Analisis Real 2 - Djm.or.id

ANALISIS REAL 2: TERJEMAHAN DAN PEMBAHASANDari: Introduction to Real Analysis (Fourt Edition) Oleh: Robert G. Bartle dan Donald R. SherbertOleh: Arezqi Tunggal Asmana, S.Pd., M.Pd.Bagi:Para MahasiswaPara Guru atau DosenTahun 2018Analisis Real 2 Arezqi Tunggal Asmana, S.Pd., M.Pd.i

KATA PENGANTARPuji syukur kami haturkan atas keridhoan Allah SWT. Sampai saat ini masih memberikan kenikmatan sepanjang zaman yaitunikmat iman dan islam karena dengan kedua nikmat inilah kita manusia dapat menjalani hidup dunia dan di akhirat yakni selamatdunia dan akhirat.Shalawat serta salam senaniasa terlimpahkan kepada nabi Muhammad SAW yang telah menyebarkan agama Islam dengantetesan darah dan kucuran keringat beserta keluarga dan sahabat yang selalu setia sampai akhir zaman.Dengan ridho Allah buku Analisis Real 2 ini dapat penulis selesaikan tentunya juga ada beberapa pihak yang sangat membantudan memberikan dukungan dalam menyelesaikan Buku ini sehingga perlu kiranya penyusun mengucapkan terima kasih kepada:1.Ayah dan Ibu tercinta yang selalu memberikan dukungan serta do‟a dalam penulisan buku.2.Teman-temanku di Universitas Islam Darul „Ulum Lamongan atas kebersamaan dan kerja samanya sehingga dapat terselesaikan.3.Tak lupa pula ucapan terimakasih kepada Mahasiswa Angkatan Tahun 2014 dan 2015.Akhirnya semoga Buku yang berisi materi seperti di buku Introduction to Real Analysis (Fourth Edition) untuk Bab 4 ini dapatbermanfaat bagi penulis khususnya dan umumnya kepada Semuanya.Lamongan, 22 Juni 2018PenyusunAnalisis Real 2 Arezqi Tunggal Asmana, S.Pd., M.Pd.ii

Editor: Khoristiana WidyawatiDesainer Sampul: Khoristiana WidyawatiIsi Buku: FKIP MATEMATIKA PAGI TA.2014 dan TA.2015Buku Analisis Real 2 dari INTRODUCTION TO REAL ANALYSIS ROBERT G.BAERTLE DONALD R. SHERBER di sertaidengan pembuktian dan pembahasan ini dibuat Tahun 2018 yang tercantum adalah BAB 4 yang di bimbing oleh Bapak ArezqiTunggal Asmana, S.Pd., M.Pd.Analisis Real 2 Arezqi Tunggal Asmana, S.Pd., M.Pd.iii

CONTENTSCHAPTER 4 LIMITS1Section 4.1 Limits Of Functions 44.1.1 Definition 44.1.2 Theorem 64.1.3 Example 134.1.4 Definition 154.1.5 Theorem 184.1.6 Theorem 214.1.7 Example 224.1.8 Theorem 334.1.9 Divergen Criteria 364.1.10 Example 37Exercises for Section 4.1 43BAB 4 LIMIT1Bagian 4.1 Fungsi Limit 44.1.1 Definisi44.1.2 Teorema 64.1.3 Contoh 134.1.4 Definisi 154.1.5 Teorema 184.1.6 Teorema 214.1.7 Contoh 224.1.8 Teorema 334.1.9 Kriteria Divergen4.1.10 Contoh 37Latihan Soal 4.143Section 4.2 Limits Theorem 464.2.1 Definition 464.2.2 Theorem 474.2.3 Definition 494.2.4 Theorem 504.2.5 Example 564.2.6 Theorem 644.2.7 Squeeze Theorem 654.2.8 Example 674.2.9 Theorem 73Exercises for Section 4.2 74Bagian 4.2 Teorema Limit 464.2.1 Definisi 464.2.2 Teorema 474.2.3 Definisi 494.2.4 Teorema 504.2.5 Contoh 564.2.6 Teorema 644.2.7 Teorema Apit 654.2.8 Contoh674.2.9 Teorema 73Latihan Soal 4.2 74Section 4.3 Some Extensions Of the Limits Concept4.3.1 Definition 774.3.2 Theorem 804.3.3 Theorem 834.3.4 Example 854.3.5 Definition 91DAFTAR ISI77Analisis Real 2 Arezqi Tunggal Asmana, S.Pd., M.Pd.36Bagian 4.3 Beberapa Ekstensi dari Konsep Limit4.3.1 Definisi774.3.2 Teorema 804.3.3 Teorema 834.3.4 Contoh 854.3.5 Definisi9177iv

4.3.6 Example 914.3.7 Theorem 924.3.8 Definition 944.3.9 Example 954.3.10 Definition 974.3.11 Theorem 994.3.12 Example 1014.3.13 Definition 1034.3.14 Theorem 1044.3.15 Theorem 1064.3.16 Example 108Exercises for Section 4.3111REFERENCE 370Analisis Real 2 Arezqi Tunggal Asmana, S.Pd., M.Pd.4.3.6 Contoh 914.3.7 Teorema 924.3.8 Definisi 944.3.9 Contoh954.3.10 Definisi 974.3.11 Teorema 994.3.12 Contoh 1014.3.13 Definisi 1034.3.14 Teorema 1044.3.15 Teorema 1064.3.16 Contoh 108Latihan soal 4.3111DAFTAR PUSTAKA 370iv

4.1 Limits of Functions4.1 Fungsi LimitCHAPTER 4LIMITSLIMIT“Mathematical analysis” is generally undesrtood to refer to thatarea of mathematics in which systematic use is made of variouslimiting concepts. In the preceding chapter we studied one ofthese basic limiting consepts: the limit of a sequence of realnumbers. In this chapter we will encounter the notion of the limitof a function.The rudimentary notion of a limiting process emerged in the1680s as Isaac Newton (1642-1727) and Gottfried Leibniz (16461716) struggled with the creation of the Calculus. Though eachperson‟s work was initially unknown to the other and theircreative insights were quite different, both realized the need toformulate a notion of function and the idea of quantities being“close to” one another. Newton used the word “fluent” to denotea relationship between variables, and in his major work Principiain 1687 he discussed limits “to which they approach nearer thanby any given difference, but never go beyond, nor in effect attainto, till the quantities are diminished in infinitum.” Leibnizintroduced the term “function” to indicate a quantity thatdepended on a variable, and he invented “infinitesimally small”numbers as a way of handling the concept of a limit. The term“function” soon became standard terminology, and Leibniz alsointroduced the term “calculus” for this new method ofcalculation.In 1748, Leonhard Euler (1707–1783) published his twovolume treatise Introductio in Analysin Infinitorum, in which he“Analisis matematika” umumnya dipahami untuk merujuk padabidang matematika dimana penggunaan sistematis dibuat dariberbagai konsep yang membatasi. Pada bab sebelumnya kita telahmempelajari salah satu konsep dasar yang membatasi ini: batasurutan bilangan asli. Dalam bab ini kita akan menemukan gagasantentang batas fungsi.Gagasan yang belum sempurna dari proses yang membatasimuncul pada 1680-an ketika Isaac Newton (1642-1727) danGottfried Leibniz (1646-1716) berjuang dengan penciptaanKalkulus. Meskipun pekerjaan masing-masing pada awalnya tidakdiketahui oleh yang lain dan wawasan kreatif mereka sangatberbeda, keduanya menyadari kebutuhan untuk merumuskangagasan fungsi dan gagasan kuantitas menjadi “dekat dengan”satu sama lainnya. Newton menggunakan kata “fasih” untukmenunjukkan hubungan antara variabel, dan dalam karyautamanya Principia pada 1687 ia membahas batas “yang merekamendekati lebih dekat daripada dengan perbedaan yang diberikan,tetapi tidak pernah melampaui, atau tidak berpengaruh mencapai,sampai jumlah berkurang di infinitum.” Leibniz memperkenalkanistilah “fungsi” untuk menunjukkan kuantitas yang bergantungpada suatu variabel, dan ia menciptakan angka “sangat kecil”sebagai cara menangani konsep batas. Istilah “fungsi” segeramenjadi terminologi standar, dan Leibniz juga memperkenalkanistilah “kalkukus” untuk metode penghitungan baru ini.Pada tahun 1748, Leonhard Euler (1707–1783) menerbitkanAnalisis Real 2 Arezqi Tunggal Asmana, S.Pd., M.Pd.1

4.1 Limits of Functionsdiscussed power series, the exponential and logarithmicfunctions, the trigonometric functions, and many related topics.This was followed by Institutiones Calculi Differentialis in 1755and the three-volume Institutiones Calculi Integralisin 1768–1770. These works remained the standard textbooks oncalculusfor many years. But the concept oflimit was very intuitive and itsloosenessled to a number of problems. Verbal descriptions of thelimit concept were proposed by other mathematicians of the era,but none was adequate to provide the basis forrigorous proofs.In 1821, Augustin-Louis Cauchy (1789–1857) published hislectures on analysis in his Cours d‟Analyse, which set thestandard for mathematical exposition for many years. He wasconcerned with rigor and in many ways raised the level ofprecision in mathematical discourse. He formulated definitionsand presented arguments with greater care than his predecessors,but the concept of limit still remained elusive. In an early chapterhe gave the following definition:If the successive values attributed to the same variableapproach indefinitely a fixed value, such that they finallydiffer from it by as little as one wishes, this latter is called thelimit of all the others.The final steps in formulating a precise definition of limitwere taken by Karl Weierstrass (1815–1897). He insisted onprecise language and rigorous proofs, and his definition of limit isthe one we use today.Analisis Real 2 Arezqi Tunggal Asmana, S.Pd., M.Pd.4.1 Fungsi Limitpengantar risalah dua jilidnya di Analysin Infinitorum, di mana iamembahas seri daya, fungsi eksponensial dan logaritma, fungsitrigonometri, dan banyak topik terkait. Hal ini diikuti olehInstitutiones Calculi Differentialis pada tahun 1755 dan tiga jilidInstitutiones Calculi Integralisin 1768–1770. Karya-karya initetap menjadi buku teks standar tentang kalkulus selama bertahuntahun. Tapi konsep limit sangat intuitif dan kelonggarannyamenyebabkan sejumlah masalah. Deskripsi verbal dari konsepbatasan diajukan oleh ahli matematika lainnya diera tersebut, tapitidak ada yang memadai untuk memberikan dasar untuk buktiyang ketat.Pada tahun 1821, Augustin-Louis Cauchy (1789–1857)mempublikasikan ceramahnya tentang analisis di Coursd‟Analyse, yang menetapkan standar untuk eksposisi matematisselama bertahun-bertahun. Dia prihatin dengan ketelitian dandalam banyak hal meningkatkan tingkat presisi dalam wacanamatematis. Dia merumuskan definisi dan mempresentasikanargumen dengan perhatian lebih besar dari pendahulunya, namunkonsep batasan masih tetap sulit di pahami. Pada bab awal diamemberikan definisi baru:Jika nilai-nilai yang berturut-turut dikaitkan dengan pendekatanvariabel yang sama tanpa batas nilai tetap, sehingga merekaakhirnya mereka berbeda dari yang diinginkannya, yang terakhirini disebut batas dari semua yang lain.Langkah terakhir dalam merumuskan definisi batas yang tepatdiambil oleh Karl Weierstrass (1815–1897). Ia menekankan padabahasa yang tepat dan bukti yang teliti, dan definisi batasnyaadalah yang kita gunakan saat ini.2