Probabilidade E Estatística

Probabilidade e EstatísticaCorrelação e Regressão Linear

CorrelaçãoExiste uma correlação entre duasvariáveis quando uma delas está, dealguma forma, relacionada com aoutra.Gráfico ou Diagrama de Dispersão é ométodo gráfico feito sobre doiseixos, ‘x’ e ‘y’, que representa acorreção entre as variáveis.

Diagramas de DispersãoUm diagrama de dispersão mostra a relaçãoentre duas variáveis quantitativas, medidassobre os mesmos indivíduos.Os valores de uma variável aparecem noeixo horizontal, e os da outra, no eixovertical.Cada indivíduo aparece como o ponto dográfico definido pelos valores de ambas asvariáveis para aquele indivíduo

VariáveisVariável: características ou itens deinteresse de cada elemento de umapopulação ou amostraTambém chamada parâmetro, posicionamento,condição.Duas variáveis estão relacionadas se amudança de uma provoca a mudança naoutra.Exemplo: velocidade x consumo combustívelO eixo x geralmente é um parâmetro.

ExemplosFabricaçãoNúmero de peças produzidas e número de peças defeituosasConstruçãoNúmero de falhas em uma obra e a satisfação média dosprodutivosDias de atraso de entrega x número de dias chuvososFinanceiroMédia de tempo de atraso de pagamento e número de erros defaturaVendas% de imóveis vendidos na data de entrega da obra x satisfaçãomédia dos clientes nos últimos 10 empreendimentos.

Exemplo - Peso x 0851,78931,86651,70601,65Peso x 090100

Exemplo – Peso x 931,86---651,70---60---1,65HomensPeso x Altura (por sexo)Mulheres1109070503010PesosAlturaPeso (kg) homens(m)1,51,61,71,8Alturas1,92

DicasEixo x Variável que é alterada por uma modificação noprocesso (variável independente)Geralmente uma possível causa de um problemaEixo y Variável que pode mudar de acordo com amudança da variável em x (variáveldependente)Geralmente um indicador de qualidade ou efeitogerado por uma causa.

Analisando Diagramas deDispersãoOs aspectos abaixo são relevantes naanálise dos Diagramas:DIREÇÃOFORMA (linear, não-linear, aglomerados)PONTOS DISCREPANTES

InterpretandoPadrões de DispersãoQuanto maior a correlação, mais próxima deuma reta a 45o ou 135o será a distribuição.

InterpretandoGrau de Relacionamento

Problemas da Análise GráficaA análise gráfica da relação entrevariáveis é importante, mas os olhosnem sempre são um bom juiz daintensidade de uma relação linear.Os diagramas a seguir ilustramprecisamente os mesmos dados, mas ográfico inferior é menor em um campomais amplo.

Problemas da Análise GráficaNossos olhos podem ser enganadospor uma mudança de escalas, ou pelaquantidade de espaço em branco emtorno do aglomerado dos pontos.Deve-se, então, utilizar uma medidanumérica para suplementar o gráfico.Coeficiente de Correlação Linear (r)

Coeficiente de Correlação Linearr Æ mede o grau de relacionamento linearentre valores emparelhados x e y em umaamostra.Mede a intensidade e a direção da relaçãolinear entre duas variáveis quantitativasChamado também de Coeficiente deCorrelação de Pearson (Karl Pearson, 18571936).

Coeficiente de Correção Linearou Coeficiente de PearsonnS xx ( xi x ) 2i 1nS yy ( yi y ) 2i 1nS xy ( xi x )( yi y )i 1r SxyS xx . S yyS xx n( xi2 ) ( xi ) 2S yy n( y ) ( yi )2i2S xy n xi . yi ( xi )( yi )-1 r 1

Coeficiente de Correção Linearou Coeficiente de Pearsonr n ( xi yi ) ( xi )( yi )n x ( xi ) n y ( yi ) 1 r 12i22i2

Interpretando oCoeficiente de Correlação Linear‘r’ sempre será um valor entre-1 r 1¾ Quanto mais próximo de –1: maior correlaçãonegativa¾ Quanto mais próximo de 1: maior correlaçãopositiva¾ Quanto mais próximo de 0: menor a correlaçãolinear

Interpretação do Valor de rvalor de �o 1correlaçãopositivaforte

Propriedades do Coeficiente deCorrelação de Pearson-1 r 1O valor de r não varia se todos os valoresde qualquer uma das variáveis sãoconvertidos para uma escala diferente.O valor de r não é afetado pela escolha dex ou y. Permutando x e y, r permaneceinalterado.r só mede a intensidade ou grau derelacionamentos lineares. Não serve paramedir intensidade de relacionamentos nãolineares.

Ex.: Alturas e Pesos de UrsosSiberianosC om pr i m ent o ( pol .) Peso ( l 0341.258Tot ai .644129.600110.2241.1562.176 151.879 34.525,75728.520

Ex.: Alturas e Pesos de UrsosSiberianosr r n ( xi yi ) ( xi )( yi )n x ( xi ) n y ( yi )2i22i2 8(151.879) (516,5)(2.176)8(34.525,75) (516,5) 2 8(728.520) (2.176) 291.128 0,8979433,75 1.093.184

Reta de Regressão LinearDiferentes retas podem ser traçadas, aolho nu, e um diagrama de dispersãoCada pessoa terá uma tendência diferenteNenhuma reta passará exatamente portodos os pontos (se a correlação não formáxima)Precisamos encontrar uma reta que estejatão próxima dos pontos quanto possívelOs erros de predição para a reta são errosem y (direção vertical)

Reta de Regressão LinearSe um diagrama de dispersão sugere umarelação linear, é de interesse representareste padrão através de uma retaUsa-se o método dos mínimos quadradospara ajustar uma reta de regressão aoconjunto de pontos do diagramaA reta de regressão descreve como umavariável resposta (dependente) y varia emrelação a uma variável explanatória(independente) x

VariáveisVariável resposta (y) (dependente)Mede um resultado em um estudoVariável explanatória (x) (independente)Procura explicar os resultados observadosVariável independente (x)Variável dependente (y)Temperatura do forno (oC)Resistência mecânica da cerâmica(MPa)Quantidade de aditivo (%)Octanagem da gasolinaRenda (R )Consumo (R )Memória RAM (GB)Tempo de resposta do sistema (s)

DefiniçãoDada uma coleção de dados amostraisemparelhados, a seguinte equação deregressão descreve a relação entre as duasvariáveisyˆ a bxO gráfico da equação é chamado reta deregressão (ou reta de melhor ajuste, oureta de mínimos quadrados)

Definiçãoyˆ a bxb n( xi yi ) ( xi )( yi )()n x ( xi )2i2(y )( x ) ( x )( x y ) a n( x ) ( x )y b x a 2iii2iiini2iib: coeficienteangulara: ponto onde areta interceptaeixo y

ExemploConsidere um experimento em que seanalisa a octanagem da gasolina (Y) emfunção da adição de um aditivo (X).Para isto, foram realizados ensaioscom os percentuais de 1, 2, 3, 4, 5 e6% de aditivo. Os resultados seguem.

X123456Y80,581,682,183,783,985,0Índice de ,581,080,580,0012345Quantidade de Aditivo (%)67

ExemploCalculando a equação de regressão.xiSoma123456212yixixiyi80,5180,581,64 163,282,19 246,383,716 334,883,925 419,585,036 510,0496,891 1.754,36(1754,3) (21)(496,8) 93b 0,88626(91) (21)105496,8 (0,886)(21)a 79,76 yˆ 79,7 0,886 x

ExemploÍndice de Octanagemyˆ 79,7 0,886 12345Quantidade de Aditivo (%)67

Número de falhas em uma obra e a satisfação média dos produtivos Dias de atraso de entrega x número de dias chuvosos Financeiro Média de tempo de atraso de pagamento e número de erros de fatura . ge m XY 1 80,5 2 81,6 3 82,1 4 83,7 5 83,9 6 85,0. Exemplo x i y i x i 2 x i y i 1 80,5 1 80,5 2 81,6 4 163,2 3 82,1 9 246,3 4 83,7 16 334,8 .