Relaci On De Contacto Y Los Angulos De Aproximaci On Y .
Relación de Contacto y los Ángulos de Aproximación y Receso.José Marı́a Rico Martı́nezDepartamento de Ingenierı́a Mecánica.División de Ingenierı́as, Campus Irapuato-SalamancaUniversidad de GuanajuatoCarretera Salamanca-Valle de Santiago Km. 3.5 1.8Salamanca, Gto., MéxicoTel. 52-464-647-9940, Ext. 2390.E-mail: jrico@ugto.mxEstas notas tienen como objetivo analizar la relación de contacto entre un par de dientes de engranedesde tres puntos de vista diferentes, uno de esos puntos de vista, el menos conocido, involucra el cálculode los ángulos de aproximación y receso del contacto entre el par de dientes. Un tema interesante que noes adecuadamente tratado en los libros de texto tradicionales.1La acción entre un par de dientes de engrane.Considere la figura 1, que muestra un par de engranes en contacto, el engrane 1 es el motriz y el engrane2 es el conducido, la lı́nea tangente a ambos cı́rculos base es la lı́nea de acción. Puesto que el perfil deambos dientes es de una curva involuta, y la normal en cualquier punto de una curva involuta es tangenteal cı́rculo base, entonces la normal común a ambos perfiles es tangente a ambos cı́rculos base y el contactoentre los dientes siempre ocurre en la lı́nea de acción.c’cCC’DD’d’dFigure 1: Contacto entre un par de dientes.1Figure 10.7.1:
El contacto entre la pareja de dientes inicia cuando la lı́nea de acción intersecta el radio de adendodel engrane conducido, 2, Ro2 , (ra2 ),1 , punto E1 , (B1 ), y finaliza cuando la lı́nea de acción intersectael radio de adendo del engrane conductor, 1, Ro1 , (ra1 ), punto E2 , (B2 ). La figura 1 muestra el par dedientes en contacto en el inicio y en la finalización del contacto ası́ como en una posición intermedia.Es importante identificar los siguientes puntos: Los puntos C y c son las intersecciones del perfil de involuta del diente del engrane conductor, alinicio del contacto entre el par de dientes, con el radio de paso Rp1 , (r1 ), y el radio base Rb1 , (rb1 ),del engrane conductor. Los puntos D y d son las intersecciones del perfil de involuta del diente del engrane conducido, alinicio del contacto entre el par de dientes, con el radio de paso Rp2 , (r2 ), y el radio base Rb2 , (rb2 ),del engrane conducido. Los puntos C ′ y c′ son las intersecciones del perfil de involuta del diente del engrane conductor,al finalizar el contacto entre el par de dientes, con el radio de paso Rp1 , (r1 ), y el radio base Rb1 ,(rb1 ), del engrane conductor. Los puntos D′ y d′ son las intersecciones del perfil de involuta del diente del engrane conducido,al finalizar el contacto entre el par de dientes, con el radio de paso Rp2 , (r2 ), y el radio base Rb2 ,(rb2 ), del engrane conducido. ′ es el arco de acción del engrane conductor, y DD ′ es el arco de acción delAdemás, se tiene que CCengrane conducido.2 Puesto que los cı́rculos de paso de los engranes se comportan como si rodarán sindeslizamiento, entonces ′ DD ′ .CCEstos arcos de acción, que tienen la misma longitud, representan el perı́metro asociado a los ángulos delos engranes conductor, γ1 , y conducido, γ2 , estos si diferentes, durante los cuales una pareja de dientesde engrane están en contacto. Estos ángulos se descomponen de la siguiente manera: El ángulo α1 6 CO1 I es el ángulo de aproximación del engrane 1. El ángulo β1 6 IO1 C ′ es el ángulo de receso del engrane 1. El ángulo α2 6 DO2 I es el ángulo de aproximación del engrane 2. El ángulo β2 6 IO2 D′ es el ángulo de receso del engrane 2.De manera queγ1 α1 β1γ2 α2 β2 .Por otro lado, el ángulo de los engranes conductor y conducido subtendido por un diente del engraney el hueco correspondiente están dados porν1 2π360 N1N1ν2 360 2π N2N2donde la primera de las expresiones en cada ecuación está dada en grados mientras que la segundaexpresión está dada en radianes.1.1Primera manera de calcular la relación de contacto.Entonces, relacionando estos ángulos, es posible determinar la relación de contacto, mp , entre la parejade dientes de un engranage comomp1 1 Esteγ1α1 β1α2 β2γ2 mp mp2 .ν1ν1ν2ν2apunte, indica la notación empleada en clase y en paréntesis la notación de la figura. sı́mbolo Ù , se emplea en lugar de un arco curvado, para indicar que la longitud CC′ 0 DD ′ se miden a lo largo delos cı́rculos de paso.2 El2
La relación de contacto representa el promedio, sobre la base de tiempo —suponiendo velocidadangular constante—, del número de pares de dientes en contacto durante la operación del engranaje.Si mp 1.6 este resultado significa que durante la operación del engranaje existen, por momentos, 2pares de dientes en contacto y, en otros momentos, existe un único par de dientes en contacto. Si larelación de contacto es elevada, cercana a 2, pueden existir por momentos 3 pares de dientes en contacto.Desde un punto de vista teórico, el mı́nimo valor de la relación de contacto es mp 1 sin embargo estevalor requerirı́a engranes perfectamentamente manufacturados, pues si por algún error, la relación decontacto fuera menor que 1 habrı́a instantes durante los cuales no existirı́a contacto entre ninguna parejade dientes. En la práctica, el valor mı́nimo de la relación de contacto es mp 1.2, sin embargo, este valorrequiere una alta calidad de los engranes.1.2Segunda manera de calcular la relación de contacto.El primer cálculo de la relación de contacto se realizó mediante una relación de ángulos, en un segundocálculo, la relación de contacto se determinará relacionando los arcos de acción con la longitud, medidasobre los radios de paso, asociada a un diente de engrane y su hueco correspondiente. Estas longitudesestán dadas por los pasos circulares, del engrane conductor, pc1 y del engrane conducido, pc2 , y paraengranes estándar deben ser iguales; es decirpc1 ν1 Rp1 2 π Rp12 π Rp2 pc ν2 Rp2 pc2N1N2Por lo tanto, una segunda manera, equivalente a la anterior, de calcular la relación de contacto entre unapareja de engranes está dada pormp1 1.3 ′ ′CCDD mp mp2 .pc1pc1Tercera manera de calcular la relación de contacto.Finalmente, una tercera manera de determinar la relación de contacto consiste en relacionar las longitudesasociadas a los arcos de acción y la longitudes asociadas a un diente de engrane y su hueco correspondiente;pero en este caso estas longitudes están medidas no en el cı́rculo de paso, sino en el cı́rculo de paso.Primeramente, el equivalente al paso circular pero medido en el cı́rculo base, se denomina paso basey está dado por2 π Rb22 π Rb1 pb ν2 Rb2 pb2 ,pb1 ν1 Rb1 N1N2y, para engranes estándar, debe ser igual para ambos engranes. Además, se tiene quepb 2 π Rb2 π Rp Cos φ pc Cosφ.NNdonde φ (α) es el ángulo de presión del engranage y al mismo tiempo el ángulo de presión de la involutaen el radio de paso de ambos engranes.Por otro lado, la longitud entre el punto de inicio B1 , determinado por la interseción del radio deadendo del engrane 2 y la normal común, y el punto de finalización B2 , determinado por la interseción delradio de adendo del engrane 1 y la normal común, del contacto entre dientes, conocida como longitudde acción y denotada por Z, puede calcularse comoZ KB2 LB1 KLKB1 B1 B2 LB2 B2 B1 (KB1 B1 B2 B2 L) B1 B2por lo tanto, la longitud de acción puede calcularse como»»2 R2 2 R2 (RZ Ro1Ro2p1 Rp2 ) Sinφb1b2»»2 R2 2 R2 C SinφRo1Ro2 b1b2donde C se define como la distancia entre centros y está dada porC Rp1 Rp23
Por otro lado, la distancia B1 B2 puede interpretarse como distancias medidas sobre el radio base deambos engranes. Si se observa la figura 1 se observa que el punto B1 corresponde al enrollarse sobre elradio base del engrane 1 al punto c, similarmente, el punto B1 corresponde al enrollarse sobre el radiobase del engrane 2 al punto d. De manera semejante, el punto B2 corresponde al enrollarse sobre el radiobase del engrane 2 al punto c′ , similarmente, el punto B2 corresponde al enrollarse sobre el radio base delı′ es igual al ángulo subtendido por elengrane 2 al punto d′ . Además, el ángulo subtendido por el arco cc ′ puesarco de acción CC6 CO1 c 6 C ′ O1 c′ .ˆ′ es igual al ángulo subtendido por el arco de acciónSimilarmente, el ángulo subtendido por el arco dd′ DD pues6 DO2 d 6 D ′ O2 d′ .Por lo tanto, una nueva manera de calcular la relación de contacto esmp1 1.4ˆ′ı′ZZddccB1 B2B1 B2 mp mp2pb1pb1pb1pb2pb2pb2Determinación de la longitud de acción entre un engrane y una cremallera.En esta sección se calculará la longitud de acción entre un engrane y una cremallera. Para realizar estadeterminación considere la figura 2.Figure 2: Longitud de acción entre un engrane y una cremallera.La longitud determinada por los puntos de inicio B1 , determinado por la interseción de la lı́nea deadendo de la cremallera y la normal común, y finalización B2 , determinado por la interseción del radio deadendo del engrane y la normal común, del contacto entre dientes, se conoce como longitud de accióny se denota por Z. En este caso particular, la longitud de acción puede calcularse como Z B 1 B 2 B 1 P P B 2 B 1 P E1 B 2 E1 Ppor lo tanto, la longitud de acción puede calcularse como»»a2 R2 2 R2Z Ro1Rp1b1b1Sinφ2Ángulos de aproximación y receso.La primera manera de determinar la relación de contacto requiere el cálculo de los ángulos de aproximacióny receso. En esta sección mostraremos como determinar estos ángulos. Para tal fı́n considere los siguientesángulos:4
Ángulo de presión de la involuta en el radio de adendo del engrane 2,φo2 6 B1 O2 L,(αa2 ). Involuta del ángulo de presión de la involuta en el radio de adendo del engrane 2,inv φo2 6 dO2 B1 . Ángulo de presión de la involuta en el radio de adendo del engrane 1,φo1 6 KO1 B2 ,(αa1 ). Involuta del ángulo de presión de la involuta en el radio de adendo del engrane 1,inv φo1 6 B2 O1 c′ . Involuta del ángulo de presión del engranage, — o involuta del ángulo de presión de la involuta enel radio de paso de cualquiera de los dos engranes—.inv φ 6 dO2 D 6 d′ O2 D′ 6 CO1 c 6 C ′ O1 c′ . Ángulo de presión del engranage o ángulo de presión de la involuta en el radio de paso de cualquierade los dos engranes.φ 6 KO1 I 6 IO2 L.Considere ahora[(φo2 inv φo2 ) φ] inv φ [(6 B1 O2 L 6 dO2 B1 ) 6 IO2 L] 6 dO2 D [6 dO2 L 6 IO2 L] 6 dO2 D6 dO2 I 6 dO2 D 6 DO2 I α2 .Por lo tantoα2 φo2 inv φo2 φ inv φ φo2 (tan φo2 φo2 ) φ (tan φ φ) tan φo2 tan φ.Finalmente puesto que los radios de paso de los engranes ruedan sin deslizamiento, se tiene queα1 Rp1 α2 Rp2oα1 α2Rp2.Rp1De manera semejante considere[(φo1 inv φo1 ) φ] inv φ [(6 KO1 B2 6 B2 O1 c′ ) 6 KO1 I] 6 CO1 c′ [6 KO1 c′ 6 KO1 I] 6 C ′ O1 c′6 IO1 c′ 6 C ′ O1 c′ 6 IO1 C ′ β1 .Por lo tantoβ1 φo1 inv φo1 φ inv φ φo1 (tan φo1 φo1 ) φ (tan φ φ) tan φo1 tan φ.Finalmente puesto que los radios de paso de los engranes ruedan sin deslizamiento, se tiene queβ1 Rp1 β2 Rp2oβ2 β1Rp1.Rp2Es importante señalar que el cálculo de los ángulos de aproximación de aproximación y receso estambién importante pues se sabe que la operación de los engranes es más silenciosa durante la fase dereceso. Esta observación condujo al diseño de engranes no estándar donde el apareamiento de los engranesocurre exclusivamente durante la fase de receso.5
3Ejemplos.En esta sección se presentan algunos problemas tı́picos asociados a la relación de contacto, a los ángulosde aproximación y receso y a los espesores de los dientes en diferentes radios.3.1Ejemplo 1.Un piñón de 18 dientes se generó con un cortador tipo “hob” de paso diametral 8 y ángulo de presiónde 25 y mueve a un engrane de 45 dientes. Calcule los radios de paso, los radios base, el adendo, losradios de adendo, el espesor del diente en los radios de paso, el espesor del diente en el radio de adendodel piñón, la relación de contacto y los ángulos de aproximación y receso para ambos engranes.3Solución. Se sabe que los números de dientes de los engranes sonN1 18N2 45De la definición del paso diametral, se tiene quePd NN Dp2 Rpde aquı́ queRp N2PdPor lo tantoRp1 N118 1.125”2 Pd2 (8)Rp2 N245 2.8125”2 Pd2 (8)La distancia entre los centros de los engranes está dada porC Rp1 Rp2 1.125” 2.8125” 3.9375”Puesto que el ángulo de presión del “hob”, φ 25 , este se convierte en el ángulo de presión de lainvoluta en el radio de paso —se supone que se corta de manera estándar; es decir, que la linea de pasodel “hob” sea tangente a los radios de paso de los engranes— por lo tanto los radios base de los engranesestán dados porRb1 Rp1 cos φ 1.125” cos 25 1.019596”Rb2 Rp2 cos φ 2.8125” cos 25 2.548990”Con respecto al adendo, los autores del libro no indican cual es el estándar aplicable, sin embargo,debe notarse que excepto para los dientes “stub”—chaparros—, en todos los demás casos, el adendo estádado por11 0.125”a Pd8Por lo tantoRo1 Rp1 a 1.125” 0.125” 1.25”Ro2 Rp2 a 2.8125” 0.125” 2.9375”Ahora se empleará la relación entre el paso circular, pc , y el paso diametral Pd , dada porpc ππ 2 Rpπ Dpπ2 π Rp N 0.39269908”NNNPdDp3.1.1Determinación del espesor de un diente en el radio de adendo.Empleando esta relación, los espesores del diente en los radios de paso de ambos engranes están dados,puesto que se cortaron de manera estándar, porπtRp1 tRp2 ππpc Pd 0.196349”222 Pd2 (8)3 Este es una adaptación del problema 4.13 del libro Mabie, H. H. and Reinholtz, C. F. Mechanisms and Dynamics ofMachinery, Fourth Edition, New Tork, Wiley, 1987.6
Ahora, se calculará el espesor del diente en el radio de adendo del piñón, primero se requiere el ángulode presión de la involuta en el radio de adendo del piñón.òïï ò 1 1.125” cos 25 1 Rp1 cos φ cos 35.345642 Rp1 cos φ Ro1 cos φo1φo1 cosRo11.25”Una vez determinado este ángulo, se tiene queïòòïtRp1tRp1to1 2 Ro1 inv φ inv φo1 2 Ro1 tan φ φ (tan φo1 φo1 )2 Rp12 Rp1ãòÅï25 π35.345642 π0.196349” 0.0622582” tan 25 tan 35.345642 2 (1.25”)2 (1.125”)180 180 3.1.2Determinación de la relación de contacto.Para el cálculo de la relación de contacto, se necesita conocer el paso basepb pc cos φ 0.3926990” cos 25 0.355906”La longitud de acción entre una pareja de dientes de engrane, está dada por»»2 R2 2 R2 C sen φZ Ro1Ro2b1b2pp 1.25”2 1.019596”2 2.9375”2 2.548990”2 3.9375” sen 25 0.519060”por lo tanto, la relación de contacto está dada pormp 3.1.30.519060”Z 1.458418pb0.355906”Verificación de la relación de contacto empleando los ángulos de aproximación yrecesoFinalmente, se calcularán los ángulos de aproximación y receso y se usarán estos valores para verificar larelación de contacto. para este fı́n, es necesario calcular el ángulo de presión de la involuta para el radiode adendo del engrane 2.ïòï ò 1 Rp2 cos φ 1 2.8125” cos 25Rp2 cos φ Ro2 cosφo2φo2 cos cos 29.802761 Ro22.9375”Debe notarse que ya se conoce el ángulo de presión de la involuta para el radio de adendo del engrane 1. Ángulo de aproximación para el engrane 2.α2 tan φo2 tan φ tan 29.802761 tan 25 0.10646171 rad 6.0998060 Ángulo de aproximación para el engrane 1. Puesto que los arcos de acción ocurren en los radios depaso y estos se comportan como si estuvieran rotando, se tiene queα1 α26.0998060 (2.8125”)Rp2 15.249517 Rp11.125” Ángulo de receso del engrane 1.β1 tan φo1 tan φ tan 35.345642 tan 25 0.24292844 rad 13.918774 Ángulo de receso para el engrane 2. Puesto que los arcos de acción ocurren en los radios de paso yestos se comportan como si estuvieran rotando, se tiene queβ2 β1Rp113.918774 (1.125”) 5.567509 Rp22.8125”7
Estos resultados permiten verificar la relación de contacto, pues está dada por la relación entre elángulo de acción; es decir la suma de los ángulos de aproximación y receso de cualquiera de los dosengranes, dividido entre el ángulo que ocupa un diente y su hueco del engrane correspondiente. De esamaneraN1 (α1 β1 )α1 β129.168291 mp 360 1.458414360 20 N1y11.6673159 N2 (α2 β2 )α2 β2 1.458414mp 360 360 8 N2Con este resultado finaliza el problema.3.2Problema 2Dos engranes rectos iguales de 48 dientes se aparean con un radio de paso de 4.000 pulgadas y adendosde 0.1670 pulgadas. Si el ángulo de presión es de 14.5 , calcule la longitud de acción Z y la relación decontacto mp .4Solución.1. Datos iniciales.Por el enunciado se sabe que el número de dientes de ambos engranes son:N1 48N2 48El ángulo de presión al que fueron cortados los engranes es:φ 14.5 0.2530727416 radDe nuevo, por el enunciado se conocen los radios de paso de ambos engranesRp1 4.0 pulg.Rp2 4.0 pulg.De manera que su paso circular está dado por:pc 2π(Rp1 ) 0.5235987758 pulg.N1La distancia entre centros de un engranaje es la suma de los radios de paso de los engranes apareados.Es decirC Rp1 Rp2 8.0 pulg2. Radios de adendo, radios base y paso basePara este ejemplo, el adendo es un dato y es para ambos engranesa 0.167 pulg.Con este dato, es muy sencillo calcular los radios de adendo, pues sólo se debe sumar el adendo alos radios de paso que ya se conocen del punto anterior.Ro1 Rp1 a 4.167 pulg.Ro2 Rp2 a 4.167 pulg.Además se calculan los radios base que serán necesarios más adelante para el cálculo de la longitudde acción.Rb1 Rp1 cos φ 3.872590562 pulg.Rb2 Rp2 cos φ 3.872590562 pulg.El paso base de los engranes está dado porpb pc cos φ 0.5069209193 pulg.4 Este es el problema 4.8 del libro Mabie, H. H. and Reinholtz, C. F. Mechanisms and Dynamics of Machinery, FourthEdition, New Tork, Wiley, 1987.8
3. Longitud de acción y relación de contactoAhora que se tienen todos los datos necesarios para calcular longitud de acción Z y la relación decontacto mp , se emplearán las siguientes dos ecuaciones.»»Z Ro1 2 Rb1 2 Ro2 2 Rb2 2 C sin φ 1.073926877 pulg.ymp 3.2.1Z 2.118529412pbVerificación de la relación de contacto, mediante el uso de los ángulos de aproximación y recesoA modo de verificar el resultado de la relación de contacto se calcularán los ángulos aproximación y dereceso de ambos engranes.1. Ángulos de aproximación y recesoSe inician los cálculos de los ángulos de presión de la involuta en los radios de adendo y se harápara ambos engranes.5ÅãÅãRb1Rb2φ1 arccos 0.3781550427 radφ2 arccos 0.3781550427 radRo1Ro2A continuación se calcula el ángulo de receso, para ambos engranesβ1 tanφ1 tanφ 0.1386574256 radβ2 β1Rp1 0.1386574256 radRp2α1 α2Rp2 0.1386574256 radRp1y los ángulos de aproximación vienen dados porα2 tanφ2 tanφ 0.1386574256 rad2. Relación de contactoFinalmente se verificará que el resultado de la relación de contacto obtenido anteriormente efectivamente es el mismo obtenido por medio de los ángulos de receso y aproximación.3.3θ1 2π 0.1308996939 radN1θ2 mp1 α1 β1 2.118529409θ1mp2 2π 0.1308996939 radN2α2 β2 2.118529409θ2Problema 3Determine la relación de contacto de una pareja de engranes de paso diametral Pd 120, ángulo depresión φ 20 , donde N1 24 dientes y N2 90 dientes.Solución.1. Datos iniciales. Lo primero será calcular las medidas de los engranes que se ocuparán para ladeterminación de la relación de contacto del engranaje. Se tiene como datos iniciales el número dedientes, paso diametral y ángulo de presión de ambos engranes.N1 24N2 90φ 20 0.3490658504 rad5 Comoambos engranes son iguales, en realidad los cálculos se duplican.9
yPd 120Por lo tanto,N1 0.1 pulg2 PdSu paso circular está dado por:Rp1 pc Rp2 N2 0.375 pulg2 Pd2 π Rp1 0.02617993878 pulg.N1Su distancia entre centros, en este caso está
En esta secci on se calculara la longitud de acci on entre un engrane y una cremallera. Para realizar esta determinacio n considere la figura 2. Figure 2: Longitud de acci on entre un engrane y una cremallera. La longitud determinada por los puntos de inicio B1, determinado por la intersecio n de la l ınea de
140-cmn-6300 40-63a frame cmn 140-cmn-9000 63-90a frame cmn accesorios cÓdigo descripciÓn 140m-c-afa10 contacto auxiliar 1na frontal 140m-c-afa11 contacto auxiliar 1na 1nc frontal 140m-c-asa11 contacto auxiliar 1na 1nc lateral 140m-c-pec23 conexiÓn contactor 100-c09/23 140m-c-afa20 contacto auxiliar 2na frontal relÉ de sobrecarga e1 plus
femoral Contra-31A2.3 31A2.3 31A2.3 indicaciones: 31A3.3 31A3.3 31A3.3 Fracturas irreducibles Fracturas irreducibles Fracturas irreducibles en las que no puede en las que no puede en las que no puede conseguirse contacto conseguirse contacto conseguirse contacto interóseo interóseo interóseo Fracturas del cuello Fracturas del cuello .
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Otago: Rebecca Aburn, Anne Sutherland, Gill Adank, Jan Johnstone, Andrea Dawn Southland: Mandy Pagan, Carolyn Fordyce, Janine Graham Hawkes Bay: Wendy Mildon As over 30 members of the New Zealand Wound Care Society were in attendance at the AGM a quorum was achieved. Apologies:
