BAB IV BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR
BAB IVBILANGAN BERPANGKATDAN BENTUK AKARPeta KonsepBilangan Berpangkat dan Bentuk AkarmempelajariBentuk akarBilangan nOperasiSifatKata Kunci1. Pangkat2. Akar3. Sifat4. Operasi5. Merasionalkan6. Akar sekawanBab IV Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar115
Sumber: www.tee-za.netGambar 4.1 Regu gerak jalanDalam suatu lomba gerak jalan,setiap regu terdiri dari 27 orang yangdisusun menjadi 9 baris dan tiap baristerdiri dari 3 orang. Kemudian 9 baristersebut dibagi menjadi 3 bagian dan tiaptiap bagian terdiri dari 3 baris, yaitu bagiandepan, tengah, dan belakang. Masingmasing bagian diberi jarak 1 baris. Halini dilakukan untuk memudahkan dewanjuri dalam mengecek jumlah orang tiapregu. Jika tiap regu terdiri dari 3 bagiandan tiap bagian terdiri dari 3 baris, sertatiap baris terdiri dari 3 orang maka jumlahpeserta dalam regu tersebut tepat 27orang.Untuk menuliskan jumlah tiap regu dalam permasalahandi atas, sebenarnya dapat dilakukan dengan cara yang lebihefektif dan efisien, yaitu dengan cara notasi bilangan berpangkat.Agar lebih memahami bilangan berpangkat dan bentuk akar,pelajarilah bab ini sehingga kalian dapat mengidentifikasi sifatsifat bilangan berpangkat dan bentuk akar, melakukan operasialjabar yang melibatkan bilangan berpangkat dan bentuk akar,serta dapat memecahkan masalah sederhana yang berkaitandengan materi ini.A. Bilangan Berpangkat Bilangan BulatSetiap manusia yang hidup pasti dia akan membutuhkansesuatu atas dirinya seperti makan, bernafas, pakaian, tempattinggal, dan lain-lain. Kebutuhan-kebutuhan manusia sebagianbesar diperoleh tidak dengan cuma-cuma. Diperlukan sebuahusaha untuk mendapatkannya baik mencari, membeli, danusaha-usaha yang lainnya.116Matematika IX SMP/MTs
Untuk membeli sebuah kebutuhan, kadang manusia harusmengeluarkan uang dalam jumlah besar. Misal untuk membelirumah mewah manusia harus mengeluarkan uang sebesar 1milyar rupiah. Jika dalam matematika 1 milyar dapat dituliskandengan 1.000.000.000. Agaknya untuk menuliskan jumlahtersebut terlalu panjang, dapat juga dituliskan dalam bentukbaku yaitu 1 109. Nah, bilangan yang dituliskan sebagai 109inilah yang disebut sebagai bilangan berpangkat. Dalam hal ini10 disebut bilangan pokok, sedangkan 9 disebut bilanganpangkat. Karena pangkatnya bilangan bulat, maka disebutbilangan berpangkat bilangan bulat.1.Bilangan Berpangkat SederhanaDalam kehidupan sehari-hari kita sering menemuiperkalian bilangan-bilangan dengan faktor-faktor yang sama.Misalkan kita temui perkalian bilangan-bilangan sebagai berikut.2 2 23 3 3 3 36 6 6 6 6 6Perkalian bilangan-bilangan dengan faktor-faktor yangsama seperti di atas, disebut sebagai perkalian berulang. Setiapperkalian berulang dapat dituliskan secara ringkas denganmenggunakan notasi bilangan berpangkat. Perkalian bilanganbilangan di atas dapat kita tuliskan dengan:2 2 2 23(dibaca 2 pangkat 3)3 3 3 3 3 356 6 6 6 6 6 6(dibaca 3 pangkat 5)6(dibaca 6 pangkat 6)Bilangan 23, 35, 66 disebut bilangan berpangkat sebenarnyakarena bilangan-bilangan tersebut dapat dinyatakan dalambentuk perkalian berulang.Bab IV Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar117
Bilangan berpangkat an dengan n bilangan bulat positifdidefinisikan sebagai berikut.an a X aXa . X an faktorContoh 4.11.45 4 4 4 4 42.76 7 7 7 7 7 7 73.(–3)4 (–3) (–3) (-3) (–3)Berdasarkan penjelasan di atas, diperoleh sifat-sifat berikutini.Misalkan a, b R dan m, n adalah bilangan bulat positif.1.am an am nam2. bm am–n, m n3.(am)n am n4.(a b)n an bn2.Bilangan Berpangkat NolamPerhatikan kembali rumus m am–n pada pembahasanbsebelumnya. Jika dipilih m n maka diperoleh:amamamam am–n an–n1 a0Jadi, a0 1, dengan a 0.Contoh 4.21181.60 12.(–45)0 1Matematika IX SMP/MTs
3.Bilangan Berpangkat NegatifApa yang terjadi jika m 0?Dari pembahasan di atas jika dipilih m 0, maka:amam am–namao a0–n1an a–n1Jadi, a–n 1 atau an -n , dengan a 0.aanContoh 4.311631.16–3 2.14–3 1 214Latihan 4.11. Tentukan hasil pemangkatan bilangan-bilangan berikut.a. 63c. –42b. (–5)4d. (–3x)52. Nyatakan bilangan-bilangan berikut dengan pangkat negatif.1b.c. 0,000132Tentukan hasil pemangkatan bilangan-bilangan berikut.a. –4–3c. 4–6b. (–3x)–4d. 5y–4a.3.Bab IV Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar119
4.Suatu unsur radioaktif memiliki waktu parowaktu80 tahun. Tentukan(t) yang dibutuhkan agar aktivitasnya (A) 25% dari nilai awalnya (A0).Petunjuk:B. Bilangan Pecahan BerpangkatUntuk menentukan hasil pemangkatan bilangan pecahanberpangkat dapat di gunakan definisi bilangan berpangkat. Jikaa, b B, b 0, n adalah bilangan bulat positif maka:n faktorJadi, .Contoh 4.41201. 2. Matematika IX SMP/MTsXn 12n faktor
dengan a bilangan bulat dan n 0 didefinisikanBilangansebagai berikut.Bilangandisebut bilangan berpangkat tak sebenarnya.Contoh 4.51.2.Latihan 4.21. Tentukan hasil perpangkatan dari bilangan-bilangan berikut.2.3.a.c.b.d.Nyatakan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk akar.a.c.b.d.Nyatakan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk pangkat positif.a.c.b.d.Bab IV Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar121
4.Tentukan hasil perpangkatan bilangan berikut ini.a.5.c.b.d.Nyatakan bentuk perpangkatan berikut menjadi bentuk pangkat positif.a.c.b.d.C. Bentuk AkarDalam matematika kita mengenal berbagai jenis bilangan.Beberapa contoh jenis bilangan diantaranya adalah bilanganrasional dan irrasional. Bilangan rasional adalah bilangan yangmdapat dinyatakan dalam bentuk ,dengan m, n B dann2 6 3n 0. Contoh bilangan rasional seperti: , , , 5, 3 dan3 5 4seterusnya. Sedangkan bilangan irrasional adalah bilanganmriil yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk , dengannm, n B dan n 0. Bilangan-bilangan sepertitermasuk bilangan irrasional, karena hasilakar dari bilangan tersebut bukan merupakan bilangan rasional.122Matematika IX SMP/MTs
Bilangan-bilangan semacam itu disebut bentuk akar. Sehinggadapat disimpulkan bahwa bentuk akar adalah akar-akar darisuatu bilangan riil positif, yang hasilnya merupakan bilanganirrasional.1.Operasi Hitung Bentuk AkarDua bilangan bentuk akar atau lebih dapat dijumlahkan,dikurangkan, maupun dikalikan.a.Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk AkarUntuk memahami cara menjumlahkan dan mengurangkanbilangan-bilangan dalam bentuk akar, perhatikan contoh contoh berikut.1. 2. Dari contoh di atas, maka untuk menjumlahkan danmengurangkan bilangan-bilangan dalam bentuk akar dapatdirumuskan sebagai berikut.Untuk setiap a, b, dan c bilangan rasional positif, berlakuhubungan:danContoh 4.61.2.3.4.Penyelesaian:1. 2. 3. Bab IV Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar123
4. b.Perkalian Bentuk AkarUntuk sembarang bilangan bulat positif a dan b berlakusifat perkalian berikut.Sifat di atas sekaligus dapat digunakan untukmenyederhanakan bentuk akar.Contoh 4.71.2.Penyelesaian:1. 2. 124Matematika IX SMP/MTs
– c.Pemangkatan Bilangan Bentuk AkarBentuk akar juga dapat dipangkatkan. Adapunpemangtkatan bentuk akar akar didapat beberapa sifat.1)Pemangkatan bentuk Jadi, .Bab IV Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar125
Contoh 4.81.2.2)Pemangkatan bentukdengan pangkat negatifBentuk akar dengan pangkat negatif sama halnya denganbilangan berpangkat bilangan negatif. Sehingga:Contoh 4.93)Pemangkatan bentukdanJadi, .Dengan cara yang sama, akan diperoleh:Contoh 4.10126Matematika IX SMP/MTs
4)Pemangkatan bentukdanPada dasarnya penyelesaian dari pemangkatan bentukdanpemangkatan bentuksama dengan penyelesaiandan. Sehingga:Jadi, .Dengan cara yang sama, maka akan diperoleh:Contoh 4.112.Hubungan Bentuk Akar dengan Pangkat PecahanPada pembahasan yang lalu telah disebutkan beberapasifat dari bilangan berpangkat bulat positif. Sifat-sifat tersebutakan digunakan untuk mencari hubungan antara bentuk akarBab IV Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar127
dengan pangkat pecahan. Sifat yang dimaksud adalah .(a )mn a m x nSelain sifat tersebut terdapat sifat lain, yaitu:Jika ap aq maka p q dengan a 0, a 1Hubungan n a denganPerhatikan pembahasan berikut.a.1)Misalkan a ap. Jika kedua ruas dikuadratkan, makadiperoleh:2)Misalkanmaka diperoleh:. Jika kedua ruas dipangkatkan 3,(Karena kedua ruas sama, makapangkatnya juga sama)3)128Misalkan n a a p . Jika kedua ruas dipangkatkan n,maka diperoleh:Matematika IX SMP/MTs
Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa untuk a bilanganreal tidak nol dan n bilangan bulat positif, maka:b.Hubungandengan1Berdasarkan kesimpulan pangkat pecahan a n ,selanjutnya akan diperluas pada pangkat pecahan dalam bentukyang lebih umumberikut. Untuk tujuan itu, perhatikan pembahasan, menggunakan sifat pangkat bulat positifmenggunakan pangkat pecahan, menggunakan sifat pemangkatan bentukDari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa untuk a bilanganreal tidak nol, m bilangan bulat, dan n bilangan asli,n 2, maka: .Bab IV Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar129
Contoh 4.12Ubahlah bentuk akar berikut ke dalam bentuk 4 b.53 3322c.432 2426 23223253d.32536 22 4Latihan 4.31. Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan dari bentuk akar berikut.a.c.b.2.d.Hitunglah perkalian bentuk akar berikut.a.3.b.Tentukan hasil dari bentuk akar berikut.a.c.b.4.d.Tentukan hasil perhitungan dari operasi berikut.a.b.5.130Sederhanakan .Matematika IX SMP/MTs
D. Merasionalkan Bentuk Akar KuadratDalam sebuah bilangan pecahan penyebutnya dapatberupa bentuk akar. Pecahanadalahbeberapa contoh pecahan yang penyebutnya berbentuk akar.Penyebut pecahan seperti itu dapat dirasionalkan. Caramerasionalkan penyebut suatu pecahan tergantung dari bentukpecahan tersebut.1.Merasionalkan BentukUntuk menghitung nilaiada cara yang lebih mudahdaripada harus membagi 6 dengan nilai pendekatan dari 3 ,yaitu dengan merasionalkan penyebut. Cara ini dapat dilakukandengan menggunakan sifat perkalian bentuk akar:Selanjutnya pecahan diubah bentuknyapulasi aljabar.dengan memani-Contoh 4.13Bab IV Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar131
6menjadi 3 6 atau 2 3 disebut33merasionalkan penyebut pecahan. Dari uraian di atas, dapatakita ambil kesimpulan bahwa pecahan 3 (a bilangan rasionalMengubahdan b bentuk akar), bagian penyebut dapat dirasionalkan,bdengan mengalikan pecahan tersebut dengan,sehinggabpecahan tersebut menjadi:Contoh 4.142.Merasionalkan BentukatauUntuk merasionalkan penyebut pecahan yang berbentuk, terlebih dahulu perhatikan perkalian pasanganbilanganrasional dan132Matematika IX SMP/MTsdanbentuk akar.dengan b dan c bilangan
Karena b dan c bilangan rasional, maka hasil kali pasanganbilangan(b c) dan (b - c) juga rasional. Pasangan(b- c) disebut bentuk-bentuk akarsekawan atau dikatakan (b c) sekawan dari(b- c)danbilangan(b c)dansebaliknya.Dengan menggunakan sifat perkalian bentuk-bentuk akaraasekawan maka penyebut bentuk b - c atau b c dapatdirasionalkan dengan memanipulasi aljabar.a.Pecahan BentukUntuk pecahanab cadiubah menjadi:b cBab IV Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar133
b.ab- cPecahan Bentukadisederhanakan menjadi:b- cUntuk pecahanContoh 4.152.333 2 3 23 23 2 3(3 23 23 2 3 1( 3 2 3134Matematika IX SMP/MTs)2)
3.Merasionalkan Bentukab catauab- caPenyebut pecahan yang berbentuk b c dapatdirasionalkan dengan menggunakan manipulasi aljabar yanghampir sama dengan merasionalkan penyebut pecahan yangaberbentuk.b caa. Pecahan Bentuk b cUntuk pecahan pembilang dan penyebut dikalikan .b- cb.Pecahan Bentukab- capembilang dan penyebutb- cab- c .Untuk pecahandikalikan()Bab IV Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar135
Contoh 4.16Latihan 4.4Rasionalkan penyebut bentuk akar berikut.1.a531364.122.73.55- 2Matematika IX SMP/MTs5 3-53- 25 -2 25. 2 2-56.6- 36 3
Rangkuman1.Untuk bilangan bulat a dengan a 0, bilangan cacah m dan m berlakua.e. (a b)n an bnb.am an am nf.c.d.2.a0 1g.(am)n am nh.Operasi hitung bentuk akara.b.c.d.e.f.g.h.i.Bab IV Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar137
Uji KompetensiA. Pilihlah satu jawaban yang paling benar dengan cara memberi tandasilang (X) pada huruf a, b, c, atau d!1.2.3.4.73 artinya . . . .a. 7 3b. 3 3 3 3 3 3 3c.d.3 77 7 7Nilai dari (–6)3 adalah . . . .a. 64b. –12c.d.–216216Nilai dari –54 adalah . . . .a. –625b. 225c.d.325625Bentuk 3–2 bila diubah ke dalam bentuk pangkat bilangan bulat positifadalah . . . .1a. 3c.a32- 142Bentuk (3a)–4 bila diubah ke dalam bentuk pangkat bilangan positif adalah.1a. –81ac. - 2a41b. –3a4d. - 8a4b.5.6.Nilai dari (–7)2 adalah . . . .a. 49b.138–3417Matematika IX SMP/MTsd.c.–49d. –14
7.Hasil daria.adalah . . . .5c.22d. 5b.n8.Bentuk akar dari a m adalah . . . .a.nc. mn am anmb. n a9.d.aBentuk pangkat dari 3 26 2 adalah . . . .1a.b.2626c. 3 26 2231d.2623210. Nilai dari 23 3 adalah . . . .a. 24b. 1611. Hasil dari 82 4–4 adalah . . . .a. 14b. 412. Hasil dari [(3n)–2]3 adalah . . . .c.d.42c.8d.64a.16n–8c.b.64m–8d.Bab IV Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar139
13. .a.1c. 125b.15d. 014. Jika a – b 2, maka nilai dari (b – a)6 adalah . . . .a.164b. 6415. Diketahui ,a.b.c.164d. –64maka nilai x adalah . . . .–13–4c.d.413B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini dengan benar!1401.Hasil dariadalah . . . .2.Bentuk sederhana dari3.Nilai x jika4.Nilai dari5.Bentuk rasional dan sederhana dariMatematika IX SMP/MTsadalah . . . .adalah . . . . .adalah . . . .
pangkat. Karena pangkatnya bilangan bulat, maka disebut bilangan berpangkat bilangan bulat. 1. Bilangan Berpangkat Sederhana Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menemui perkalian bilangan-bilangan dengan faktor-faktor yang sama. Misalkan kita temui perkalian bilangan-bilangan sebagai berikut. 2 2 2 3 3 3 3 3 6 6 6 6 6 6
BILANGAN BERPANGKAT, BENTUK AKAR, DAN LOGARITMA A. Bilangan Berpangkat (Eksponen) Jika a bilangan real dan n bilangan bulat positif, maka an (dibaca “a pangkat n”) didefinisikan sebagai berikut. an dibaca a pangkat n, dengan a merupakan bilangan pokok atau dasar dan n disebut pangkat atau eksponen. 1. Perkalian eksponen
Bilangan Bulat 1. Pemahaman Konsep Bilangan Bulat Bilangan bulat terdiri atas: a) Bilangan asli atau bilangan bulat positif b) Bilangan nol, dan c) Lawan bilangan asli atau bilangan bulat negatif Bilangan bulat dituliskan atau dinotasikan dengan B { , -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, } 2. Menyatakan Bilangan Bulat dari Kehidupan Sehari-hari
1. Tentukan apakah bilangan-bilangan berikut merupakan bilangan prima atau majemuk. a).157 b).221 Jawab: a). Bilangan-bilangan prima yang adalah 2, 3, 5, 7, 11. Karena tidak ada diantara bilangan-bilangan tersebut yang dapat membagi 157 maka157 merupakan bilangan prima.
, r adalah bilangan pokok dan t adalah eksponen dari r. Dari persamaan (2) k n an, a adalah bilangan pokok dan n adalah eksponen dari a. Untuk menyederhanakan penulisan hasil kali bilangan yang sama, kita dapat menggunakan notasi pangkat. Bilangan berpangkat didefinisikan sebagai berikut. Misalkan a bilangan real dan n bilangan bulat positif.
Pada bagian ini, kita akan melakukan operasi hitung bilangan bulat termasuk penggunaan sifat-sifatnya, pembulatan, dan penaksiran. 1. Bilangan Bulat Perhatikan garis bilangan di bawah ini! Di kelas 4, kita telah mempelajari tentang bilangan bulat. Bilangan bulat meliputi bilangan bulat positif, bilangan bulat negatif, dan bilangan 0 (nol .
Pemberian materi Konsep tentang bilangan berpangkat bilangan bulat oleh guru. Menyimak Penjelasan pengantar kegiatan secara garis besar/global tentang materi pelajaran mengenai materi : Konsep tentang bilangan berpangkat bilangan bulat untuk melatih rasa syukur, kesungguhan dan kedisiplinan, ketelitian, mencari informasi. Problem statemen
Bilangan riil termasuk semua bilangan rasional, seperti bilangan bulat 5 dan pecahan 4/3, dan semua Bilangan irasional, seperti 2 (1,41421356., akar kuadrat dari 2, bilangan aljabar irasional). Termasuk dalam irasional adalah bilangan Transendental, seperti π (3,14159265.), bilangan natural atau euler
on the work of its forty-seventh session, which was held in New York, from 7-18 July 2014, and the action thereon by the United Nations Conference on Trade and Development (UNCTAD) and by the General Assembly. In part two, most of the documents considered at the forty-seventh session of the Commission are reproduced. These documents include .
