4.1. Introducción A Funciones Exponenciales Y Logarítmicas.

UNIDAD 4FUNCIONESEXPONENCIALES YLOGARITMICAS.OBJETIVOS ESPECÍFICOS.Al término de la unidad, el alumno: Habrá avanzado en el estudio de las funciones trascendentes. Conocerá la noción de función inversa. Conocerá y aplicará los conceptos de dominio y rango. Comprenderá las relaciones entre la función logarítmica y la funciónexponencial, el comportamiento, aspecto y característicasprincipales de sus gráficas. Reforzará la relación que existe entre los parámetros y la gráfica. Aplicará los conocimientos adquiridos respecto a funcionesexponenciales, para modelar algunas situaciones en diversoscontextos. Aplicará los conocimientos adquiridos respecto a funcioneslogarítmicas, para modelar situaciones en diversos contextos.1

ContenidoUNIDAD 4 . 14.1. Introducción a funciones exponenciales y logarítmicas. . 4La reproducción de las amibas. . 4Cada vez menos. . 5Virus y computadoras. . 54.2. La función exponencial como modelo matemático. 64.3. Funciones exponenciales. . 84.3.1. Función exponencial. . 84.3.2. Ahora grafiquemos algunas funciones exponenciales. . 94.4. Propiedades de la función exponencial. . 114.5. Destrezas con transformaciones. . 114.6. El número e. . 174.7. Funciones logarítmicas. . 194.7.1. Función inversa. . 194. 7. 2. Funciones uno a uno (funciones biyectivas) . 204.7.3. Prueba de la recta horizontal. . 214.7.4. Método alternativo para hallar. . 254.7.5. Propiedades de la función logarítmica. . 274.7.6. Logaritmos comunes y naturales. . 28Logaritmo común (base) . 284.7.7. Logaritmo natural (base e) . 314.7.8. Propiedades de los logaritmos naturales. . 33Evaluación de la función logaritmo natural. . 334.7.9. Leyes de los logaritmos. 334.7.9.1. Leyes de los logaritmos. . 334.7.9.2. Uso de las leyes de los logaritmos para expandir expresiones. . 344.7.9.3. Uso de las leyes de los logaritmos para evaluar expresiones. . 354.7.9.4. Escribir una expresión como un solo logaritmo. . 374.7.9.5. Cambio de base. . 384.7.9.6. Use la fórmula del cambio de base para evaluar logaritmos. . 384.8. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas. . 394.8.1. Ecuaciones exponenciales. . 394.8.2. Sugerencias para resolver ecuaciones exponenciales. 404.8.3. Ecuaciones logarítmicas. . 434.8.3.1. Sugerencias para resolver ecuaciones logarítmicas. . 444.9. Aplicaciones de las funciones exponenciales y logarítmicas. . 482

4.9.1. Interés compuesto. 484.9.2. Crecimiento Exponencial. 504.9.3. Desintegración radiactiva. . 534.9.4. Vida media. . 544.9.5. Carbono 14. 544.9.6. Escala de Richter. 564.9.7. Escala en decibeles. 57Problemas propuestos. 58Examen de la unidad. . 63Solución a los problemas complementarios. . 64Solución al examen de la unidad. . 703

4.1. Introducción a funciones exponenciales y logarítmicas.Las funciones exponenciales y logarítmicas tienen aplicaciones en todos loscampos del quehacer humano. Son particularmente útiles en el estudio de laquímica, la física, la biología y la ingeniería para describir la forma en quevarían las cantidades. En esta unidad se examinarán las propiedades de estasfunciones y se considerarán muchas de sus aplicaciones en la vida diaria.Empezaremos con algunos problemas que nos conducen a modelos defunciones exponenciales para su solución.La reproducción de las amibas.Las amibas se reproducen dividiéndose en dos. Así, una amiba da origen, aldividirse, a dos amibas iguales; las cuales a su vez, cuando alcanzan ciertotamaño, se dividen y originan a cuatro amibas. En teoría, este proceso puedecontinuar indefinidamente si el medio es adecuado, supón que el tiempo dedivisión de las amibas es de un día, ¿cuántas amibas habrá al cabo dedías,sí inicialmente había una sola amiba?Antes de leer lo siguiente, imagina una manera de resolver el problema.Discútelo con tus compañeros y con tu profesor.1. Haz una primera estimación de tu resultado, ¿habrá menos de 100amibas?, ¿entrey?, ¿más de?2. En cada etapa, ¿cómo es el número de amibas respecto a la etapaanterior? ¿respecto a la siguiente?3. ¿Qué operación debes hacer en cada etapa para obtener el número deamibas en la siguiente?4. ¿Cuántas veces has repetido la misma operación en la tercera etapa?,¿y en la octava?5. Copia en tu cuaderno el cuadro siguiente y complétalo. Utiliza tu calculadorasi es necesario.6. Si llamamosal número de días transcurridos, ¿puedes proponer unafórmula que exprese el número de amibas en ese tiempo? Pon a prueba tufórmula usando los valores del cuadro anterior.7. Calcula, ¿cuántas amibas habrá después de 15 días?La tabla anterior empleada para resolver el problema es una tabla de potenciasde dos. Esto quiere decir que cada casilla en el renglón se obtienemultiplicando el valor anterior (de la izquierda) por dos. Decimos que es labase y el número de veces que se ha tomado como factor esa base es elexponente; el resultado se llama potencia. Se escribe de la siguiente forma:4

()En general, la potencia enésima de un número cualquiera se obtiene tomandon veces como factor ese número.Cada vez menos.La vida media de un material radiactivo se define como el tiempo necesariopara que una cierta cantidad de ese material se reduzca, por radiación, a lamitad. La vida media del polonio (material radiactivo) es dedías.Si hoy hubiera kg.de polonio en un laboratorio, ¿qué parte de esa cantidadquedaría dentro de cinco años?1. Copia en tu cuaderno el cuadro siguiente y complétalo. Recuerda que cadavez que transcurrendías, la cantidad de polonio se reduce a la mitad,entonces, calcula el valor en cada casilla del primer renglón sumandoalvalor de la casilla anterior.2. ¿Cómo se obtienen los valores del segundo renglón?, ¿Cómo se encuentrala mitad de una cantidad?3. ¿Es posible hablar del valor del cuadrado de un número fraccionario?,¿Qué significaría?, ¿Cómo obtendrías el cuadrado de ?, ¿y el de ?4. ¿Cómo se calcularía ( ) ? y ( ) ?5. Si la base es una fracción, ¿cómo varía la potencia al aumentar elexponente?Virus y computadoras.Un virus computacional no es una enfermedad, sino un programa decomputadora.Algunos son programas muy cortos que se copian así mismos una y otra vezhasta llenar completamente la memoria de la computadora. Esto significa quela computadora no responderá ante ningún otro programa a menos que“limpiemos“ por completo la memoria eliminando el virus.El virus demonioes un programa que hace diez copias de sí mismo en unsegundo y se detiene. Después, cada una de esascopias produce otrascopias; de esta manera, al cabo de dos segundos ya habrácopias delvirus ¿Si cada copia de demonioocupa 1kb (kilobyte) de memoria,¿cuánto tiempo tardará en saturarse una computadora cuya memoria es dekb?5

Antes de leer lo siguiente, imagina una manera de resolver el problema.Discútelo con tus compañeros y con tu profesor.1. Haz una primera estimación de tu resultado, ¿será más de una hora?,¿entreminutos?, ¿menos de un minuto?2. En cada etapa, ¿cómo es el número de copias respecto a la etapaanterior?, ¿respecto a la siguiente?3. ¿Puedes encontrar una relación entre el número de segundos transcurridosy los ceros del número de copias? ¿cuál es?4. Copia en tu cuaderno el cuadro siguiente y complétalo.5. Si llamamos t al número de segundos transcurridos, ¿puedes proporcionaruna fórmula que exprese el número de copias al término de ese tiempo? Pon aprueba tu fórmula usando los valores del cuadro.6. Calcula cuántas copias habrá después de7. Si el virus ocuparámáquina?segundos.kb de memoria, ¿en cuánto tiempo se saturará la4.2. La función exponencial como modelo matemático.Necesitamos encontrar la solución del siguiente problema financiero.Una institución de ahorro pagade interés compuesto capitalizableanualmente.Si se depositan¿Qué cantidad se obtiene al cabo de?¿Y en cuánto tiempo se duplicará el capital invertido?Intentemos establecer un modelo matemático de la situación.Llamemos:al monto en pesos (capital más intereses) al cabo de años.al capital invertido, en pesos.a la tasa de interés, expresada como fracción decimal.al interés al cabo deaños.Al cabo del primer año () el monto será:Al cabo del segundo año (Y el monto) el interés calculado sobre el monto será:.al cabo de este segundo año será:6

Organicemos en una tabla los resultados obtenidos.Llenar los casilleros que se indican:Hemos obtenido la expresión:De la cual podemos derivar esta otra.que nos da la relación entre el monto al cabo de n años y el capital inicialmenteinvertido.Para nuestro caso.Por lo tanto:La expresión:Nos permite calcular el monto al cabo de cualquier número de años.Por ejemplo:Al cabo del quinto año, el monto será:Al cabo del décimo año, el monto será:Al cabo de 15 años, la relación entre el monto y el capital invertido será:7

Dejaremos pendiente la respuesta a la pregunta ¿En cuánto tiempo seduplicará el capital invertido?, hasta una etapa posterior en que hallamosrealizado el estudio de las ecuaciones exponenciales.Por el momento nos interesa especialmente la expresión como ésta:Que podemos representar en forma general, así:y que llamaremos, expresiones exponenciales.Síentonces adopta la forma:La expresión:{}Con las restricciones que luego estableceremos, representará una función quellamaremos:.4.3. Funciones exponenciales.Para cualquier número irracional,puede definirse, pero una definiciónmás precisa va más allá del alcance de este texto. Sin embargo, podemosinsinuar un procedimiento posible para definir un número como . Ya que: Los números racionalesdan en ordensucesivo mejores aproximaciones a . Esto indica que los númerosdan en orden sucesivo mejores aproximaciones al valor de. De hecho esto puede demostrarse con unadefinición precisa depara una irracional. Pero por ahora aceptaremos lasiguiente formulación como un hecho.Paray cualquier número real , la expresiónrepresenta un úniconúmero real, para la cual, las leyes de los exponentes son válidas para todareal.4.3.1. Función exponencial.Ahora podemos dar una definición de una función exponencial.Definición.Si, la función exponencial con basees:En la definición anterior la base a se limita a los números positivos así quesiempre será un número real positivo. Con esta restricción una expresióncomoconstanteno es posible. Cuando.1, simplemente obtenemos la función8

4.3.2. Ahora grafiquemos algunas funciones exponenciales.Grafique la funciónSolución. Primero obtenemos una tabla de valores para, marcamoslos puntos que se obtienen de la tabla y los unimos con una curva uniforme.Nótese que la gráfica de.es una función creciente en el intervaloGrafique la función( )Solución. Obtenemos la gráfica de esta función uniendo los puntos cuyascoordenadas se enumeran en la tabla anexa.9

Nótese que la gráfica de la funciónanterior ya quees exactamente la misma gráfica( ) .Como los dos ejemplos anteriores indican, la gráfica de una funciónexponencialpuede tener dos formas, dependiendo de sio. En la figura siguiente vemos el bosquejo de las gráficas para cada unode estos casos:10

4.4. Propiedades de la función exponencial.En los bocetos de la figura anterior observamos las siguientes propiedades dela función exponencial con base .a) El dominio de la funciónes el conjunto de los números reales.b) El rango o recorrido de la funciónpositivos.es el conjunto de los números realesc) La intersección con el eje y para la gráfica de la funciónla función no tiene intersección con el eje .d) El ejees . La gráfica dees una asíntota horizontal para la gráfica de la función .e) La funciónes creciente siy decreciente sif) La funciónes inyectiva (uno a uno).4.5. Destrezas con transformaciones.Las destrezas para bosquejar funciones, que se aprendieron en anterioresunidades, pueden ser aplicadas para bosquejar las gráficas de funcionesexponenciales y logarítmicas.La función exponencial tiene la forma general.11, donde