Traitement Numérique Du Signal Polycopié De Cours
Traitement Numérique du SignalPolycopié de coursNathalie ThomasPremière année Département Sciences du Numérique2018 2019
Chapitre 1Introduction1.1 Numérisation du signal : échantillonnage et quanti cation1.1.1 EchantillonnageSoit x(t) le signal déterministe de départ, Te la période d'échantillonnageet {x(kTe )} , k Z, le signal x(t) échantillonné de manière périodique. Onpeut associer à {x(kTe )} , k Z, le modèle à temps continu suivant :xe (t) x(t)oùTeTe (t),représente le peigne de Dirac de largeur Te . Si X(f ) est la Trans-formée de Fourier de x(t) alors :{x(kTe )}k Z TF Fe où Fe 1TeXX(f nFe )(1.1)nreprésente la fréquence d'échantillonnage. La transformée deFourier du signal x(t) est donc périodisée par l'opération d'échantillonnage.A n de conserver la même information dans le signal échantillonné et dansle signal à temps continu, Fe doit être choisie de manière à respecter lacondition de Shannon :Fe 2Fmax ,si Fmax représente la fréquence maximale de X(f ).1(1.2)
1.1.2 Quanti cationUn signal quanti é est un signal dont les amplitudes ne pourront prendrequ'un nombre ni de valeurs. Le nombre de valeurs possibles pour l'amplitude du signal après quanti cation va être donné par le nombre de bits dequanti cation utilisés : avec nb bits on pourra coder 2nb niveaux sur la dynamique D du signal. Une quanti cation correctement e ectuée (pas d'écrétage,pas de quanti cation q D2nbsu sament n) est équivalente à l'ajout d'unbruit, nQ (t), sur le signal non quanti é de départ x(t) pour donner le signalquanti é :xQ (t) x(t) nQ (t),(1.3) Ce bruit suit une loi uniforme sur 2q , 2q et le rapport signal à bruit dequanti cation s'écrit : SN RQ (dB) 10 log10oùPnQ E n2Q Zn2Q pnQ dnQZ RPxPnQq2 2q q21n2Q dnQ q12ce qui conduit àSN RQ (dB) 6 nb constante,où la constante dépend du signal considéré.L'opération de quanti cation est une opération non linéaire irréversible. Cependant, si elle est e ectuée dans de bonnes conditions (pas d'écrétage dusignal), elle est, à l'heure actuelle, transparente, du fait du nombre de bitsde quanti cation disponibles sur les processeurs.1.1.3 Exemples d'échantillonnage/quanti cation sur une imageLa gure 1.1 présente une image de 512 512 pixels, codée sur nb 8bits et sa version sous échantillonnée d'un facteur 4 (128 128 pixels). Cetteimage (Barbara) est très utilisée en traitement d'images. Elle permet icide voir apparaitre le phénomène de Moiré : on voit apparaitre sur l'imagesous échantillonnée des structures di érentes de celles contenues dans l'imaged'origine.La gure 1.2 présente Barbara codée sur nb 4 bits et sur nb 2 bits.2
Figure 1.1 Image de départ (quanti ée sur 8 bits, 512 512 pixels), Imagesous échantillonnée d'un facteur 4Dans le dernier cas, par exemple, on ne voit alors plus que 2nb 22 4niveaux de gris (au lieu de 28 256 allant du noir au blanc sur l'image dedépart).Figure 1.2 Image quanti ée sur nb 4 bits, Image quanti ée sur nb 2bits3
1.2 Intérêts du Traitement numérique du signalTravailler avec des signaux et des traitements numériques présentent un certain nombre d'avantages : Robustesse vis à vis du bruit : T EB f (SN R), Stabilité et reproductibilité des équipements, Possibilité de fonctions nouvelles : codage canal, ltrage adaptatif.Le principal inconvénient est l'augmentation de la bande de fréquence occupée par la numérisation du signal. Pour la diminuer on utilisera du codagesource.1.3 Outils de traitement du signal à numériserLes principaux outils pour le traitement du signal qui devront être numérisés sont les suivants : Transformée de Fourier, Fonctions d'auto et inter corrélation, Densité Spectrale de Puissance, Filtrage.Ils permettent d'extraire de l'information (bande nécessaire à la transmission,détection de défauts.), de construire ou de modi er des signaux (modulation, ltrage du bruit.). On devra réaliser un certain nombre d'approximations, d'estimations pour passer des outils théoriques aux outils que l'onest capable d'implanter en numérique. L'objectif de ce cours est de présenter, d'expliquer ces modi cations et leurs impacts sur les résultats attendusa n d'être capable d'utiliser correctement les outils numériques et d'analysercorrectement les résultats obtenus.1.4 Notion de temps de traitement et de traitementtemps réelUn traitement est accompli en temps réel quand il délivre un échantillonde signal en sortie de traitement pour un échantillon de signal en entrée(c'est-à-dire à chaque période d'échantillonnage Te ).Une opération de base en traitement numérique du signal est une opération4
d'addition/multiplication (ou MAC Multiplication Accumulation).Les temps de traitement seront évalués en nombre d'addition/multiplicationpar seconde.5
Chapitre 2Transformée de FourierDiscrète (TFD)Pour un signal x(t), la transformée de Fourier X(f ) et son inverse sontdonnées par :Zx(t)e j2πf t dt(2.1)X(f )e j2πf t df(2.2)X(f ) RZx(t) R2.1 De la TF à la TFDDes approximations doivent être e ectuées pour passer de la Transforméede Fourier (TF) à la Transformée de Fourier Discrète (TFD). Elles conduisentà certains e ets qui doivent être connus de manière à mener correctementune analyse spectrale numérique.2.1.1 EchantillonnageL'échantillonnage du signal :x(t) {x(kTe )}k Z6(2.3)
va avoir pour e et de périodiser sa transformée de Fourier, qui est approchéepar la somme des aires des rectangles sous la courbe au facteur Te près : XX(f ) X1 (fe) x(k)e j2πkf(2.4)ek où fe fFeest la fréquence normalisée. X1 (fe) est bien périodique de période1 (X1 (f ) l'est de période Fe ). Remarquons que x(kTe ) est simplement notéici x(k), comme le k ime élément du vecteur x représentant en numérique lesignal échantillonné.On devra donc faire attention au respect du théorème d'échantillonnagede Shannon. On devra également faire attention à la manière dont on lit lespectre numérique. En e et si la TFD est observée sur une période, entre 0et Fe , la partie positive du spectre sera observée entre 0 et Fe /2, tandis quela partie négative le sera entre Fe /2 et Fe .2.1.2 Limitation de la durée du signal à N points(2.5){x(kTe )}k Z {x(kTe )}k 0,.,N 1Cette connaissance du signal sur un nombre limité de points (dimensiondu tableau représentant le signal numérique) conduit à une distorsion de latransformée de Fourier :X1 (fe) X2 (fe) N 1Xx(k)e j2πkf ek 0 Xx(k)w(k)e j2πkfe(2.6)k qui donne :(2.7)X2 (fe) X1 (fe) W1 (fe)(P j2πkfe avec w(k) où W1 (fe) k w(k)e1 k 0, ., N-10 ailleurs.Cette distorsion de la transformée de Fourier implique un pouvoir séparateurlimité pour l'analyse spectrale (possibilité de dissocier 2 motifs spectraux defréquences proches) et un certain taux d'ondulation (des ondulations apparaissent autour des transitions brutales du spectre).Ces paramètres (pouvoir séparateur et taux d'ondulation) sont liés à la forme7
de W1 (fe), plus précisément à la largeur de son lobe principal et à l'amplitudede ses lobes secondaires (voir gure 2.1).On pourra faire varier le pouvoir séparateur et le taux d'ondulation de l'analyse spectrale en tronquant le signal étudié avec di érentes fenêtres w(k),autres que rectangulaire (fenêtres de pondération ou d'apodisation), de manière à obtenir di érentes formes pour W1 (fe) et donc di érentes versions dela TFD du même signal.La gure 2.2 présente quelques fenêtres classiques d'apodisation, tandis quela gure 2.3 présente leurs transformées de Fourier. On peut constater queles lobes centraux sont plus ou moins larges, conduisant à un pouvoir séparateur plus ou moins grand pour l'analyse spectrale. On peut égalementconstater que les lobes secondaires sont plus ou moins atténués, conduisant àun taux d'ondulation plus ou moins grand pour l'analyse spectrale. Lorsquedes fenêtres autres que rectangulaires sont utilisées on parle de transforméede Fourier pondérée.On réalisera chaque analyse spectrale en utilisant plusieurs fenêtresde pondération. Chacune permettra d'extraire di érentes information. Lagure 2.4 présente un exemple dans lequel les di érentes fenêtres utiliséespermettent de mettre en exergue di érentes composantes spectrales. Maisquel est donc le signal qui pourrait correspondre à ces di érents spectres ?Figure 2.1 Transformées de Fourier de la fenêtre rectangulaire : Noyaude Dirichlet.8
Figure 2.2 Quelques exemples de fenêtres d'apodisation.Figure 2.3 Transformées de Fourier de quelques fenêtres de troncature.9
Figure 2.4 Di érentes versions de la transformée de Fourier d'un mêmesignal.10
2.1.3 Calcul de N points du spectreTout comme le signal numérique ne peut pas être à temps continu, il nesera possible de ne calculer qu'un nombre ni d'échantillons de la TFD :n oX2 (fe) X2 n fe(2.8)n 0,.,N 1Le fait de ne pouvoir calculer qu'un certain nombre de points de la transformée de Fourier numérique a un impact sur la résolution de l'analyse spectrale. Celle-ci sera liée au nombre de points calculés sur une période de laTFD : pas de calcul f Fe (ou fe 1 en fréquences normalisées). A nNNd'augmenter la résolution spectrale, on pourra utiliser une technique d'interpolation fréquentielle, la plus connue et utilisée étant celle du Zero Padding.On construit un nouveau signal, à partir du signal x(k) donné sur N points,en le prolongeant par des zéros :(y(k) x(k) k 0, ., N-1k N, ., MN-1.0La TFD de ce nouveau signal :Y (n) N 1Xknx(k)e j2π M N , n 0, ., M N 1k 0dispose d'un pas de calcul plus n :en fréquences normalisées).On calcule M N points distants deFe (une période de la TFD,ou M N points distants delieu de N points distants deFe1M N (ou M NFeM N entre 0 et1M N entreFeN entre 00 et 1 en fréquences normalisées), auet Fe (ou N points distants de1Nentre0 et 1 en fréquences normalisées). La résolution spectrale est donc améliorée.Les gures 2.5 et 2.6 proposent des tracés du module de la transforméede Fourier numérique d'un cosinus de fréquence normalisée 0.2, observé surN 1000 points, pour di érentes valeurs du paramètre M N .Un autre impact de la discrétisation fréquentielle est une périodisationtemporelle. On doit, en e et, considérer en numérique que les signaux sontpériodisés, de même que leurs transformées de Fourier. Ce dernier point aune conséquence importante : cela ne permet pas de conserver à la TFD lapropriété très intéressante de la TF qui consiste à transformer un produitde convolution en produit (et inversement). En e et, comme nous le verrons11
Figure 2.5 Transformées de Fourier d'un cosinus de fréquence normalisée0.2 pour di érentes valeurs du paramètre de zero padding.Figure 2.6 Transformées de Fourier d'un cosinus de fréquence normalisée0.2 pour di érentes valeurs du paramètre de zero padding : zoom un pic dela gure 2.512
par la suite (section 2.2), la tansformée de Fourier Discrète transforme unproduit en produit de convolution circulaire, c'est-à-dire produit de convolution entre des signaux périodisés. Néanmoins, il est possible de faire en sorteque le produit de covolution linéaire (produit de covolution "classique") et leproduit de convolution circulaire soient identiques en prolongeant les signauxde longueur N par au moins N zéros.2.1.4 Expressions de la TFD et de la TFD inverseLes trois approximations précédemment étudiées (échantillonnage temporel, limitation de la durée du signal et échantillonnage fréquentiel) conduisentnalement à l'outil suivant pour calculer la transformée de Fourier en numérique :X(n) N 1Xknx(k)e j2π N , n 0, ., N 1(2.9)k 0Le même cheminement conduirait à obtenir l'expression de la TFD inverse :x(k) N 1kn1 XX(n)e j2π N , k 0, ., N 1N(2.10)n 02.2 Propriétés de la TFD2.2.1 LinearitéT F D [x1 (k) λx2 (k)] T F D [x1 (k)] λT F D [x2 (k)] , λ scalaire. (2.11)2.2.2 Translation rotation de phaseT F D [x(k k0 )] X(n)e j2πk0 nN(2.12)2.2.3 Symétrie HermitienneSoit X(n) la transformée de Fourier discrète d'un signal réel x(k), on a :X (N n) X( n) X (n).13
2.2.4 Convolution circulaireLe produit de convolution linéaire ("classique") en numérique est donnépar :(x1 x2 ) (k) N 1Xx1 (p)x2 (k p)(2.13)p 0Attention : la transformée de Fourier discrète ne transforme pas un produiten produit de convolution linéaire mais en produit de convolution circulaire :X1 (n)X2 (n) T F D 1 (x1 x2 ) (k) N 1Xx1 (p)x2 ([k p]modulo N ) (2.14)p 0si X1 (n) est la transformée de Fourier discrète de x1 (k) et X2 (n) la transformée de Fourier discrète x2 (k).2.2.5 Egalité de ParsevalN 1Xk 0 x(k) 2 N 11 X X(n) 2N(2.15)n 02.2.6 Algorithme de calcul rapideLa transformée de Fourier discrète se prête à un algorithme de calculrapide que l'on nomme FFT pour "Fast Fourier Transform". Son principe,détaillé au paragraphe suivant, consiste à décomposer le signal de départ(sur N points) en une succession de sous suites entrelacées en e ectuant àchaque étape de l'algorithme des transformées de Fourier disjointes sur lespoints d'indices pairs et les points d'indices impairs du tableau représentantle signal numérique. La condition de départ est que le nombre de points Nsoit une puissance de 2.14
2.3 Algorithme de calcul rapide (FFT) de CooleyTuckey2.3.1 PrincipeLa transformée de Fourier de départ X(n) porte sur les N points d'unsignal numérique x(k) :X(n) N 1Xx(k)e j2π knN k 0N 1Xx(k)WN kn , n 0, ., N 1(2.16)k 02πen notant WN ej N . On parle de TFD d'ordre N . Son temps de calcul estévalué à N 2 operations d'additions/multiplications.On suppose que N est une puissance de 2 : N 2p et on va commencerà décomposer le signal en sous suites entrelacées.Première décompositionX(n) X1 (n) WN n X2 (n), n 0, ., N 1,(2.17)où :N/2 1X1 (n) XN/2 1 inx(2i)WN/2,X2 (n) i 0X inx(2i 1)WN/2,i 0, ., N/2 1i 0(2.18)On peut évaluer le temps de calcul suite à cette première décomposition 2à 2 N2 N operations d'additions/multiplications, ce qui est déjà N 2 ,surtout si N est grand.Deuxième décomposition nX1 (n) X11 (n) WN/2X12 (n), nX2 (n) X21 (n) WN/2X22 (n),n 0, ., N/2 1,(2.19)15
où :N/4 1X11 (n) X12 (n) XN/4 1 inx1 (2i)WN/4,X12 (n) Xi 0i 0N/4 1N/4 1X inx2 (2i)WN/4,X22 (n) i 0X inx1 (2i 1)WN/4,i 0, ., N/4 1(2.20) inx2 (2i 1)WN/4,i 0i 0, ., N/4 1(2.21)avec x1 (p) x(2i) et x2 (p) x(2i 1), i, p 0, ., N/2 1.Dernière décompositionOn continue jusqu'à arriver à la plus petite transformée de Fourier possible qui porte sur deux points et que l'on appelle le "papillon" de la transformée de Fourier numérique ( gure 2.7). On aura alors réalisé N p transformées de Fourier d'ordre 2 ou "papillons", soit un temps de calcul deNlog2 (N) N2 opérations d'additions/multiplications.Figure 2.7 Papillon de la FFT : transformée de Fourier d'ordre 2 2opérations d'addition/multiplication2.3.2 Exemple pour N 23 8Première décompositionX(n) X1 (n) W8 n X2 (n), n 0, ., 7,(2.22)où X1 (n) porte sur x(0), x(2), x(4), x(6) et X2 (n) porte sur x(1), x(3), x(5), x(7).16
Deuxième et dernière décompositionX1 (n) X11 (n) W4 n X12 (n), n 0, ., 3,(2.23)où X11 (n) porte sur x(0), x(4) et X12 (n) porte sur x(2), x(6).X2 (n) X21 (n) W4 n X22 (n), n 0, ., 3,(2.24)où X21 (n) porte sur x(1), x(5) et X22 (n) porte sur x(3), x(7).Graphe correspondantFigure 2.8 Graphe de la FFT pour N 23On a p 3 colonnes deN2 4 papillons, soit p N2 2 pN log2 (N )N 3 8 opérations d'additions multiplications. On remarque queles échantillons de signal ne se présentent pas dans leur ordre naturel àl'entrée de l'algorithme. On peut utiliser un algorithme de renversement del'adresse binaire ("bit reversal") a n de les présenter dans l'ordre voulu.17
Chapitre 3Estimation des fonctionsd'inter et d'auto correlationsLes fonctions d'auto et d'inter correlations peuvent être estimées dans ledomaine temporel ou dans le domaine fréquentiel.3.1 Estimateurs temporels3.1.1 Estimateur biaiséEn supposant le signal ergodique et en utilisant la loi des grands nombres,on peut estimer la partie positive de la fonction d'intercorrélation entre lessignaux numériques x(k) et y(k) de la manière suivante :N 1Xbxy (k) 1Rx(n)y (n k) 0 k N 1N(3.1)n 0La somme portant en réalité sur N k échantillons du produit x(n)y (n k),cet estimateur est biaisé :hibxy (k) N k Rxy (k).E RN(3.2)Le biais est ici multiplicatif et triangulaire (voir gure 3.1 dans les exemples)18
3.1.2 Estimateur non biaiséA n de supprimer le biais précédent on dé nit l'estimateur temporelsuivant :bxy (k) RN 11 Xx(n)y (n k) 0 k N 1N k(3.3)n 0hibxy (k) Rxy (k). Cependant cet estimateur possède uneOn a bien E Rgrande variance sur les bords. En e et, lorsque k N peu de points vontêtre utilisés pour réaliser l'estimation. Celle-ci variera donc beaucoup entredi érentes réalisations de signal (voir gure 3.2 dans les exemples).3.1.3 Evaluation du temps de traitementUne évaluation grossière du temps de traitement des estimateurs temporels nous conduit à un temps de calcul d'environN22opérations d'addi-tions/multiplications :N (N 1) . 1 N (N 1)N2 22(3.4)Notons que ce temps de calcul évalue le calcul de la partie positive de lafonction d'intercorrélation, sachant que la partie négative peut-être obtenue (k), quien utilisant la proriété de symétrie hermitienne : Rxy ( k) Rxyreste vraie en numérique.3.1.4 Exemples : cosinus, ligne d'image SAR (Synthese Aperture Radar)La gure 3.1 trace une estimation biaisée de la fonction d'autocorrélationd'un cosinus, obtenue grâce à la fonctionxcorr.mde matlab. On voit appa-raitre le biais multiplicatif triangulaire. La gure 3.2 trace une estimationnon biaisée de la fonction d'autocorrélation d'un cosinus, obtenue grâce à lafonction xcorr.m de matlab, avec le paramètre 'unbiased'. On voit apparaitrela variance de l'estimation sur les bords de la fenêtre d'analyse. La gure 3.3compare les estimations biaisée et non biaisée de la fonction de covariance(autocorrelation moyenne2 ) d'un signal réel (ligne d'image SAR (SyntheseAperture Radar)) à la covariance théorique. On constate que la covariance19
estimée avec un estimateur biaisé semble donner un résultat plus proche dela covariance théorique que la covariance estimée avec un estimateur nonbiaisé. Cette constatation reste généralement vraie pour les signaux réels.Figure 3.1 Estimation biaisée de la fonction d'autocorrélation du cosinusFigure 3.2 Estimations non biaisées de la fonction d'autocorrelation ducosinus20
Figure 3.3 Estimations de la covariance sur une ligne d'image SAR3.2 Estimateurs fréquentielsEn remarquant que la fonction d'intercorrélation entre les signaux numériques x(k) et y(k) peut s'écrire comme un produit de convolution :bxy (k) x(k) y ( k)R(3.5)on peut l'estimer dans le domaine fréquentiel de la manière suivante :bxy (k) T F D 1 [X(n)Y (n)]R(3.6)où X(n) T F D [x(k)] et Y (n) T F D [y(k)]. On obtient alors un temps detraitement réduit de 3N log2 (N ) N N22opérations d'addition/multiplication.Attention les expressions (3.5) et (3.6) sous entendent qu'il est possible deP 1P remplacer Nn 0 parn dans l'expression de l'intercorrélation et quela transformée de Fourier transforme un produit en produit de convolutionlinéaire. Or, nous avons vu précédemment que la TFD transforme un produiten produit de convolution circulaire (convolution entre des signaux périodisés). Cependant, on pourra, en utilisant du Zero Padding (au moins autantde zéros ajoutés que de longueur de signal), se ramener à un produit de21
convolution linéaire.3.3 Quelques propriétés3.3.1 Symétrie Hermitienne bxy ( k) RbxyR(k)(3.7)bxy ( k) Rbxy (k)Soit pour des signaux réels : R3.3.2 Bornesbx (k) Rbx (0) PxR(3.8)Px Rx (0) représentant la puissance du signal x. bxy (k) 1 Rbx (0) Rby (0)R222(3.9)
Chapitre 4Estimation de la DensitéSpectrale de Puissance (DSP)La Densité Spectrale de Puissance re ète la contribution de chaque fréquenceà la puissance moyenne du signal. El
pée par la numérisation du signal. Pour la diminuer on utilisera du codage source. 1.3 Outils de traitement du signal à numériser Les principaux outils pour le traitement du signal qui devront être nu-mérisés sont les suivants : ransforméeT de ourier,F onctionsF d'auto et inter corrélation, Densité Spectrale de Puissance, Filtrage.
Artist Char 255. Composer Char 118. Date_Added Num DATETIME. Genre Char 18. Last_Played Num DATETIME. Last_Skipped Num DATETIME. Name Char 456. Plays Num BEST12. Skips Num BEST12. Time Num MMSS. Track_Count Num BEST12. Track_Number Num BEST12. Year Char 4. Table 1. WORK.MYITUNES Variables WORK.ITUNES is a collection of tracks.
Ley Núm. 8 de 8 de Enero de 2004, según enmendada (Contiene enmiendas incorporadas por las siguientes leyes: Ley Núm. 151 de 12 de Diciembre de 2005 Ley Núm. 161 de 1 de Diciembre de 2009, Art. 19.7 Ley Núm. 245 de 30 de Diciembre de 2010 Ley Núm. 74 de 18 de Mayo de 2011 Ley Núm. 90 de 9 de Junio de 2011 Ley Núm. 52 de 3 de Julio de 2013
Ley Núm. 154 de 5 de Agosto de 1988, según enmendada (Contiene enmiendas incorporadas por las siguientes leyes: Ley Núm. 187 de 12 de Agosto de 1995 Ley Núm. 12 de 1 de Mayo de 1997 Ley Núm. 175 de 19 de Diciembre de 1997 Ley Núm. 56 de 4 de Enero de 2003 Ley Núm. 460 de 23 de septiembre de 2004 Ley Núm. 100 de 27 de Septiembre de 2009
le traitement du signal 2D, c’est- a-dire le traitement d’image. Les outils expos es pour le traitement du signal 1D sont fondamentaux d es qu’on s’int eresse au cas bidimen-sionnel. Nous donnons en quelques pages des pistes pour la g en eralisation de ces outils. Orl eans, le 18 mars 2014.
Traitement du Signal Imprimé le 19/07/11 33 Université Paris-Sud ORSAY Département Mesures Physiques Année 2003-04 Cours de Traitement du Signal Partie 2 Transformation Signal continu Signal échantillonné Corrélation, modulation, détection, Laplace Roger REYNAUD temps fréquences e 2πj ν t δ(f-ν) Réel Imaginaire Réel Imaginaire
Traitement de l’image : de l’equation de la chaleur aux ondelettes Jean-Pierre Antoine* et Laurent Jacques§ *professeur, resp. §assistant, a l’Universite Catholique de Louvain I. Gen eralit es sur le traitement num erique des images Avant de discuter du traitement d’images, il convient de pr eciser l’objet de notre e .
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