Traitement Numérique Du Signal (Partie 2)

EII2Traitement Numériquedu Signal(Partie 2)Support de coursOlivier seignements/Tns/Tns.php

Plan du cours Partie IIIV. Analyse des filtres numériques1. Spécification, classification, représentation2. Analyse fréquentielle3. Structures des filtres RII et RIFV. Transformées en TNS1. TFD, convolution linéaire2. TFR : Transformée de Fourier RapideVI. Quantification - évaluation de la précision1. Quantification2. Effets de la quantification en TNS2Plan du cours Partie II (suite)VII. Synthèse des filtres numériques RII1. Invariance Impulsionnelle2. Transformation BilinéaireVIII. Synthèse des filtres numériques RIF1. Introduction2. Filtres à Phase Linéaire3. Méthode du Fenêtrage4. Échantillonnage en Fréquence3

Plan du cours (fin)IX. Analyse spectrale1. Effets de la troncature2. Caractéristiques des fenêtres3. Influence sur l'analyseX. Systèmes multi-cadences1. Définition2. Décimation3. Interpolation4IV. Analyse des filtres numériques1. Spécification, classification, représentation2. Analyse fréquentielle3. Structures des filtres RII et RIF5

IV Filtrage Numérique1IntroductionDéfinition– Système Linéaire Discret (SLD) modifiant la représentationtemporelle et fréquentielle de signauxFiltre Numériquex(n) X(z)y(n) Y(z)h(n) H(z)1. IntroductionUn filtre numérique peut être représenté par :– une fonction de transfert en z : H(z) Y(z) / X(z)X(z)H(z)Y(z)6Notes :

IV Filtrage Numérique1IntroductionH1(z)X(z)H(z)Y(z)X(z) H2(z)Y(z).a) Forme directeHM(z)b) Forme parallèleX(z)H1(z).H2(z)HM(z)Y(z)c) Forme cascade y (nT ) x(kT )h[(n k )T ]k 0 y ( n) x (k )h(n k )k 0Notes :x(n)h(n)y(n)7

IV Filtrage Numérique1Introductionsi x(n) δ(n) alors y(n) h(n)– une équation aux différences (récursive ou non récursive)MNi 0i 1y (n) bi .x(n i ) ai . y ( n i )8Notes :

IV Filtrage Numérique2Spécification d’un filtre numérique2.Spécification d’un filtre numérique– Gabarit fréquentielPasse-Bas (ou Passe-Haut) défini par sa sélectivité, son ondulationen BP et son atténuation en BABande de transitionBande atténuéeBande passante H(f) (dB) H(f) fp1 δ111-δ120log(1 δ1)0 dB20log(1-δ1)δ2f20logδ2fpfaa) Gabarit fréquentiel linéaireNotes :faFe/2fb) Gabarit fréquentiel en dB9

IV Filtrage Numérique2Spécification d’un filtre numériquePasse-Bande (ou Réjecteur de Bande) défini par sa fréquencecentrale, sa sélectivité, son ondulation en BP et son atténuationen BA H(f) 1 δ111-δ1δ2fa-fp-fp fa fe/2 f10Notes :

IV Filtrage Numérique3Classification des filtres numériques3Classification des filtres numériquesUn filtre numérique peut être classé selon :– la durée de sa réponse impulsionnellefinie : les filtres RIF ont leur réponse impulsionnelle à support finii.e. h(n) 0 pour n 0 et n Ninfinie : les filtres RII ont leur réponse impulsionnelle à support infinii.e. h(n) 0 n– le type de représentation temporellerécursifs : la sortie y(n) dépend de l’entrée courante, des entrées précédentes etdes sorties précédentesnon récursifs : la sortie y(n) ne dépend que de l’entrée courante et des entréesprécédentesNotes :11

IV Filtrage Numérique3.1Filtres numériques non récursifs3.1 Filtres numériques non récursifs(ou transversaux)My (n) bi x(n i )i 0Y ( z) H ( z) X ( z)MM H ( z ) bi z h(n) z ni 0 in 0M h(n) bi δ (n i )i 0Les coefficients bn du filtre sont les valeurs de la RI (h(n) bn). Cecimontre qu'un filtre non récursif est à Réponse ImpulsionnelleFinie (RIF).M est appelée la longueur du filtre.12Notes :

IV Filtrage Numérique3.1Filtres numériques non récursifs Principales propriétés– Les RIF sont toujours stables (pas de pôles)– Les RIF peuvent avoir une caractéristique de phase linéaire Retard constant en fréquence (temps de propagation de groupe) Pas de distorsion harmonique Symétrie de la RI– A sélectivité équivalente, ils sont toujours plus coûteux (en temps decalcul) que leur équivalent RII13Notes :

IV Filtrage Numérique3.2Filtres numériques récursifs3.2 Filtres numériques récursifsMNy (n) bi x( n i ) ai y (n i )i 0i 1M b z ii H ( z) i 0N1 ai z i N ( z)D( z )i 1En pratique on a N M, N est appelée l'ordre du filtre.14Notes :

IV Filtrage Numérique3.2Filtres numériques récursifs– Si N(z) n'est pas divisible par D(z) (cas général), on a un nombreinfini de termes dans la division polynomiale. H ( z ) ci z h(n) z ni 0 in 0Les coefficients cn sont les valeurs de la RI (h(n) cn). Ceci montrequ'un filtre récursif est, dans le cas général, à RéponseImpulsionnelle Infinie (RII).– Si N(z) est divisible par D(z) (cas particulier), on a un nombre fini determes dans la division polynomiale. Dans ce cas, le filtre est RIF. Exemple : filtre moyenneur15Notes :

IV Filtrage Numérique3.2Filtres numériques récursifsM– Si N(z) 1 : filtre tout-pôle– Si D(z) 1 : filtre RIF Principales propriétés b z iiH ( z) i 0N1 ai z i N ( z)D( z )i 1– Les RII peuvent être instables : structure à base de pôles et de zérosMH ( z ) b0 zN M (z z )ii 1N (z p )ii 1– Bande de transition faible– Synthèse par réutilisation des méthodes analogiques– Instabilité numérique due au rebouclage : forme cascade plus stable16Notes :

IV Filtrage Numérique4Analyse fréquentielle4.Analyse fréquentielleL'analyse fréquentielle est l'étude du module, de la phase et du tempsde propagation de groupe du filtre H.H ( e jΩ ) H ( z )z e jΩΩ est la pulsation relative : Ω ωT 2πfTLa fonction de transfert en fréquence H(ejΩ) est périodique de période2π. H(ejΩ) πNotes :2πΩ17

IV Filtrage Numérique4Analyse fréquentielleConclusionTrois domaines de représentation– Temporel h(n), équation aux différences– Fonction de transfert en z, diagramme des pôles/zéros– Fréquentiel H(Ω), module, phaseh( n )TZTZI i 0Ni 0i 1y (n) bi .x( n i ) ai . y ( n i ) H ( z ) ci z h(n) z n iMTFn 0z ejΩTFIH ( e jΩ ) H ( z )z e jΩ18Notes :

IV Filtrage Numérique4Analyse fréquentielleExemple 1pordre1.aviH ( z) zz aa 1 a 119Notes :

IV Filtrage Numérique4Analyse fréquentielleExemple 2pzordre1.aviH ( z) zz aa, b 0.9 a, b 0.920Notes :

IV Filtrage Numérique4Analyse fréquentielleExemple 3paordre2.aviH ( z) z( z p)( z p*)p p 121Notes :

IV Filtrage Numérique4Analyse fréquentielleExemple 4prordre2.aviH ( z) z( z p)( z p*)p p 0.922Notes :

IV Filtrage Numérique5Structures de réalisation5.Structures de réalisation– Filtres RIFNy (n) bi x(n i )i 0x(n)b0x(n)Z-1x(n-1) b1x(n-N) y(n)Z-1y(n)b1 bN-1 Z-1b0Z-1bN-1 bNbNa) Structure directeZ-1b) Structure transposée23Notes :

IV Filtrage Numérique5Structures de réalisation– Filtres RIINNi 0i 1y (n) bi x( n i ) ai y (n i )NN ( z)1 H ( z) N ( z) bi z i D( z )D( z ) i 01N1 ai z ii 1b0x(n)Z-1Z-1b1 bN-1 y(n)-a1Z-1Z-1x(n-1)-aN-1bN-aNRIFRIIZ-1Z-1x(n-N)a) Structure directeNotes :b0x(n)b1 y(n)-a1Z-1y(n-1)bN-1 -aN-1bN-aNZ-1y(n-N)24

IV Filtrage Numérique5Structures de réalisation– Filtres RII1H ( z) N ( z) D( z )N1N1 ai z i bi z ii 0i 1N w(n) x (n) ai w(n i )i 1 N y (n) bi w(n i ) i 01 .X ( z) W ( z ) D( z ) Y ( z ) N ( z ).W ( z )w(n)x(n)b0 -a1Z-1Z-1-aN-1-aNRIIZ-1b1 y(n) bN-1 Z-1bNRIF25Notes :

IV Filtrage Numérique5Structures de réalisation– Filtres RIIx(n)b0 w(n) y(n)x(n)b0Z-1y(n)Z-1b1-a1 b1 -a1w(n-1)Z-1a) Structure canonique directe-aN-1 Z-1bN-1bN-1 Z-1-aNbNbNZ-1 w(n-N)-aN-1-aNb) Structure canonique transposée– Forme cascade de filtres du second ordreN 12N 12i 1i 1H ( z ) Hi( z ) X(z)Notes :H1(z)bi , 0 bi ,1 z 1 bi , 2 z 2H2(z)1 ai ,1 z 1 ai , 2 z 2.HK(z)Y(z)26

V. Transformées en TNS1. TFD, convolution linéaire2. TFR : Transformée de Fourier Rapide27Notes :

VTransformées en TNS1Rappels TFSD : Transformée de Fourier d'un Signal Discret X (e jωT ) x(nT ) e jnωTn x(nT) non périodique jΩ jnΩ X (e ) x( nT ) en π x( nT ) 1 X (e jΩ ) e jnΩ dΩ 2π π Propriétés– Linéarité– Décalage en temps/fréquence– Produit de convolution en temps/fréquence– Théorème de Parseval– Transformées de fonctions réellesNotes :28

VTransformées en TNS2Transformée de Fourier Discrète TFD– En pratique, on prend seulement un nombre fini d'échantillons dex(nT). On ne peut donc obtenir qu'un nombre fini d'échantillonsfréquentiels de X(ejΩ).knN 1 2 jπ NX(k) x(n)ek 0.N 1 n 0 knN 1 2 jπ x ( n) 1NX(k)en 0.N 1 N k 0x(n)x(n) est considéré comme périodiquede période N, x(n) x(n qN)X(k) est donc également périodique depériode N, X(k) X(k qN)X(k)TFDN-1Pas temporel : T 1/FeNotes :N-1nPas fréquentiel : 1/NT Fe/Nk29

VTransformées en TNS2Transformée de Fourier Discrète Propriétés– Linéarité– Décalage en temps/fréquence– Produit de convolution en temps/fréquence Convolution discrète Convolution circulaire (ou périodique)– Théorème de Parseval– Transformées de fonctions réelles Relation entre TFSD et TFD– Signaux de durée finie ou périodique– Cas général ?30Notes :

VTransformées en TNS2Transformée de Fourier Discrète DéfinitionknN 1 2 jπ Nk 0.N 1 X ( k ) x ( n) e n 0 knN 1 2 jπ x( n) 1NX (k ) en 0.N 1 N k 0TFDX(k) x(n)x(n) et X(k) sont, dans le cas général, des nombres complexes. Forme MatricielleX(0)X(1).X(N-1) (N-1)NX W. xWN e(2) 2 jπNWNn k eNotes :2 x(0)x(1).x(N-1) 2 jπknN31

VTransformées en TNS2Transformée de Fourier DiscrètennPropriétés des W N e -2jπ Nk(N-n)kn (W N )*WNknk(n N)(k N)nWN W N WNn N/2nWN -W N2knknWN W exité de calculLa TFD revient à calculer un produit matrice-vecteur où chaque élément est de typecomplexe. La complexité de calcul de la TFD est de N2 multiplications, et de N(N-1)additions sur des nombres complexes. Ceci revient à une complexité de 4N2multiplications réelles et N(4N-2) additions réelles. Cet algorithme se comporte donc enO(N2), mais ne possède pas de problèmes d'adressage car les x(n) et les Wi sont rangésdans l'ordre en mémoire.– En 1965, Cooley et Tuckey [COOLEY 65] ont publié unalgorithme applicable quand N est le produit de 2 ou plusieursentiers dont la complexité est en O(Nlog2N)32Notes :

VTransformées en TNS3Transformée de Fourier Rapide TFR (FFT) partagée dans le temps (DIT)X(k) x(n).WNnk x(n).WNnkn pairX(k) nimpairN/2 1N/2 1n 0n 0 x(2n).WN2nk x(2n 1).WN(2n 1)kEn exploitant la propriété 3.4, on obtient :X(k) N/2 1N/2 1n 0n 0nkknk WN. x(2n 1).WN/2 x(2n).WN/2X(k) G(k) WNk .H(k)(4)k 0,1,., N 1où G(k): TFD sur N/2 points d'indices pairs,H(k): TFD sur N/2 points d'indices impairs.N/2 1N N/2 1n(k N/2)n(k N/2) WNk N/2. x(2n 1).WN/2X(k ) x(2n). WN/22n 0n 0NX(k ) G(k) WNk.H(k)233Notes :

TFR DIT x(0)0W8x(2)TFDx(4)N/2 ptsW 81Wx(6)283X(0)X(1)X(2)X(3)W8x(1)Wx(3)TFDx(5)N/2 pts48W 58Wx(7)68X(4)X(5)X(6)X(7)W 78O(N 2 )O(N)2 TFD de taille N/2N/2 papillonsXm 1 (p)Xm (p)rXm 1 (p) X m (p) W N X m (q)rXm 1 (q) X m (p) - W N X m(q)Papillon DITXm (q)(6)Xm 1 (q)rWN-1Complexité d'un papillon : 1 multiplication complexe, 2 additions/soustractions complexes34Notes :

N log N multiplications de nombres complexes,22N log2 N additions/soustractions de nombres complexes, ou, TFR DIT 2 N log2 N multiplications de nombre réels,3 N log2 N additions/soustractions de nombre réels.FFT DIT RADIX-2 en place sur 16 pointsX(0)X(0)X(1)X(8)0entrée ordre (Décimation )X(8)1X(13)64X(14)7X(15)6FFTW eAFFT inverseA' A BWB' A - BW-2j πNkkA' A BWB' A - BWW e-2j πNsortie ordre normalX(4)A'-k-kkBB'35Notes :

TFR DIF TFR (FFT) partagée dans les fréquences (DIF)N/ 2 1N 1n 0n N / 2 x(n).WNnk x(n).WNnkX(k) N/ 2 1 X(k) nkx(n).WNn 0N/ 2 1X(k) k.N / 2 WNN/2-1. x(n n 0Nnk).WN2(7)N [ x(n) ( 1) k .x(n 2 )] WNnkn 0Xm 1 (p)Xm (p)X(0)x(0)x(1)TFDN/2 ptsx(2)x(5)x(6)x(7)X(4)Xm (q)X(6)x(3)x(4)X(2)W08W18W28W38-1rXm 1 (q)WNX(1)TFDN/2 ptsX(3)X(5)X(7)Xm 1(p) Xm(p) Xm(q)rXm 1(q) [Xm(p) - Xm(q)] WN(8)36Notes :

TFR DIFFFT DIF RADIX-2 en place sur 16 e)-2j πNX(14)X(1)kA' A BB' (A-B) WW e-2j πNX(9)X(5)0X(13)X(3)0X(11)0X(15)X(7)AFFT inverseA' A BB' (A-B) WX(10)X(6)00FFTW eNotes :0X(8)(Décimation enX(12)X(2)0X(5)DIF:0-ksortie: ordre bit-reversedentrée: ordre normalX(4)X(8)X(4)0A'kBB'37