ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
PreliminaresProblemas de Valor InicialProblemas de ContornoECUACIONES DIFERENCIALESORDINARIASECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
PreliminaresProblemas de Valor InicialProblemas de mas de Valor InicialEl Método de EulerLos Métodos de Runge-Kutta (RK)Sistemas de Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales de Orden Superior3Problemas de ContornoIntroducciónEl Método de Disparo LinealEl Método de las Diferencias FinitasECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
PreliminaresProblemas de Valor InicialProblemas de cción2Problemas de Valor InicialEl Método de EulerLos Métodos de Runge-Kutta (RK)Sistemas de Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales de Orden Superior3Problemas de ContornoIntroducciónEl Método de Disparo LinealEl Método de las Diferencias FinitasECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
PreliminaresProblemas de Valor InicialProblemas de ContornoIntroducciónIntroducciónLas ecuaciones diferenciales se usan para construirmodelos matemáticos de problemas de la ciencia y laingeniería. A menudo se da el caso de que no hay unasolución analítica conocida, por lo que se necesitanaproximaciones numéricas.ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
PreliminaresProblemas de Valor InicialProblemas de ContornoIntroducciónIntroducciónLas leyes de la naturaleza no se suelen esconder detrásde fórmulas explícitas; lo que normalmente se puedemedir es cómo los cambios de una variable afectan a otravariable. Cuando se traduce esto en un modelomatemático, el resultado es una ecuación diferencial queinvolucraLa velocidad de cambio de la función desconocida.La variable dependiente.La variable independiente.ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
PreliminaresProblemas de Valor InicialProblemas de ContornoIntroducciónDefinicionesDefiniciónUna solución del problema de valor inicial (PVI)0y f (t, y ) , y (t0 ) y0en un intervalo [t0 , t1 ] es una función derivable y y (t) tal quey (t0 ) y0y0y (t) f (t, y (t)) t [t0 , t1 ] .ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
PreliminaresProblemas de Valor InicialProblemas de ContornoEl Método de EulerLos Métodos de Runge-Kutta (RK)Sistemas de Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales de Orden mas de Valor InicialEl Método de EulerLos Métodos de Runge-Kutta (RK)Sistemas de Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales de Orden Superior3Problemas de ContornoIntroducciónEl Método de Disparo LinealEl Método de las Diferencias FinitasECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
PreliminaresProblemas de Valor InicialProblemas de ContornoEl Método de EulerLos Métodos de Runge-Kutta (RK)Sistemas de Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales de Orden SuperiorEl Método de EulerSea [a, b] el intervalo en el que se quiere hallar la solución delPVI0y f (t, y ) , y (a) y0 .Se construirá un conjunto finito de puntos {(tk , yk )} que sonaproximaciones de la solución, o seay (tk ) yk .ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
PreliminaresProblemas de Valor InicialProblemas de ContornoEl Método de EulerLos Métodos de Runge-Kutta (RK)Sistemas de Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales de Orden SuperiorEl Método de EulerSe divide el intervalo [a, b] en M subintervalos del mismotamaño usando la partición dada portk a kh; k 0, 1, ., M,siendo h b aMel tamaño del paso.Se procede a resolver aproximadamente0y f (t, y ) , y (t0 ) y0en [t0 , tM ] .ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
PreliminaresProblemas de Valor InicialProblemas de ContornoEl Método de EulerLos Métodos de Runge-Kutta (RK)Sistemas de Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales de Orden SuperiorEl Método de EulerDesarrollando y (t) en serie de Taylor alrededor de t t0 :y (t) 00 X0y (t0 ) (t t0 )2y (k ) (t0 )(t t0 )k y (t0 ) y (t0 ) (t t0 ) .k!2k 0Evaluando (1) en t t1 , y sustituyendo0y (t0 ) f (t0 , y (t0 )) , h t1 t0 ,se obtiene: y (t1 ) y (t0 ) hf (t0 , y (t0 )) O h2 .ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS(1)
PreliminaresProblemas de Valor InicialProblemas de ContornoEl Método de EulerLos Métodos de Runge-Kutta (RK)Sistemas de Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales de Orden SuperiorEl Método de EulerSi h es suficientemente pequeño, se puede despreciar el últimotérmino y obtener la aproximación de Eulery (t1 ) y1 y0 hf (t0 , y0 ) .Repitiendo el proceso se genera una sucesión de puntos quese aproximan a la gráfica de la solución, y y (t).ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
PreliminaresProblemas de Valor InicialProblemas de ContornoEl Método de EulerLos Métodos de Runge-Kutta (RK)Sistemas de Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales de Orden SuperiorEl Método de EulerEl paso general del método de Euler estk 1 tk h, yk 1 yk hf (tk , yk ) ; k 0, 1, ., M 1.ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
PreliminaresProblemas de Valor InicialProblemas de ContornoEl Método de EulerLos Métodos de Runge-Kutta (RK)Sistemas de Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales de Orden mas de Valor InicialEl Método de EulerLos Métodos de Runge-Kutta (RK)Sistemas de Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales de Orden Superior3Problemas de ContornoIntroducciónEl Método de Disparo LinealEl Método de las Diferencias FinitasECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
PreliminaresProblemas de Valor InicialProblemas de ContornoEl Método de EulerLos Métodos de Runge-Kutta (RK)Sistemas de Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales de Orden SuperiorEl Método de Runge-Kutta de Orden N 2 (RK2)El desarrollo en serie de Taylor para y (t h) alrededor de t es0y (t h) y (t) hy (t) Recordando que h2 00y (t) O h3 .20y (t) f (t, y ) ,(2)(3)derivando respecto a t usando la regla de la cadena parafunciones de dos variables, obtenemos000y (t) ft (t, y ) fy (t, y ) y (t) ft (t, y ) fy (t, y ) f (t, y ) . (4)ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
PreliminaresProblemas de Valor InicialProblemas de ContornoEl Método de EulerLos Métodos de Runge-Kutta (RK)Sistemas de Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales de Orden SuperiorEl Método de Runge-Kutta de Orden N 2 (RK2)Reemplazando (3) y (4) en (2):y (t h) y (t) hf (t, y ) “ ”h2h2ft (t, y ) fy (t, y ) f (t, y ) O h3 .22ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS(5)
PreliminaresProblemas de Valor InicialProblemas de ContornoEl Método de EulerLos Métodos de Runge-Kutta (RK)Sistemas de Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales de Orden SuperiorEl Método de Runge-Kutta de Orden N 2 (RK2)El método RK2 utiliza una combinación lineal de dos funcionesque permita expresar y (t h):y (t h) y (t) Ahf0 Bhf1 ,(6)dondef0 f (t, y ) ,f1 f (t Ph, y Qhf0 ) f (t Ph, y Qhf (t, y )) . (7)ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
PreliminaresProblemas de Valor InicialProblemas de ContornoEl Método de EulerLos Métodos de Runge-Kutta (RK)Sistemas de Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales de Orden SuperiorEl Método de Runge-Kutta de Orden N 2 (RK2)Se aproxima f (t, y ) con la serie de Taylor para una función dedos variables, obteniendo para (7b): f1 f (t, y ) Phft (t, y ) Qhfy (t, y ) f (t, y ) O h2 .(8)Reemplazando (7a) y (8) en (6), se obtiene la representaciónde y (t h) que se usa en el método RK2:“ ”y (t h) y (t) (A B) hf (t, y ) BPh2 ft (t, y ) BQh2 fy (t, y ) f (t, y ) O h3 . (9)ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
PreliminaresProblemas de Valor InicialProblemas de ContornoEl Método de EulerLos Métodos de Runge-Kutta (RK)Sistemas de Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales de Orden SuperiorEl Método de Runge-Kutta de Orden N 2 (RK2)Igualando los términos correspondientes de (5) y (9) se llega aque A, B, P y Q deben verificar el siguiente sistema de tresecuaciones y cuatro incógnitas (sistema subdeterminado, sepuede elegir libremente uno de los coeficientes)11, BQ 22para que el método RK2 de (9) tenga el mismo orden deprecisión que el método de Taylor de (5) (de orden N 2).A B 1, BP (10)ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
PreliminaresProblemas de Valor InicialProblemas de ContornoEl Método de EulerLos Métodos de Runge-Kutta (RK)Sistemas de Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales de Orden SuperiorEl Método de Runge-Kutta de Orden N 2 (RK2)Dos Elecciones Posibles:1A 21 B 12 , P 1, Q 1. Sustituyéndolos en (6) se obtiene elmétodo de Heun (para generar la sucesión {(tk , yk )}):y (t h) y (t) 1h(f (t, y ) f (t h, y hf (t, y ))) .2A 0 B 1, P 21 , Q 12 . Sustituyéndolos en (6) se obtiene elmétodo de Euler modificado o de Cauchy (para generar la sucesión{(tk , yk )}):„«hhy (t h) y (t) hf t , y f (t, y ) .22ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
PreliminaresProblemas de Valor InicialProblemas de ContornoEl Método de EulerLos Métodos de Runge-Kutta (RK)Sistemas de Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales de Orden SuperiorEl Método de Runge-Kutta de Orden N 2 (RK2)Dos Elecciones Posibles:1A 21 B 12 , P 1, Q 1. Sustituyéndolos en (6) se obtiene elmétodo de Heun (para generar la sucesión {(tk , yk )}):y (t h) y (t) 1h(f (t, y ) f (t h, y hf (t, y ))) .2A 0 B 1, P 21 , Q 12 . Sustituyéndolos en (6) se obtiene elmétodo de Euler modificado o de Cauchy (para generar la sucesión{(tk , yk )}):„«hhy (t h) y (t) hf t , y f (t, y ) .22ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
PreliminaresProblemas de Valor InicialProblemas de ContornoEl Método de EulerLos Métodos de Runge-Kutta (RK)Sistemas de Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales de Orden SuperiorEl Método de Runge-Kutta de Orden N 4 (RK4)Simula la precisión del método de la serie de Taylor de ordenN 4 y consiste en calcular la aproximación yk 1 así:yk 1 yk w1 k1 w2 k2 w3 k3 w4 k4 ,(11)donde k1 , k2 , k3 , k4 son de la formak1k2k3k4 hfhfhfhf(tk , yk ) ,(tk a1 h, yk b1 k1 ) ,(tk a2 h, yk b2 k1 b3 k2 ) ,(tk a3 h, yk b4 k1 b5 k2 b6 k3 ) .(12)ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
PreliminaresProblemas de Valor InicialProblemas de ContornoEl Método de EulerLos Métodos de Runge-Kutta (RK)Sistemas de Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales de Orden SuperiorEl Método de Runge-Kutta de Orden N 4 (RK4)Igualando estos coeficientes con la serie de Taylor de ordenN 4 (error de truncamiento O h5 ), se llega al siguientesistema de once ecuaciones y trece incógnitas (sistemasubdeterminado, se pueden elegir libremente dos coeficientes):ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
El Método de EulerLos Métodos de Runge-Kutta (RK)Sistemas de Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales de Orden SuperiorPreliminaresProblemas de Valor InicialProblemas de ContornoEl Método de Runge-Kutta de Orden N 4 (RK4)b1 a1 ,b2 b3 a2 ,b4 b5 b6 a3 ,w1 w2 w3 w4 1,w2 a1 w3 a2 w4 a3 222w2 a1 w3 a2 w4 a3333 w2 a1 w3 a2 w4 a3 w3 a1 b3 w4 (a1 b5 a2 b6 ) w3 a1 a2 b3 w4 a3 (a1 b5 a2 b6 ) 2“22w3 a1 b3 w4 a1 b5 a2 b6”w4 a1 b3 b6 121314161,(13),,,,8112124,.ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
PreliminaresProblemas de Valor InicialProblemas de ContornoEl Método de EulerLos Métodos de Runge-Kutta (RK)Sistemas de Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales de Orden SuperiorEl Método de Runge-Kutta de Orden N 4 (RK4)Elección Más Útil:a1 1, b2 02 111, a3 1, b1 , b3 , b4 0, b5 0, b6 1,2221111w1 , w2 , w3 , w4 .6336a2 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
PreliminaresProblemas de Valor InicialProblemas de ContornoEl Método de EulerLos Métodos de Runge-Kutta (RK)Sistemas de Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales de Orden SuperiorEl Método de Runge-Kutta de Orden N 4 (RK4)Sustituyéndolos en (11) y (12), se obtiene la fórmula para elmétodo RK4 estándar: A partir del punto inicial (t0 , y0 ) segenera la sucesión de aproximaciones usando la fórmularecursivayk 1 yk h (f1 2f2 2f3 f4 ),6dondef1 f2 f3 f4 f (tk , yk ) ,«„hhf tk , yk f1 ,22„«hhf tk , yk f2 ,22f (tk h, yk hf3 ) .ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
PreliminaresProblemas de Valor InicialProblemas de ContornoEl Método de EulerLos Métodos de Runge-Kutta (RK)Sistemas de Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales de Orden mas de Valor InicialEl Método de EulerLos Métodos de Runge-Kutta (RK)Sistemas de Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales de Orden Superior3Problemas de ContornoIntroducciónEl Método de Disparo LinealEl Método de las Diferencias FinitasECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
PreliminaresProblemas de Valor InicialProblemas de ContornoEl Método de EulerLos Métodos de Runge-Kutta (RK)Sistemas de Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales de Orden SuperiorEcuaciones DiferencialesConsidere el PVIdxdtdydt f (t, x, y ) g (t, x, y )(14)con x (t0 ) x0 ,y (t0 ) y0 .ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
PreliminaresProblemas de Valor InicialProblemas de ContornoEl Método de EulerLos Métodos de Runge-Kutta (RK)Sistemas de Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales de Orden SuperiorEcuaciones DiferencialesUna solución de (14) es un par de funciones derivables x (t) ey (t) tales que0x (t) f (t, x (t) , y (t))0y (t) g (t, x (t) , y (t))con (15)x (t0 ) x0 ,y (t0 ) y0 .ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
PreliminaresProblemas de Valor InicialProblemas de ContornoEl Método de EulerLos Métodos de Runge-Kutta (RK)Sistemas de Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales de Orden SuperiorEcuaciones DiferencialesPara encontrar una solución numérica de (14) en un intervalodado a t b considérense los diferencialesdx f (t, x, y ) dt, dy g (t, x, y ) dt.(16)ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
PreliminaresProblemas de Valor InicialProblemas de ContornoEl Método de EulerLos Métodos de Runge-Kutta (RK)Sistemas de Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales de Orden SuperiorEcuaciones DiferencialesSustituyendo en (16) los diferenciales por incrementos:dt tk 1 tk ,dx xk 1 xk ,dy yk 1 yk ,obtenemosxk 1 xk f (tk , xk , yk ) (tk 1 tk ) ,yk 1 yk g (tk , xk , yk ) (tk 1 tk ) .(17)ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
PreliminaresProblemas de Valor InicialProblemas de ContornoEl Método de EulerLos Métodos de Runge-Kutta (RK)Sistemas de Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales de Orden SuperiorEcuaciones DiferencialesDividiendo el intervalo en M subintervalos de ancho h b aM yusando en (17) los puntos tk 1 tk h como nodos,obtenemos las fórmulas recursivas del método de Euler:tk 1 tk h,xk 1 xk hf (tk , xk , yk ) ,yk 1 yk hg (tk , xk , yk ) ,para k 0, 1, ., M 1.ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
PreliminaresProblemas de Valor InicialProblemas de ContornoEl Método de EulerLos Métodos de Runge-Kutta (RK)Sistemas de Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales de Orden SuperiorEcuaciones DiferencialesPara conseguir un grado de precisión razonable, es necesarioutilizar un método de orden mayor. Por ejemplo, las fórmulaspara el método RK4 son:ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
PreliminaresProblemas de Valor InicialProblemas de ContornoEl Método de EulerLos Métodos de Runge-Kutta (RK)Sistemas de Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales de Orden SuperiorEcuaciones Diferencialestk 1 tk h, xk 1 xk h (f1 2f2 2f3 f4 )h (g1 2g2 2g3 g4 ), yk 1 yk ,66dondef1 f2 f3 f4 f (tk , xk , yk ) ,«„hhhf tk , xk f1 , yk g1 ,222«„hhhf tk , xk f2 , yk g2 ,222f (tk h, xk hf3 , yk hg3 ) ,g1 g (tk , xk , yk ) ,„«hhhg2 g tk , xk f1 , yk g1 ,222„«hhhg3 g tk , xk f2 , yk g2 ,222g4 g (tk h, xk hf3 , yk hg3 ) . (18)ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
PreliminaresProblemas de Valor InicialProblemas de ContornoEl Método de EulerLos Métodos de Runge-Kutta (RK)Sistemas de Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales de Orden mas de Valor InicialEl Método de EulerLos Métodos de Runge-Kutta (RK)Sistemas de Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales de Orden Superior3Problemas de ContornoIntroducciónEl Método de Disparo LinealEl Método de las Diferencias FinitasECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
El Método de EulerLos Métodos de Runge-Kutta (RK)Sistemas de Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales de Orden SuperiorPreliminaresProblemas de Valor InicialProblemas de ContornoEcuaciones Diferenciales de Orden SuperiorSon las que involucran las derivadas de orden superior00000x (t) , x (t) y así sucesivamente. Aparecen en modelosmatemáticos de problemas de la física y la ingeniería.Por ejemplo,000mx (t) cx (t) kx (t) g (t)representa un sistema mecánico: un resorte con constantede recuperación k , atado a una masa m, separado de suposición de equilibrio y tendiendo a volver a ella.ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
El Método de EulerLos Métodos de Runge-Kutta (RK)Sistemas de Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales de Orden SuperiorPreliminaresProblemas de Valor InicialProblemas de ContornoEcuaciones Diferenciales de Orden SuperiorSon las que involucran las derivadas de orden superior00000x (t) , x (t) y así sucesivamente. Aparecen en modelosmatemáticos de problemas de la física y la ingeniería.Por ejemplo,000mx (t) cx (t) kx (t) g (t)representa un sistema mecánico: un resorte con constantede recuperación k , atado a una masa m, separado de suposición de equilibrio y tendiendo a volver a ella.ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
PreliminaresProblemas de Valor InicialProblemas de ContornoEl Método de EulerLos Métodos de Runge-Kutta (RK)Sistemas de Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales de Orden SuperiorEcuaciones Diferenciales de Orden SuperiorSe supone que:El amortiguamiento debido al rozamiento es proporcionala la velocidad.Existe una fuerza externa g (t).0Se conocen la posición x (t0 ) y la velocidad x (t0 ) en uncierto instante t0 .ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
PreliminaresProblemas de Valor InicialProblemas de ContornoEl Método de EulerLos Métodos de Runge-Kutta (RK)Sistemas de Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales de Orden SuperiorEcuaciones Diferenciales de Orden SuperiorSe supone que:El amortiguamiento debido al rozamiento es proporcionala la velocidad.Existe una fuerza externa g (t).0Se conocen la posición x (t0 ) y la velocidad x (t0 ) en uncierto instante t0 .ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
PreliminaresProblemas de Valor InicialProblemas de ContornoEl Método de EulerLos Métodos de Runge-Kutta (RK)Sistemas de Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales de Orden SuperiorEcuaciones Diferenciales de Orden SuperiorSe supone que:El amortiguamiento debido al rozamiento es proporcionala la velocidad.Existe una fuerza externa g (t).0Se conocen la posición x (t0 ) y la velocidad x (t0 ) en uncierto instante t0 .ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
PreliminaresProblemas de Valor InicialProblemas de ContornoEl Método de EulerLos Métodos de Runge-Kutta (RK)Sistemas de Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales de Orden SuperiorEcuaciones Diferenciales de Orden SuperiorSe supone que:El amortiguamiento debido al rozamiento es proporcionala la velocidad.Existe una fuerza externa g (t).0Se conocen la posición x (t0 ) y la velocidad x (t0 ) en uncierto instante t0 .ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
PreliminaresProblemas de Valor InicialProblemas de ContornoEl Método de EulerLos Métodos de Runge-Kutta (RK)Sistemas de Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales de Orden SuperiorEcuaciones Diferenciales de Orden SuperiorDespejando la derivada segunda, podemos escribir el PVI desegundo orden como 000x (t) f t, x (t) , x (t)(19)con0x (t0 ) x0 , x (t0 ) y0 .Esta ecuación diferencial de segundo orden puedereformularse como un sistema con d
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. Preliminares Problemas de Valor Inicial Problemas de Contorno El Método de Euler Los Métodos de Runge-Kutta (RK) Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior El Método de Euler Sea [a,b] el intervalo en el que se quiere hallar la solución del PVI
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Curso May 15, 2020 Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Introducción La Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden Contenido 1 Introducción Conceptos básicos del las ecuaciones diferenciales 2 Ecuaciones de variables separables.
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones Exactas Universidad Autónoma Metropolitana September 13, 2020 Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones Exactas
tre o de un trimestre de ecuaciones diferenciales ordinarias. La versión completa del libro, Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera, 7a. edición, se puede utilizar para un curso de uno o dos semestres abarcando ecuaciones diferenciales ordina-rias y ecuaciones diferenciales parciales.
Clasificación de ecuaciones diferenciales ordinarias. Solución y tipos de solución en una ecuación diferencial ordinaria. Problema de valor inicial (PVI) y problema de valor frontera (PVF). Teorema de existencia y unicidad en ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. 1.1 Conceptos Básicos en Ecuaciones Diferenciales
3.11 Solución de sistemas de ecuaciones diferenciales usando el CAS wxMaxima 11.04.0 96 3.12 Ecuaciones diferenciales reducibles a ecuaciones de primer orden 98 3.13 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden 102 Problemas para resolver 108 Problema reto 111 Referencias 112 Direcciones electrónicas 112
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDOs) La segunda parte del curso es probablemente la m as sencilla. Trata de la resoluci on y an alisis de varios tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs). En las asignaturas Algebra Lineal y C alculo 2 se estudiaron las EDOs de variables separadas y los sistemas de EDOs lineales. Por tanto,
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2019 AMC 8 Problems Problem 1 Ike and Mike go into a sandwich shop with a total of 30.00 to spend. Sandwiches cost 4.50 each and soft drinks cost 1.00 each. Ike and Mike plan to buy as many sandwiches as they can, and use any remaining money to buy soft drinks. Counting both sandwiches and soft drinks, how many items will they buy? Problem 2 Three identical rectangles are put together to .