Apuntes De MØtodos NumØricos
Apuntes de Métodos Numéricos2o E.T.S.I. TelecomunicaciónUniversidad de MálagaCarlos García Argos o 2002/2003
ÍNDICE GENERALÍNDICE GENERALÍndice general1. Errores111.1. Introducción a los métodos numéricos computacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111.2. Generación y propagación de errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111.2.1. Representación de números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121.2.2. Truncamiento y redondeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131.2.3. Errores en la representación de números en punto flotante . . . . . . . . . . . . . . .141.2.4. Errores generados en la aritmética de punto flotante: . . . . . . . . . . . . . . . . . .181.3. Inestabilidad de problemas y métodos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212. Álgebra lineal numérica I252.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .252.1.1. Teorema de Rouché-Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .252.1.2. Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .262.1.3. Cálculo de la inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .262.2. Métodos directos para sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .272.2.1. Introducción: métodos directos e indirectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .272.2.2. Métodos directos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .272.2.3. Teorema de equivalencia de sistemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .292.2.4. Método de eliminación de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .292.2.5. Métodos de Crout y Doolittle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .352.2.6. Método de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .382.2.7. Métodos de ortogonalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .432.3. Sistemas sobredeterminados y pseudoinversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .492.3.1. Sistemas sobredeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .492.3.2. Pseudo-inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .542.4. Estimaciones de error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .562.4.1. Condicionamiento de una matriz invertible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59Carlos García Argos (garcia@ieee.org)3http://www.telecos-malaga.com
ÍNDICE GENERALÍNDICE GENERAL2.4.2. Condicionamiento de un problema de mínimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . .612.4.3. El residual y el refinamiento iterativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .612.5. Métodos iterativos para sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .622.5.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .622.5.2. Métodos de punto fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .622.5.3. Comparación de métodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .642.5.4. Métodos de descomposición o partición regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .642.5.5. Métodos iterativos basados en la optimización de una función . . . . . . . . . . . . .753. Álgebra lineal numérica II793.1. Cálculo de autovalores y autovectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .793.1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .793.1.2. Localización de los autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .813.1.3. Métodos de cálculo del polinomio característico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .823.2. Casos sencillos para calcular el polinomio característico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .873.2.1. Si A es tridiagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .873.2.2. Si A es Hessenberg superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .883.3. Métodos de reducción a matriz tridiagonal y a matriz Hessenberg . . . . . . . . . . . . . . . .893.3.1. Reducción por semejanza con el método de Givens . . . . . . . . . . . . . . . . . . .893.3.2. Reducción por semejanza con el método de Householder . . . . . . . . . . . . . . . .903.4. Método de la potencia, de la potencia inversa y deflación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .923.4.1. Método de la potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .923.4.2. Método de la potencia inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .953.4.3. Método de deflación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .963.5. Método de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .983.6. Método QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .994. Interpolación y aproximación1014.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.2. Interpolación: introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.3. Interpolación polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.3.2. Interpolación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.3.3. Método de interpolación de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.3.4. Polinomio de interpolación de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.3.5. Error de interpolación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.4. Interpolación osculatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113http://www.telecos-malaga.com4Carlos García Argos (garcia@ieee.org)
ÍNDICE GENERALÍNDICE GENERAL4.4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.4.2. Interpolación de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.5. Interpolación recurrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.6. Interpolación trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.7. Teoría de la aproximación en espacios vectoriales normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.7.2. Teoremas y definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.7.3. Método de las ecuaciones normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.8. Aproximación por mínimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.8.2. Aproximación polinomial por mínimos cuadrados continua . . . . . . . . . . . . . . . 1274.8.3. Aproximación trigonométrica por mínimos cuadrados continua . . . . . . . . . . . . . 1304.8.4. Aproximación polinomial por mínimos cuadrados discreta . . . . . . . . . . . . . . . 1314.8.5. Aproximación trigonométrica por mínimos cuadrados discreta . . . . . . . . . . . . . 1334.9. La transformada discreta de Fourier y el algoritmo FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365. Derivación e integración numéricas1375.1. Métodos de derivación numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.1.2. Grado de exactitud de una fórmula de derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1385.1.3. Error en las fórmulas de derivación numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.1.4. Fórmulas de derivación numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.1.5. Algoritmos Matlab para derivación numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.2. Métodos de integración numérica de Newton-Côtes y de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.2.1. Introducción al método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.2.2. Grado de exactitud de una fórmula de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465.2.3. Error en las fórmulas de integración numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465.2.4. Fórmulas de integración de Newton-Côtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.2.5. Error de las fórmulas de Newton-Côtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.2.6. Fórmulas compuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1485.2.7. Algoritmos Matlab para integración numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495.3. Técnicas avanzadas de cuadratura o integración numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1545.3.1. Método de extrapolación de Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1545.3.2. Método de Romberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.3.3. Algoritmos recursivos con estimación de error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.3.4. Métodos adaptativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.3.5. Fórmulas de Gauss o de cuadratura superexactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595.4. Integración impropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1675.5. Integración múltiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Carlos García Argos (garcia@ieee.org)5http://www.telecos-malaga.com
ÍNDICE GENERALÍNDICE GENERAL6. Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias1696.1. Problema de valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1696.2. Métodos unipaso de Taylor y de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1706.2.1. Introducción a los métodos unipaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1706.2.2. Error local de truncamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1706.2.3. Método de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1716.2.4. Métodos de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1716.2.5. Algoritmos en Matlab para métodos de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1776.3. Métodos multipaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816.3.1. Introducción a los métodos multipaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816.3.2. Error de truncamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1836.3.3. Algunos métodos multipaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1856.3.4. Algoritmos en Matlab para métodos multipaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1866.4. Convergencia y estabilidad de los métodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1996.4.1. Métodos unipaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1996.4.2. Métodos multipaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2026.5. Estimación de error de truncamiento y cambio de paso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2066.5.1. Algunos métodos con estimación de error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2076.6. Problema diferencial de valores de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2096.6.1. Método del disparo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2096.6.2. Método de diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2106.6.3. Métodos de elementos finitos o de proyección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2127. Resolución de ecuaciones no lineales2157.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2157.2. Métodos backeting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2167.2.1. Método de bipartición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2167.2.2. Método de la “regula falsi” (regla falsa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2187.2.3. Método de Pegasus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2197.2.4. Método de Illinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2197.3. Métodos de aproximaciones sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2217.3.1. Métodos de iteración de punto fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2227.3.2. Método de la tangente o de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2237.3.3. Método de Steffensen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2257.3.4. Método de Halley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2267.4. Condiciones de salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2267.5. Teoremas de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226http://www.telecos-malaga.com6Carlos García Argos (garcia@ieee.org)
ÍNDICE GENERALÍNDICE GENERAL7.6. Orden de un método iterativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2307.6.1. Acelerar la convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2327.6.2. Inestabilidad o mal condicionamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2337.7. Sistemas de ecuaciones no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2347.7.1. Iteración de punto fijo para sistemas de ecuaciones no lineales . . . . . . . . . . . . . 2347.7.2. Método de Newton para sistemas de ecuaciones no lineales . . . . . . . . . . . . . . . 2357.7.3. Métodos cuasi-Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2387.7.4. Test de terminación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2437.8. Métodos para ecuaciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2437.8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2437.8.2. Acotación de las raíces reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2437.8.3. Método de Lin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2457.8.4. Método de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2467.8.5. Método de Bairstow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2477.8.6. Método de Bernouilli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2497.8.7. Deflación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2508. Métodos numéricos de optimización8.1. Optimización no restringida251. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2518.2. Métodos iterativos de descenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2528.2.1. Búsqueda en línea exacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2538.2.2. Búsqueda en línea aproximada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2538.2.3. Convergencia global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2548.2.4. Método del gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2558.2.5. Método del gradiente conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2568.2.6. Método de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2598.2.7. Métodos cuasi-Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2628.3. Problema de mínimos cuadrados no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2658.3.1. Método de Gauss-Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2658.3.2. Método de Levenberg-Marquardt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2668.4. Programación no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2678.4.1. Definición y condiciones de mínimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2678.4.2. Métodos de penalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270Carlos García Argos (garcia@ieee.org)7http://www.telecos-malaga.com
ÍNDICE GENERALÍNDICE GENERALA. Resumen275A.1. Tema 1: Errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275A.1.1. Generación y propagación de errores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275A.2. Tema 2: Álgebra lineal numérica I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276A.2.1. Factorización LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276A.2.2. Definiciones de normas matriciales y vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278A.2.3. Métodos iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279A.3. Tema 3: Álgebra lineal numérica II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282A.3.1. Localización de autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282A.3.2. Cálculo del polinomio característico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282A.4. Tema 4: Interpolación y aproximación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286A.4.1. Interpolación polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286A.4.2. Interpolación osculatoria (Hermite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287A.5. Tema 5: Derivación e integración numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288A.5.1. Derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288A.5.2. Integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289A.5.3. Extrapolación de Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290A.6. Tema 6: Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias . . . . . . . . . . . . . . 290A.6.1. Métodos unipaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290A.6.2. Métodos multipaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291A.7. Tema 7: Resolución de ecuaciones no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291A.7.1. Métodos bracketing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291A.7.2. Métodos de aproximaciones sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291A.7.3. Ecuaciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292A.8. Tema 8: Métodos numéricos de optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293A.8.1. Optimización no restringida: métodos iterativos de descenso . . . . . . . . . . . . . . 293A.8.2. Programación no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294http://www.telecos-malaga.com8Carlos García Argos (garcia@ieee.org)
ÍNDICE GENERALÍNDICE GENERALPresentaciónEstos apuntes de la asignatura de Métodos Numéricos, impartida en la Escuela Técnica Superior de Ingenierosde Telecomunicación de la Universidad de Málaga se han escrito durante el actual curso 2002/2003, a partir delos apuntes anterior
NDICE GENERAL NDICE GENERAL Presentación Estos apuntes de la asignatura de MØtodos NumØricos, impartida en la Escuela TØcnica Superior de Ingenieros de Telecomunicación de la Universidad de MÆlaga se han escrito durante el actual curso 2002/2003, a partir de los apuntes anteriores, que contenían una serie de erratas e incorrecciones.
Artist Char 255. Composer Char 118. Date_Added Num DATETIME. Genre Char 18. Last_Played Num DATETIME. Last_Skipped Num DATETIME. Name Char 456. Plays Num BEST12. Skips Num BEST12. Time Num MMSS. Track_Count Num BEST12. Track_Number Num BEST12. Year Char 4. Table 1. WORK.MYITUNES Variables WORK.ITUNES is a collection of tracks.
Ley Núm. 8 de 8 de Enero de 2004, según enmendada (Contiene enmiendas incorporadas por las siguientes leyes: Ley Núm. 151 de 12 de Diciembre de 2005 Ley Núm. 161 de 1 de Diciembre de 2009, Art. 19.7 Ley Núm. 245 de 30 de Diciembre de 2010 Ley Núm. 74 de 18 de Mayo de 2011 Ley Núm. 90 de 9 de Junio de 2011 Ley Núm. 52 de 3 de Julio de 2013
Ley Núm. 154 de 5 de Agosto de 1988, según enmendada (Contiene enmiendas incorporadas por las siguientes leyes: Ley Núm. 187 de 12 de Agosto de 1995 Ley Núm. 12 de 1 de Mayo de 1997 Ley Núm. 175 de 19 de Diciembre de 1997 Ley Núm. 56 de 4 de Enero de 2003 Ley Núm. 460 de 23 de septiembre de 2004 Ley Núm. 100 de 27 de Septiembre de 2009
29 DRUG_ABU Num 8 2. 2. History of Drug Abuse Code: Form 2 30 ALCOHOL Num 8 2. 2. History of Alcohol Abuse Code: Form 2 31 DURATION Num 8 Prior Years of Dialysis (Yrs): Form 2 32 BLACK Num 8 Black Race (Coded as 0-1, from RACE): Form 2 33 RENAL_DX Num 8 Renal DX 34 ENROL_DT Num 8 Enrollment Date: Form 2
Ley Núm. 138 de 11 de Julio de 2012 Ley Núm. 119 de 15 de Octubre de 2013 Ley Núm. 106 de 23 de Julio de 2014 Ley Núm. 173 de 13 de Octubre de 2014 Ley Núm. 232 de 19 de Diciembre de 2014) Para establecer la “Ley para Fomentar la Exportación de Servicios”, a los fines de proveer el
rev. 30 de marzo de 2011 OGP Página 1 de 20 Ley de Contabilidad del Gobierno de Puerto Rico Ley Núm. 230 de 23 de Julio de 1974, según enmendada (Contiene enmiendas incorporadas por las siguientes leyes: Ley Núm. 37 de 16 de Junio de 1975 Ley Núm. 61 de 27 de Mayo de 1976 Ley Núm. 92 de 22 de Junio de 1977 Ley Núm. 54 de 18 de Junio de 1978
Ley Núm. 251 de 31 de diciembre de 2015 Ley Núm. 4 de 26 de enero de 2017 Ley Núm. 60 de 27 de enero de 2018 Ley Núm. 37 de 9 de abril de 2020) Para establecer la Ley de Salario Mínimo, Vacaciones y Licencia por Enfermedad de Puerto Rico; disponer que el salario mínimo federal aplicará en Puerto Rico de la misma forma y
menentukan kadar asam folat. Fortifikan yang ditambahakan asam folat sebanyak 1100 mcg/100 gr bahan dan Fe-fumarat 43.4 mg/100 gr bahan. Dari hasil penelitian didapatkan hasil kadar asam folat pada adonan sebesar 1078,51 mcg/100 gr, pada pemanggangan I sebesar 1067,97 mcg/100 gr,
