Fonctions Complexes Dans Le Plan Et Dans L'espace

3y ago
24 Views
2 Downloads
4.73 MB
98 Pages
Last View : 2m ago
Last Download : 2m ago
Upload by : Julia Hutchens
Transcription

T HÈSES DE L’ ENTRE - DEUX - GUERRESM IRON N ICOLESCOFonctions complexes dans le plan et dans l’espaceThèses de l’entre-deux-guerres, 1928 http://www.numdam.org/item?id THESE 1928 83 1 0 L’accès aux archives de la série « Thèses de l’entre-deux-guerres » implique l’accord avec lesconditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.Thèse numérisée dans le cadre du programmeNumérisation de documents anciens mathématiqueshttp://www.numdam.org/

1987 THESESPRESENTEESA LA FACULTE DES SCIENCES DE PARISPOUR OBTENIRLE GRADE DE DOCTEUR ES SCIENCES MATHEMATIQUESPARFLfVEM . MIRON I M C O L E S C ODE L ' E C O L L OHAIALESUPERIEURF.l i e THESE.— FONCTIONS COMPLEXES DANS LR PLAN ET DANS L'ESPACE.2*— PROPOSITIONS DONNEES PAH LA FACULTE.THESE.Soutenues le1928 devant la Commission d'Examen,MM. PAUL MONTELHENRI VILLATTnrjAwJEAN CHAZYPresident.I ] Exammateurs.(IIIWI tHX tn PARISGAUTHIER-VILLARS ET C e , EDITEURSLIBRAIRES DU BUREAU DES LONGITUDES, DE L'ECOLE POLYTECHNIQUEQuai des Grands-Augustins, 551928

FACULTY DES SCIENCES DE I/UNIVERSITE DK PARIS.MMG M\URAIN, Piofcsseur, Ph ique du GlobeP APPELL, M. MOLLKRDP PUISEUX, V BOUSSINESQ A JOAMNIb, El LF CHAfELIER,H LEBESGUE, A FERNBACH, A LEDUC.EMILE P1CARDAnalyse supeneuie ot Algebie supe ieureICCENIGSMe'camque physique et experimentalGOURSAiCalcul differential et Calcul integralJANE! . . .Electrotechmque ge'ne'raleWALLER AN iMin ialogieANDOYEH.AstronomiePAINLEVEMe'camque analytique et Me'canique celesteGABRIEL BERTRANDChimie biologiqueMm* P GURUPhysique ge'ne'rale et ladioactivite'GAULLER Zoologie ( Fxolution des tres organises)Gr URBAINChimiemin ialeEMILE BORLLCalcul des piobabilitds et Ph)sique math raMARGHIbAviationJEAN PERRINChimie physiqueREMY PERRIER/oologie (Enseignement P C N )ABRAHAMPhysiqueM MOLLtARDPhysiologie egetaleCART ANGeometne supeneuieLAPIGQUEPhysiologie g neialeVESSIOTfheorie des fonctions et throne des transfoi/COITOVPhjsique g6n4rale[mations]DRAGHApplication de 1 Analyse a la GeometricG FABRYPhysiqueCHARLES PLRTZZoologieLFON BER1RANDGeologie apphqu e et Geologic re*gionaleLrSPfE AUT o es chumquesRABAUDBiologie exp nmentalePORTIERPhysiologie eompareeE BLAISTChimie or amqueDANGEARDBotamqnePAUL MO\TFLMecanique lationnelleAA INTREBER1Anatomie et Histologie eompaieesDUBOSCQBiologie maritimeG JULIAMathematiques gdneralesA JOB .(hunie gene*raleA. MAILU16tude des combustiblesL LU1AUOGeographie physiqueEUGENF BLOCHPhjsique the'ouque et physique celesteHENRI VILLATMecanique des fluides et applicationsCH JACOB .Ge*ologieN. .Chimie appUquee/oologieDARMOISPhysiqiu1Chimie (Enseig P C \ ]BRLHATPhysiqueChimie anal tiqueMOUTONChimie physiqueChimie mmeialeJOLEAUDPaleontologiePhysiqueJAVILLIERChimie biologiqueMineralogieDLTOURPhysique (P C J . )BotamquePICARDZoologie (E lution des etiesPetrographieorgamsds)bcologieROBERT-LEV 7oologiePhysique du globeDl OYEROptique apphqueeCaicul diffcrentiel et inttgialGUILLIERMOND Botamque (P C Is )Physique (P C N )DEBIERNERadioactivUeSecretaireD TOMBI CivDoyanDoyens honorairesProfesseurs UILLE1 AUGUI\BLARINGHEMMICHhL LEV\DEREIMSDONGIEBDENJO\BENARD83400-28— Pans, Imp Gauthier-ViUars et C»*, 55, quai des Giands Augustine

AMONSIEUR PAULMONTELPROFESSEUR A LA SORBONNEHommage de rcspectueuse admiration.

AMONSIEUR GEORGESVICE-PRESIDENTDE L'ACADEMIETZITZEICAROUMAlNEPROFESSEUR A L'UNIVERSIIE DE BUCARESTRespectueux hommago de son ancien eleve.

AGEORGES ET ALEXANDRENICOLESCOb raternellem ent.

PREMIÈRE THÈSEFONCTIONS COMPLEXESDANS LE PLAN ET DANS L'ESPACEINTRODUCTION.Le présent travail est divisé en deux Parties, d'inégales étendues.Je considère, dans la première Partie, des fonctionsf u-{-iu9d'une variable complexe z — x-\- iy, dont les parties réelle et imaginaire ne satisfont pas au système de Cauchy. La dérivation, pour cesfonctions, n'a pas de sens, tant qu'on n'associe pas à chaque point duplan une direction m. Je donne quelques formules générales concernant les dérivées d'ordre supérieur au premier ; ces formules conduisentà des propositions qui généralisent les propriétés classiques des fonctions monogènes. Je donne, incidemment, un exemple de fonction discontinue sur une infinité de lignes du plan qui satisfait à l'équation deLaplace AU —o, aux dérivées secondes généralisées. Enfin, j'étudieplus particulièrement une classe de fonctions non analytiques, caractérisées par une équation du type Monge-Ampère, dont je passe enrevue les propriétés.J'essaie, dans la seconde Partie, d'étendre à l'espace à quatre dimensions la notion de fonctions harmoniques conjuguées dans le plan. Laconclusion à laquelle j'arrive est que cette tentative est vaine, tant qu onn abandonne pas soit la notion de dérivée ordinaire, soit celle de fonctions de point. Je me place, successivement, aux deux points de vue.Je garde d'abord la dérivée ordinaire et j'introduis la notion de

— 2 —bipoint, due à M. Cosserat. Je définis le bipoint opposé à un bipointdonné, et les fonctions de bipoint coujuguées. Cette définition me conduit aux fonctions analytiques de deux variables. J'étudie ensuite certaines transformations biponctuelies, qui généralisent la transformation conforme.En second lieu, je garde les fonctions de point, mais je laisse indéterminée la notion de dérivée, tout en lui attribuant, pour les calculs,quelques propriétés fonctionnelles simples, vérifiées par la dérivéeordinaire. Je définis la dérivée d'une fonction suivant une directionplane caractéristique de Fespace à quatre dimensions, ce qui mepermet de donner la définition de deux fonctions conjuguées. Jnapplique ces notions à une dérivée définie, il y a quinze ans, parM. Pompéiu, la déii\ée aréolaire. L'étude des fonctions aréolairementconjuguées met en évidence la liaison qui existe entre ces fonctions etles fonctions harmoniques à quatre variables.Une partie des résultats contenus dans ce travail a été communiquéeà F \cadémie des Sciences ( ' VAI. Montel fut pour moi le Maître véritable qui, dès le début, s'estintéressé vivement à mes recherches et qui m'a donné par la suite debons conseils et des suggestions; nombre de pages de ce travail s'enressentent heureusement. Qu'il me soit permis de lui exprimer ici mavive gratitude, ainsi que toute mon admiration.PREMIÈRE PARTIE.I. — Formules générales.I. Soient u (j?, y) et v (,r, y) deux fonctions réelles des variablesréelles x et y.(*) Comptes fendusde VAcadémiedes Sciences,t, IS Î, i9 7, p. 4 *

— 3—Nous poseronsavec Ç cc-\-iy. Si Ton donne à un accroissement Ax-\- iAy et queTon forme le rapport, à cet accroissement, de la variation correspondante de J [s] ? on trouve quela limite de ce rapport dépend en généralde la limite m du quotient-r - Appelons dérivée de ƒ [ ] suivant ladirection m, et désignons par -p- la limite de ce rapport ; nous écrirons, .dfdmdudxùvdxf duV coi - - //?zdp"YEn séparant le réel et Pimaginaire, nous obtenonsavec. , „.,du( dudy\dyi -vd((dx(3)dp\dpr)pdxdx jdyzn(( dv\(?7'ùu\,du /dyNous pouvons considérer -p- comme une fonction de la combinaison a? iy? dont nous nous proposons de calculer la dérivéesuivant une direction m!\ différente ou non de m, dérivée que nousdésignerons par la notation - —y—rNous n'avons qu'à appliquer la formule (2), ce qui donned-fdm dm'dxdx\ dy1 -4- un'dy

Or, d'après (3),f dtud-u.Ou,.IJJj2d-vƒ\ dx dydxm- dx dy1dx2ï - - /?i*(Pudx )yi -h m-dx dy ày(3-'tdx\dx2m\ dx dydx-m)dx dj2i - - m üx üy iyj\l\dy-dx d\ )fyi2 .dj -i H- m-On en déduit aisémentdx-v4 dm dm! { m -h //?dx d (H- im) (i - - iml)Des remarques intéressantes peuvent être faites en partant de cetteformule.C2. La formule (4) est symétrique en m et en m!. On a doncSupposons que Ton dérive successivement, par rapport à des directions quelconques, m 1; m2? . . ., mp. Nous pouvons énoncer cette proposition :L ]ordre des dérivations successives, par rapport à des directions quelconques déterminées, n'influe pas sur le résultat.La démonstration se fait, en s'appuyant sur la formule (S), absolument de la même manière que la démonstration du théorème analogueclassique de l'Analyse.Mais nous lirons le résultat ci-dessus sur une formule généralisant

— 5—la formule (4). Je dis que Ton a en général(6)dmx à/n2 . . . àm/fdt'f()! fEn eftet, cette formule est vraie p o u r p I , J O 2. Supposons-lavraie pour jo, nous allons démontrer qu'elle est vraie pour p - f - i .Donnons à cet effet à un accroissement À zAy et calculons lesaccroissements des diverses fonctions du second membre de la relation (6). Nous aurons, à des infiniment petits d'ordre supérieur près,di fdxi .Vdt'fôx xj JiL J A-k'TdxP ôv 1Jclr/ l/ ddr xdi'Jôt f(Iw dyx—JI***%à" dx hi Multiplions respectivement par l-) ÀmnJâyp * m / m / o ?etajoutons,Nous obtenons(1 )mï a m 2 . . . )inf, ] fm,— J—\- — ym g t . -f. - — mut,./? „ A ) .En divisant les deux membres par A et en passant à la limite, avecAjàx'

-6-nous obtenons la formule (G), dans laquelle/? est remplacé par p - - i.Notre affirmation est ainsi justifiée.La formule (6) peut s'écrire, sous forme condensée,ô?nlle symbole (II) signifiant que les multiplications correspondantes sefont d'après les règles suivantes :dxàx J\ à)/ÔOLP à) vSur les formules (6) ou (6'), la propriété énoncée au début de ceparagraphe est évidente.3. Donnons une démonstration directe de la formule (5),D'abord? puisque Ton adj Oudmdmùvdmil suffit de montrer que pour une fonction réelle R(a?, y)y on aà m dm'dm' dmSoient respectivement An et ç le module et l'argument de AÇ. On aAÇ An 'donc? en passant à la limite, a\ec limç 4 , ''fhn an

-7 —(-r- est ce qu'on appelle la dérivée de la fonction R(a?, y) dans la direc-tion n an plan réel xOy.Si m!(nf, ï ') est une autre direction issue du point , on aura, euappliquant la formule (-7 ) à la fonction -—pànTf e L dK! 'Comme on aan an' dn! an 'la formule (5) se trouve démontrée.En partant de cette formule, il est facile de démontrer, par un raisonnement bien connu, l'interchangeabilité des dérivations pour unedérivée d'ordre quelconque.4. Les formules ci-dessus ont été établies en supposant qu'aucunedes directions m m2, . . ., mp ne dépende du point (x, y). Dans le cascontraire, la formule donnant la dérivée serait beaucoup plus compliquée. Peut-il y avoir des directions privilégiées, pour lesquelles laloi de dérivation donnée par la formule (6) se conserve?Voici un résultat pour le cas de la dérivée seconde.Soit m(x, y) une fonction réelle du point (x, y). Posons2L f.La direction mF telle que la dérivée f de ƒ,, suivant mf, conseive laforme (4), est tangente à la courbepassant par le point considéré.En effet, fA est donnée par la foi mule (2), où rn est une fonctionde ce et de y. Par dérivation suivant m\ on aura une partie de laforme (4), obtenue en considérant m comme constant et une partieobtenue en prenant la différentielle du second membre de la formule 2) par rapport à m et en la divisant par dx- -idy. Si Ton }

—8 remplace dm par sa valeur et que l'on posedxon obtient la formule1- mm1- -z -h- ( m H- m ) -r— (dmv dxt-h(j un) (i un'). dm \ [ duds( àt dy J \ d y d%—(i (m)2 ( t -f- im1)t. 1 . 'iiiidu 'Or la fonction ƒ n'est pas analytique. Donc, pour que f2 ait laforme (4), il faut et il suffit que l'on aitdm, dmdx )}ce qui justifie notre affirmation.Supposons, en particulier, que l'on dérhe toujours suivant lamême direction m. La condition ci-dessus s'écrit alorsdmv*dzdmm dT Je dis que cette condition est suffisante pour que toute dérivéedmpsoit donnée par la formule générale ( 6 ) .En effet, la proposition est vraie pour y? i,p 2. Supposons-la\raie pourjo ky nous allons montrer qu'elle est vraie pour p k r.Par hypothèse, nous avonsdmk(i H- im)kLa dérivée d'onde k 1 comprendra deux termes. Le premier

— 9—s'obtiendra en regardant m constant, ce sera donc'àfdxdfdyLe second s'obtiendra en prenant la différentielle par rapport à m eten divisant par dœ-\- idy. Il sera de la formeA dmA(dm-— —dx H- i dy—i -h im \ dxdm\\- ni -r— ?dy Jet par conséquent, en vertu de (8), il sera nul. Il reste doncce qui justifie notre affirmation.5. Supposons que les fonctions u x y) et v(x,y) n'aient pas partout de dérivées premières. La question de savoir si la fonction ƒ( ) estanalytique ne se pose plus. Mais supposons que les fonctions U(JC7 y) etv(&,y) admettent des dérivées secondes généralisées. Si l'on remarqueque l'expression (4) ne contient au second membre que de dérivéessecondes, on en conclut la possibilité de former l'expressionà1 fdm dm1directement, sans que - - et — existent nécessairement. Dans le casoù ces dérivées premières n'existent pas, nous appellerons le premiermembre de (4 ) dérivée seconde généralisée, suivant les directions m et m*.Cherchons alors les conditions pour que - —J—7 ne dépende ni de m,ni de mf. On devra avoir * ƒ fi fdx dydyzou, en développant,d2 u1 SE NICOLESCO. d2v . d* ud- vd2 ud2 v

— 10 —On obtient par conséquent le système(Il1dv'ÙX1ÔY'ùx-ùx ùy(9)ùx1ùx ù : O.Dans le cas où u et r admettent partout des dérrvées des deux pivmiers ordres, l'intégration de ce système est immédiate. En effet, lesdeux dernières équations (n) donnentùtrùxùudvùyùvÙYÙOOc et c' étant des constants arbitraires. Ce système, où Ton prend commeinconnue soit u, soit \\ est complètement intégrable, en vertu desdeux premières équations ( n ) . On trouveraf[Z \ fonction analytique de Ç ex -f 'y -\- c".Donc,1 si -7—7—,est indépendantde m et ni\7 il en est de même desldm dmdérivées d'ordre 2.Ceci généralise la propriété des fonctions analytiques : Une fonctionmono gène a une dérivée mono gène.Ce résultat est général. Supposons queùni\ )m2 . . . ùm/tsoit i n d é p e n d a n t de ?// t , m . , . , m /y ; alors

-11-est analytique en , doncest analytique en 'C,. Soit YÇQ une fonction analytique de , telle queF«" ( ) ? ( ; ) ; la différencevenue r équationdm v âm2 . . . dmf)Faisons dans la formule (6), duparagrapbe2,mi / 2 . . A/ O,puis mK nu . . . m p oo (en supposant écrit au lieu de ƒ ) etc,On trouvera que g est un polynôme en x et j , de degré7?. Doncƒ [Ç] fonction analytique de t h polynôme de degré pet les dérivées d'ordre p sont indépendantes des directions.l). La dérivéedm dm 'peut encore être indépendante de m et ni loi sque les fonctions u et i*n'ont pas partout des dérivées pai tielles du premier ordre à conditionqu'elles admettent des dérivées partielles secondes généralisées. Maisalors, en regardant les équations (i i), on pourrait se demander si cettedistinction n'est pas illusoire, c'est-à-dire, si le fait pour u et r devérifier Téquation de Laplace n'entraîne pas comme conséquencel'existence jt 7/*/o/ des dérivées du premier ordre.On peut répondre par la négative. Voici en effet un exemple simple.Soit d'abordune fonction de la variable réHle /5 Héfinio de la manière suivante :i Aux points t 7i (H entier), on a

— 12 -2 En tout autre point, {t) est égale à la différence entre tel l'entierle plus voisin.On appelle cette fonction l'excès de t. Elle est bornée, et continuesauf au point t n - Dans tout intervalle ouvert(II)n—L t n-h ,on a;ZZZ I ,dt' zZZ Ö.dt-II n'y a pas lieu de parler d'une dérivée seconde aux extrémités deces intervalles. Mais définissons directement la dérivée seconde aupoint t comme la limite du quotientAux extrémités des intervalles (i i), le numérateur de cette expressionest nul identiquement. Nous sommes donc conduits à poserd2 dt1 o.Nous eu concluons que (t) admet partout une dérivée secondegénéralisée, qui est égale à zéro.Considérons maintenant un carrelage (R) de plan ocOy, obtenuau moyen des droitesx m (y nH( m , / i o , i , 2 ,.).La fonctionest, d'après ce que nous venons de dire, bornée et discontinue sur leslignes du réseau (R).On a en outre(T- oà1 o

— 13 même aux points de discontinuité. L'expression {œ -h A, y 4- k) — o(cc - - h, y) — p(a?, j est nulle identiquement en tout point du plan. On a donc aussidx âjSi, maintenant, H(cc} y) est une fonction harmonique, continue surles lignes (R), la fonctionn'est pas harmonique sur les lignes du réseau (R). tëllc y satisfaittoutefois à l'équation aux dérivées secondes généralisées :à2 à1 hII. — Classes particulières de fonctions non analytiques.7. Nous allons continuer dans cette Section l'application des formules trouvées au début de la Section précédente.Donnons tout d'abord une définition. Considérons une fonctioncomplexe quelconque f u iv et supposons que cette fonction contienne, outre les variables x et y, un paramètre arbitraire,, réel z. Lesystème de Cauchydudxdudpdydv'H —- z odjdxn'est pas satisfait en général. Mais les équations écrites définissent,dans l'espace (a?, y, z), un domaine et Ton peut dire que le systèmede Cauchy est satisfait sur le domaine ainsi défini, ou encore, que lafonction ƒ est analytique dans ce domaine.Ce domaine est en général une ligne. Il peut être une surface, quandles deux équations ne sont pas distinctes, ou bien quand Tune d'elles se

réduit à une identité. Enfin, il se peut qu'il n'existe pas quand lesystème précédent n'admet pas de solutions réelles en x, y, c.Le second cas est évidemment le plus intéressant.8. Les définitions ci-dessus posées, donnons-nous une fonctioncomplexe z/(«r, y) û'(a;3 y), sans paramètre. L'opération de dérivation en introduit tout naturellement un : c'est la direction m. Dès lors,nous pouvons nous poser le problème de la recherche du domained analyticilé de la fonction - - dans l'espace {J\ y, r). [Nous écrirons,dans ce paragraphe, r au lieu de m. \ Ce domaine sera défini par leséquationsd/t,ds ,dt(h rau,àî ,ày à7 ooù //, et c, sont données par les formules (3) [Section 1, § i ] . Si Toneffectue les calculs, en posantanà iàffas (h '4-(hon trouve le système(h -u. ÛS \do(hai * à)\ " ûr !Z (hàôào(h \ h 7xrh àt iPosons la condition pour qno les deux équations admettent unesolution commune réelle en r. L'éliminant du système précédent étant/ dr ào à-z ào \ i / k\à* àyd di I \ Ordo Và) J/ (h\ aion doit avoir(hàddudodià\d}dtdo \ 'à? I

— 15 —ou bien1Jdx âjày ai 'La première solution est à rejeter, car elle donne pour les équationsconsidérées deux racines communes i. Il reste donc la condition (12).Les fonctions ƒ, satisfaisant à cette condition, jouissent d'une propriététrès simple :Le domaine d'analyticilé de la f onction - ne comprend plus, à partune surface qu'on ne peut distinguer analytiquement, ni lignes ni pointsisolés.En effet, la condition (12) étant remplie, la surface T1 o sedécompose aisément dans les deuv suivantes :dyà)De même, la surface 0, o se décomposera en deux :ELdy()3On voit donc bien :i Que les deux portions (V,) et (o\) coïncident, en vertu de (i4)Elles formeront la surface d'analyticité de - -*20 Que les deux autres portions (V ) et (0*) n'ont plus de pointsréels communs.

— 16 —En effet, pour un même couple de valeurs de x et de y, on aet l'hypothèse d'une intersection réelle des deux portions équivaudrait à l'hypothèse de l'existence d'une solution réelle pour l'équation i -h 2 o.9. La condition (12) développée donne une équation de MongeAmpère, soit en w, soit en r, que nous allons étudier ici de plus près.Désignons par r, s, t les dérivées secondes de w(a?, y)\ par r15 s[y tKcelles de c ( r , j ) . L'équation (2) s'écrira sous la forme( 13 )— s2 s1 r - h ( fA — /*! ).ç — .?! f - h r , f, — A fo.Nous allons passer rapidement en revue les propriétés de cette équation.Supposons V(GC) y) donnée. Pour trouver les équations différentiellescaractéristiques, nous emploierons la méthode classique. En considérant r, s, t comme les coordonnées d'un point de Tespace, l'équation (i5) représente une quadrique réglée, dont les doux systèmes degénératric

a la faculte des sciences de paris pour obtenir le grade de docteur es sciences mathematiques par m. miron imcolesco flfve de l'ecoll ohaiale superieurf. lie these. fonctions complexes dans lr plan et dans l'espace. 2* these. propositions donnees pah la faculte. soutenues le 1928 devant la commission d'examen, mm. paul montel president. henri .

Related Documents:

Complexes are the combinatorial building blocks used in TDA. The two types of complexes we'll focus on are simplicial complexes and cubical complexes. Simplicial complexes are easier to \construct" with, and more common in algebraic topology. Cubical complexes are better adapted to image/pixelated/voxel data. 3/89

4.2. ons L 18 5. La thèse de Tate : la correspondance de Langlands pour GL(1) 22 5.1. Fonctions Ldes caractères de Hecke et fonctions ζ attachéesauxfonctionslisses 25 5.2. FonctionsLdeHeckeetd’Artin 29 6. Lesformesmodulaires 30 6.1.

3. Comparaison des transformées de Fourier dans L1 et L2 228 4. Dérivation 229 V. Fonctions holomorphes 231 V.l. Fonctions holomorphes et fonctions analytiques complexes 231 1. Séries entières 231 2. Rayon de convergence d'une série entière 233 3. Premières propriétés des fo

Armand Soldera Automne 2006 (Armand.Soldera@USherbrooke.ca) 4 PLAN DE LA MATIÈRE Plan de Cours Chapitre Contenu page Présentation Générale 6 1 Nombres, Variables et Algèbre 14 2 Fonctions algébriques 19 3 Fonctions transcendantes 26 4 Différentielles 36 5 Intégration 46 6 Méthodes d'intégration 60 7 Séquences et séries 66 8 Nombres complexes 78 9 Fonctions de plusieurs variables 86

L'exercice des fonctions de juré dans le Maine : vos droits et vos responsabilités JUGE EN CHEF SAUFLEY: Bienvenue à l'exercice des fonctions de juré des tribunaux de l'État du Maine. Au nom des personnes de l'État du Maine, je tiens à vous remercier de votre temps et de votre volonté

Synthesis, characterization and biological activities of cis-trans complexes [M(phen)(caf) 2 X 2 . and thermal decomposition of new synthesized complexes. The powder-diffraction data for complexes show that these complexes are crystallized in a monoclinic system. The FT-IR, UV-Visible, EPR, spectroscopic data

N-Heterocyclic carbene complexes for medical applications Antimicrobial agents Silver(I) NHC complexes offer promising solutions to overcome the problems displayed by conventional silver antibiotics such as fast loss of activity or sulfonamide resistance of pathogens. These complexes are readily available from imidazolium salts and Ag 2O, Ag 2CO

Artificial Intelligence of December 2018 [5] and in the EU communication on Artificial Intelligence for Europe [6], including billions of Euros allocated in the Digital Europe Programme _ [7]. This is due to potential economic gains (e.g. see OECD reports on AI investments [8] and on AI patents [9]), as well as economic risks (such as the issue of liability – Liability for Artificial .