funkcije jl (x), nl (x), hl (x), hl (x)82LITERATURA856
I SCHRÖDINGEROVA JEDNADŽBAU 1-D1 Valna funkcija1.1 Schrödingerova jednadžbaTemeljna jednadžba nerelativističke kvantne mehanike je Schrödingerova jednadžba ħ2 2 Ψ Ψ V Ψ iħ22m x t(1.1)U jednadžbi (1.1) m masa je čestice, V V (x, t) je potencijalna energija, a ħ je reducirana Planckovakonstantahħ 1, 0545 · 10 34 J s(1.2)2πFunkcija Ψ koja je rješenje Schrödingerove jednadžbe naziva se valna funkcijaΨ Ψ(x, t)(1.3)Valna funkcija opisuje kvantno stanje čestice. Ako znamo valnu funkciju za česticu u promatranomkvantnom stanju, onda možemo izračunati i sve ostale dostupne informacije o čestici.1.2 Statistička interpretacijaNeka je čestica opisana valnom funkcijom Ψ. Vjerojatnost nalaženja čestice dP u trenutku t u intervalu(x, x dx) jednaka jedP Ψ Ψdx Ψ 2 dx(1.4)Gornja jednakost predstavlja Bornovu statističku interpretaciju valne funkcije. Vjerojatnost nalaženjačestice Pab u trenutku t u konačnom intervalu (a, b) jeZbPab Ψ 2 dx(1.5)aVeličinaρ(x, t) Ψ Ψ Ψ(x, t) 2(1.6)naziva se gustoća vjerojatnosti. Veličine koje se definiraju i računaju u teoriji vjerojatnosti na sličannačin koriste se i u kvantnoj mehanici, što je posljedica Bornove interpretacije kvadrata valne funkcijekao gustoće vjerojatnosti.1.3 NormalizacijaZbog statističke interpretacije, valna funkcija mora zadovoljiti uvjet normalizacijeZ Ψ 2 dx 1(1.7) Gornju jednakost čitamo: čestica se u trenutku t sigurno nalazi negdje u intervalu ( , ). Pri tomevalna funkcija mora biti kvadratno-integrabilna da integral bude konačan.7
1.4 OpservableU kvantnoj mehanici mjerljive fizikalne veličine nazivamo opservablama i pridružujemo im linearneoperatore s posebnim svojstvima. Jedno od njih je da poprimaju samo realne vrijednosti koje se mogueksperimentalno izmjeriti.1.4.1Primjeri opservabli Operator položaja x može poprimiti bilo koju vrijednost iz intervala ( , ). Operator impulsap može, takoder, poprimiti vrijednosti iz intervala ( , ), a rijedak primjer u kojem operator impulsa poprima diskretne vrijednosti je beskonačna potencijalna jama. Kažemo da operatoripoložaja i impulsa imaju kontinuiran spektar jer mogu poprimiti vrijednosti iz skupa realnih brojeva. Kinetička energija Tp2(1.8)2mima kontinuiran spektar vrijednosti, osim, na primjer, u problemu beskonačne potencijalne jame.T Potencijalna energija V V (x) ima kontinuiran spektar. Postoje opservable koje mogu poprimiti samo diskretne realne vrijednosti. Kažemo da imaju diskretan spektar. Takva opservabla je orbitalni angularni moment LL r p(1.9) Hamiltonijan H H(x, p) može imati kontinuiran, diskretan ili kontinuiran i diskretan spektarH T V p2 V (x)2m(1.10)1.5 Prosječna vrijednost operatoraProsječna vrijednost operatora A u kvantnom stanju opisanom valnom funkcijom Ψ definirana je pomoćujednakostiZhAiΨ Ψ AΨdx(1.11) Drugačija oznaka za prosječnu vrijednost je A. Prosječna vrijednost operatora položaja glasiZ Z hxi Ψ xΨdx x Ψ 2 dx (1.12) Prosječna vrijednost operatora impulsa p jednaka jeddhxi mhpi mdtdtZ x Ψ 2 dxGornja jednakost se uz pomoć Schrödingerove jednadžbe može transformirati ZZ ħ Ψ ħ ΨΨdxdx hpi Ψi xi x (1.13)(1.14)S druge strane, ako upotrijebimo definiciju prosječne vrijednosti operatora (1.11), vidimo da je relacija(1.14) dobivena jednostavnom zamjenomħ p (1.15)i x8
Operator impulsa u kvantnoj mehanici je diferencijalni operator. Na primjer, operator kinetičke energijedobijemo zamjenomħ2 2p2 (1.16)T 2m2m x2pa prosječna vrijednost za T glasi 2 2 ZZ ħ2 2 Ψħ Ψ Ψdx(1.17)dx hT i Ψ 2m x22m x2 Općenito, prosječna vrijednost operatora Q Q (x, p) je Z ħ hQi Ψ Q x,Ψdxi x (1.18)1.6 Princip neodredenosti za položaj i implusMaterija posjeduje valna i čestična svojstva. Princip neodredenosti glasiσx σp ħ2i posljedica je valnih svojstava. Ovdje su σx , σp standardne devijacije operatora x i pqσx hx2 i hxi2qσp hp2 i hpi2(1.19)(1.20)Drugi naziv za σx , σp je neodredenost položaja i neodredenost impulsa u stanju Ψ.1.7 Struja vjerojatnostiNeka je čestica u stanju Ψ (x, t). Struju vjerojatnosti definiramo izrazom iħ Ψ Ψ ΨJ (x, t) Ψ2m x xZa ravni val Ψ(x, t) A exp (ikx iωt) je struja vjerojatnosti J ħk A 2 /m.9(1.21)
2 Osnovna svojstva Schrödingerove jednadžbe2.1 Vremenski-neovisna Schrödingerova jednadžbaPretpostavimo da potencijalna energija ne ovisi o vremenu, V V (x). Schrödingerova jednadžba glasi Ψħ2 2 Ψ V (x) Ψ iħ22m x t(2.1)Rješenje ove jednadžbe jeΨ(x, t) u(x) e iωt(2.2)gdje je ω E/ħ kružna frekvencija (Einsteinova relacija!), a funkcija u(x) zadovoljava jednadžbu ħ2 d 2 u V (x) u Eu2m dx2(2.3)Ova se jednadžba naziva vremenski-neovisna Schrödingerova jednadžba ili stacionarna Schrödingerovajednadžba. Konstanta E je ukupna energija čestice. Najvećim dijelom vježbi bavit ćemo se upravo tomjednadžbom. Rješavat ćemo probleme u kojima potencijalna energija ne ovisi o vremenu.Napomena: ako pomnožimo jednadžbu (2.3) s e iωt vidimo da je Ψ(x, t) rješenje i od (2.3). Općerješenje jednadžbe (2.1) dano je izrazom (2.13).2.2 Stacionarna stanjaValne funkcije koje opisuju stacionarna stanja su oblikaΨ(x, t) u(x) e iωt(2.4)Naziv ”stacionarno stanje” dano je zbog toga što pripadna gustoća vjerojatnosti ne ovisi o vremenu Ψ(x, t) 2 Ψ Ψ u (x) eiωt u(x) e iωt u (x)u(x) u(x) 2(2.5)Takoder, prosječna vrijednost zadanog operatora Q Q(x, p) u stacionarnom stanju ne ovisi o vremenu Z ħ hQi Ψ Q x,Ψdxi x Z ħ iωt u (x) e Q x,u(x) e iωt dxi x Z ħ u(x)dx(2.6) u (x)Q x,i x Primijetimo, zbog gornje tvrdnje jedhQi 0dtako prosječnu vrijednost uzimamo u stacionarnom stanju.(2.7)2.3 Jednadžba svojstvenih vrijednosti za hamiltonijan HNapisali smo da je u kvantnoj mehanici opservabla hamiltonijan zbroj operatora kinetičke i operatorapotencijalne energijeH T V p2 V (x)2mħ2 2 V (x)2m x210(2.8)
Vremenski-neovisnu Schrödingerovu jednadžbu (2.3) tada možemo napisati u oblikuHuE EuE(2.9)gdje smo ukupnoj energiji E pridružili funkciju uE (x) . Ovako napisana jednadžba (2.9) ima oblik jednadžbe svojstvenih (vlastitih, karakterističnih) vrijednosti za hamiltonijan H. Funkcije {uE (x)} nazivaju se svojstvene (vlastite, karakteristične) funkcije za H, a energije E su svojstvene (vlastite, karakteristične) vrijednosti od H.2.3.1Hamiltonijan i ukupna energijaPomoću jednadžbe (2.9) možemo izračunati prosječnu vrijednost i prosječnu vrijednost kvadrata hamiltonijana u stacionarnom stanjuhHi EhH 2 i E 2pa je standardna devijacija od H, ili neodredenost energije u stacionarnom stanju jednakaqσH hH 2 i hHi2 0(2.10)(2.11)Drugim riječima, stacionarna stanja su stanja u kojima čestica ima točno odredenu energiju. Mjerenjeenergije čestice koja se nalazi u stacionarnom stanjuΨ(x, t) u(x) e iEt/ħ(2.12)dat će energiju E s vjerojatnošću 1.2.4 Svojstvene funkcije hamiltonijana HSchrödingerova jednadžba je linearna parcijalna diferencijalna jednadžba. Svaka linearna kombinacijarješenja je opet rješenje Schrödingerove jednadžbe. Ako se radi o Schrödingerovoj jednadžbi u kojojpotencijalna energija ne ovisi o vremenu, tada je valna funkcijaXΨ(x, t) cn un (x) e iEn t/ħ(2.13)nopće rješenje Schrödingerove jednadžbe (2.1). Pri tom su cn kompleksni koeficijenti, a skup funkcija{un (x)} su rješenja vremenski-neovisne Schrödingerove jednadžbeHun En un(2.14)Rješenja {un (x)} jednadžbe (2.14) čine potpun i ortogonalan skup funkcija.Napomena: prosječna vrijednost hamiltonijana H u stanju opisanom valnom funkcijom (2.13) jekonstantna ako potencijalna energija ne ovisi o vremenu. Za razliku od stacionarnih stanja (2.12),neodredenost energije u stanju (2.13) je općenito, različita od nule.2.4.1Skup funkcija {un (x)} je potpun i ortonormiran.Svojstvo potpunosti znači da svaku funkciju f (x) iz prostora na kojem je hamiltonijan zadan možemorazviti u red po skupu {un (x)}Xf (x) bn un (x)(2.15)n11
Na primjer, u problemu s beskonačnom potencijalnom jamom širine a, svaku funkciju zadanu na intervalu (0, a) možemo razviti u red po rješenjima vremenski-neovisne Schrödingerove jednadžbe na tomintervalu.Svojstvo ortonormiranosti definira se pomoću jednakostiZu m un dx δmn(2.16)Normiranje vršimo sami nakon što smo dobili rješenja {un (x)}ZZu n un dx un 2 dx 1(2.17)Pomoću svojstva ortonormiranosti nalazimo koeficijente bn iz (2.15). Pomnožimo cijelu jednadžbu s u ni integriramoZXX Z bn δmn bm(2.18)um (x) f (x) dx bn u m (x) un (x) dx nnKoeficijenti bn suZbn u n (x) f (x) dx(2.19)2.5 Rubni uvjeti za valnu funkcijuU Schrödingerovoj jednadžbi javlja se druga derivacija valne funkcije. Nužan uvjet za postojanje drugederivacije je neprekidnost valne funkcije i prve derivacije valne funkcije. Ovo svojstvo koristimo kadrješavamo Schrödingerovu jednadžbu u dva (ili više) područja: na granici izmedu dva područja moravrijeditiΨ1 x a Ψ2 x a Ψ1 x x a Ψ2 x(2.20)x aNapomena: drugi uvjet u (2.20) vrijedi ako je potencijal u x a konačan. Na primjer, na rubovimabeskonačne, potencijalne jame drugi uvjet nije zadovoljen.Uvjet kontinuiranosti valne funkcije i njezine derivacije ponekad je korisno zamijeniti uvjetom kontinuiranosti logaritamske derivacije ln Ψ1 x x a ln Ψ2 x(2.21)x a2.6 Ehrenfestov teoremPrepostavimo da se čestica giba u polju potencijala V (x). Ehrenfestov teorem glasi Vdhpi dt x(2.22)Usporedimo li dobivenu jednakost s Newtonovim zakonom, vidimo da su klasični impuls i silu zamijenilenjihove prosječne vrijednosti.12
3 Potencijalna jama3.1 Vezana stanja i stanja raspršenjaNeka su vrijednosti potencijalne energije u točkama jednake V ( ). Kvantna stanja u kojima jeenergija E V ( ) nazivaju se vezana stanja. Kvantna stanja u kojima je energija E V ( )nazivaju se stanja raspršenja. Najčešće stavljamo V ( ) 0.3.2 Beskonačna potencijalna jamaVaxSlika 3.1Potencijalna energija glasi V (x) 0,0 x a , drugo(3.1)Vremenski-neovisna Schrödingerova jednadžba ima oblik ħ2 d2 u Eu2m dx2(3.2)Ako uvedemo 2mEk ħpomoću rubnih uvjeta u(0) u(a) 0 dolazimo do diskretnih vrijednosti za kkn Valne funkcije un (x) surun (x) nπa nπ 2sinx , n 1, 2, .aa(3.3)(3.4)(3.5)a valne funkcije za stacionarna stanjarΨn (x, t) nπ 2sinx e iEn t/ħ , n 1, 2, .aa(3.6)Energije su diskretneEn ħ2 kn2π 2 ħ2 n2 2m2ma213(3.7)
3.3 Konačna potencijalna jamaVE 0a-ax-V0 E 0-V0Slika 3.2Potencijalna energija glasi V (x) 3.3.1 V0 , a x a0 , x a(3.8)Vezana stanja: V0 E 0Postavimo: E E . Za x a vremenski-neovisna Schrödingerova jednadžba za u (x) glasi d2 uħ2 d2 u Euili κ2u 02m dx2dx2gdje smo stavilipκ Rješenja gornje jednadžbe su u(x) 2m E ħ(3.9)(3.10)A eκx , x aB e κx , x a(3.11)U području a x a vremenski-neovisna Schrödingerova jednadžba ima oblik ħ2 d2 u V0 u Eu2m dx2gdje jeilid2 u l2 u 0dx2(3.12)p2m (V0 E )l ħ(3.13)u (x) C sin(lx) D cos (lx)(3.14)Rješenja jednadžbe (3.12) su oblikaPotencijalna energija je u ovom problemu parna (simetrična) funkcija i zato možemo formirati parno ineparno rješenje (simetrično i antisimetrično). Uzmimo simetrično rješenje A eκx , x auS (x) D cos (lx) , a x a(3.15) A e κx , x ate spojimo rješenja na x a pomoću logaritamske derivacije. Dobijemo jednadžbu za E κ l tan (la)14(3.16)
čija su rješenja diskretne vrijednosti. Ako uzmemo antisimetrično rješenje B eκx , x auA (x) C sin (lx) , a x a B e κx , x a(3.17)jednadžba iz koje dobivamo diskretne energije jeκ l cot (la)(3.18)Na Slikama 3.3 i 3.4 prikazana su grafička rješenja jednadžbi (3.16) i (3.18). Strelicama su označenevrijednosti za la iz kojih onda možemo izračunati energije. Primijetimo da je skup rješenja jednadžbi(3.16) i (3.18) konačan, pa je broj energija i odgovarajućih stanja konačan (na donjim slikama je taj broj4 3 7) za razliku od beskonačne potencijalne jame.2Parna rješenja22mV0a /h 10010864200264810laSlika 3.32mV0a2/h2 100Neparna rješenja10864200264laSlika 3.415810
3.3.2Stanja raspršenja: E 0Rješenje vremenski-neovisne Schrödingerove jednadžbe je A eikx B e ikx , x au(x) C sin(lx) D cos (lx) , a x a F eikx , x a(3.19)gdje su 2mEk ħp2m (E V0 )l ħ(3.20)U ovom slučaju energija je E kontinuirana. Koeficijent transmisije jednak jeT F 2Jt Ji A 21 q V022m(E V0 )21 4E(E V0 ) sin 2aħ2(3.21)a koeficijent refleksijeR B 2Jr 1 TJi A 2gdje su Ji , Jr i Jt redom upadna struja, struja refleksije i propuštena struja.16(3.22)
4 Slobodna čestica4.1 Ravni valVremenski-neovisna Schrödingerova jednadžba za slobodnu česticu (potencijalna energija V (x) 0) jeoblikad2 u k2 u 02dx2mEk2 2ħ(4.1)Rješenje za (4.1) jeu(x) A eikx B e ikx(4.2)Rješenje vremenski-ovisne Schrödingerove jednadžbe jeΨ(x, t) A ei(kx ωt) B e i(kx ωt)ω Eħk 2 ħ2m(4.3)Valna funkcija (4.3) je superpozicija dva ravna vala: prvi se val širi udesno, drugi ulijevo. Ravni val nijenormalizablina funkcija i stoga ne može opisivati fizikalnu česticu. Bez obzira na to, zbog jednostavnogoblika pogodnog za računanje, upotrebljava se kao matematički model slobodne čestice.4.2 Valni paketNa drugoj strani, superpozicija ravnih valova upotrebljava se za opis fizikalne čestice i tada govorimo ovalnom paketuZ 1Φ(k) ei(kx ωt) dk(4.4)Ψ(x, t) 2π U trenutku t 0 valni paket Ψ(x, t) postaje inverzni Fourierov transformat, a Φ(k) je Fourierov transformatZ 1Φ(k) Ψ(x, 0) e ikx dx(4.5)2π Brzina čestice hvi hpi/m odgovara grupnoj brzinivg dωdk(4.6)Valni paket za nerelativističku česticu mase m giba se bez znatne promjene oblika u vremenu t ako vrijedi t mħ( p)2(4.7)gdje je p neodredenost impulsa. Za duljinu valnog paketa možemo uzeti neodredenost koordinate, a zavrijeme u kojem valni paket znatno promijeni svoj oblik mħ/( p)2 .17
5 Potencijal oblika delta-funkcije5.1 Potencijal oblika delta-funkcijeVxaSlika 5.1Promatrat ćemo privlačan potencijalV (x) αδ (x) , α 05.1.1(5.1)Vezano stanje: E E 0Vremenski-neovisna Schrödingerova jednadžba glasid2 u (x) 2mα 2 δ (x) u (x) k 2 u (x) 02dxħ(5.2)gdje je k2 2m E /ħ2 .U području x 6 0, Schrödingerova jednadžba dobiva oblikd2 u k2 u 0dx2Rješenja ove jednadžbe su u (x) (5.3)Aekx , x 0Be kx , x 0(5.4)Uvjet neprekidnosti u x 0 daje A B.Za x 0 postupamo ovako: integriramo li jednadžbu (5.2) od ε do ε za ε 0, dobijemo uvjet zaprekid prve derivacije valne funkcijedudxx 0 dudxx 0 2mαu (0)ħ2(5.5)Čestica može imati samo jedno vezano stanje s energijomE 18mα 22ħ2(5.6)
5.1.2Stanja raspršenja: E 0Vremenski-neovisna Schrödingerova jednadžba glasid2 u (x) 2mα 2 δ (x) u (x) k 2 u (x) 0dx2ħ(5.7)gdje je k2 2mE/ħ2 .U području x 6 0, Schrödingerova jednadžba ima oblikRješenja ove jednadžbe su u (x) d2 u k2 u 0dx2(5.8)Aeikx Be ikx , x 0Ceikx , x 0(5.9)Uvjet neprekidnosti u x 0 daje A B C.Integriramo li jednadžbu (5.7) oko x 0 od ε
I SCHRODINGEROVA JEDNAD ZBAˇ U 1-D 1 Valna funkcija 1.1 Schrodingerova jednad zbaˇ Temeljna jednadzˇba nerelativisticke kvantne mehanike je Schrˇ odingerova jednadzˇba ħ2 2m 2Ψ x2 VΨ iħ Ψ t (1.1) U jednadzˇbi (1.1) mmasa je ˇcestice, V V(x,t) je potenc
ga često postoji .neispravqo mišljenje da je mehanika dio fizike, dok:: medutim, nikome ne pada na um da bi matematiku. koja se također primjenjuje i u (1Ziei. smatrao dijelom fu:ike.
6.5 Titranje linearne troatomske molekule 162 6.6 Titranje molekule vode 168 7. Mehanika kontinuuma 175 . stanje sustava u jednom (početnom) trenutku vremena, znat ćemo stanje tog sustava u bilo kojem trenutku vremena
rad. Ostali zadaci su iz raznih izvora i različitih težina, no čini se da ipak vrijedi ona popularna izjava: ,, Zadaci iz fizike kondenzirane materije su ili trivijalni ili veoma teški! ’’ Glavni razlog zbog kojeg sam složio ovu zbirku jest da zadatke sustavno razvrstam po poglavljima koja su relevantna za polaganje ispita.
The terms port, harbour and haven are more or less synonymous, but each of them also has specific meanings. Port layout: Mar del Plata Layout of a port (Scrabster Harbour): port structures A harbour (US spelling "harbor") is a place of security and comfort, a small bay or other sheltered part of an area of water, usually well protected against high
Objektno orijentirano programiranje . Izvedbeni nastavni plan kolegija 4/6 . 3. Projektni zadatak . Projektni zadatak uključu
TANKER SAFETY GUIDE LIQUEFIED Second edition 1995 International Chamber of Shipping The International Chamber of Shipping (ICS) is a
Holes - examples-a protruding fragment of ice ripped a hole in the ship's hull-The collision tore a hole in the warship's waterline, flooding the ship’shold-The MV „ ." has been cut in two; - During collision in 1965 of the dry-cargo ship „ " with a supertanker the former has developed a hole depth up to 2/3 B;-Due to explosion on the tanker „ ", the depth of damage had reached 21 m.
Text and illustrations 22 Walker Books Ltd. Trademarks Alex Rider Boy with Torch Logo 22 Stormbreaker Productions Ltd. MISSION 3: DESIGN YOUR OWN GADGET Circle a word from each column to make a name for your secret agent gadget, then write the name in the space below. A _ Draw your gadget here. Use the blueprints of Alex’s past gadgets on the next page for inspiration. Text and .
