Math Matiques 9-10-11 Aide-m Moire

#Aide-mémoire A3 AM 18.07.13 08:49 Page77SommaireNombres et opérations – NO Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Nombres naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Nombres relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Nombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Puissances et racines . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30NOFonctions et algèbre – FA Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Diagrammes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Calcul littéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56FAEspace – ES Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Polygones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82Cercles et disques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Solides et espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Transformations géométriques . . . . . . . . 101ESGrandeurs et mesures – GM Unités de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120Périmètre et aire d’une surface . . . . . . . . 122Aire et volume de solides . . . . . . . . . . . . . 124Théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126GMRecherche et stratégies – RS Le débat mathématique . . . . . . . . . . . . . . 134Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134Résolution d’un problème . . . . . . . . . . . . 137Stratégies de recherche . . . . . . . . . . . . . . 138Conventions et notations . . . . . . . . . . . 147Table des matières . . . . . . . . . . . . . . . . . 152Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155RS

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#Aide-mémoire A3 AM 18.07.13 08:49 Page99Nombres et opérations – NO Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Nombres naturels . . . . . . . . . . . . . . 14Nombres relatifs . . . . . . . . . . . . . . . 18Nombres rationnels . . . . . . . . . . . . 20Nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Puissances et racines . . . . . . . . . . . 28Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

#Aide-mémoire A3 AM 18.07.13 08:49 Page1010Nombres et opérationsAide-mémoireGénéralitésEnsembles de nombresNOEnsemble de nombresNotationnombres naturels!0 ; 1 ; 5 ; 12 ; 1022 ; nombres entiers relatifs" ; –52 ; –20 ; –2 ; 0 ; 4 ; 215 ; nombres rationnelsQ ; –10 ; – 74nombres réelsR ; –19 ; –3,4 ; –; – 2 ; 0 ; 0,333 ; 7 ; 11 ; 19,6 ; 352 ; 0 ; 2 ; 5 ; π ; 30 ; 3Chiffres et nombresLes chiffres sont dessymboles. Il en existe dix :0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.Les nombres sont écrits àl’aide d’un ou de plusieurschiffres.Exemple : 536 est unnombre écrit à l’aidede trois chiffres.π1–QR Nombre entier relatif (p. 18), Nombre rationnel (p. 20), Nombre irrationnel (p. 27)Droite numériqueOn peut représenter l’ensemble des nombres réels par une droite, appelée droite numérique :– 3,5–5–751 520π5059,666.10R Ordre croissant (p. 11), Ordre décroissant (p. 11)

#Aide-mémoire A3 AM 18.07.13 08:49 Page11Aide-mémoireNombres et opérations11Ordre croissantClasser des nombres par ordre croissant, c’est les classer du plus petitau plus grand.croissancecrescere (latin) : croîtreLe positionnement de ces nombres sur la droite numérique permet leurcomparaison : les nombres sont plus petits lorsqu’ils sont plus à gauche,plus grands lorsqu’ils sont plus à droite.Attention !–8 – 6–12 03,14 3,7Exemple–7 –2,5 1 5,04 122 Droite numérique (p. 10)Ordre décroissantClasser des nombres par ordre décroissant, c’est les classer du plusgrand au plus petit.ExempleAttention !–8 –120 –60,1 –100127,5 8 0,058 – 3 –10 –10,44 Droite numérique (p. 10)Opérations – vocabulaireAdditionSoustraction0,5 12,5 18 3143 – 21,2 21,8les termesla sommela différenceDivision (dans !)Multiplication25 · 3,2 · 4 320les facteursles termesle produitle dividendele diviseur423 15– 30 28123–120le quotientle reste3preuve : 423 15 · 28 3La division dans ! (ou division avec reste) est aussiappelée division euclidienne.Pour éviter la confusion entrele symbole «!» de la multiplication et la lettre x utiliséeen algèbre, on utilise lesymbole «·» pour indiquer lamultiplication.NO

#Aide-mémoire A3 AM 18.07.13 08:49 Page1212Nombres et opérationsAide-mémoirePropriétés de l’addition et de la multiplication dansNOL’addition est associative(a b) c a (b c)La multiplication est associative(a · b) · c a · (b · c)L’addition est commutativea b b aLa multiplication est commutativea·b b·a0 est l’élément neutre pourl’additiona 0 0 a a1 est l’élément neutre pourla multiplicationa·1 1·a aPour tout nombre a, il existeun nombre opposé, noté –a,tel que :a (–a) (–a) a 0Pour tout nombre a différent de 0,il existe un nombre inverse, noté 1a,tel que :11a· a a ·a 1associativitéadsocius (latin) : joint à,associécommutativitécommutare (latin) :changer une chose contreune autre choseAttention !La soustraction et ladivision ne sont niassociatives, ni commutatives, et n’ont pasd’élément neutre.La multiplication est distributive sur l’addition et la soustractiona · (b c) (a · b) (a · c)a · (b – c) (a · b) – (a · c)Priorités des opérationsOn effectue les opérations dans l’ordre suivant :1. Opérations notées entre parenthèses(17 – 5) · 6 12 · 6 722. Puissances, racines45 : 3 2 45 : 9 53. Multiplications, divisions7 8 · 5 7 40 474. Additions, soustractionsLorsque des additions et des soustractions se suivent,on effectue les opérations de gauche à droite.75 – 4 12 71 12 83Lorsque des multiplications et des divisions se suivent,on effectue aussi les opérations de gauche à droite.12 : 4 · 15 3 · 15 45Exemple plus complexe2 5 · (42 20 : 4) 2 5 · (16 5)2 5 · 212 105107Autre présentation possible2 5 · (4 2 20 : 4)16521105107

#Aide-mémoire A3 AM 18.07.13 08:49 Page13Aide-mémoireNombres et opérations13Moyenne de nombresOn considère n nombres réels : x1, x2, x3, , xnIl existe d’autres moyennes :la moyenne harmonique, lamoyenne géométrique, etc.La moyenne arithmétique de ces n nombres est égale au nombrex1 x2 x3 xnnExempleLa moyenne arithmétique des quatre nombres 5 ; 5,5 ; 3,5 ; 4 est égale au nombre5 5,5 3,5 4 4,54Valeur absolueUn nombre est constitué de deux parties :Exemplesa) un signe ou – appelé signe prédicatoire, 7 est constitué du signe et de la valeur absolue 7b) un nombre réel positif appelé valeur absolue.– 4,2 est constitué du signe – et de la valeur absolue 4,2La valeur absolue d’un nombre a, notée !a!, estaussi appelée la distance entre 0 et le nombre a.Exemples! 7! 7 et !– 4,2! 4,2Deux nombres qui ont la même valeur absolue sont représentéspar des points situés à la même distance de zéro.–5–4–3–2–10 1 2 3 4 5 6R–5 5 5 Opposé d’un nombre (p. 13), Nombre entier relatif (p. 18)Opposé d’un nombreDeux nombres sont opposés si leur somme est égale à zéro.Exemples( 6) et (–6)sont deux nombres opposés, car( 6) (–6) 011"– 4 # et " 4 #sont deux nombres opposés, car"– 4 # " 4 # 01opposéopponere (latin) : placer enface de1Deux nombres opposés ont la même valeur absolue et sont de signes différents.L’opposé d’un nombre x est noté –x. Propriétés de l’addition et de la multiplication dans R (p. 12), Valeur absolue (p. 13),Inverse d’un nombre (p. 14), Nombre entier relatif (p. 18)Attention !Si x est négatif,alors –x est positif.NO

#Aide-mémoire A3 AM 18.07.13 08:49 Page1414Nombres et opérationsAide-mémoireInverse d’un nombreDeux nombres sont inverses l’un de l’autre si leur produit est égal à 1.ExemplesNO4 et 0,25sont inverses l’un de l’autre, car4 · 0,25 1– 1 et –555 et 885sont inverses l’un de l’autre, car– 1 · (– 5) 155 · 8 18 5sont inverses l’un de l’autre, carinverseinversus (latin) : renversé,interverti0 n’a pas d’inverse, car enmultipliant 0 par un nombre,on n’obtient jamais 1.–1L’inverse d’un nombre x différent de zéro est noté 1x ou x . Propriétés de l’addition et de la multiplication dans R (p. 12), Opposé d’un nombre (p. 13),Puissance d’exposant négatif (p. 28)Nombres naturelsNombre naturelUn nombre naturel est un nombre entier supérieur ou égal à 0.On utilise la lettre ! pour désigner l’ensemble de tous les nombres naturels.! {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; }MultipleSi a et b sont deux nombres naturels non nuls,alors a est un multiple de b s’il existe un nombrenaturel c tel que a c · b Opérations – vocabulaire (p. 11), Diviseur (p. 15)Exemples32 est un multiple de 8, car 32 4 · 827 n’est pas un multiple de 104 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 ; 24 ; 28 ; 32 ; 36 ; sont des multiples de 4, et il y en a une infinitéMultiple commun et ppmcUn multiple commun de plusieurs nombres naturels estun nombre naturel qui est multiple de chacun d’eux.ExempleLe plus petit multiple commun de plusieurs nombresnaturels est appelé le ppmc de ces nombres.Exemple Diviseur commun et pgdc (p. 16)72 est entre autres un multiple commun de3, 9 et 1236 est le ppmc de 3, 9 et 12

#Aide-mémoire A3 AM 18.07.13 08:49 Page15Aide-mémoireNombres et opérations15Recherche du ppmc de deux nombres naturelsPour rechercher le ppmc de deux nombres naturels, on peut décomposerchaque nombre en un produit de facteurs premiers.Exemple1507525512355150 2 · 3 · 52148549516555111333511Il existe d’autres méthodespour rechercher le ppmc dedeux nombres.1485 3 3 · 5 · 11Le ppmc est alors le produit de tous les facteurs premiers différents apparaissant dansles décompositions, écrits chacun une seule fois avec son plus grand exposant.ppmc (150 ; 1485) 2 · 33 · 52 · 11 14 850 Nombre premier (p. 16), Décomposition en produit de facteurs premiers (p. 17), Nombres premiers entre eux (p. 18)Critères de divisibilitéUn nombre naturel se divise par :2s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 ; on dit alors qu’il est pair3si la somme de ses chiffres se divise par 34si le nombre formé par ses deux derniers chiffres se divise par 4, notamment s’il se termine par 005s’il se termine par 0 ou par 56s’il se divise par 2 et par 39si la somme de ses chiffres se divise par 910s’il se termine par 025s’il se termine par 00, 25, 50 ou 7550s’il se termine par 00 ou 50100s’il se termine par 00 Multiple (p. 14), Diviseur (p. 15), Nombre premier (p. 16)DiviseurSi a et b sont deux nombres naturels non nuls,alors b est un diviseur de a s’il existe un nombrenaturel c tel que a b · cExemples7 est un diviseur de 21, car 21 7 · 35 n’est pas un diviseur de 231 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 sont les diviseurs de 12 Opérations – vocabulaire (p. 11), Multiple (p. 14), Critères de divisibilité (p. 15)NO

#Aide-mémoire A3 AM 18.07.13 08:49 Page1616Nombres et opérationsAide-mémoireDiviseur commun et pgdcNOUn diviseur commun de plusieurs nombres naturels estun nombre naturel qui est diviseur de chacun d’eux.Exemple2 est un diviseur commun de 16, 24 et 40, car 2est diviseur de ces trois nombresLe plus grand diviseur commun de plusieurs nombresnaturels est appelé le pgdc de ces nombres.Exemple8 est le pgdc de 16, 24 et 40 Multiple commun et ppmc (p. 14)Recherche du pgdc de deux nombres naturelsPour rechercher le pgdc de deux nombres naturels, on peut décomposerchaque nombre en un produit de facteurs premiers.Exemple37818963217123337378 2 · 33 · 712606303151053571223357Il existe d’autres méthodespour rechercher le pgdc dedeux nombres.1260 22 · 32 · 5 · 7Le pgdc est alors le produit des facteurs premiers communs aux deuxdécompositions, écrits chacun une seule fois avec son plus petit exposant.Si aucun facteur premier n’est commun aux décompositions,le pgdc est alors égal à 1.pgdc (378 ; 1260) 2 · 32 · 7 126 Nombre premier (p. 16), Décomposition en produit de facteurs premiers (p. 17), Nombres premiers entre eux (p. 18)Nombre premierUn nombre premier est un nombre naturel qui aexactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Multiple (p. 14), Diviseur (p. 15)Exemples7, 13, 19Attention !1 n’est pas un nombrepremier.

#Aide-mémoire A3 AM 18.07.13 08:49 Page17Aide-mémoireNombres et opérations17Liste des nombres premiers inférieurs à 37941947953967971977983991997Décomposition en produit de facteurs premiersTout nombre naturel se décompose de manière unique enun produit de facteurs premiers.Exemples24 2 · 2 · 2 · 3 2 3 · 3126 2 · 3 · 3 · 7 2 · 3 2 · 7Pour décomposer un nombre naturel en un produit de facteurspremiers, on peut par exemple procéder ainsi :4951655511133511495 3 · 3 · 5 · 11 3 2 · 5 · 11On peut procéder différemment, par exemple :1501021553150 2 · 5 · 3 · 5 2 · 3 · 52 Opérations – vocabulaire (p. 11)5décompositiondecomponere (latin) :séparer, mettre en plusieursmorceauxNO

#Aide-mémoire A3 AM 18.07.13 08:49 Page1818Nombres et opérationsAide-mémoireNombres premiers entre euxDes nombres naturels sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun est 1.ExemplesNO9 et 16 sont premiers entre eux, de même que 7 et 1512 et 8 ne sont pas premiers entre euxNombres relatifsNombre entier relatifUn nombre entier relatif est un nombre entier, positif ou négatif.On désigne par la lettre " l’ensemble de tous les nombres entiers relatifs.0 est le seul nombre à lafois positif et négatif." { ; – 5 ; – 4 ; – 3 ; – 2 ; –1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; }L’ensemble des nombres entiers relatifs est composé des nombresnaturels et de leurs opposés.Tout nombre entier relatif (sauf zéro) s’écrit à l’aide du signe oudu signe – et d’un nombre naturel appelé sa valeur absolue.En écriture simplifiée, on ne note pas le signe des nombres positifs.Autre dénominationL’ensemble des nombresentiers relatifs est aussiappelé l’ensemble desnombres entiers.Exemples9; 3#1( 3,8) ; (–4,57) ; " # ; 3( 5) ; 0 ; (–27) ; " sont des nombres entiers relatifssont des nombres relatifs, mais pas des nombres entiers relatifs Ensembles de nombres (p. 10), Opposé d’un nombre (p. 13), Valeur absolue (p. 13)Addition de nombres relatifsPour additionner des nombres de même signe : on additionne leurs valeurs absolues ; on donne au résultat le signe commun.Pour additionner des nombres de signes différents : on soustrait la plus petite valeur absolue de la plus grande ; on donne au résultat le signe du nombre qui a la plusgrande valeur absolue.Exemples( 5) ( 7) ( 12) 12 12(–4) (–7,5) (–11,5) –11,5( 6) (–9) (–3) –3(– 5) ( 2,3) (–2,7) –2,7On peut également effectuer des additions (ou soustractions) par desreprésentations de déplacements sur une droite numérique ou sur un thermomètre.

#Aide-mémoire A3 AM 18.07.13 08:49 Page19Aide-mémoireNombres et opérations19Ecriture simplifiée d’une somme de nombres relatifsPour alléger l’écriture d’une somme de nombres relatifs, on peut supprimer : toutes les parenthèses ; les signes opératoires de l’addition ; le signe prédicatoire s’il se trouve au début de l’écriture.NOExemples(– 4) ( 12) (– 27)peut s’écrire– 4 12 – 27( 2,5) (–2) ( 0,5)peut s’écrire2,5 – 2 0,5Soustraction de nombres relatifsPour soustraire un nombre,on additionne son opposé.Exemples( 5) – ( 7) ( 5) (–7) 5 – 7 –2(– 5) – ( 7) (– 5) (–7) – 5 – 7 –12( 5) – (–7) ( 5) ( 7) 5 7 12(– 5) – (–7) (– 5) ( 7) – 5 7 2(– 4,2) – ( 2,3) (– 4,2) (–2,3) – 4,2 – 2,3 – 6,5 Opposé d’un nombre (p. 13)Multiplication de nombres relatifsPour multiplier deux nombres relatifs :Exemples on multiplie leurs valeurs absolues ;( 2) · ( 3,5) ( 7) 7 7 on donne le signe au produit si les deux nombressont de même signe ;(–2) · (–3,5) ( 7) 7 7 on donne le signe – au produit si les deux nombressont de signes différents.( 2) · (–3,5) (–7) –7(–2) · ( 3,5) (–7) –7 Opérations – vocabulaire (p. 11)Division de nombres relatifsPour diviser deux nombres relatifs :Exemples on divise leurs valeurs absolues ;( 28) : ( 8) ( 3,5) 3,5 3,5 on donne le signe au quotient si les deux nombressont de même signe ;(–28) : (–8) ( 3,5) 3,5 3,5 on donne le signe – au quotient si les deux nombressont de signes différents.( 28) : (–8) (–3,5) –3,5(–28) : ( 8) (–3,5) –3,5

#Aide-mémoire A3 AM 18.07.13 08:49 Page2020Nombres et opérationsAide-mémoireNombres rationnelsNombre rationnelNOrationnelratio (latin) : pouvoir deraison, raisonnable, ou quiest le rapport de deuxnombresUn nombre rationnel est un nombre qui peut s’exprimer comme leaquotientde deux nombres entiers relatifs a et b, b étant non nul.bExemples1,4 14 –7 710–55–– 0,6 –2 4 – 23–63est un nombre rationnelest un nombre rationnelOn évite d’écrire, par exemple,2 .–3On préfère écrire –2 ou – 2 .33On désigne par la lettre Q l’ensemble de tous les nombres rationnels.Un nombre rationnel a une écriture décimale finie ou périodique.Exemples–– 2 ; – 7 ; 0 ; 1 ; 0,5 ; 2 ; 8,45 ; 543π; 2; sont des nombres rationnelsne sont pas des nombres rationnels Ensembles de nombres (p. 10), Nombre irrationnel (p. 27)Nombre rationnel périodiqueLes nombres rationnels périodiques ont une écriture décimale illimitée ;on dit également de cette écriture qu’elle est périodique.périodeperiodos (grec) : le circuit,le mouvement périodiqueExemples15 1,363636 1,361123 3,8333 3,83̄ 6La longueur de la période est 2La séquence des chiffres 3 et 6 se répète indéfinimentLa longueur de la période est 1Le chiffre 3 se répète indéfiniment Nombre décimal (p. 21), Nombre irrationnel (p. 27), Différentes écritures d’un nombre (p. 27)Attention !–0,9 3 · 1 13On n’indique pas unepériode de zéro :3 1,50– 1,52

#Aide-mémoire A3 AM 18.07.13 08:49 Page21Aide-mémoireNombres et opérations21Nombre décimaldécimaldecem (latin) : dixdecimus (latin) : dixièmeUn nombre décimal est un nombre dont l’écriture décimale possèdeun nombre fini de chiffres non nuls après la virgule. C’est le quotientd’un nombre entier par une puissance de dix.NOExemples1,5 ; 15,375 ; 7 ; – 8,42 ;20,16666 ; 1,3̄ ;; 73 12;; 24sont des nombres décimauxne sont pas des nombres décimaux Nombre rationnel (p. 20), Puissances de dix (p. 28)Ecriture décimaleLes décimales sont les chiffres figurant après la virgule.La numération décimale est la numération en base dix.partie entière42quatremilliers7partie décimale2 , 5 1 deuxmillièmesuncentième512 101001000 4 · 10 3 2 · 102 7 · 101 2 · 100 5 · 10 –1 1 · 10 –2 2 · 10 –34272,512 4000 200 70 2 Puissances de dix (p. 28), Notation scientifique (p. 29)Représentation de nombres décimaux sur une droite graduée44,24,725,3055Rune unité1(5 – 4)undixième110(5,2 – 5,1 0,1)uncentième1100(5,34 – 5,33 0,01)

#Aide-mémoire A3 AM 18.07.13 08:49 Page2222Nombres et opérationsAide-mémoire–centièmes11 4 7, 33 1 4, 7 81 8 3, 0 8NOdixièmes dizainescentièmes unit

Ton Aide-m moire pr sente les termes, d finitions, notations et notions th oriques, abord s dans la collection Math matiques 9-10-11 . CÕest un ouvrage de r f rence auquel tu peux acc der, l