MAPSI Cours 1 : Rappels De Probabilités Et Statistiques
MAPSI — cours 1 :Rappels de probabilités et statistiquesVincent Guigue & Pierre Henri WuilleminLIP6 – Université Paris 6, France
1Fonctionnement de l’UE MAPSI2Variables aléatoires & probabilités : vocabulaire, définitions3Description d’une population, d’un échantillon4Variables multiples, loi jointe, conditionnelle5Indépendance probabiliste6ConclusionMAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques2/52
Règles de notationOrganisation :Cours : théorie & concepts, exemplesTD : applications & calculs sur feuilleTME : mise en oeuvre des méthodes sur des exemplesconcretsNotation :Examen final : 50% 75% questions sur des formulations analytiques calcul 25% questions algo/codePartiel : 35%Notes de participation : 15%Attention : l’essentiel de la note est constitué du travaileffectué durant la séanceSoumission obligatoire du code de TME en fin deséance. Et commentaires bienvenus pour faciliter la correctionMAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques3/52
Horaires, salles, etc.Pour toutes les informations pratiques :https://cal.ufr-info-p6.jussieu.fr/master/ Cocher M1-IMARépartition dans les groupes quasi-figéeMail & nouvelles fraiches pour les informations de dernièreminuteMattermost ( slack gratuit) pour échanger sur lesproblèmes scientifiqueshttps://channel.lip6.fr/signup usercomplete/?id gfi6m539d7n88k3gzsxa56p14cMAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques4/52
COVID.Pour les cours,Pour les TD,Pour les TP Plusieurs classes de problèmes :1Matériel : ordinateur, espace de travail & connexion2Motivation : comment faire pour travailler à distance ?3Interaction : comment bénéficier du prof ?4Impact financierMAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques5/52
Pourquoi faire MAPSI ?Parce que c’est obligatoireParce que c’est un bon rappel de statistiques pour.Comprendre la littérature scientifique en généraleComprendre comment fonctionne l’analyse de donnéesParce que c’est la porte d’entrée vers les sciences desdonnées !DatabaseWebPersonalsensorsSensors /radarsTabular dataMedical ImagesState-of-theart modelsMAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiquesEfficientpredictors6/52
Pourquoi faire MAPSI ?Parce que c’est obligatoireParce que c’est un bon rappel de statistiques pour.Comprendre la littérature scientifique en généraleComprendre comment fonctionne l’analyse de donnéesParce que c’est la porte d’entrée vers les sciences desdonnées !DatabaseWebPersonalsensorsSensors /radarsTabular dataMedical ImagesState-of-theart modelsEfficientpredictorsTechno web,scrapping, .MAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques6/52
Pourquoi faire MAPSI ?Parce que c’est obligatoireParce que c’est un bon rappel de statistiques pour.Comprendre la littérature scientifique en généraleComprendre comment fonctionne l’analyse de donnéesParce que c’est la porte d’entrée vers les sciences desdonnées !DatabaseWebModèle deréférence robustePersonalsensorsSensors /radarsMedical ImagesTechno web,scrapping, .ComprendreTabulardata lesinformationsélémentairesState-of-theart modelsEfficientpredictorsMAPSIMAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques6/52
MAPSI, un peu plus concrètementFaire le lien entre une situation réelle et un modèle Statistique1avec un modèle paramétriqueMAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques7/52
MAPSI, un peu plus concrètementFaire le lien entre une situation réelle et un modèle Statistique1avec un modèle paramétriqueSituation réelleMAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques7/52
MAPSI, un peu plus concrètementFaire le lien entre une situation réelle et un modèle Statistique1avec un modèle paramétriqueSituation réelleClasse AClasse BMAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques7/52
MAPSI, un peu plus concrètementFaire le lien entre une situation réelle et un modèle Statistique1avec un modèle paramétrique2avec un modèle agnostiqueSituation réelleClasse AClasse BMAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques7/52
1Fonctionnement de l’UE MAPSI2Variables aléatoires & probabilités : vocabulaire, définitions3Description d’une population, d’un échantillon4Variables multiples, loi jointe, conditionnelle5Indépendance probabiliste6ConclusionMAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques8/52
Vocabulaire opulation (statistique) : ensemble des objets (ou personnes)sur lesquels porte l’étudeindividu : chaque élément de la populationMAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques9/52
Vocabulaire (2/3)caractèremodalitéIndividuAge :Taille :Prof :Grade :57 ans1m80militaireColonelcaractères quantitatifsvariables statistiquescaractères qualitatifscaractère ordinalDéfinitionsCaractères : critères d’étude de la populationModalités : les valeurs que peuvent prendre les caractèresCaractère quantitatif ou Variable statistique : ensemble demodalités des nombres échelle mathématiqueCaractère qualitatif ou Variable catégorielle :caractère non quantitatifCaractère ordinal : les modalités sont ordonnéesMAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques10/52
Vocabulaire (3/3)IndividuAge :Taille :Prof :Grade :57 ans1m80militaireColonelvariable discrètevariable continueDéfinitions sur les variables statistiquesVariable discrète : définie sur un espace discret(par exemple des entiers)Variable continue : définie sur un continuum (toutes lesvaleurs numériques d’un intervalle)MAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques11/52
Effectifs, fréquences et distributionsQuelques définitions de statistiquesX : caractère défini sur une population de N individus{x1 , . . . , xI } modalités de XNi effectif de xi nombre d’individus pour lesquels X a pris la valeur xifréquence ou effectif relatif : fi NiNdistribution de X : ensemble des couples {(x1 , f1 ), (x2 , f2 ), . . .}Représentation usuelle sous forme de tableauStatistiques description d’un échantillonProbabilités description d’une population.MAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques12/52
Probabilités : approche évènementielledé inférieur à 3événement élémentaireΩévénement impossibleMAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques13/52
Les événements : des ensembles (1/2)événement sous-ensemble de ΩA événement impossibleA B BA BC DΩCDC DMAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques14/52
Les événements : des ensembles (2/2)Notations ensemblistes :événements sous-ensembles de Ω événement impossibleA B événement qui est réalisé si A ou B est réaliséC D événement qui est réalisé si C et D sont réalisésC D complémentaire de C D dans Ω événement qui est réalisé ssi C D ne l’est pasA B 2 événements qui ne peuvent se réaliser simultanémentMAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques15/52
Définition des probabilités : le cas discretDéfinition des probabilités (Kolmogorov)Ω ensemble fini ou dénombrabled’événements élémentaires ek , k K NA 2 Ω ensemble des événementsMesure de probabilité : A A, 0 P(A) 1P(Ω) 1SA k L Ak , avec L ensemble dénombrable et, j, k L, j 6 k , Aj Ak ,XP(A) P(Ak ).k L Les probabilités des événements élémentaires déterminententièrement Pconséquence : P(A B) P(A) P(B) P(A B)MAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques16/52
Univers, Evènements et Variable Aléatoire (1/5)Quelques définitions de probabilitésUnivers Ω : un ensemble dénombrable (fini ou infini)Evènement : un sous-ensemble de l’univers ΩMesure de probabilité :une fonction qui associe à chaque évènement une valeurentre 0 et 1, la probabilité de Ω est 1, et la probabilité d’uneunion dénombrable d’évènements incompatibles(ensembles disjoints) est la somme de leurs probabilités.Espace probabilisé :un couple (Ω, P) où P est une mesure de probabilité sur ΩVariable aléatoire .MAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques17/52
Univers, Evènements et Variable Aléatoire (2/5)Variable aléatoireLorsqu’on est face à une expérience aléatoire, on s’intéresseplus souvent à une valeur attribuée au résultat qu’au résultatlui-même.ExemplesLorsque l’on joue à un jeu de hasard on s’intéresse plus augain que l’on peut obtenir qu’au résultat du jeu.Nombre de pannes dans un ensemble de systèmes plutôtque l’état exact des systèmesSolution : “traduire” l’univers en évènements“compréhensibles“. variable aléatoire : application de l’univers Ω vers un autreensemble.MAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques18/52
Univers, Evènements et Variable Aléatoire (3/5)Exemple du lancer de déOn lance un dé après avoir misé 1EUR. Si le résultat est un 5 ouun 6 on double la mise, sinon perd la mise. Dans ce cas :Ω {1, 2, 3, 4, 5, 6}Card Ω 6, et e Ω, P(e) 16Soit X la v .a. qui associe à tout résultat du dé un gain :X (1) X (2) X (3) X (4) 1 etX (5) X (6) (2 1) 1X est à valeur dans l’ensemble noté X { 1, 1} R,X :Ω XQuestion :Comment calculer la probabilité de gagner 1EUR ?Réponse : Définir une probabilité sur X , notée P, enretournant dans l’espace probabilisé (Ω, P(Ω), P)i.e. utiliser P(résultat du dé 5 ou 6) pour estimer P({1}).MAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques19/52
Variable aléatoire à valeurs discrètes (4/5)Définition Variable aléatoire à valeurs discrètesSoit Ω un ensemble dénombrable, et P une mesure deprobabilité sur Ω.Soit Ω0 , un ensemble discret. Une variable aléatoire est unefonction X de Ω muni de la mesure P vers Ω0 .ExemplesLancer d’un dé :Soit Ω {1, ., 6} muni de la probabilité uniforme P.1 si i est pairX : i 7 0 sinonest une variable aléatoire de (Ω, P) vers Ω0 {0, 1}.Lancer de deux dés :Soit Ω {1, ., 6}2 muni de la probabilité uniforme P.X : (i, j) 7 i jest une variable aléatoire de (Ω, P) vers Ω0 {2, ., 12}MAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques20/52
Variable aléatoire à valeurs discrètes (5/5)Définitions : Loi de probabilitéSoit (Ω, P) un espace probabilisé où Ω est dénombrable.Soit Ω0 un ensemble discret, et X une v.a. de (Ω, P) vers Ω0 .PX définit une mesure de probabilité sur Ω0 : E 0 Ω0 , PX (E 0 ) P X 1 (E 0 ) avec X 1 (E 0 ) ω Ω X (ω) E 0 L’ensemble des valeurs PX {ω 0 } pour ω 0 Ω0 s’appelle laloi de probabilité de X .NotationsL’événement X ] , a] sera noté par X aL’événement X ]a, b] sera noté par a X bL’événement X {a} sera noté par X aOn a donc PX (B) P(X 1 (B)) P(X B)MAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques21/52
1Fonctionnement de l’UE MAPSI2Variables aléatoires & probabilités : vocabulaire, définitions3Description d’une population, d’un échantillon4Variables multiples, loi jointe, conditionnelle5Indépendance probabiliste6ConclusionMAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques22/52
D ESCRIPTION D ’ UNE POPULATIONA partir d’un échantillonEn simplifiant les données continuesSimplifiant les différentes dimensions, .1.00.80.60.40.20.00.00.20.40.60.81.0MAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques23/52
D ESCRIPTION D ’ UNE POPULATIONA partir d’un échantillonEn simplifiant les données continuesSimplifiant les différentes dimensions, .81.00.00.20.40.60.81.0MAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques23/52
D ESCRIPTION D ’ UNE POPULATIONA partir d’un échantillonEn simplifiant les données continuesSimplifiant les différentes dimensions, 1.0010 0.60.81.00.00.20.40.60.81.0MAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques00.023/52
D ESCRIPTION D ’ UNE POPULATIONA partir d’un échantillonEn simplifiant les données continuesSimplifiant les différentes dimensions, 1.0010 0.60.8Moyennes : 0.561.00.590.00.20.40.60.81.000.00.47MAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques23/52
D ESCRIPTION D ’ UNE POPULATIONA partir d’un échantillonEn simplifiant les données continuesSimplifiant les différentes dimensions, 1.0010 0.60.81.00.00.20.40.60.81.000.0Moyennes : 0.56 0.59 0.47Ou même une moyenne générale : 0.54MAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques23/52
Description d’une populationDécrire parfaitement une population connaitre sa loi deprobabilitéExemples selon la nature des variables :en continu :en discret :0.0160.5Probabilité d'observationd'un 0.0020.000020406080Age (en années)1001200.001234Nb d'enfants de moins de 18 ans par familleMAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques24/52
Description d’une populationDécrire parfaitement une population connaitre sa loi deprobabilitéProblème général :Comment déduire la loi sur la population si on ne connait qu’unéchantillon ?Réponse dans les cours suivants.MAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques24/52
PropriétésCas général :Une distribution somme à 1Une probabilité est toujours 0Cas Continu :Chaque événement élémentaire a une proba 0(eg : proba d’avoir 40 ans)Mais proba d’être dans un intervalle 0(eg : proba d’avoir entre 40 et 50 ans)0.016P(A) surface délimitée par lafonction de densité dans lazone où les événements sontinclus dans AProbabilité d'observationd'un 0406080Age (en années)MAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques10012025/52
Probabilités : les détails dans le cas continu0.016Probabilité d'observationd'un 0406080Age (en années)100120ZP(X I) p(x)dxIavec P proba et p fonction de densité connaı̂tre p connaı̂tre Pintervalles ] , x[ fonction de répartition :Z xp(y)dyF (x) P(X x) MAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques26/52
DiscrétisationContinu DiscretPossibilité de discrétisation regroupement par tranchesModélisation approximative, mais manipulation plus 0.00040.200.00030.00020.00010.00000 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000Distribution des salaires en ution des salaires en FrancediscrétiséeMAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques27/52
Caractéristiques d’une loi de probabilités (1/2)CaractéristiquesEspérance mathématique ou moyenne : E(X )PX discrète : E(X ) xk pkZX continue : E(X ) x p(x)dxl’espérance mathématique n’existe pas toujoursMode : Mo de P (pas toujours unique) :X discrète : p(Mo) maxk p(xk )X continue : p(Mo) maxx p(x)Propriétés de l’espéranceE(aX b) aE(X ) b X , Y , E(X Y ) E(X ) E(Y )MAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques28/52
Caractéristiques d’une loi de probabilités (2/2)variance : V (X ) ou σ 2 :PX discrète : σ 2 [xk E(X )]2 pkZ2X continue : σ [x E(X )]2 p(x)dxmoyenne des carrés des écarts entre les valeurs prisespar X et son espérance E(X )écart-type : σ racine carrée de la variancevariance et donc écart-type n’existent pas toujoursProp : Y aX b, où a et b sont des nombres réelsV (Y ) a2 V (X )Prop : V (X ) E[X 2 ] E[X ]2MAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques29/52
Résumer les informations prépondérantesIdées :1Caractériser rapidement une distribution2Donner en quelques chiffres une idée approchée del’ensemble de la distribution de probabilité.Espérance, variance moments 00020.00010.00000 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000Niveau du sol sur la planèteMédiane 1650, Moyenne 2000Quantiles (médianes, .)MAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques30/52
Médiane d’une variable statistique continueMédiane d’une variable statistique continueX : variable statistique continueMédiane le nombre δ tel que les aires situées de part etd’autre de ce nombre dans l’histogramme représentant X sontégalesMédiane M : P(X M) 12et P(X M) 0.00000 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000MAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques31/52
Les quantilesQuantile d’une variable discrèteX : variable statistique discrète, modalités {x1 , . . . , xI }population de N individus (Ni effectif de xi )quantile d’ordre α δ tel que :XXNi αN etNi (1 α)Ni {j:xj δ}i {j:xj δ}Quantile d’une variable continueX : variable statistique continuequantile d’ordre α le nombre δ tel que les aires situées depart et d’autre de ce nombre dansl’histogramme représentant X sontégales respectivement à α aire totaleet (1 α) aire totaleMAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques32/52
1Fonctionnement de l’UE MAPSI2Variables aléatoires & probabilités : vocabulaire, définitions3Description d’une population, d’un échantillon4Variables multiples, loi jointe, conditionnelle5Indépendance probabiliste6ConclusionMAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques34/52
Loi de probabilité sur plusieurs variables aléatoiresChaque individu de la population est décrit sur plusieurscaractèresExemples :Carte à jouer : Couleur (Trefle, Carreau, Coeur, Pique),Valeur (7, ., Roi)Sportifs : Age ( 20, ., 50), Sport pratiqué (Natation.)Loi jointe P(A, B) : décrire toutes les intersections possiblesExemple :Sport \ AgeNatationJoggingTennis 200.020.100.02[20, 30[0.050.150.03[30, 40[,0.090.100.06[40, 50[0.080.070.07 500.080.050.03NB : l’ensemble de l’univers Ω somme toujours à 1MAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques35/52
Loi marginaleDéfinitionLa marginalisation consiste à projeter une loi jointe sur l’unedes variables aléatoires.Par exemple, extraire P(A) à partir de P(A, B).P(A) XP(A, B bi )iSport \ AgeNatationJoggingTennis 200.020.100.02[20, 30[0.050.150.03[30, 40[,0.090.100.06[40, 50[0.080.070.07 500.080.050.03Marginale0.320.470.211La marginale extraite ici correspond à P(Sport). La nouvelle loisomme toujours à 1.MAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques36/52
Loi marginaleDéfinitionLa marginalisation consiste à projeter une loi jointe sur l’unedes variables aléatoires.Par exemple, extraire P(A) à partir de P(A, B).P(A) XP(A, B bi )iSport \ AgeNatationJoggingTennisMarginale 200.020.100.020.14[20, 30[0.050.150.030.23[30, 40[,0.090.100.060.25[40, 50[0.080.070.070.22MAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques 500.080.050.030.1636/52
Probabilités conditionnelles (1/5)Définitionla probabilité d’un événement A conditionnellement à unévénement B, que l’on note P(A B), est la probabilité que A seproduise sachant que B s’est ou va se produire.Rem : P(A Ω) P(A) puisqu’on sait que Ω sera réaliséProblème : comment calculer P(A B) ?MAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques37/52
Probabilités conditionnelles (2/5)ExempleTirer une carte parmi un jeu de 32 cartesΩ {32 cartes}événements : A tirer un roiB tirer un cœurP(A B) ?Interprétation de P(A B)Dans l’univers réduit B (Ω0 B), quelle est la probabilité de A ?MAPSI — cours 1 : Rappels de probabilités et statistiques38/52
Probabilités conditionnelles (2/5)ExempleTirer
1 Fonctionnement de l’UE MAPSI 2 Variables aleatoires & probabilit es : vocabulaire, d efinitions 3 Description d’une population, d’un echantillon 4 Variables multiples, loi jointe, conditionnelle 5 Independance probabiliste 6 Conclusion MAPSI — cours 1 : Rappels de probabilites et statistiques 2/52
Sujets Spéciaux (STT2000) cours d'option cours d'ouverture nouveau cours nouveau cours nouveau nouveau cours nouveau cours nouveau cours nouveau cours nouveau cours nouveau cours nouveau cours SAS / R!9. exemple d'horaire 2 1 Toutes les concentrations 9h 10h 11h 12h 13h 14h 15h 16h 17h 18h 19h 20h 21h Automne lundi mardi mercredi jeudi vendredi M1112 Calcul 1 M1112 Calcul 1 TP M1112 .
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Rappels de Statistiques 1 Rappels sur les tests param etriques On suppose que l’on etudie un ph enom ene gouvern e par une loi P θ d ependant d’un param etre θ qui appartient a un ensemble Θ, r eunion disjointe de Θ 0 et Θ 1. On dispose des observations x 1,.,x n du ph enom ene etudi e de loi P θ inconnue. Effectuer un test de H 0: θ Θ 0 contre H 1: θ Θ 1 .
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