5 Expresiones Algebraicas - Intergranada
5ExpresionesalgebraicasEl templo de ApisDesde un lugar privilegiado, el escriba Ahmesasistía al interrogatorio dirigido por el juezy el sumo sacerdote del templo, quien habíadenunciado la desaparición de la comidadel buey.El sacerdote se volvió hacia el juez y dijo:–¡Al robar toda la comida del dios hancometido un delito imperdonable, y Apisexige que la condena sea máxima!–La ley está escrita y estipula la condenapor el acto cometido y la cantidad robada–le replicó el juez sin mirarlo. Y acto seguidovolvió a preguntar a los dos detenidos porlas cantidades que habían sustraído.El mayor de ellos le contestó:–Cada uno tomó lo que pudo: él cogió tres«montones» y yo sustraje diez «montones».–El registro del templo dice que había24 heqat destinadas a la reencarnacióndel dios Apis. Ahmes, anota los datosy calcula la cantidad que sustrajo cadauno –dijo el juez dirigiéndose al escriba,que seguía apuntando en el papiro.El escriba anotó la siguiente expresiónpara designar lo sustraído por cada uno.120280854 0120-0143.indd 12025/04/11 22:30
SolucionarioSOLUCIONARIO5DESCUBRE LA HISTORIA 1Busca información sobre el papiro de Rhind y otros papiros que se conserven enla actualidad relacionados con las matemáticas.Se puede encontrar información sobre el papiro de Rhind en la siguiente página ematica-en-el-antiguo-egipto-elpapiro-rhind/Para completar la información sobre el papiro de Rhind y obtener datos sobre otrospapiros que se conservan en la actualidad se puede visitar esta página ntes/pdf/1-1-1-egipto.pdfEn ella también figuran datos sobre las matemáticas en Egipto.2¿Cuál es la simbología utilizada por los egipcios para escribir números? ¿Cuál seríael significado de la expresión que aparece en el texto?En esta página web se puede obtener información no solo sobre la simbologíautilizada por los egipcios, también sobre cómo medían y cómo realizabanoperaciones itmetica.htm3Investiga sobre las matemáticas en Egipto y las áreas en las que más se desarrollaron.En la siguiente página web se puede ampliar toda la información obtenida en losejercicios anteriores sobre las matemáticas en ALUACIÓN INICIAL1Expresa como una sola potencia.a)b)c)d)52 ? 56(-3)3 ? (-3)575 : 73(-2)12 ? (-2)8a) 58b) (-3)82e)f)g)h)c) 72d) (-2)20[(-5)2 ? (-5)9]4(46 : 42)7[(-11)2 ? (-11)3]5(512 : 59)5e) (-5)44f) 428g) (-11)25h) 515Aplica la propiedad distributiva.a) 2 ? (7 3)b) 5 ? (3 - 1)c) -5 ? (6 - 2)d) (7 - 4) ? (-2)e) (5 3) ? (-6)f) (9 2) ? 5a) 2 ? (7 3) 2 ? 7 2 ? 3d) (7 - 4) ? (-2) 7 ? (-2) - 4 ? (-2)b) 5 ? (3 - 1) 5 ? 3 - 5 ? 1e) (5 3) ? (-6) 5 ? (-6) 3 ? (-6)c) -5 ? (6 - 2) (-5) ? 6 - (-5) ? 2 f) (9 2) ? 5 9 ? 5 2 ? 5121280854 0120-0143.indd 12125/04/11 22:30
Expresiones algebraicas3Calcula el máximo común divisor de:a) 24 y 30a) 24 23 ? 3b) 15 3 ? 5c) 8 230b) 15, 18 y 2530 2 ? 3 ? 518 2 ? 3224 23 ? 3c) 8, 24 y 64m.c.d. (24, 30) 2 ? 3 625 52m.c.d. (24, 30) 2 ? 3 6664 2m.c.d. (8, 24, 64) 23 8EJERCICIOS001Expresa en lenguaje algebraico.0a) El doble de un número.b) El doble de un número menos tres unidades.c) El doble de un número menos tres unidades, más otro número.d) El doble de un número menos tres unidades, más otro número,menos la tercera parte del primer número.e) El doble de un número menos tres unidades, más otro número,menos la tercera parte del primer número, más la mitad del segundo.xa) 2xd) 2x - 3 y 3yxb) 2x - 3e) 2x - 3 y - 32c) 2x - 3 y0020Si x es la edad de Inés, expresa en lenguaje algebraico.a) La edad que tendrá dentro de 10 años.b) La edad que tenía hace 4 años.a) x 100030b) x - 4Expresa con lenguaje algebraico.a) La propiedad conmutativa de la suma de dos números.b) El teorema de Pitágoras.a) x y y x004b) a 2 b 2 c 20Observa la secuencia.a) ¿Cuántos triángulos habrá en la figura que ocupa el lugar 8?b) ¿Y la figura que ocupa el lugar 15?a) Primera: 31-1 1 triángulo Segunda: 32-1 3 triángulos Tercera: 33-1 9 triángulos Octava: 38-1 2 187 triángulosb) Figura que ocupa el lugar 15: 315-1 4 782 969 triángulos122280854 0120-0143.indd 12225/04/11 22:300
SOLUCIONARIO005osEscribe los cinco primeros números que siguen estas regularidades.a) 3(n2 1)b) n3 - 2a) n 1 " 3 ? (12 1) 6n 2 " 3 ? (22 1) 15n 3 " 3 ? (32 1) 30n 4 " 3 ? (42 1) 51n 5 " 3 ? (52 1) 78 6 80065b) n 1 " 13 - 2 -1n 2 " 23 - 2 6n 3 " 33 - 2 25n 4 " 43 - 2 62n 5 " 53 - 2 123Expresa en lenguaje algebraico el número que ocupa el lugar n de estassucesiones numéricas.a) 3, 7, 11, 15, b) 2, 8, 18, 32, a) 4n - 1b) 2n 2007Calcula el valor numérico de estas expresiones algebraicas para x 3.a) x 1b) x 2 1a)b)c)b)008c) 2x - 3d) 2x 2 - 3x3 1 432 1 102?3-3 32 ? 32 - 3 ? 2 9Halla el valor numérico de 2x 2 - y para estos valores.a) x 0, y 1b) x -1, y -2a) 2 ? 02 - 1 -1b) 2 ? (-1)2 - (-2) 4009Indica mediante una expresión algebraica el perímetro y el área de un cuadradode lado x. Halla su valor numérico cuando el lado mide:a) 4 cmb) 5 cmP 4xa) P 16 cmb) P 20 cmc) P 24 cm010c) 6 cmA x2A 16 cm2A 25 cm2A 36 cm2¿Cuánto debe valer b para que el valor numérico de la expresiónpara a -4, sea 0?-4 - 4 b 0 " b 42a-4 b,2123280854 0120-0143.indd 12325/04/11 22:30
Expresiones algebraicas011Indica el coeficiente, la parte literal y el grado de estos monomios.a)b)c)d)7x 2yz3 2-2xy z15x 28xy 2a) Coeficiente: 7b) Coeficiente: -2c) Coeficiente: 15d) Coeficiente: 8e) Coeficiente: 3f) Coeficiente: -4g) Coeficiente: 9h) Coeficiente: 6012e)f)g)h)2Parte literal: x yzParte literal: xy 3z 2Parte literal: x 2Parte literal: xy 2Parte literal: abcParte literal: a 2bc 4Parte literal: m 2Sin parte literalb) -5xy 2zGrado: 4Grado: 6Grado: 2Grado: 3Grado: 3Grado: 7Grado: 2Grado: 0c) 3x 3ya) -4abc 2b) 5xy 2z0d) -2a 2b 3cc) -3x 3yd) 2a 2b 3cIndica el grado de los monomios semejantes a:a) -xy 2a)b)c)d)0140Escribe los monomios opuestos.a) 4abc 201303abc-4a 2bc 49m 26b) -5xy0c) x 3d) 6x 3Grado: 3Grado: 2Grado: 3Grado: 3Realiza las siguientes operaciones.a) 5x 2xb) -3y 2 4y 2c) 2ab 2 - a 2bd) - 4x 3 ? 2x1 3 3 2e)a ? a24a)b)c)d)7xy22ab 2 - a 2b-8x 4e)3 5a80f)g)h)i)j)k)9a : 3a-10x 3y 2 : x 2y5x 2 7x4x - 5xy-3x 4y 210x 3 : 2xy 2f)g)h)i)j)3-10xy5x 2 7x4x - 5xy-3x 4y 2k)5x 2y20124280854 0120-0143.indd 12425/04/11 22:30
SOLUCIONARIO015Resuelve estas operaciones.a) 5x 3 - 6x 7x - x 3 - x 4x 3a) 8x 3016b) (5y 3 - 2y 3) : (3xy 2)yb) 3y 3 : 3xy 2 xa) 8x 4 : 4x 2 2x 2Reduce los términos semejantes en estos polinomios, ordena sus términos,de mayor a menor grado, e indica el grado de cada polinomio.a)b)c)d)P (x) 5x 3 - x 7x 3 - x 2 8x - 2Q(x ) 12 x 2 7x - x 4 - 8 3x 2R(x) 9x - 4x 2 - 6 - 10x 1S (x) 4x 2 - x 3 4x 3 - x 5 8 - x 2a)b)c)d)018b) 2x 2 ? x 3 ? 3x 5 : (-6x)b) -x 9Calcula.a) 8x 4 : (2x 2 2x 2)0175P(x) 12x 3 - x 2 7x - 2 " Grado: 3Q (x) -x 4 4x 2 7x 4 " Grado: 4R(x) -4x 2 - x - 5 " Grado: 2S (x) -x 5 3x 3 3x 2 8 " Grado: 5Calcula el valor numérico de estos polinomios para x -3.133x- xb) R (x) - 5 7x 22213a) Q (-3) - ? (-3) 5223 ? (-3)-61 b) R (-3) -5 7 ? (-3) 22a) Q (x) 019Halla el valor de a para que el polinomio P(x) ax 2 - 3x 5cumpla que P (2) 3.P (2) a ? 22 - 3 ? 2 5 4a - 6 5 3 " 4a 4 " a 1020Realiza las siguientes operaciones con estos polinomios:P (x ) x 2 - 3x 7Q(x) 5x 3 - 6x 2 x - 3a) Q(x) S (x)b) R(x) - P(x)a)b)c)d)S(x ) 8x - 2R (x ) 7x 2 4c) 2 ? Q(x)d) P (x) ? 7Q(x) S(x ) 5x 3 - 6x 2 x - 3 8x - 2 5x 3 - 6x 2 9x - 5R(x) - P(x) 7x 2 4 - (x 2 - 3x 7) 6x 2 3x - 32 ? Q (x) 2 ? (5x 3 - 6x 2 x - 3) 10x 3 - 12x 2 2x - 6P(x) ? 7 (x 2 - 3x 7) ? 7 7x 2 - 21x 49125280854 0120-0143.indd 12525/04/11 22:30
Expresiones algebraicas021Calcula, con los polinomios anteriores.a) (P (x) - R(x)) ? 20b) (R(x ) - Q(x)) ? (-6)a) (P (x) - R(x)) ? 2 (x 2 - 3x 7 - (7x 2 4)) ? 2 (-6x 2 - 3x 3) ? 2 -12x 2 - 6x 6b) (R(x) - Q(x)) ? (-6) (7x 2 4 - (5x 3 - 6x 2 x - 3)) ? (-6) (-5x 3 13x 2 - x 7) ? (-6) 30x 3 - 78x 2 6x - 42022Indica, sin operar, el grado y el número de términosdel polinomio [(x 2 x 3) - (x 4 7x )] ? 5.0Grado: 4 Número de términos: 4023Realiza estas operaciones.a)b)c)d)e)(18x 5 - 10x 4 6x 2) ? (-2x)(12x 4 - 24x 3 x 2) ? 3x 2(6x 2 - 8x 3) ? (3x - 1)(-x 3 4x 2 - 5) ? (-x - 1)(x 2 x 1) ? (x - 1)a)b)c)d)e)0240-36x 6 20x 5 - 12x 336x 6 - 72x 5 3x 418x 3 - 24x 2 9x - 6x 2 8x - 3 18x 3 - 30x 2 17x - 3x 4 - 4x 3 5x x 3 - 4x 2 5 x 4 - 3x 3 - 4x 2 5x 5x3 - 10Haz la siguiente operación:0[(30a 2b - 15ab 2 5a 2b 2) ? (-a - b)] ? ab32232323(-30a b - 15a b - 5a b 15ab - 5a b ) ? ab -30a 4b 2 - 15a 3b 3 - 5a 3b 3 15a 2b 4 - 5a 3b 40025Calcula el valor de a para que: (2x 2 x - 3) ? a 2x 4 x 3 - 3x 22x 2a x a - 3a 2x 4 x 3 - 3x 2 " a x 2026Realiza estas operaciones.a) (12x 5 - 18x 4 - 9x 2 21x - 27) : 3b) (5x 5 - 20x 3 - 45x 2 55x) : 5c) (7x 3 - 21x 2 42x) : (-7x)a) 4x 5 - 6x 4 - 3x 2 7x - 9b) x 5 - 4x 3 - 9x 2 11xc) -x 2 3x - 6d) (-8x 3y 12xy) : (2x)e) (18x 4y 3 3xy) : (2x)d) -4x 2y 6y3e) 9x 3y 3 y2126280854 0120-0143.indd 12625/04/11 22:30
42SOLUCIONARIO0275Halla el resultado de esta operación.[(45xy 3 - 20xy) : 5xy] ? (-3x 2y )[(45xy 3 - 20xy) : 5xy] ? (-3x 2y) (9y 2 - 4) ? (-3x 2y) -27x 2y 3 12x 2y028Calcula el valor de a para que se cumpla:(12x 3 9x 2 - 21x) : a -4x 2 - 3x 7a -3x029Determina si se puede sacar factor común, y hazlo en los casosen los que sea posible.a)b)c)d)-5x 4 2x 33x 2 6x 2 - 9x 33x 2 - 3x 3x6 - x3a)b)c)d)030e)f)g)h)7x 2 - 4y 23x 2 212x - 4y5x 2 - 10x 3 ? (-5x 2)9x 2 ? (1 - x)3 ? (x 2 - x 1)x 3 ? (x 3 - 1)e) No es posible.f) No es posible.g) 4 ? (3x - y)h) 5 ? (x 2 - 2)Saca factor común en estas expresiones.a) 5a 3b 3 10a 2b 2b) a 4b 2 - a 2b 2a) 5a 2b 2 ? (ab 2)031b) a 2b 2 ? (a 2 - 1)Calcula a para que el factor común de yx 5 4y 2x 3 - 6y 3x a sea yx 2.a 2b4032Calcula los cuadrados de estas sumas y diferencias.a) (4x 5)2e) (3a - 5b)2b) (x 2 7x)2f) (8 - 3x )232 2c) (x 3x )d) e25x2 o67g) (x 2 - x 3)2h) e2x2xo43a) 16x 2 40x 25e) 9a 2 - 30ab 25b 2b) x 4 14x 3 49x 2f) 64 - 48x 9x 2c) x 6 6x 5 9x 4g) x 4 - 2x 5 x 6d)25x 210x4 362149h) e-25x25x 2o 12144127280854 0120-0143.indd 12725/04/11 22:30
Expresiones algebraicas033Corrige los errores cometidos.0a) (7x 2)2 7x 2 4b) (6x 4 - 4)2 36x - 8x 16a) (7x 2)2 49x 2 28x 4b) (6x 4 - 4)2 36x 8 - 48x 4 16034Expresa este polinomio como una suma de cuadrados: x 2 4x 4x 2 4x 4 (x 2)2035Expresa estos productos como una diferencia de cuadrados.a) (x 4)(x - 4)b) (x 2 - 1)(x 2 1)c) (3 - 2x) (3 2x)d) exx 5 oe - 5 o33e) e1x2 1x2oe o23230a) x 2 - 16b) x 4 - 1c) 9 - 4x 2x2- 25d)9e)0361x449Estudia si los polinomios se pueden expresar como el cuadradode una suma o diferencia.a) x 2 10x 25b) 4 12x 9x 2a) (x 5)2b) (2 3x)c) x 6 - 12x 5 36x 4d) 18x - 9 9x 2c)02 c) (x 3 - 6x 2)2d) No es posible.037Expresa este polinomio como un producto: x 4 - x 3 ex2 -2xo2x24128280854 0120-0143.indd 12825/04/11 22:30
SOLUCIONARIO5ACTIVIDADES038 Expresa en lenguaje algebraico.a) El doble de un número más 5.b) El triple de un número menos 6.c) El doble de la suma de un número más 4.d) La mitad de la diferencia de un número menos 8.e) El cuadrado de la suma de un número más 7.f) El cubo de la mitad de un número.039x-82a) 2x 5d)b) 3x - 6e) (x 7)2c) 2(x 4)f) e3xo2Observa la secuencia. a) ¿Cuántos palitos habrá en la figura que ocupa el lugar 9? ¿Y en la del lugar 13?b) ¿Y en la figura que ocupa el lugar n?a) Primera figura: 4 ? 1 4 palillos Segunda figura: 4 ? 2 8 palillos Tercera figura: 4 ? 3 12 palillos Novena figura: 4 ? 9 36 palillos Figura que ocupa el lugar 13: 4 ? 13 52 palillosb) Figura que ocupa el lugar n: 4 ? n palillos040 Escribe los seis primeros números que siguen estas regularidades.a) 3n2 b) -n3a) n 1 " 3 ? 12 3b)n 2 " 3 ? 22 12n 3 " 3 ? 32 27n 4 " 3 ? 42 48n 5 " 3 ? 52 75n 6 " 3 ? 62 108n 1 " -13 -1n 2 " -23 -8n 3 " -33 -27n 4 " -43 -64n 5 " -53 -125n 6 " -63 -216129280854 0120-0143.indd 12925/04/11 22:30
Expresiones algebraicas0410Transforma estas expresiones algebraicas en enunciados. x 34g) 3x -x2a) 4x - 2d)b) 5 - 2xe) (x 2)2h) (2x - 1)2c) 2x 3f) x 2 - 4i) (2x)2 - 1a) El cuádruple de un número menos 2.b) El número 5 menos el doble de un número.0c) El doble del cubo de un número.d) La cuarta parte de la suma de un número más 3.e) El cuadrado de la suma de un número más 2.f) El cuadrado de un número menos 4.g) El triple de un número menos su mitad.0h) El cuadrado de la resta del doble de un número menos 1. i) El cuadrado del doble de un número menos 1.042HAZLO ASÍ0¿Cómo se expresan algebraicamente algunas relaciones geométricas? Escribe, mediante una expresión algebraica, la superficie de un triángulo isósceles cuya altura mide 5 cm.PRIMERO. Se nombran todos los elementos que intervienen en el cálculo de la superficie. A los elementosdesconocidos se les designa mediante una letra.SEGUNDO.05 cmSe escribe la fórmula correspondiente.A x ?55x 22x043 Si la base de un triángulo es 4 cm, escribe la expresión algebraicaque representa su superficie.x : altura044 "A Expresa de forma algebraica la superficiede esta figura.A xy 3x204x 2x2xy3130280854 0120-0143.indd 13025/04/11 22:30
SOLUCIONARIO045Calcula el valor numérico de la expresión 2x - 3 para estos valores de x. a) x 1 b) x 0 c) x -2 d) x 046 a) 2 ? 1 - 3 -1c) 2 ? (-2) - 3 -7b) 2 ? 0 - 3 -3d) 2 ?1- 3 -22b) x -1, y -3a) 3 ? 12 - 2 ? (-2) 4 11 12Determina el valor numérico de la expresión 3x 2 - 2y 4 para los valoresde x e y:a) x 1, y -20475b) 3 ? (-1)2 - 2 ? (-3) 4 13Halla el valor de a en la expresión 4x 3 3x 2 - ax - 5, sabiendoque su valor numérico para x -1 es 0.4 ? (-1)3 3 ? (-1)2 - a ? (-1) - 5 0 " -4 3 a - 5 0 " a 6048 s-Calcula el valor de a en la expresión -2x 2 - 3x - a si su valor numéricopara x 3 es -5.-2 ? 32 - 3 ? 3 - a -5 " -18 - 9 - a -5 " a -22049Copia y completa la siguiente tabla: 050 Monomio- 8x y z 23a 2 b 44x 3 y 2-9a 2 b cz6Coeficiente-834-91Parte literalxyz2a 2b 4x 3y 2a 2b cz6Grado46546Indica si las afirmaciones son verdaderas o falsas. Razona tu respuesta.a) 12ab y -2ab son semejantes.b) 7xyz y -7xy son opuestos.c) 7xy 2z y -7x 2yz son semejantes y opuestos.a) Verdadera, ya que tienen la misma parte literal.b) Falsa, pues no tienen la misma parte literal.c) Falsa, porque no tienen la misma parte literal.131280854 0120-0143.indd 13125/04/11 22:30
Expresiones algebraicas051 0Escribe, si es posible.a) Dos monomios de grado 5 que sean semejantes y no opuestos.b) Dos monomios de grado 5 que sean opuestos y no semejantes.c) Dos monomios de grado 5 que sean semejantes y opuestos.a) Es posible. Por ejemplo: 3x 5 y 6x 5b) No es posible, ya que si son opuestos serán semejantes.c) Es posible. Por ejemplo: 3x 2y 3 y -3x 2y 3052 Haz estas operaciones de monomios.-x 2 x x 2 x 3 x2x 3 - (x 3 - 3x 3)8x 2 - x 9x x 28xy 2 - 5x 2y x 2y - xy 2-3x 7y - (8y y - 6x)457f)xy - xy xy - xy324a)b)c)d)e)a)b)c)d)e) 7x4i) 7x 3 ? 5x ? 9x 40j) 15x 3 : 5x 2 k) -8x 3y 2 : 2x 2yl) 10x 4yz 2 : 5xyzg) 40x 113xy4h)21 3x2i)j)k)l)315x 83x-4xy2x 3zRazona si las igualdades son verdaderas o falsas, y corrige los errores cometidos.a)b)c)d)a a 2a2a a 2a 22a - a 22a - 2 aa)b)c)d)054h) -3x ? (-2x) ?x 3 2x4x 39x 2 8x7xy 2 - 4x 2y3x - 2yf) 053g) 2x 2 ? 4x 3 ? 5x 6VerdaderaFalsa: 2a a 3aFalsa: 2a - a aFalsa: 2a - 2 2 ? (a - 1)e)f)g)h)2a - b 2 ? (a - b)2a 3a 5a2a 3b 5ab2a 2 4ae)f)g)h)Falsa: 2a - 2b 2 ? (a - b)VerdaderaFalsa: 2a 3b 2a 3bFalsa: 2a 2 2a 2Escribe 12x 2y como:a) Suma y/o resta de tres monomios.b) Producto de tres monomios.c) Cociente de dos monomios.Respuesta abierta. Por ejemplo:b) 2x ? 2y ? 3xa) 3x 2y 5x 2y 4x 2yc) 24x 2y 2 : 2y132280854 0120-0143.indd 132025/04/11 22:300
os.SOLUCIONARIO0555HAZLO ASÍ¿Cómo se resuelven operaciones combinadas de monomios?Resuelve: 8x 2 - (5x 4 x 4) : 2x 2 15x 4 : (3x ? x)Se resuelven las operaciones que hay entre paréntesis.8x 2 - (5x 4 x 4) : 2x 2 15x 4 : (3x ? x) 8x 2 - 6x 4 : 2x 2 15x 4 : 3x 2PRIMERO.Se resuelven las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.8x 2 - 6x 4 : 2x 2 15x 4 : 3x 2 8x 2 - 3x 2 5x 2SEGUNDO.Se resuelven las sumas y restas en el mismo orden.8x 2 - 3x 2 5x 2 5x 2 5x 2 10x 2TERCERO.056 Opera y reduce.a)b)c)d)e)f)12x ? 3x 2 : x 14x ? x 3 : 7x 216x ? x 3 : (-4) 9x 5 : x 4 ? (-3x 3)3x 2 ? (10 ? 5x 3) - 10x 4 ? 6x 2 : 2x(5x 2 - 2x 2 7x 2) ? (4x 3 - x 3 6x 3)(-4xy 2 9xy 2) : (3xy 2xy)(x 3 - 8x 3 4x 3) ? (y - 3y 5y)a) 36x 2 2x 2 38x 2b) -4x 4 - 27x 4 -31x 4c) 150x 5 - 30x 5 120x 5057 Indica si son verdaderas o falsas estas afirmaciones referidas a 2x 3.a) 3 es el coeficiente de x.b) 3 es el término independiente.a) Falsa, es 2.b) Verdadera058 d) 10x 2 ? 9x 3 90x 5e) 5xy 2 : 5xy yf) (-3x 3) ? (3y) -9x 3yc) Hay tres términos.d) La x es la incógnita.c) Falsa, hay dos términos.d) VerdaderaSeñala los términos, coeficientes, variables y grados de estos polinomios.a) 2x 3y - 2b) 5 - 2x 8y - 3x 2c) 2a 2b 3cd) 7 5t - 2z 2 - 3ya) Términos: 2x, 3y, -2c) Términos: 2a, 2b, 3cCoeficientes: 2, 3, -2 Coeficientes: 2, 2, 3Variables: x, y Variables: a, b, cGrado: 1 Grado: 1b) Términos: 5, -2x, 8y, -3x 2d) Términos: 7, 5t, -2z 2, -3yCoeficientes: 5, -2, 8, -3 Coeficientes: 7, 5, -2, -3Variables: x, y Variables: t, z, yGrado: 2 Grado: 2133280854 0120-0143.indd 13325/04/11 22:30
Expresiones algebraicas059 060 0Identifica estos elementos de los polinomios. a) Número de términos de x 3 - x 2 4x 5x 4 - 6.b) Término independiente de y 3y 4 - 3y 3.c) Grado de R (x, y) 5x 3y 2 6y 4 - 3x 4y 3 8x 2.7 - 2x 10x 3d) Coeficientes de.37 -2 10a) 5b) 0c) 7d) ,,3 330 Escribe un polinomio de una variable, con grado 7, que tenga 6 términosy cuyo término independiente sea -2.Respuesta abierta. Por ejemplo: x 7 3x 6 - 2x 5 x 4 5x 2 - 2061 22 2a) 5x - 2xyb) 8a 3b 2 5a 2b 3ca) 30620Indica el grado de los polinomios. 2 2c) 4x 5x y - 10xyd) a 2bc - 2abc 6a 2b3b) 6c) 4d) 50Calcula el valor numérico de estas expresiones para los valores n 1 y n -2.a) 3n 2 4nb) n (n 3)c) n 2 - 1d) n 2(n 2)3 ? 12 4 ? 1 73 ? (-2)2 4 ? (-2) 4a) n 1n -2"b) n 1n -2" (-2) ? (-2 3) -2c) n 1n -212 - 1 0" (-2)2 - 1 31 ? (1 3) 40 d) n 112 ? (1 2) 3n -2 " (-2)2 ? (-2 2) 0063 Si P (x) 3x 4 - 2x 3 x 2 - 5, calcula.a) P (1) P(0) - P(-2)b) 2 ? P(2) 3 ? (-P(-1)) c) P e01o2a) P (1) P(0) - P(-2) -3 (-5) - 63 -71b) 2 ? P(2) 3 ? (-P(-1)) 2 ? 31 3 ? (-1) 59c) P e1-77o 216134280854 0120-0143.indd 13425/04/11 22:30
SOLUCIONARIO0645Halla el valor de a para que el polinomio sea de grado 2. P (x ) (2a 4)x 3 - 3x 4x 2 - 7Para que el polinomio sea de grado 2: 2a 4 0 " a -2065 Obtén el valor de a y b para que el polinomio tenga grado 3 y su términoindependiente sea 15.P (x ) 3x 2 - (5 a)x x 3 - 3bEl polinomio siempre tendrá grado 3, ya que el coeficiente de grado 3 es 1.Para que el término independiente sea 15: -3b 15 " b -5El valor de a no afecta al término independiente ni al grado,por lo que puede ser cualquier valor.066 067Calcula el valor de a para que P(1) 2 si P(x) ax 3 - 3x 2 4x - 7.Si P (1) 3 - 5 a 1 2, entonces a 3.Con estos polinomios, calcula. A (x) 2x 3 - 3x 2 x - 7B (x) x 3 7x 2 - 4xC (x) -2x 2 x - 52.a) A (x ) B(x) C(x)b) B (x ) C(x)a) 3x 3 2x 2 - 2x - 12b) x 3 5x 2 - 3x - 5068 c) A(x ) - B(x )d) A(x) - B(x ) - C(x)c) x 3 - 10x 2 5x - 7d) x 3 - 8x 2 4x - 2Halla dos polinomios cuya suma sea 4x 3 - 6x 2 7x - 2.Respuesta abierta. Por ejemplo:P(x) 3x 3 - 2x 2 5Q (x) x 3 - 4x 2 7x - 7069 Copia y completa.a) 6x 2 - 4x 7 4 3x 2b) 5x 3 3x 2 - 10 - 4 x - x 2 7c) 9x 3 x 2 - 6x 4 4 2x 2 - x 3 xa) -6x 2 7x - 5b) (5x 3 4x 2 - x - 17)c) -10x 3 x 2 7x - 4135280854 0120-0143.indd 13525/04/11 22:30
Expresiones algebraicas070 0Efectúa las siguientes operaciones.c) (4x 2 x - 2) ? (-5)d) (x 2 3x - 6) ? (-3x 3)a) (3x 4) ? 2b) (x - 2) ? 4xc) -20x 2 - 5x 10d) -3x 5 - 9x 4 18x 3a) 6x 8b) 4x 2 - 8x071Opera y reduce términos semejantes. a) (x 3) ? (x - 2)b) (2x - 6) ? (3x 5)c) (4 - 6x 3x 2) ? (-2 - x x 2)202a) x - 2x 3x - 6 x x - 6b) 6x 2 10x - 18x - 30 6x 2 - 8x - 30c) -8 - 4x 4x 2 12x 6x 2 - 6x 3 - 6x 2 - 3x 3 3x 4 3x 4 - 9x 3 4x 2 8x - 8072 Opera y reduce términos semejantes. 0a)b)c)d)073 -18 6x 9x -18 15x30x 35x 2 - x 2 34x 2 30xx 3 x 2 - x 3 - 4x 4 8x -4x 4 x 2 8x4x 2 - 5x 5x 2 - 6x 2x 2 11x 2 - 11xa) (25a - 15) : 5b) (12a 2 - 18a 69) : 6a) 5a - 323b) 2a 2 - 3a 2074 0 Efectúa las siguientes divisiones.432c) (10a - 20a - 4a ) : 2ad) (16a 4 : 4a 2) : 2ac) 5a 3 - 10a 2 - 2ad) 2a0Realiza estas operaciones.a) (x 3 3x 3) : x 2b) (7x 3 - 4x 2 5x ) : xa) 4xb) 7x 2 - 4x 5c) (9x 3y 3 3x 2y 15xy 2) : 3xyd) (12xy - x 2y) : xyc) 3x 2y 2 x 5yd) 12 - x136280854 0120-0143.indd 13625/04/11 22:30
SOLUCIONARIO075 5Copia y completa.4 : 4xy 3y 2z 3 5xy 2 - 2xyzb) 4 : x 3y 2 9y 6x - 4x 2yc) 4 : (-5yz 3) 2x - 5x 2z 7y 2z 3a)a) 12xy 3z 3 20x 2y 3 - 8x 2y 2zb) 9x 3y 3 6x 4y 2 - 4x 5y 3c) -10xyz 3 25x 2yz 4 - 35y 3z 6076 -8Copia y completa.4 5x 4 4x 2 - 3x 6b) (12x 4z 3 - 18x 3z 4 24x 2z 2) : 4 4x 2z - 6xz 2 8c) (4x 5yz - 7x 4yz 2 6x 3y 3z 2) : 4 4x 2 - 7xz 6y 2za) (10x 5 8x 3 - 6x 2 12x) :a) 2x b) 3x 2z 2 c) x 3yz077 Extrae factor común en cada caso.a) 3x 6x - 9xe) 10xy - 5xy 15xyb) 4x - 12yf) 14x 4 - 35x 3 - 7x 2 42c) 10a - 10b 10cg) 25m 2n 20m 3n 2 - 30m 4d) 3ab 5abh) x 2y - xy 3 xya) 3x ? (1 2 - 3)e) 5xy ? (2 - 1 3)b) 4 ? (x - 3y)f) 7 ? (2x 4 - 5x 3 - x 2 6)c) 10 ? (a - b c)g) 5m 2 ? (5n 4mn 2 - 6m 2)d) ab ? (3 5)h) xy ? (x - y 2 1)078Extrae factor común. a) 4x 5 3x 4 - 5x 24c) 10x 2y - 15xy 20xy 23d) 3z 4 9z 2 - 6z 3b) -6y 8y 4ya) x 2 ? (4x 3 3x 2 - 5)32b) 2y ? (-3y 4y 2)079 c) 5xy ? (2x - 3 4y)d) 3z 2 ? (z 2 3 - 2z)Desarrolla las igualdades notables.a) (x - 5)2c) (4 a)22b) (2x 3y)d) (3a - 6b)2a) x 2 - 10x 25c) 16 8a a 2b) 4x 2 12xy 9y 2d) 9a 2 - 36ab 36b 2137280854 0120-0143.indd 13725/04/11 22:30
Expresiones algebraicas080 0Calcula.a) (x 2 y 2)2c) (x 2 - y 2)2b) (3x 2 - 5y 3)2d) (1 a 4)2a) x 4 2x 2y 2 y 442 3b) 9x - 30x y 25y081 082 c) x 4 - 2x 2y 2 y 46d) 1 2a 4 a 8Expresa como diferencia de cuadrados.a) (x 1)(x - 1)c) (3a - 2b)(3a 2b)b) (5 ab)(5 - ab)d) (2 7x 2y)(2 - 7x 2y)a) x 2 - 1c) 9a 2 - 4b 2b) 25 - a 2b 2d) 4 - 49x 4y 20Corrige los errores cometidos.a) (x 2)2 x 2 4b) (x - 3)2 x 2 6x - 9c) 5 2 ? (x 1)2 10 ? (x 1)2 (10x 10)2a) (x 2)2 x 2 4x 4b) (x - 3)2 x 2 - 6x 9202 2c) 5 2 ? (x 1) 5 2 ? (x 2x 1) 2x 4x 7083 Copia y completa los términos que faltan.4 16x 4b) (3x - 2) 94 4 - 12x 2a) (2x 4)2 2084 2c) (4 5)2 x 4 104 d) (3 -44) 4 16x - 24x22a) (2x 4)2 4x 2 16x 16c) (x 2 5)2 x 4 10x 2 25b) (3x 2 - 2)2 9x 4 4 - 12x 2d) (3 - 4x)2 9 16x 2 - 24xCopia y completa los términos que faltan para que los polinomios sean el cuadradode una suma o una diferencia.4b) x 16 463a) x 8x 24 xd) 49 - 4 4x 2c) 64 -2a) x 6 8x 3 16c) 64 - 16x x 2b) x 2 16 8xd) 49 - 28x 4x 2138280854 0120-0143.indd 13825/04/11 22:300
SOLUCIONARIO085 a) (x 2)2c) ee) 9x 4 6x 3 x 2f) 9x 4 6x 2y y 2d) (x 2 1)2b) (2x - 3)2e) (3x 2 x)22x- 1o2f) (3x 2 y)2HAZLO ASÍ¿Cómo se expresa un polinomio de la forma a 2 - b 2 como una suma por diferencia?Expresa P (x) 16 - x 2 como una suma por diferencia.PRIMERO.SEGUNDO.087 5088 Se identifican a y b.a 2 16 " a 4 b 2 x 2" b xSe aplica la igualdad.a 2 - b 2 (a b)(a - b)16 - x 2 42 - x 2 (4 x)(4 - x)Expresa los polinomios como producto de una suma por diferencia.a) 100 - 64x 2d) 9x 6 - x 8b) 49x 4 - 36x 2e) 16x 2 - 25c) 1 a)b)c)d)e)f)4xdoExpresa estos polinomios como el cuadrado de una suma o una diferencia.d) x 4 2x 2 1a) x 2 4x 4b) 4x 2 - 12x 91 2x -x 1c)408652x(10 - 8x)(10 8x)(7x 2 6x)(7x 2 - 6x)(1 - x)(1 x)(3x 3 x 4)(3x 3 - x 4)(4x 5)(4x - 5)(x 2 - 2)(x 2 2)f) x 4 - 4El precio del kilo de naranjas es x y el de uvas es y. Expresa en lenguajealgebraico.a) El precio de 2 kg de naranjas y 3 kg de uvas.b) Las uvas cuestan el doble que las naranjas.c) El precio de 1,5 kg de naranjas y 2,5 kg de uvas.a) 2x 3y b) y 2x c) 1,5x 2,5y139280854 0120-0143.indd 13925/04/11 22:30
Expresiones algebraicas089 0Si x es la edad actual de Jorge y Pedro tiene 8 años más que él,contesta a estas preguntas utilizando expresiones algebraicas. a) ¿Cuál será la edad de Jorge dentro de 20 años?b) ¿Qué edad tenía Jorge hace 7 años?c) ¿Cuándo tendrá Jorge el doble de la edad que tiene ahora?d) ¿Cuál es la edad actual de Pedro?e) ¿Cuál será la edad de Pedro dentro de 15 años?f) ¿Hace cuántos años Pedro tenía la mitadde la edad actual de Jorge?g) ¿Dentro de cuántos años tendrá Jorgeel doble de la edad actual de Pedro?a) x 20e) x 8 15xf) x 8 2g) 2 ? (x 8) - xb) x - 7c) Dentro de x añosd) x 8090 Un comerciante contabiliza10 cajas de bolsasde gusanitos, 7 de palomitasy 8 de quicos. El repartidortrae 2 cajas de cadaproducto. Durante la semanase han vendido 2 cajasde bolsas de quicos,4 de gusanitos y 3 de palomitas. Expresa en lenguaje algebraicolas operaciones que debe hacer el comerciante para saber qué mercancíatendrá la semana que vuelva el repartidor.0 El repartidor traerá x cajas de gusanitos, y cajas de palomitas y z cajas de quicos.La mercancia que le queda al comerciante cuando vuelva el repartidor será:Gusanitos: x 10 2 - 4 Palomitas: y 7 2 - 3 Quicos: z 8 2 - 2091 Elige dos números de: 1, 2, 3, 4, 5, 6, y colócalos en los triángulospara que la expresión:verde naranja0 tome el valor 0 cuando x 1.Llamamos a al triángulo verde y b al naranja.Operando, tenemos que: 13 - 5a b 0Como son valores positivos, resulta: 5a 13 " a 3Y como el mayor valor de b es 6: 5a 20 " a 4, por lo que a 3 y b 2140280854 0120-0143.indd 14025/04/11 22:30
SOLUCIONARIO092 Encuentra el valor de x, y y z para que este cuadrado sea un cuadrado mágicocompuesto por números del 1 al 9.(Recuerda: en un cuadrado mágico, la suma de los elementos de cada columna,fila y diagonal es la misma.)Aunque existen varias soluciones, si y z, solo hay una solución. ¿Cuál es?En los cuadrados mágicos, el centro está ocupado por el número 5,luego x 5.Como el mayor valor es 9, tenemos que: y z 4, y al ser y z:y 3yz 1093834159672Observa esta tabla: x y z 15x y-z 15x 2y z 17a) ¿Cuánto tiene que valer z para que dé igual sumar que restar?b) ¿Puedes hallar el valor de y ? ¿Y el de x?a) El valor de z debe ser 0.s.:225b) x y 15x 2y (x y) y 17 " y 2, x 13PON A PRUEBA TUS CAPACIDADES094 Tras varios debates sobre vivienda y habitabilidad se han extraído una seriede conclusiones sobre las dimensiones idóneas que debe tener una viviendade dos dormitorios: El largo del recibidor debe ser el triple que el ancho. L a cocina y los dormitorios deben tener de ancho el doble del ancho delrecibidor, y de largo, el triple. E l ancho del pasillo debe ser la mitad que el de la cocina, y el largo, cincoveces el ancho del recibidor.141280854 0120-0143.indd 14125/04/11 22:30
Expresiones algebraicas E l salón debe tener un ancho igual al largo de la cocina,y un largo, cinco veces el ancho del recibidor.0 E l servicio debe ser cuadrado, y su ladoigual que el ancho de la cocina.Eres capaz de Comprendera) Si el ancho del recibidor es de 2 m, ¿cuánto medirán la cocina y el pasillo?Eres capaz de Resolverb) Si el ancho del recibidor mide x, ¿cuánto mide la superficie de la viviendaque cumpla estas condiciones?Eres capaz de Decidirc) Si una vivienda de dos dormitorios mide 92 m2 y considerando que el anchodel recibidor no puede ser inferior a 1,5 m, ¿cumplirá las condiciones sobredimensiones idóneas analizadas?a) Ancho del recibidor: 2 m " Largo del recibidor: 2 ? 3 6 mAncho de la cocina: 2 ? 2 4 mLargo de la cocina: 2 ? 3 6 mAncho del pasillo: 4 : 2 2 mLargo del pasillo: 2 ? 5 10 mb) Ancho del recibidor: x " Largo del recibidor: 3xAncho de la cocina: 2x " Ancho del dormitorio: 2xLargo de la cocina: 3x " Largo del dormitorio: 3x2xAncho del pasillo: x Largo del pasillo: 5x2Ancho del salón: 3xLargo del salón: 5xAncho del servicio: 2xLargo del servicio: 2xSuperficie Total:S x ? 3x 2x ? 3x 2x ? 3x x ? 5x 3x ? 5x 2x ? 2x 39x 2c) Si la vivienda tiene dos dormitorios:Superficie Total 39x 2 2x ? 3x 45x 2 Si el ancho del recibidor fuese el mínimo, 1,5 m:Superficie Total 45 ? 1,52 101,25 m2Por tanto, una vivienda de dos dormitorios que tiene una superficie de 92 m2no cumple estas condiciones.142280854 0120-0143.indd 14225/04/11 22:30
oem2SOLUCIONARIO5095La editorial Santilibro va a lanzar una colección de novela de ciencia ficción. Los diseñadores gráficos quieren dar un aspecto innovador a esta colección yproponen variar, además del tipo de letra, el formato de los libros, siendo laspáginas 5 cm más anchas que largas
123 5 005 Escribe los cinco primeros números que siguen estas regularidades. a) 3(n2 1) b) n3 - 2a) n 1 " 3 ? (12 1) 6 b) n 1 " 13 - 2 -1 n 2 " 3 ? (22 1) 15 n 2 " 23 - 2 6 n 3 " 3 ? (32 1) 30 n 3 " 33 - 2 25 n 4 " 3 ? (42 1) 51 n 4 " 43 - 2 62 n 5 " 3 ? (52 1) 78 n 5 " 53 - 2 123 006
I. CUADROS CLASIFICATORIOS DE LOS USOS DEL SUBJUNTIVO SEGÚN CRITERIOS: SEMÁNTICO, SINTÁCTICO Y PRAGMÁTICO. 1.1 Cuadro 1: CRITERIO SEMÁNTICO Expresiones y verbos de duda Verbos que expresan influencia o voluntad Verbos que expresan emoción Expresiones de emoción Conjunciones condicionales Expresiones con idea de futuro
En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. Las funciones algebraicas pueden ser: Funciones explícitas Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución. f(x) 5x 2 Funciones implícitas
colegio sam by anglo. temario matemÁticas ii. boque iii. enero 2016. prof. amir madrid sentido numÉrico y pensamiento algebraico (aritmÉtica y Álgebra) problemas multiplicativos 2. resoluciÓn de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepciÓn de la divisiÓn entre polinomios. problema inicial 02: pág.
2. Los números decimales como subconjunto de Q. Expresiones decimales 2.1. Distinción entre expresión decimal y número decimal . 2.2. Caracterización de los números decimales . 3. Técnica de obtención de expresiones decimales 3.1.
2 1. Destrozando el Use of English Pág. 3 2. Phrasal verbs Pág. 4 3. Dependent prepositions Pág. 10 4. Key word transformation Pág. 14 4.1 Gramática básica Pág. 14 4.2 Expresiones Pág. 18 5. Open cloze Pág. 31 5.1 Expresiones Pág. 31 5.2 Palabras frecuentes Pág. 36 6.
¿Qué partes del cuerpo humano son las más utilizadas en tu país en expresiones idiomáticas como las que acabamos de aprender? 1) Nómbralas explica su significado. 2) Tómale el pelo a tu profesor y haz que intente adivinar sus significado. 3) Utilíz
Narrativa, México, 2015, 125 páginas. POR JUAN CARLOS TALAVERA jc.talavera@gimm.com.mx Con 19 cuentos sobre la per-versión del progreso y la in-teracción del hombre con la ciencia, la naturaleza y la do-mesticación de los animales, la escritora mexicana Gabriela Jáuregui publica La memoria de las cosas, su más recien-
Send comments (with copy to psa@ansi.org) to: Christina Earl, (315) 339-6937, cearl@esda.org TCIA (ASC A300) (Tree Care Industry Association) Revision BSR A300 (Part 3)-201x, Tree Care Operations - Tree, Shrub, and Other Woody Plant Management - Standard Practices (Supplemental Support Systems) (revision of ANSI A300 (Part 3)-2006)
