LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES - AlloSchool

Cours : LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES Avec Exercices avec solutionsPROF : ATMANI NAJIB2ème BAC Sciences Physiques et Sciences de la Vie et de la Terre (2BAC PC et SVT)LES EQUATIONS DIFFERENTIELLESI) RAPPELLE ET DEFINITIONS ET NOTATIONS.1) Activité et rappelle :On s’intéresse à l’équation (𝐸): 𝑦′′ 𝜔2𝑦 0Dans cette notation 𝑦 représente 𝑓(𝑥).L’équation (𝐸) est une équation différentielle desecond ordre.Montrer ce qui suit :1. si 𝑓 et 𝑔 sont solutions de l’équation (𝐸) alors :( (𝛼, 𝛽) ℝ2)(𝛼𝑓 𝛽𝑔) est aussi solution de (𝐸)2. Montrer que les fonctions :𝑢(𝑥) 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥 et 𝑣(𝑥) 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥Sont solution de l’équation différentielle (𝐸).3. En déduire que ( (𝛼, 𝛽) ℝ2(𝑦 𝛼𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥 𝛽𝜔𝑥) est solution de (𝐸)On admet que la réciproque est vraiePropriété : Les solutions de l’équationdifférentielle :(𝐸): 𝑦′′ 𝜔2𝑦 0 sont les fonctions :𝑦 𝛼𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥 𝛽 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥 où 𝛼 et 𝛽 sont des réels.Application : soit l’équation différentielle(𝐸) : 𝑦′′ 4𝑦 01)Résoudre l’équation différentielle (𝐸)2)Déterminer la solution g qui vérifie :g 0 1 et g 0 2solution : w 2 1) la solution générale de2) Définition : EQUATIONS DIFFERENTIELLESDéfinition : Une équation différentielle est uneéquation ayant pour inconnue une ou plusieursfonctions ; elle se présente sous la forme d'unerelation entre ces fonctions inconnues et leursdérivées successives. L'ordre d'une équationdifférentielle correspond au degré maximal dedérivation auquel l'une des fonctions inconnues aété soumise.Remarque : Pour simplifier l’écriture d’uneéquation différentielle on note l’inconnu (qui estune fonction) 𝑦 au lieu de 𝑦(𝑥).Exemples :1) L’équation différentielle : y e 2 x a pour solutionles fonctions primitives de la fonction :1x e 2 x qui sont : x e 2 x c22) y 5 y 0 :est une équation différentielle de1𝑒𝑟 ordre sans second membre.3) y 8 y 2 x 1 est une équation différentielle de1𝑒𝑟 ordre avec second membre.4) 𝑦′′ 3𝑦′ 5𝑦 e 2 x : est une équationl’équation différentielle (𝐸) est :différentielle de 2é𝑚𝑒 ordre avec second membre.II) L’EQUATION y’ ay OU 𝑎 ℝ La fonction : F x a cos 2 x b sin 2 x où 𝛼 et 𝛽 sont1) L’équation 𝒚′ 𝒂𝒚 ou 𝒂 ℝ des réelsSoit 𝑎 un réel non nul et Considérons l’équationdifférentielle (𝐸) 𝑦′ 𝑎𝑦2) F x 2a sin 2 x 2b cos 2 x x ℝ(𝐸) ( 𝑥 ℝ)(𝑦′(𝑥) 𝑎𝑦(𝑥)a) A noter que la fonction nulle 𝜃 : F 0 1 a 1 a 1Donc : ( 𝑥 ℝ)(𝜃(𝑥) 0) est une solution de l’équation F 0 2 2b 2 b 1différentielle.b) On suppose que 𝑦 ne s’annule pas sur ℝ onDonc : F x cos 2 x sin 2 xaura :(𝐸) ( 𝑥 ℝ)(𝑦′(𝑥) 𝑎𝑦(𝑥) ( 𝑥 ℝ) (𝑦′(𝑥)/𝑦(𝑥) 𝑎)On peut écrire F x sous la forme : F x 2 sin 2 x 4 Prof/ATMANI NAJIBOn passe au primitives on trouve ( 𝑥 ℝ)(𝑙 𝑛 𝑦(𝑥) 𝑎𝑥 𝑐)1

( 𝑥 ℝ)( 𝑦(𝑥) exp(𝑎𝑥 𝑐) ( 𝑥 ℝ)(𝑦(𝑥) exp(𝑎𝑥 𝑐) où 𝑐 ℝ ( 𝑥 ℝ)(𝑦(𝑥) 𝜆 exp(𝑎𝑥) où 𝜆 ℝEt puisque même la fonction nulle 𝜃 peut s’écrirede la forme 𝜃(𝑥) 𝜆 exp(𝑎𝑥) (𝜆 0)On peut conclure que :Propriété : Soit 𝑎 un réel non nul.(𝐸) 𝑦′ 𝑎𝑦 une équation différentielle définie sur ℝLa solution générale de l’équation différentielle (𝐸)4y 33 y 2 y 223on a donc ; a 2 et b 2La solution générale de l’équation différentielle(𝐸): est l’ensemble des fonctions : y x e2 x 3où 𝜆 est un réel.4Exemple2 :soit l’équations différentielle 1suivante : E : y 3 y 1 0Où 𝜆 est un réel.2Exemple : Résoudre les équations différentielles 1)Résoudre l’équation différentielle (𝐸)suivantes :1) (𝐸1): 𝑦′ 3𝑦 2) (𝐸2): 𝑦′ 𝑦 02) Déterminer la solution f de (𝐸)Solution :1) La solution générale de l’équationTelle que f 0 2 .différentielle (𝐸1): est l’ensemble des fonctions :1Solution :1) E : y 3 y 1 0 y 6 y 2x y ( x) e3 x où 𝜆 est un réel.2Donc : a 6 et b 22) (𝐸2): 𝑦′ 𝑦 0 (𝐸2): 𝑦′ 1𝑦La solution générale de l’équation différentielleLa solution générale de l’équation différentielle(𝐸): est l’ensemble des fonctions :(𝐸2): est l’ensemble des fonctions : x y ( x) e xx e 6 x 3 Où 𝜆 est un réel.où 𝜆 est un réel.2) L’équation y’ ay b ou 𝒂 ℝ et 𝒃 ℝ.2) f x e 6 x 3 On va calculer : f x Soient 𝑎 un réel non nul, 𝑏 un réel quelconque,Considérons l’équation différentielle :f x e 6 x 3 6 e 6 x(𝐸) 𝑦′ 𝑎𝑦 𝑏1f 0 2 6 e0 2 3est l’ensemble des fonctions : x y ( x) eax 13Donc : f x e 6 x 3 c’est la solution de (𝐸) quivérifie la condition initialeExercice : Considérons les équationsPropriété :Soit 𝑎 un réel non nul et 𝑏 un réel(𝐸) 𝑦′ 𝑎𝑦 𝑏 une équation différentielledéfinie sur ℝ .La solution générale de l’équationdifférentielle (𝐸) est l’ensemble des fonctions :bx y ( x) e x où 𝜆est un réel.aRemarque :Le réel 𝜆 dans la solution générale del’équation différentielle (𝐸) peut-être déterminé parles conditions initialesExemple1 : Résoudre l’équations différentiellesuivante : E : 2 y 4 y 3 0différentielles (𝐸0): 𝑦′ 𝑦 0 et (𝐸) : y y 2 x ² x1- Résoudre l’équation différentielle (𝐸0)2- a) Soit 𝑃 une fonction polynôme, quel sera ledegré de 𝑃 afin que 𝑃 soit une solution de (𝐸)b) Déterminer le polynôme 𝑃 pour que 𝑃 soit unesolution de (𝐸)c) Montrer que : 𝑦 est solution de (𝐸) si etseulement si (𝑦 𝑃) est solution de (𝐸)d) En déduire la solution générale deL’équation (𝐸)3) déterminer la solution 𝜑 de (𝐸) telle que𝜑(0) 2Solution : E : 2 y 4 y 3 0 2 y 4 y 3Prof/ATMANI NAJIB2

III) LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES :𝑎𝑦′′ 𝑏𝑦′ 𝑐𝑦 0Avec 𝐴 et 𝐵 complexes, sont aussi solutions.Premier cas : Si Δ 0 alors l'équation :ar 2 br c 0 a deux racines, r1 et r2 réelles etSoit 𝑎 un réel non nul et 𝑏 et 𝑐 sont des réelsquelconques.distinctes et d'après ce qui précède, les fonctionsDéfinition : Considérons l’équation différentielle :rx𝑦1 et 𝑦2 définies sur IR par: y1 ( x) e 1 et(𝐸): 𝑎𝑦′′ 𝑏𝑦′ 𝑐𝑦 0L’équation (1): ar 2 br c 0 à variable réelle 𝑟y2 ( x) e r2 x sont des solutionss’appelle l’équation caractéristique de l’équationdifférentielle (𝑬).Exemples :1) l’équation caractéristique del’équation différentielle (𝐸) : 3𝑦′′ 2𝑦′ 4𝑦 0est : 3𝑟2 2𝑟 4 02) l’équation caractéristique de l’équationdifférentielle (𝐸): 𝑦′′ 𝑦 0 est : 𝑟2 1 0.1) Résolution de (𝑬): 𝒂𝒚′′ 𝒃𝒚′ 𝒄𝒚 𝟎L'équation 𝑎𝑦" 𝑏𝑦′ 𝑐𝑦 0 est dite à coefficientsconstants car 𝑎, 𝑏 𝑒𝑡 𝑐 sont des réels donnés.On Supposera 𝑎 0(sinon, l'équation est du premier ordre).1.1) Linéarité :L'équation 𝑎𝑦" 𝑏𝑦′ 𝑐𝑦 0 possède la propriétésuivante : Si 𝑦1 et 𝑦2 sont deux fonctions solutionsde l'équation : 𝑎𝑦" 𝑏𝑦′ 𝑐𝑦 0, alors, pour tousnombres 𝐴 et 𝐵, la fonction 𝐴𝑦1 𝐵𝑦2 est aussiune solution.A cause de cette propriété, on dit que l'équation :𝑎𝑦" 𝑏𝑦′ 𝑐𝑦 0 est linéaire.1.2) Résolution :Par analogie avec une équationdu premier ordre, on cherche une solution de la(à valeurs réelles dans ce cas).Nous admettrons que toute autre solution réellerxforme : y ( x) e où r est un complexe.Sont aussi des solutions de (𝐸) et à valeursréelles et on a :s'écrit : y ( x) Ae 1 Be 2 où 𝐴 et 𝐵 réels.rxrxDeuxième cas : Si Δ 0 alors l'équationar 2 br c 0 : a deux racines, z1 et z2 ,complexe conjugués.Alors les fonctions g1 et g 2 définies sur IR par:g1 ( x) ez1x et g2 ( x) e z1x sont des solutionsà valeurs complexes.Notons z1 p qi où p et q sont des réels.g1 ( x) e p qi xet g 2 ( x) edonc ; y1 e px eqxi e px cos qx sin qx p qi x e px e qxi e px cos qx sin qx g1 ( x) g 2 ( x)g1 ( x) g 2 ( x)et y2 22ipxpxrxLa fonction y ( x) e est deux fois dérivables sur ( 𝑥 ℝ) y1 ( x ) e cos qx et ( 𝑥 ℝ) y2 ( x ) e sin qxrxrxℝ, et, pour tout réel 𝑥 : y ( x) re et y ( x) r ²eDonc, dire que 𝑦 est solution équivaut à dire que,rxrxrxpour tout réel 𝑥 : ar ²e bre ce 0 soitencore, puisque e 0 , à : ar br c 0rxNous admettrons que toutes les solutionss’écrivent de la forme :y ( x) e px A cos qx B sin qx Pour résumer : si z1 p qi alors toutes les2solutions de (E) s’écrivent de la forme :La résolution de cette l'équation permet donc dey ( x) e px A cos qx B sin qx trouver des solutions (a priori à valeurscomplexes). De plus, lorsque l'on connaît deuxoù 𝐴 et 𝐵 sont des réels.solutions 𝑦1 et 𝑦2 de l'équation 𝑎𝑦" 𝑏𝑦′ 𝑐𝑦 0,Troisième cas : Si Δ 0 l'équation ar 2 br c 0on en connaît une famille car toutes lesa une racine double rFonctions 𝐴y1 𝐵𝑦2Prof/ATMANI NAJIB3

4x3xrxAlors les fonctions y1 définie sur IR par: y1 ( x ) e 2) f x e eest solution de (𝐸) ; nous admettrons que lafonction y2 ( x ) xe est aussi solutions de (𝐸) etrxque toutes les solutions de (𝐸) s’écrivent de larxforme y( x) Ax B e où 𝐴 et 𝐵 sont des réelsThéorème : Soit l’équation différentielle :f x e4 x e3 x 4 e4 x 3 e3 x 0 1 f 0 0 f 0 1 4 3 1 4 3 1 1Donc : f x e4 x e3 x c’est la solution de (𝐸) quivérifie les conditions initialesExemple2 :1) Résoudre l’équations différentielle(𝐸) 𝑎𝑦" 𝑏𝑦′ 𝑐𝑦 0Et soit (𝐸1): 𝑎𝑟2 𝑏𝑟 𝑐 0 son équationCaractéristique.Δ 𝑏2 4𝑎𝑐 le discriminant de (𝐸1)suivante : E : y 2 y y 02) Déterminer la solution f de (𝐸)1) Si Δ 0 l’équation (𝐸1) a deux racines : r1 et r2 Telle que f 0 0 et f 0 1réelles et distinctes et les solutions de l’équation(𝐸) sont les fonctions : y ( x) Aer1 x BeSolution :1) l’équation Caractéristique de E est :r2 x(𝐸1): r 2 2r 1 0où 𝐴 et 𝐵 réels2) Si Δ 0 l’équation (𝐸1) a deux racines z1 et z2complexes conjugués et si : z1 p qi alors lessolutions de l’équation (𝐸) sont les fonctionsy ( x) e px A cos qx B sin qx où 𝐴 et 𝐵 réels3) Si Δ 0 l'équation (𝐸1) admet une racinedouble r et les solutions de (𝐸) sont les fonctions:y( x) Ax B erx Où 𝐴 et 𝐵 sont des réels.Exemples :Exemple1 :1) Résoudre l’équations différentiellesuivante : E : y 7 y 12 y 02) Déterminer la solution f de (𝐸)Telle que f 0 0 et f 0 1On a : 0 donc l’équation (𝐸1) admet une racinedouble r0 b 12aDonc les solutions de l’équation (𝐸) sont lesfonctions : y x x e x où et réels2) f x x e xf x x e x x e x x e x f x x e x 0 0 f 0 0 f 0 1 1 1xxDonc : f x 1x 0 e donc : f x xeC’est la solution de (𝐸) qui vérifie les conditionsinitiales.Solution :1) l’équation Caractéristique de E est :Exemple3 :1) Résoudre l’équations différentielle(𝐸1): r 2 7 r 12 0suivante : E : y 4 y 13 y 0On a : 1 donc l’équation (𝐸1) a deux racines :2) Déterminer la solution f de (𝐸)r1 et r2 réelles et distinctes : r1 3 et r2 4Telle que f 0 0 et f 0 1Donc les solutions de l’équation (𝐸) sont lesSolution :1) l’équation Caractéristique de E est :fonctions : y ( x) e4x e où et réels3x(𝐸1): r 2 4r 13 0Prof/ATMANI NAJIB4