ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
ELEMENTOS DE ECUACIONESDIFERENCIALES ORDINARIASVı́ctor Manuel Sánchez de los ReyesDepartamento de Análisis MatemáticoUniversidad Complutense de Madrid
Índice1. Introducción71.1. Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71.2. Algunos modelos matemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91.2.1. Desintegración radiactiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91.2.2. Movimiento pendular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.3. La catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.4. Cuerpos en caı́da libre con resistencia del aire . . . . . . . . . . . . 111.2.5. La curva braquistócrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.6. Oscilaciones en resortes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.7. Dinámica de poblaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142. Ecuaciones diferenciales de primer orden152.1. Ecuaciones de variables separadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2. Ecuaciones homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3. Ecuaciones exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4. Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5. Algunas ecuaciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5.1. La ecuación de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5.2. La ecuación de Ricatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5.3. Ecuaciones de grado n respecto a y 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
2.5.4. Ecuaciones de la forma f (y, y 0 ) 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5.5. Ecuaciones de la forma f (x, y 0 ) 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5.6. La ecuación de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5.7. La ecuación de Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233. Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior253.1. Estructura del conjunto de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.1. La ecuación homogénea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.1.2. La ecuación no homogénea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2. Ecuaciones con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.1. La ecuación homogénea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.2. La ecuación no homogénea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden334.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2. Estructura del conjunto de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2.1. El sistema homogéneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2.2. El sistema no homogéneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.3. Sistemas con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3.1. El sistema homogéneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3.2. El sistema no homogéneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405. Transformada de Laplace y método de series de potencias435.1. Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.1.1. Definición y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.1.2. La función de Heaviside y la delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . 445.1.3. Traslación y periodicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.1.4. Transformadas de derivadas e integrales . . . . . . . . . . . . . . . 464
5.1.5. La convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.1.6. La transformada inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.1.7. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.2. Método de series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.2.1. Soluciones en torno a puntos ordinarios . . . . . . . . . . . . . . . . 505.2.2. Soluciones en torno a puntos singulares . . . . . . . . . . . . . . . . 526. Teorı́a cualitativa de ecuaciones diferenciales556.1. Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.2. Sistemas lineales planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567. Resolución numérica de ecuaciones diferenciales597.1. Método de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.2. Método de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Apéndice. Teoremas de existencia y unicidad61Bibliografı́a635
Tema 1Introducción1.1.Conceptos básicosDefinición 1.1.1. Una ecuación diferencial ordinaria (en adelante, ecuación diferencial) es la que establece una relación entre una variable independiente x, la funciónbuscada f (x) y una o varias derivadas de esta función f 0 (x), f 00 (x), . . . , f n) (x), lo queequivale, con y f (x), a una expresión de la formaF (x, y, y 0 , y 00 , . . . , y n) ) 0.Definición 1.1.2. Se denomina orden de una ecuación diferencial al orden de la derivadasuperior que interviene en la expresión.Definición 1.1.3. Una ecuación diferencial de orden n se dice lineal si es de grado unorespecto a la función y y todas sus derivadas, pudiéndose entonces expresar de la formay n) a1 (x)y n 1) · · · an 1 (x)y 0 an (x)y g(x).Cuando las funciones ai (x), 1 i n, son constantes se dice que la ecuación tienecoeficientes constantes. Si g(x) 0 la ecuación se denomina homogénea. En casocontrario se llama no homogénea o completa.Definición 1.1.4. Una solución de una ecuación diferencial es una función que sustituida en la ecuación la convierte en una identidad. Si una solución es una función explı́cita(implı́cita), se dice que es una solución explı́cita (implı́cita).Definición 1.1.5. La solución general de la ecuación diferencial de orden n dada porF (x, y, y 0 , y 00 , . . . , y n) ) 0 es una función ϕ(x, C1 , C2 , . . . , Cn ) que depende de n constantesC1 , C2 , . . . , Cn de modo que la función ϕ satisface la ecuación para todos los valores de7
las constantes, y si hay condiciones iniciales y(x0 ) y0 y 0 (x0 ) y 10. . y n 1) (x ) y n 100se pueden elegir las constantes para que la función ϕ las satisfaga.Una relación φ(x, y, C1 , C2 , . . . , Cn ) 0 que define la solución general implı́citamentese denomina integral general de la ecuación diferencial.Definición 1.1.6. Una solución particular de una ecuación diferencial es la que se obtiene de la solución general para valores concretos de las constantes. Una curva integrales la gráfica de una solución particular.Definición 1.1.7. Una solución singular de una ecuación diferencial es una funciónque satisface la ecuación y que, sin embargo, no se obtiene de la solución general paraningún valor de las constantes.Definición 1.1.8. Resolver o integrar una ecuación diferencial supone calcular la solución general si no se han dado condiciones iniciales, y cuando éstas existen, hallar lasolución particular que las satisfaga.Sea F (x, y, y 0 ) 0 una ecuación diferencial de primer orden que se puede expresarde la forma y 0 f (x, y). Esta función f asocia a cada punto de su dominio el valor dela pendiente de la tangente a la curva integral en ese punto. Por lo tanto, la ecuacióndiferencial determina un campo de direcciones que se representa como un conjuntode segmentos, cada uno de los cuales pasa por el punto (x, y) y tiene como pendiente y 0 .Resolver una ecuación diferencial se puede interpretar entonces como calcular una curvacuya tangente en cada punto tenga la misma dirección que el campo de direcciones en esepunto. Para facilitar este cálculo se introducen las isoclinas:Definición 1.1.9. Se denomina isoclina al lugar geométrico de los puntos del plano enlos que las tangentes a las curvas integrales de una ecuación diferencial tienen la mismadirección.La familia de isoclinas de la ecuación diferencial y 0 f (x, y) está determinada porla ecuación f (x, y) k, siendo k un parámetro. Dibujando la familia de isoclinas paravalores de k próximos entre sı́, es posible trazar de forma aproximada las curvas integralesde la ecuación diferencial. La isoclina f (x, y) 0 informa de la posible situación de losmáximos y mı́nimos locales de las curvas integrales. Los puntos de inflexión, si existen,estarán situados en la curva definida por f f f (x, y) 0. x y8
Ejercicios1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferencialesindicadas: a) y 2 x2 1 de la ecuación diferencial (x2 1)y 0 xy 2x. b) y x 1 x2 de la ecuación diferencial yy 0 x 2x3 .c) y earc sen x de la ecuación diferencial xy 0 y tag log y. 0x t log td)de la ecuación diferencial y 0 log y4 4x.2y t (2 log t 1) x log t sen te)de la ecuación diferencial x log y 0 sen y 0 .y t(1 sen t) cos t2. Verifica que las funciones dadas son soluciones generales de las ecuaciones diferenciales indicadas:a) y log(ex C) de la ecuación diferencial y 0 ex y . b) y x2 Cx de la ecuación diferencial (x2 y 2 ) dx 2xy dy 0.c) (x C)2 y 2 4 de la ecuación diferencial y 2 ((y 0 )2 1) 4. Obtén en estecaso dos soluciones singulares.3. Comprueba si las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferencialesindicadas:a) e y Cx 1 de la ecuación diferencial xy 0 1 ey .b) y 2 2Cx C 2 de la ecuación diferencial y(y 0 )2 2xy 0 y.Rxc) x y 0 sen t2 dt de la ecuación diferencial y xy 0 y 2 sen x2 .4. Estudia las isoclinas de las ecuaciones diferenciales siguientes:a) y 0 x 1.b) y 0 y x.y xc) y 0 x y.d ) y 0 y x.1.2.1.2.1.Algunos modelos matemáticosDesintegración radiactivaUna reacción quı́mica se denomina reacción de primer orden si en ella una moléculase descompone en otras espontáneamente, y el número de moléculas que se descomponen9
en una unidad de tiempo es proporcional al número de moléculas existentes. Por ejemplo,la desintegración radiactiva.Si se considera una sustancia cuya masa viene dada en función del tiempo por lafunción m m(t), la velocidad de descomposición viene dada por m0 . Si se supone queesta velocidad es directamente proporcional a la masa, se tiene la ecuación diferencial deprimer ordenm0 kmsiendo k 0 el coeficiente de proporcionalidad.La solución general viene dada porm(t) Ce kt .Para determinar la constante C se supone que se conoce la masa en el instante inicialt 0 y que tiene un valor m0 , de lo que resulta quem(t) m0 e kt .1.2.2.Movimiento pendularSe supone un punto material de masa m suspendido de un punto fijo, que se muevepor la acción de la gravedad a lo largo de un arco de circunferencia que está en unplano vertical. Despreciando el rozamiento y la resistencia del aire se pretende calcular laecuación del movimiento en función del tiempo.Se consideran unos ejes de coordenadas cuyo origen está en el punto inferior de lacircunferencia y el eje de abcisas es tangente en este punto. Sea L la longitud del radiode la circunferencia, t el tiempo y s la longitud de arco a partir del origen hasta un puntoP , de forma que si P está a la derecha del origen, es s 0 y si está a la izquierda, ess 0. Se pretende determinar la función s s(t). La fuerza de la gravedad F mgse descompone en las componentes normal Fn y tangencial Ft , siendo ésta última la queproduce el movimiento. Se tiene que Ft mg sen α, siendo α el ángulo que forma ladirección de la componente normal con la de la fuerza de la gravedad. Ası́, la función delmovimiento verifica la ecuación diferencialss00 g sen .LUna solución aproximada de dicha ecuación diferencial viene dada porrgs s0 sentLdonde s0 es la longitud máxima que describe el punto P .10
1.2.3.La catenariaEstudiemos ahora la forma que toma un hilo flexible homogéneo suspendido entre susdos extremos y que cuelga por su propio peso.Sea M (0, b) el punto más bajo del hilo y P (x, y) un punto cualquiera. La sección M Pdel hilo está equilibrada por las siguientes fuerzas:1. La tensión T1 que actúa a lo largo de la tangente al punto P y forma un ángulo αcon el eje de abcisas.2. La tensión T2 en el punto M que es paralela al eje de abcisas.3. El peso del hilo, paralelo al eje de ordenadas, cuyo módulo es sp, siendo s la longituddel arco M P y p el peso especı́fico del hilo.Al descomponer T1 en sus dos componentes se obtienen las ecuaciones de equilibrio: T1 cos α T2T1 sen α spluego, dividiendo ambas igualdades entre sı́, se tiene quetag α sp.T2Llamando a Tp2 , derivando ambos miembros de la igualdad y teniendo en cuenta queps0 (y 0 )2 1 se obtiene la ecuación diferencialy 00 1p 0 2(y ) 1.aLa solución particular que pasa por M esy 1.2.4.x a xxe a e a b a a cosh b a.2aCuerpos en caı́da libre con resistencia del aireSe supone ahora que desde una cierta altura se deja caer un cuerpo de masa m, sobre elque actúa, además de la fuerza de la gravedad, la resistencia del aire, que es proporcionala su velocidad de caı́da v v(t), la cual se quiere calcular. La aceleración es v 0 , y k es elcoeficiente de proporcionalidad de la fuerza de resistencia del aire. Por tanto,mv 0 mg kv11
que es una ecuación diferencial lineal de primer orden con coeficientes constantes nohomogénea.Se puede comprobar que la funciónkv(t) Ce m t mgkverifica la ecuación para todo valor de la constante C. Para determinar la constante C sesupone que se conoce la velocidad del cuerpo en el instante inicial t 0 y que tiene unvalor v0 , de lo que resulta que mg k t mge m .v(t) v0 kkSi la resistencia del aire no existe, es decir, k 0, la solución particular esv(t) gt v0 .Si y y(t) es la función que indica la distancia al cuerpo a partir de un altura dada, setiene que y 0 v con lo que1y(t) gt2 v0 t y02siendo y0 la posición inicial. Si y0 v0 0, se tiene que v 2 2gy.1.2.5.La curva braquistócronaSe unen dos puntos A y B colocados a distinta altura por un hilo por el que sedeja deslizar una bola esférica, supuestamente sin rozamiento. El problema consiste endeterminar la forma del hilo para que el tiempo que tarda la bola en ir de A hasta B, sinotra fuerza que la gravedad, sea el mı́nimo.Si se supone que la bola va desde A hasta B a través de dos segmentos AO y OB, convelocidades v1 y v2 , respectivamente, el tiempo total que invierte en su desplazamientoviene dado porp (c x)2 b2x 2 a2t v1v2donde A ( x, a), O (0, 0) y B (c x, b). Para que el tiempo sea el mı́nimo debedtsuceder que dx 0, con lo quexc x p22v1 x av2 (c x)2 b2o biensen w1sen w2 v1v212
. Si el número de segmentos pasa a ser infinito,siendo w1 arctag xa y w2 arctag c xbaumentando la velocidad de la bola de forma continua, se tiene que la trayectoria debeverificar que senv w sea constante. Llamando α π2 w se tiene que1sen w cos α p.(y 0 )2 1Como v 2 2gy, la curva braquistócrona debe satisfacer la ecuación diferencialy((y 0 )2 1) C.La solución de dicha ecuación viene dada por siendo r C2y tagθ2 qy,C yx r(θ sen θ)y r(1 cos θ)que son las ecuaciones paramétricas de la cicloide, la curvaque describe un punto de una circunferencia de radio r cuando rueda, sin rozamiento, alo largo del eje de abcisas.1.2.6.Oscilaciones en resortesSe considera ahora un cuerpo sujeto al extremo de un resorte, sobre el que un dispositivo ejerce una fuerza de amortiguación, y además, existe una fuerza externa queactúa sobre el cuerpo. Se supone que la fuerza de elasticidad del resorte es proporcional aldesplazamiento y la fuerza de amortiguación proporcional a la velocidad del movimiento.Sea y y(t) la función que indica el desplazamiento del cuerpo de masa m en funcióndel tiempo, k1 0 la constante de rigidez del resorte, k2 0 la constante de amortiguacióndel dispositivo y g(t) la fuerza externa. Imponiendo que en el punto de equilibrio el pesodel cuerpo se compense con las otras fuerzas, se obtiene la ecuación diferencial que describeel movimiento de las oscilaciones amortiguadas forzadas:my 00 mg k1 (y L) k2 y 0 g(t)siendo L la elongación del resorte al sujetar el cuerpo de su extremo, con lo quemy 00 k2 y 0 k1 y g(t)que es una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes nohomogénea.13
1.2.7.Dinámica de poblacionesLas ecuaciones de Lotka-Volterra modelizan un ecosistema formado por rapaces ypresas, con sus interacciones, obteniéndose el sistema: dx ax bxydtdy cy f xydtdonde las constantes a, b, c y f son positivas. Sin presas (x), las rapaces (y) disminuirı́an ennúmero por falta de alimento. Y sin rapaces, las presas aumentarı́an al no tener enemigos.Dividiendo ambas ecuaciones se obtienea by c f xdy dxyxe integrando se tiene la solucióny a e by kx c ef x .14
Tema 2Ecuaciones diferenciales de primerorden2.1.Ecuaciones de variables separadasDefinición 2.1.1. Una ecuación diferencial de la forma g(y) y 0 f (x) se denomina ecuación diferencial de variables separadas ya que se puede expresar comog(y) dy f (x) dx. Su solución general se obtiene integrando ambos términos:ZZg(y) dy f (x) dx C.Una ecuación diferencial de la forma f1 (x)g2 (y) dx f2 (x)g1 (y) dy se reduce a una devariables separadas al pasar dividiendo a f2 (x) y g2 (y), aunque se pueden perder solucionessingulares que anulen a estas funciones.Ejercicios1. Resuelve la ecuación diferencial de la desintegración radiactiva.2. Halla una solución aproximada de la ecuación diferencial del movimiento pendular.3. Encuentra la expresión de la catenaria.4. Halla la curva braquistócrona.5. Resuelve las ecuaciones diferenciales siguientes:a) 4yy 0 x 0.b) x dx y dy 0.15
c) y 0 cos x (sen x x sec x) cotag y. d ) y 0 x2 1 xe y .e) (xy 2 y 2 x 1) dx (x2 y x2 2xy 2x 2y 2) dy 0.f ) y 0 (x y)2 1.6. Dados m, n, p N cualesquiera, integra la ecuación diferencialy0 1 (x y)m.(x y)n (x y)p7. Resuelve la ecuación diferencial (x2 y 2 1) dx 2x2 dy 0 mediante la sustituciónxy z.8. Integra la ecuación diferencial (ex 1)yy 0 ex y encuentra la solución particularque pasa por (0, 0).9. Halla la solución particular de la ecuación diferencial y 0 sen x y log y que satisfacela condición inicial y( π2 ) e.10. Demuestra que la curva que posee la propiedad de que todas sus normales pasanpor un punto constante, es una circunferencia.11. Halla la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto es n vecesmayor que la pendiente de la recta que une este punto con el origen de coordenadas.12. La temperatura de un cuerpo T rodeado por aire a temperatura T0 varı́a de modoque el ritmo de variación de su temperatura es proporcional a la diferencia de temperaturas T T0 (ley del enfriamiento de Newton). Un cuerpo que inicialmente está a120 C se pone en contacto con aire a 20 C. Al cabo de una hora, su temperaturaes de 70 C. ¿Cuánto tiempo más tiene que transcurrir para que ésta baje a 40 C?13. Inicialmente un cultivo tiene un número B0 de bacterias. Al cabo de una horase determina que el número de bacterias es 23 B0 . Si la razón de crecimiento esproporcional al número de bacterias B(t) presentes en el tiempo t, calcula el tiemponecesario para que se triplique el número de bacterias.2.2.Ecuaciones homogéneasDefinición 2.2.1. Una función f (x, y) es una función homogénea de grado n en lasvariables x e y si f (tx, ty) tn f (x, y).Definición 2.2.2. Una ecuación diferencial de primer orden de la forma y 0 f (x, y) sedenomina ecuación diferencial homogénea si la función f es homogénea de grado 0.16
Las ecuaciones homogéneas se pueden expresar de la f
Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas: a) y 2 p x2 1 de la ecuaci on diferencial (x2 1)y0 xy 2x. b) y x p 1 x2 de la ecuaci on diferencial yy0 x 2x3. c) y earcsenx de la ecuaci on diferencial xy0 ytag logy. d) ˆ x tlogt
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3.11 Solución de sistemas de ecuaciones diferenciales usando el CAS wxMaxima 11.04.0 96 3.12 Ecuaciones diferenciales reducibles a ecuaciones de primer orden 98 3.13 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden 102 Problemas para resolver 108 Problema reto 111 Referencias 112 Direcciones electrónicas 112
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9/4/2018 0002-SciPy-Ecuaciones-diferenciales-ordinarias ias.ipynb .
