Année 2003-04 Cours De Traitement Du Signal
Traitement du SignalImprimé le 19/07/1133Université Paris-SudORSAYDépartement Mesures PhysiquesAnnée 2003-04Cours de Traitement du SignalPartie 2Transformation Signal continu Signal échantillonnéCorrélation, modulation, détection, Laplacee 2πj ν encesLa figure symbolise la transformation de Fourierpermettant de passer d'une représentation temporellecomplexe (ici la fonction de base de l’analyse endiagramme de Bode en analogique) à unereprésentation fréquentielle complexe équivalenteRoger REYNAUD
34Département Mesures physiquesIUT OrsayPlan du coursPartie 1 Transformation TempsFréquencePartie 2 TransformationSignal continuSignal échantillonnéEchantillonnage du signal .35Transformée de Laplace.55Importance du monde numérique .35Régime transitoire . 55Échantillonneur idéal.36Représentation en variable complexe p . 55Théorème de Shannon .37Transformée de Laplace . 56Échantillonnage en présence d'unefonction d'appareil non idéale .38Traitement numérique du Signal.57Échantillonneur bloqueur.40Fonctions continuesÉchantillonnage en fréquence .41Transformées de Laplace Transformées en Z . 58Quantification.42 Suites numériques. 57Transformation en Z. 58Notion de corrélation .43Propriétés. 59Réalisation de N expériences .43Tables des transformées. 60Signaux stationnaires.45Transformée inverse . 61Relation entre deux processus au traversd'une seule réalisation.45Transformée de Fourier Discrète . 62Exemples pratiques de TFD. 64Exemple de signal noyé dans le bruit.47Modulation et Détection .49Modulation .49Idée n 1 : Détection d'enveloppe sansintervention de référence .50Idée n 2 : Démodulation synchrone avecun signal de référence.51Idée n 3 : Détection synchrone avec unsignal de référence.52Signal radio Longues Ondes .52Partie 3 Filtrage numériqueAnalogiqueNumérique
35Echantillonnage du signalImportance du monde numériqueMonde analogiqueMonde numériqueDérives et Réglages périodiquesReproductibilitéVieillissement des composantsFiabilitéReproductibilité des montagesVersatilité (capacité à modifier certaines valeurs)Taille des éléments pour les Basses FréquencesProgrammableProblèmes en suspensEquivalence des traitementsEchantillonnageQuantificationRapidité de l'implémentationDe plus en plus de traitements sont effectués sous forme numérique, c'est-à-dire à l'aide d'un ordinateurnumérique. Dans ce cas, les variables et les fonctions ne peuvent prendre que des valeurs numériques calculéesen un nombre fini de points et avec une représentation de la valeur codée sur un nombre fini d'unités binairesd'Information (UBI ou bit en abréviation anglaise). Nous sommes donc en présence d'un nouveau problème quin'est pas toujours équivalent au problème physique analogique initial.Les premiers points qui vont nous intéresser seront les suivants : Connaître les différences entre le traitement analogique et son implantation numérique ; Connaître les approximations introduites, car les traitements ne sont pas parfaitement équivalents.Conversion d'un signal analogique à paramètre continu vers un signal numériqueLe signal numérique est obtenu par une double approximation Echantillonnages(t) est remplacé par s(nTe) {Sn} QuantificationSn est remplacé par une valeur approchée quantifiée avec un pas de quantification qLe passage d'un paramètre continu à discret s'appelle échantillonnage, le passage discret continu s'appelleinterpolation. Le passage de valeurs continues à discrètes s'appelle une quantification. Le passage inverse sefait par simple immersion des valeurs, codes ou symboles discrets dans un espace continu qui les englobe.Valeurs continuesx paramètre continu échantillonnage Valeurs discrètes interpolation x paramètre discret quantificationimmersion Nous allons dans un premier temps nous intéresser au problème de l'échantillonnage du signal.PrincipeLe principe d'échantillonnage concerne la transformation d'un signal à temps continu en un signal à temps discret.Dans cette opération, une partie de l'information est habituellement perdue et il convient de bien comprendre lephénomène d'échantillonnage pour connaître et si possible minimiser l'information perdue.Ce que nous allons montrer dans ce chapitre est :il existe certains signaux x(t) qui peuvent être reconstruitssans erreur à partir de leurs échantillons {Xn}. Ce sont le cas des signaux à bande limitée en fréquence enrespectant la condition de Shannon qui sera énoncée plus loin.
36Département Mesures physiquesIUT OrsayDans ce cas là, nous dirons qu'il y a équivalence des représentations initiale analogique et numérique puisquenous savons obtenir la série {Xn} à partir de la fonction x(t) et inversement nous savons reconstruire parinterpolation la fonction x(t) partout en connaissant la série {Xn}.Cette équivalence des représentations nous donne le droit de choisir la représentation qui nous arrange le mieuxet donc de traiter la résolution du problème initial sous forme numérique.Échantillonneur idéalNous appelons échantillonneur idéal l'échantillonneur qui est capable de piquer le signal aux instants n Te en untemps extrêmement bref. Chaque prise d'échantillon s(n Te) peut être modélisée comme le produit de la fonctions(t) par une fonction de Dirac δ(t-n Te) active à l’instant d’échantillonnage. L'ensemble des prises d'échantillonsdonne une série {sn} {s(n Te)} qui peut-être modélisée comme le produit de la fonction s(t) par un peigne deDirac de période Te.n Te-0,10,0Une prise d’échantillon0,20,30,40,5Un ensemble de prise d’échantillons {sn} 0,1 s(n Te) δ(t-n Te) s(t) Ten (t) s(t) δ (t-n Te)n Considérons la transformée de Fourier des deux membres de cette égalité. Nous savons que les deuxreprésentations temporelle et fréquentielle sont équivalentes. Alors nous pouvons écrireF ({sn}) F (s(t) Te(t)) F (s(t)) F (s(t)) Fe. F(TeFe(t))(ν)Le résultat est le suivant :A un échantillonnage dans le tempscorrespond une périodisation du spectres(t)Echantillonnage F S(ν) F (s(t))-Fmax 0 Fmax(produit simple par un peigne de période Te)(produit de convolution par un peigne de fréquence Fe).{sn}F Périodisation -FeF({sn})-Fmax 0 FmaxFe2 FeLe schéma précédent montre une périodisation du spectre du signal échantillonné pour laquelle il n'y a pas derecouvrement en fréquence des différents lobes. L'absence de recouvrement dans le spectre du signaléchantillonné est obtenue parce que la condition Fmax ½ Fe est vérifiée.Le schéma suivant se place dans le cas où Fmax ½ Fe . On voit alors apparaître un recouvrement des différentsmotifs du spectre du signal échantillonné.
Traitement du SignalS(ν) F (s(t))-Fmax0Imprimé le 19/07/11Périodisation Fmax37F ({sn})-Fe -Fmax0Fmax Fe2 FeThéorème de ShannonPour que la répétition du motif ne déforme pas le motif répété, il faut et il suffit que la condition de Shannon soitvérifiée, c'est-à-dire Fmax ½ Fe .Repliement du spectreSoit un signal sinusoïdal pur à une fréquence f ½ Fe. Par répétition due à la périodisation, nous allons voir desraies apparaître aux points f n Fe. A cause du repliement, le nouveau spectre périodique semble avoir unecomposante de fréquence comprise entre 0 et ½ Fe, bien que cela ne soit pas le cas initialement.S(ν) F (s(t))-f0Périodisation Fe f Fe2F({sn})-Fe-Fe20Fe2Fe2 FeReconstitution de ShannonNous savons évidemment que l'opération d'échantillonnage peut amener une perte d'information. Cela est vrailorsque la condition de Shannon n’est pas vérifiée. Mais lorsque cette condition est vraie, nous voulons savoir s'ilest possible de reconstruire par interpolation le signal s(t) sans perte d'information.La réponse est oui. Nous décidons de filtrer le signal échantillonné par un filtre idéal en fréquence. Sareprésentation est la porte(ν). La sortie de ce filtre a pour réponse en fréquence le produit simple de laFeréponse en fréquence de l'entrée (signal échantillonné) et du filtre. Sous la condition de Shannon, il n'y a pas derepliement de spectre et nous retrouvons la réponse en fréquence du signal s(t) à un facteur multiplicatif prés Fe.En utilisant l'équivalence des deux représentations, nous pouvons écrire dans la représentation en fréquence : F({sn}) Fe (ν) [S(ν) Fe. . n F Fe (ν)F Tempsδ(ν-n Fe)][ s(nTe)δ(ν-n Fe)] Fe S(ν)F Fe Sinc(πFet) Fe s(t)n En conséquence, et après division par Fe : s(nTe) Sinc(πFe(t - n Te)) s(t)n Les deux signaux de part et d'autre du signe égal sont identiques si et seulement si leurs deux représentations enfréquence sont identiques dans la bande de fréquences définie par la porte(ν) . Cette condition n'estFevérifiée que si le spectre d'origine est intégralement dans cette bande et n'a pas de composante ½ Fe.Cette formule encadrée ci-dessus représente la formule d'interpolation de Shannon qui permet de retrouver lesignal continu s(t) à partir de la série {sn} {s(nTe)}. L'existence de cette égalité montre qu'il y a équivalenceentre le signal continu s(t) et la série {sn}, puisque nous pouvons reconstruire s(t) à partir de {sn} et {sn} à partirde s(t). Cette équivalence est vraie si et seulement si la condition de Shannon est vérifiée.
38Département Mesures physiquesIUT OrsayExemple :11Echantillonnage 00-1050s(t)-10100Echantillonnage {sn}Périodisation F F ({sn}) Filtrage F S(ν) F (s(t))-Fmax 0 Fmax-Fe50 s(t)Interpolation -Fmax 0 FmaxFe100F F ({sn}) Fe(ν)-Fmax 0 Fmax2 e en présence d'une fonction d'appareil non idéaleUn système réel d'échantillonnage ne se comporte pas comme un échantillonneur idéal. Chaque prised'échantillon est réalisée par une forme d’intégration de durée finie τ et dont la forme ci-contre dépend de lafonction d'appareil h(t) de l'échantillonneur. La seule hypothèse est que la durée τ de cette impulsion estinférieure à la période d'échantillonnage Te. Sur la figure est dessinée une charge d’une capacité derrière unsuiveur de tension.Motif d’horloge d’autorisation d’échantillonnageDurée τn Te-0,10,00,10,20,30,4Temps au bout duquel l’échantillon est disponible après intégrationDépart de la prise d’échantillon0,5
Traitement du SignalImprimé le 19/07/1139 kTe τ x(t) h(t-k Te) dtkTe x(t) h(-t) (kTe) est la mesure au temps k Te priseOn considère alors que x(k Te) par un système d’échantillonneur réel.Cet échantillon est alors considéré comme étant la valeur k de la série {xn} représentant la valeur du signal àl'instant k Te. On peut alors écrire : x(k Te) [x(t) h(-t)] δ(t - kTe). Tout se passe comme si le systèmeéchantillonnait de manière idéale une nouvelle fonction x(t) h(-t). {xn} x(t) h(-t) δ ( t-n Te) [x(t) h(-t)] Ten (t)En effectuant une transformation de Fourier des deux membres de l'égalité précédente, nous obtenonsF ({xn}) F([x(t) h(-t)] Te (t)) [F (x(t)) F ( h(-t)]) ] Fe [X(ν) H(ν)] Fe Fe (t)Fe (t)Pour retrouver la partie du spectre comprise entre -Fe/2 et Fe/2, nous multiplions la représentation fréquentiellepar le filtre passe-bas idéal(ν), ce qui donneFeF ({xn}) Fe (ν) ( [X(ν) H(ν)] Fe Fe (t)) Fe (ν)Par interpolation de Shannon, nous retrouvons cette fois non pas le signal x(t) mais x(t) filtré par le filtre deréponse impulsionnelle h(-t). x(nTe) Sinc(πFe(t - n Te)) x(t) h(-t)n Exemple : échantillonneur moyenneurNous prenons comme exemple d'échantillonnage avec une fonction d'appareil non idéale, le cas où la prised'échantillon correspond à un moyennage ou une intégration du signal pendant une durée τ (par exemple nouspensons à la charge d'une capacité par un courant proportionnel à la tension du signal).Motif d’horloge d’autorisation d’échantillonnagex(t)La fonction h(t) vautpar la réponsex o (t)τ (t - τ/2) . Donc tout se passe comme si la réponse en fréquence X(ν) était remplacéeX o (ν) X(ν) H(ν) X(ν) sinc(πντ) exp(-πjντ)Le rapport des modules des réponses en fréquence vaut donc sinc(πντ) et le déphasage négatif vautFe-πντ. Nous appelons α le facteur de sur-échantillonnage 2 Fmax et λ le rapport entre la durée τ de l'impulsionet la durée Te de la période d'échantillonnage. On veut que la variation d'amplitude soit inférieure à 1%.Feλλ Sinc(π Fmax τ) Sinc(πλ Te ) Sinc(π) 0,99 0,082α2α2αSi α 1, nous avons réglé la fréquence d'échantillonnage Fe juste égale à la limite de Shannon 2 Fmax, nousdisons dans ce cas que le facteur de sur échantillonnage est égal à 1, alors la durée de l'impulsion ne doit pasdépasser 16% de la durée de la période d'échantillonnage.Pour le même signal, on peut décider de prendre un sur échantillonnage α de 5, c'est-à-dire Fe 10 Fmax, alorson peut prendre une largeur d'impulsion égale à 80% de la période. Dans les deux cas, la durée τ autorisée estidentique et vaut :16%80%τ 2 Fmax 10 Fmax
40Département Mesures physiquesIUT OrsayHorloge d’autorisation d’échantillonnageFe 2 FmaxFe 10 FmaxCeci montre que l'effet de la largeur d'impulsion n'est pas négligeable. Il en est de même pour le déphasage φ quivaut -πντ radians, donc 180 ντ degrés. Associer à une précision de 1% en module correspond un déphasagelinéaire qui est maximum aussi pour Fmax et qui donneφmax 180 λ 14,4 degrés.2αÉchantillonneur bloqueurNous avons alors intérêt à minimiser la durée de la prise d'échantillons par la fonction d'appareil correspondant àcette prise d'échantillons. Pour ce faire, la méthode courante est de mémoriser la valeur du signal à l'instant k Tepar un mécanisme physique le plus bref possible pour limiter au maximum le phénomène précédent qui a poureffet de modifier le module et la phase du spectre du signal reconstruit par interpolation de Shannon aprèséchantillonnage. Une fois le signal mémorisé ou bloqué, nous avons le temps de réaliser la conversion analogique- numérique sur le signal hantillonneurBloqueurConvertisseur Analogique NumériqueLa résolution du problème est alors analogue au problème de l'échantillonneur réel, mais avec une duréed'ouverture nécessaire à la mémorisation beaucoup plus faible que dans le cas où l'appareil réalise de façonsimultanée l'acquisition et la conversion analogique numérique.Échantillonneur bloqueur en sortieAu niveau de la restitution d’un signal analogique par un système de traitement numérique, il est utile de disposeraussi en sortie d’un bloqueur.-0,10,00,10,20,30,40,5Il est alors nécessaire de modéliser l’effet du bloqueur sur le signal obtenu en sortie. On peut montrer que la-T p1-e eoù p σ j ω est la variable de Laplace dontfonction de transfert de Laplace est alors de la forme :pl’effet est de périodiser le spectre comme un échantillonnage, puis de le modifier. Il est donc nécessaired’imposer un filtre passe-bas en sortie 00,0400,0500,0600,0700,0800,0900,01000,0
Traitement du SignalImprimé le 19/07/1141Échantillonnage en fréquenceL'emploi d'un ordinateur numérique impose d'effectuer un échantillonnage aussi dans le domaine des fréquences.On s'intéresse alors aux échantillons de fréquences constitués à partir des fréquences multiples entiers de lafréquence de base Fmin. On pourra alors exprimer X(ν) dans un ordinateur numérique à l'aide de la série{X(k.Fmin)}.Sachant que finalement, la représentation numérique {xn} du signal continu x(t) ne représente correctement lesignal que dans la gamme de fréquence [-½ Fe; ½ Fe], il faut choisir Fmin de telle façon qu'un certain nombrede multiple de Fmin couvre correctement cette gamme de fréquence. Habituellement, si la Transformée deFourrier Directe est réalisée sur M points, le spectre est fourni sur le même nombre M de points. En conséquenceFmin vaut habituellement Fe/M, mais peut prendre d'autres valeurs.-15 -13 -11 -9 -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 9 11 13 15-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14ν- Fe2Fmin Min f f 0Fe2La représentation précédente est réalisée à partir de 32 échantillons du spectre, multiple entier de la fréquenceFmin. Or il y a équivalence entre échantillonnage dans l'espace des temps (respectivement l'espace desfréquences) et périodisation dans l'espace des fréquences (respectivement l'espace des temps). En conséquence, lareprésentation en temps du signal échantillonné en fréquence est un signal périodique de période1Fmin M Te Horizon d’observation, si on a choisi Fmin Fe/M.Ce signal n'est donc pas identique au signal originel sur tout l'espace, mais seulement sur les M points qui ontservi à calculer la TFD correspondant à l'horizon d'observation. Le signal est donc implicitement considérécomme périodique de période égale à l'horizon. Par exemple, nous avons un signal connu sur 1000échantillons qui ne possède pas de périodicité propre. Nous voulons échantillonner aussi la représentation enFefréquence de ce signal. Pour que cette représentation soit correcte, il faut prendre Fmin 1000. Dans un casFecontraire, par exemple pour Fmin 100, l'échantillonnage en fréquence à la fréquence Fmin introduit unepériodicité dans la représentation du signal temporel (reconstruit par transformée de Fourrier inverse) tous les100 échantillons.Dans le cas standard (Fmin Fe/1000), le fait de supposer le signal comme périodique avec une période égale àl'horizon introduit un artefact dans le calcul de la transformée de Fourier, artefact appelé phénomène de Gibbs.En effet, si la valeur initiale est différente de la valeur finale sur l'horizon temporel, la transformée considère qu'ily a discontinuité et injecte alors des fréquences pour représenter cette discontinuité. Le mécanisme pours'affranchir de cet artefact est de multiplier le signal temporel par une fenêtre qui tend vers zéro sur les deuxbords de l'horizon temporel. Ce mécanisme s'appelle filtrage temporel car il modifie le spectre du signal résultant.Il existe dans la littérature technique un grand nombre de fenêtres adaptés à divers contextes de signaux et demesureS
42Département Mesures physiquesIUT OrsayQuantificationDans un système numérique, les variables doivent être non seulement échantillonnées pour pouvoir êtremémorisées dans des cases mémoire ou des registres, mais aussi quantifiées, car ces cases mémoire sontconstituées d’unités binaires d’information ou bit1.Quantifier une valeur analogique revient à convertir cette valeur en une succession de bits représentant cettevaleur dans un système de codage à définir. Il existe différents normes de codage des valeurs réelles dans unordinateur. Dans le cours de langage C, on insiste sur la norme à virgule flottante utilisable par les unitésarithmétiques flottantes intégrées aux processeurs centraux des ordinateurs.Le problème est différent concernant la capture de valeurs analogiques. Le codage doit être
Traitement du Signal Imprimé le 19/07/11 33 Université Paris-Sud ORSAY Département Mesures Physiques Année 2003-04 Cours de Traitement du Signal Partie 2 Transformation Signal continu Signal échantillonné Corrélation, modulation, détection, Laplace Roger REYNAUD temps fréquences e 2πj ν t δ(f-ν) Réel Imaginaire Réel Imaginaire
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