Dinámica De Estructuras Apuntes De Clase

Dinámica de EstructurasApuntes de ClaseRubén BoroschekREVISION 0.2Septiembre 2015DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K1

En el desarrollo de gráficas de estos apuntes contribuyeron inicialmente:Daniela Burgos M.Luís MirandaCesar UrraLos Alumnos del CI42G y CI72A Universidad de ChileA estas alturas ya está todo bastante modificado. Pero su apoyo se agradece siempre.Estas son las notas del Curso de Dinámica de Estructuras que dicto en el Departamento de IngenieríaCivil de la Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas de la Universidad de Chile. Es un curso depregrado obligatorio. Es dictado en aproximadamente 45 horas presenciales. El curso se complementacon tareas semanales de tipo computacional en el cual el alumno prácticamente debe programar yverificar toda la teoría enseñada. Adicionalmente se desarrollan dos proyectos experimentales en el cualel alumno debe primero crear un sistema de un grado de libertad y ensayalo bajo condiciones iniciales,forzadas y arbitrarias bajo dos condiciones de disipación de energía. El segundo laboratorio correspondea un sistema de varios grados de libertad al cual se le deben identificar sus propiedades. En todo cursolos alumnos además van a terreno a medir estructuras reales.NOTA:El texto está en condición preliminar. Si bien he tratado de eliminar los errores tipográficos, siempre sedescubren nuevos. Por tanto úsese con cuidado.El texto en amarillo no lo he revisadoEl texto en azul no requiere ser leído para la comprensión del problemaSi desea indicar un error u omisión por favor mandar correo arborosch@ing.uchile.clDINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K2

INDICE1.REFERENCIAS.72.FORMULARIO BASE.83.INTRODUCCIÓN .94.3.1.¿POR QUÉ DINÁMICA ESTRUCTURAL? .93.2.DEMANDAS - ACCIONES.93.2.1.Condiciones Iniciales .93.2.2.Demanda Periódicas .103.2.3.Pulsos e Impacto .103.2.4.Demanda Arbitraria .113.3.¿CÓMO MODELAR ESTRUCTURAS? .113.4.EQUILIBRIO .11SISTEMAS LINEALES DE UN GRADO DE LIBERTAD .124.1.SISTEMAS DE UN GDL SIN AMORTIGUAMIENTO .124.2.SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO .134.3.ANÁLISIS DE SISTEMAS DE OSCILACIÓN LIBRE .144.4.PESO EN LA ECUACION DE MOVIMIENTO .174.5.ENERGÍA .194.6.SISTEMAS DE UN GDL CON AMORTIGUAMIENTO .204.7.SOLUCIÓN HOMOGÉNEA DE LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO.214.8.ANÁLISIS DE SISTEMAS DE OSCILACIÓN LIBRE .254.9.EL AMORTIGUAMIENTO .264.10.DECAIMIENTO LOGARITMICO .274.11.ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO .294.12.EXITACIÓN ARMONICA C 0.304.13.EXITACIÓN ARMONICA C ARBITRARIO .314.13.1.Factor de Amplificación Máximo .334.13.2.Análisis de la Amplificación Dinámica .344.13.3.Ancho de Banda del Factor de Amplificación.344.14.5.EXITACION ARMONICA REGIMEN PERMANENTE .364.14.1.Casos Básicos sensores .364.14.2.Sensor de Aceleración: Acelerómetro .394.14.3.Sensor de Desplazamiento Inercial .414.15.AISLAMIENTO DE VIBRACIONES.424.16.RESPUESTA EN RESONANCIA.444.17.ENERGÍA DISIPADA.48SOLUCION NUMERICA DE LA ECUACION DE 1 GDL .50DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K3

5.1.METODO DE NIGAM Y JENNINGS .505.2.MÉTODO DE WILSON .525.3.MÉTODO DE NEWMARK .536.ENSAYOS EXPERIMENTALES .566.1.CONDICIONES INICIALES O PULL BACK: .566.2.VIBRACIÓN FORZADA: .596.3.EXCITACIÓN AMBIENTAL.617.ANÁLISIS EN EL ESPACIO DE LA FRECUENICA.627.1.8.SERIE DE FOURIER .62RESPUESTA EN FRECUENCIA DE UN OSCILADOR DE 1GDL.638.1.CASO SERIE DE FOURIER BASE .638.2.RELACIÓN DE COEFICIENTES DE SERIE DE FOURIER ARMÓNICOS Y EXPONENCIAL COMPLEJO. .638.3.REPRESENTACIÓN COMPLEJA DE LA SERIE DE FOUIER.648.4.PAR DE TRANSFORMADA DE FOURIER .648.5.RESPUESTA UTILIZANDO LA TRANSFORMADA DE FOURIER.649.PULSO .669.1.PULSO RECTANGULAR .679.1.1.Fase I: Respuesta Máxima Bajo Aplicación de la Carga.689.1.2.Fase II: Respuesta Máxima Bajo Aplicación Nula.689.1.3.Espectro de Respuesta al Impulso .699.2.PULSO SENOSOIDAL .719.3.PULSO ASCENDENTE .729.4.COMPARACIÓN PULSOS .7310.IMPACTO.7411.CARGA ARBITRARIA EN EL TIEMPO.7512.ESPECTRO Y PSEUDO ESPECTROS DE RESPUESTA .7712.1.CONCEPTOS BÁSICOS DE SISMICIDAD Y ONDAS. .7712.2.RESPUESTA SÍSMICA DE 1 GDL .8412.3.ESPECTROS DE DESPLAZAMIENTOS RELATIVOS.8512.4.ESPECTRO DE VELOCIDADES RELATIVAS .8712.5.ESPECTRO DE ACELERACIONES ABSOLUTAS .8912.6.ESPECTRO DE DISEÑO EN CHILE .9012.7.PSEUDO ESPECTROS DE DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACION .9712.8.ESPECTRO TRIPARTITA .9912.9.OTRAS VARIABLES DE RESPUESTA SISMICA .10112.9.1.Integral de Housner.10112.9.2.Relación entre Energía y Espectro de Fourier.10312.9.3.Intensidad de Arias.105DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K4

13.MÉTODO DE RAYLEIGH.10713.1.BALANCE DE ENERGÍA .10713.2.COORDENADAS GENERALIZADAS .11014.SISTEMA DE N GDL .11114.1.1.Fuerza Elástica.11114.1.2.Fuerza Inercial .11214.1.3.Disipación .11214.2.RELACIONES BÁSICAS: RIGIDEZ, FLEXIBILIDAD Y TRABAJO .11214.2.1.Condensación Estática .11214.2.2.Trabajo y Energía de Deformación.11314.2.3.Ley de Betti.11314.2.4.Ecuación de Equilibrio Dinámico .11414.3.FORMULACION DE VALORES PROPIOS CON FLEXIBILIDAD .11614.4.PROPIEDADES DE ORTOGONALIDAD DE MODOS .11614.4.1.Condiciones Adicionales de Ortogonalidad.11714.5.NORMALIZACIÓN MODAL .11814.6.COORDENADAS MODALES .11914.7.¿CÓMO RESOLVEMOS? .12014.8.¿COMO CALCULAMOS LA MATRIZ DE AMORTIGUAMIENTO?.12314.8.1.Amortiguamiento Proporcional de Rayleigh.12414.8.2.Amortiguamiento Proporcional de Caughy.12514.8.3.Amortiguamiento Proporcional de Penzien – Wilson .12615.RESPUESTA SISMICA PARA UN SISTEMA DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD.12815.1.CASO SÍSMICO SOLUCIÓN EN EL TIEMPO .12815.1.1.Cortante Basal.12915.1.2.Aceleración de Piso.13015.1.3.Desplazamiento de Entrepiso .13115.2.RESPUESTA ESPECTRAL .13115.2.1.Combinación Modal .13216.VECTOR DE INFLUENCIA .13617.TORSIÓN.13718.SISTEMAS CONTINUOS.14018.1.1.Viga simplemente apoyada.14218.1.2.Viga Cantiléver.14318.1.3.Ortogonalidad .14418.1.4.Deformación por Corte (distorsión angular) .14619.ANEXO A.14820.FRICCION.149DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K5

20.1.MOVIMIENTO SIN RESORTE .15120.2.ENERGÍA DISIPADA EN REGIMEN PERMANENTE .15120.3.INESTABILIDAD .15121.MÉTODO DE ACELERACIÓN PROMEDIO .151DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K6

1. REFERENCIASEste libro ha sido escrito a lo largo de mis años como profesor de Dinámica de Estructuras en laUniversidad de Chile. Está basado en las enseñanzas de mis profesor, Ray Clough (UC Berkeley),Joseph Penzien (UC Berkeley), William G. Godden (UC Berkeley), Jorge Gutiérrez (U de Costa Rica) yRosendo Pujol (U de Costa Rica) y por su puesto en lo excelentes textos de estos profesores y los deAnil Chopra (UC Berkeley) y John Biggs (MIT).Clough, R. y Penzien, J. “Dynamics of Structures”. McGraw – Hill. SegundaEdición, 1993.Chopra, A. “Dynamics of Structures”. Prentice Hall. Tercera Edición, 2006.DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K7

2. FORMULARIO BASE1 GDLEquilibrioDinámicomv t cv t kv t p t Amort CríticoN GDLkmFrecuencia Angular: M v (t ) C v (t ) K v(t ) P(t ) Rayleigh : C a M b K ccrítico 2 km 2m Razón Amort Crítico: c c2m ccFrec. Angular amortiguada;n v(t ) yi (t ) i i 1 K i2 M i 0 2 , D 1 2Respuesta a Condición Inicial: v v v(t ) e t 0 0 sin D t v0 cos D t D Respuesta permanente Forzada: P0 sin( t ) mv t cv t kv t P0 cos( t ) i ( t ) P0eObtenemos los parámetros modalesM i i M i TT i M v(0) Mi f E (t ) i2 M i yi (t ) M i2 i yi (t ) v(t ) yi (t ) i v (t ) y i (t ) i v (t ) yi (t ) i Respuesta Sísmica:Factor de Participación Lim z t c z t k z t p t yi t Nm m x x dx M n xn I 0 n in ( x ) ' 0LNn 10LLNk k x x dx EI ( x) dx kn xn 202n 10LN0n 1 i2 Li Vi (t ) M i i FE (t ) M i Cortante BasalQ(t ) Aceleración de Piso:22TFuerza Elástican 1c c x x dx cn xn 22 i M r LiV ( i , i , v g )M i iDonde en general i 1 nRespuestaCoordenadas Generalizadas2Mi yi (t ) 2 i i y i (t ) yi (t ) Pi (t ) / M i1P ( ) exp( (t )) sen( D (t )) d m D 0n i i M v (0) Ty i (0) 2it2i 1 nTyi (0) Factor de Amplificación Dinámica1D 1222 2 1 2 Decremento Logarítmico: ln vi vi N 2 NIntegral de Duhamel:N i2 M iEncontramos las condiciones iniciales para cada formamodal.PermanenteL 1 n K iiPi (t ) i P (t ) sin( t )P v(t ) e t A sin Dt B cos Dt 0 D cos( t ) k i ( t )Transientee v (t ) *Y 2 km*vi i L2i iVi (t )Mi v (t ) Y t T2iiiLiS d ( i , Ti )Mip (t ) p x, t x dx p xn xn DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K8

3. INTRODUCCIÓN3.1. ¿POR QUÉ DINÁMICA ESTRUCTURAL?Este es un libro sobre dinámica estructural y no de análisis estructural. En general uno debe tratar deevitar clasificar los problemas como de naturaleza dinámica por el solo hecho de que exista una variaciónde la amplitud o posición de las acciones. Lo principal en la asignación del calificativo dinámico radica enque las acciones aplicadas sobre una estructura y las acciones internas producen una resultante que noes nulo o despreciable. F (t ) mv (t ) 0En la práctica todas las acciones sobre una estructura sufren variaciones espaciales o temporales perono es necesario en estos casos considerar el problema dinámico si la resultante (o como nos referiremosen adelante las fuerzas inerciales) son despreciables.3.2. DEMANDAS - ACCIONESLa respuesta de estructuras se puede evaluar con mayor facilidad si clasificamos las acciones por suscaracterísticas de amplitud, duración, periodicidad. Las cargas pueden ser estáticas o dinámicas; lascargas dinámicas dependen del tiempo, de la posición y de su magnitud. La respuesta de una estructura,a su vez, puede ser estática o dinámica, si es dinámica actuarán en la estructura fuerzas de inercia,pudiendo estar presentes además fuerzas disipativas.3.2.1.Condiciones InicialesLa estructura no está sometida a acciones externas, pero presenta condiciones iniciales dedesplazamiento ( v0 ) o velocidad ( v 0 ). Esta respuesta inicial puede ser ocasionada por un acto externoque ya no es considerado o por una nueva fijación de tiempo de referencia de análisis de la estructura.En todo caso se considera que la estructura no está sometida a acciones externas durante su respuesta.En la figura se muestra ejemplo de situaciones en las cuales se ha generado la condición inicial dedesplazamiento mediante el tiro de la estructura y la liberación rápida y otro caso en el cual se generauna velocidad inicial a partir de un impacto.Figura 3.1 Condiciones Iniciales: Desplazamiento y velocidad (Impacto).DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K9

Figura 3.2 Ensayo de Impacto (salto grupal) sobre pasarela3.2.2.Demanda PeriódicasSe definen como demanda periódicas a aquellas que presentan una repetición en el tiempo con unperíodo característico, Tp ,f t f t Tp . Estas pueden ser simples, en la cual aparece una solafrecuencia de excitación o complejas donde es suman un conjunto de señales simples.Figura 3.3 Excitación periódica. Maquinarias y otros.Figura 3.4 Excitación periódica.3.2.3.Pulsos e ImpactoLos pulsos son acciones de corta duración. Los impactos son pulsos de muy corta duración. Comoveremos los impactos generan velocidades importantes en la estructura pero no desplazamientos.Figura 3.5. Impacto: Acción de corta duración.DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K10

3.2.4.Demanda ArbitrariaLa acción arbitraria o general no obedece a ningún patrón regular. Un ejemplo son los terremotos.Figura 3.6 Respuesta a acción arbitraria.3.3. ¿CÓMO MODELAR ESTRUCTURAS?1. Por medio de discretización utilizando elementos uniaxiales.2. Mediante ecuaciones diferenciales como la siguiente: 2 v x, t 2 v x, t 2 P x, t EI x m x 2 x 2 t 23. Por medio de elementos finitos.4. Usando coordenadas generalizadas, donde se establece una función de desplazamiento del tipov x, t x t 3.4. EQUILIBRIOPara determina el estado de equilibrio de una estructura se pueden utilizar los siguientes métodos:1. Métodos de Energía2. Suma de Fuerzas: Fx t , Fy t , Fz t Mx t , My t , Mz t .3. Trabajo Virtual.DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K11