Draft PDE Lecture NotesKhanday M.A.Chapter 2PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS OF SECOND ORDERINTRODUCTION: An equation is said to be of order two, if it involves at least oneof the differential coefficients r ( 2z / 2x), s ( 2z / x y), t ( 2z / 2y), butnow of higher order; the quantities p and q may also enter into the equation. Thus thegeneral form of a second order Partial differential equation isđ( đ„, đŠ, đ§, đ, đ, đ, đ , đĄ) 0.(1)The most general linear partial differential equation of order two in two independentvariables x and y with variable coefficients is of the formđ đ đđ đđĄ đđ đđ đđ§ đč. . . (2)where đ , đ, đ, đ, đ, đ, đč are functions of đ„ and đŠ only and not all đ , đ, đ are zero.Ex.1: Solve đ 6đ„. 2đ§Sol. The given equation can be written as đ„ 2 6đ„ đ§đ„ đ„ 3đ„ 2 1 (đŠ)Integrating (1) w. r. t.(1).(2)where 1 (đŠ) is an arbitrary function of đŠ.Integrating (2) w. r. t. we getđ„ đ§ đ„ 3 đ„ 1 (đŠ) 2 (đŠ)where 2(y) is an arbitrary function of y.Ex.2. đđ đ„đŠ 2đ§1Sol: Given equation can be written as đ„ 2 đ đ„đŠ.(1)Integrating (1) w. r. t., đ„, we get đ§ đ„ đŠđ„2đ2 1(y).(2)where 1(y) is an arbitrary function of yIntegrating (2) w. r. t., x,z đŠ3đ6 x 1(y) 2(y)Department of Mathematics, University of Kashmir, Srinagar-1900061
Draft PDE Lecture NotesKhanday M.A.đŠz 2đ x 1(y) 2(y)orwhere 2(y) is an arbitrary function of y.Ex.3: Solve r 2y2Sol:Try yourself.Ex. 4. Solve đĄ sin(đ„đŠ) 2đ§Sol. Given equation can be written as đŠ 2 sin(đ„đŠ).(1)Integrating (1) w. r. t., đ§ đŠ 1đ„ycos(đ„đŠ) 1 (đ„). . . (2)Integrating (2) w. r. t., yđ§ 1đ„2sin đ„đŠ đŠ 1 đ„ 2 đ„which is the required solution, 1, 2 being arbitrary functions.Exercises:đ„đŠđ 1 2đ§Sol: We know that đ đ„ đŠThereforeor 2đ§đ„đŠ đ„ đŠ 1 2đ§ đ„ đŠ1 đ„đŠIntegrating w.r.t., y we have đ§ 1 log đŠ đ đ„ đ„ đ„Again integrating w.r.t., x we getđ§ log đ„ log đŠ 0rđ đ„ đđ„ đč đŠđ§ log đ„ log đŠ đ đ„ đč đŠDepartment of Mathematics, University of Kashmir, Srinagar-1900062
Draft PDE Lecture NotesKhanday M.A.Exercises:2đ„ 2đŠ đ Sol: The given equation can be written as 2đ§ 2đ„ 2đŠ đ„ đŠIntegrating w.r.t., đŠ, we have đ§ đŠ 2 2đ„đŠ đ đ„ đ„Integrating w.r.t., đ„, we haveđ§ đŠ2đ„ đ„2 đŠ đ đ„ đđ„ đč đŠ đ§ đŠ2đ„ đ„2đŠ đ đ„ đč đŠExercises:đ„đ đ 9đ„ 2 đŠ 3Sol: The given equation can be written asđ„ 2đ§ đ 9đ„ 2 đŠ 3 đ„ 2 đ„ đ đ đ 9đ„ 2 đŠ 3 đ„đ đ„ đ„ 9đ„đŠ 3 (1)which is linear first order differential equation in đ I. F. is đ log đ„ đ„Multiplying (1) by đ„ we getđ„ đ đ 9đ„ 2 đŠ 3 đ„ đ„ đđ„ 9 đđ„ 9đ„ 2 đŠ 3 đđ„đ„3đŠ3 đ đŠ3 đđ„ 3đ„ 3 đŠ 3 đ đŠDepartment of Mathematics, University of Kashmir, Srinagar-1900063
Draft PDE Lecture NotesKhanday M.A.3đ„ 3 đŠ 3 đ đŠ đ đ„ đ§đ đŠ 3đ„ 2 đŠ 3 đ„đ„ Integrating with respect to đ„ we getđ§ đ„ 3 đŠ 3 đ đŠ log đ„ đč đŠExercises:đŠđĄ đ đ„đŠSol: Please try yourself.Exercises:đĄ đ„đ đ„ 2Sol: Please try yourself.Exercises:đ 2đŠ 2Sol: The given equation can be written as 2đ§ 2đŠ 2 đ„ 2 đ 2đ„ 2 đ„Integrating with respect to đ„ we getđ 2đŠ 2 đ„ đ đŠ đ§ 2đŠ 2 đ„ đ đŠ đ„Integrating we getđ§ đŠ2đ„2 đ đŠ đđ„ đč đŠ đ§ đŠ 2 đ„ 2 đ„đ đŠ đč đŠExercises:đĄ sin đ„đŠSol: Please try yourself.Exercises:log đ đ„ đŠSol: The given equation can be written asDepartment of Mathematics, University of Kashmir, Srinagar-1900064
Draft PDE Lecture NotesKhanday M.A.log đ đ„ đŠ đ„ đ đ đ„ đŠ đ„ đ đ đ„ đđŠ đ„Integrating w.r.t. đ„ we getđ đ đ„ đđŠ đ đŠ đ§ đ đ„ đđŠ đ đŠ đŠIntegrating w.r.t., đŠ, we getđ§ đ đ„ đđŠ đ đŠ đđŠ đč đ„đ§ đ đ„ đđŠ đ đŠ đč đ„orđ„Exercises:đ đĄ đŠ 2Sol: Please try yourself.Exercises:đĄ đ đ 0Sol: The given equation can be written as đ đ đ§ 0 đŠ đŠ đŠIntegrating with respect to đŠ, we getđ đ đ§ đ đ„ đ đ đ đ„ đ§It is of the formđđ đđ đ Its auxiliary system isđđ„1 đđŠ1 đđđ§đ„ đ§ (1)From first two fractions of (1) we getDepartment of Mathematics, University of Kashmir, Srinagar-1900065
Draft PDE Lecture NotesKhanday M.A.đđ„ đđŠ đ„ đŠ đFrom first and third fractions of (1) we getđđ„đđ§ 1đ đ„ đ§ đ đ„ đ§ đđ„ đđ§ đđ§ đ đ„ đ§đđ„ đđ§ đ§ đ đ„đđ„It is first order linear differential equation in đ§Its integrating factor isTherefoređ§đ đ„ đđđ„ đđ„đ đ„ đ đ„ đđ„ đ§đ đ„ đ đ„ đ đ„ đđ„ đ đŠExercise:đĄ đ đ 1Sol: Please try yourself.Exercise: Find the surface passing through the parabolas,đŠ 2 4đđ„,đŠ 2 4đđ„,andđ§ 0đ§ 1and satisfying the equationđ„đ 2đ 0.Sol: The given second order partial differential equation isđ„đ 2đ 0 đ2 (1) đ„ đ„ đ 0It is first order linear differential equation in đ.Its integrating factor isđ2đđ„đ„2 đ 2 log đ„ đ log đ„ đ„ 2Department of Mathematics, University of Kashmir, Srinagar-1900066
Draft PDE Lecture NotesKhanday M.A.From (1) we getđ„2 đ đ„2 đ 0 đđ„0 đđ„ đ(đŠ) đ đ(đŠ)đ„2Integrating w. r. t. đ„ we have1 (2)đ§ đ„đ đŠ đč đŠđŠ2Using the given condition đ§ 0, đ„ 4đ , in equation (2), we have0 orđč đŠ 4đđ đŠ đč đŠđŠ24đđ đŠ (3)đŠ2Also for đ§ 1, and đ„ đŠ 24đ, we have from (2) we have1 4đđ đŠ đč đŠđŠ2Using (3) we getor1 4đđ đŠđŠ2 4đđ đŠđŠ2 1 8đđ đŠđŠ2 đ đŠ đŠ28đSubstituting đ đŠ , in (3)4đ đŠ 2đč đŠ 2đŠ 8đ đč đŠ 12Department of Mathematics, University of Kashmir, Srinagar-1900067
Draft PDE Lecture NotesKhanday M.A.Therefore from (1) we getđ§ đŠ 2 1 8đđ„ 2Which is the required surface passing through the parabolas.Exercise: Find the surface satisfying đĄ 6đ„ 3 đŠ containing the two linesđŠ 0 đ§andđŠ 1 đ§Sol: The given 2nd order PDE isđĄ 6đ„ 3 đŠ đ 6đ„ 3 đŠ đŠIntegrating w. r. t., đŠ, we haveđ 6đ„ 3 đŠ 2 đ đ„2 đ§ 3đ„ 3 đŠ 2 đ đ„ đŠIntegrating w. r. t., đŠ,đ§ 3đ„ 3 đŠ 3 đŠđ đ„ đč đ„3 đ§ đ„ 3 đŠ 3 đŠđ đ„ đč đ„ (1)Using given conditions đŠ 0 đ§, in (1), we have0 0 0 đč đ„ (2) đč đ„ 0Also using đŠ 1 đ§in equation (1) we get,1 đ„3 đ đ„ đč đ„Using (2), we get1 đ„3 đ đ„ 0đ đ„ 1 đ„3 (3)Using (2) and (3) in (1) we getDepartment of Mathematics, University of Kashmir, Srinagar-1900068
Draft PDE Lecture NotesKhanday M.A.đ§ đ„3 đŠ3 đŠ 1 đ„3Which is the required surface containing the two lines.Exercise: Find the surface satisfying đ đ 0, and touching the elliptic paraboloidđ§ 4đ„ 2 đŠ 2 along the surface of plane đŠ 2đ„ 1. đ đSol: From the given equation we have đ„ đ„ 0.Integrating with respect to đ„, we haveđ đ đ đŠNow, the auxiliary system isđđ„1 đđŠ1đđ§ đ (1)đŠTaking first two fractions we getđđ„ đđŠ 11Integrating we getđ„ đŠ đ (2)đ„ đŠ đAlso from 2nd and 3rd fractions of (1), we getđđŠđđ§ 1đ đŠ đđ§ đ đŠ đđŠ đ§ đ đŠ đđ§ đ đŠ đč đor đ§ đ đŠ đč đ„ đŠ (3)From (3), we get đ§đ đ„ đč âČ đ„ đŠ đ§q đŠ đ âČ đŠ đč âČ đ„ đŠDepartment of Mathematics, University of Kashmir, Srinagar-190006 (4) (5)9
Draft PDE Lecture NotesKhanday M.A.Since đ§ 4đ„ 2 đŠ 2 đ§ (6) đ đ„ 8đ„& đ§ (7)q đŠ 2đŠFrom (4) and (6)đč âČ đ„ đŠ 8đ„ (8)From (5) and (7)đ âČ đŠ đč âČ đ„ đŠ 2đŠ (9)Adding (8) and (9) we getđ âČ đŠ 8đ„ 2đŠ 8đŠ 1 2đŠ2 6đŠ 4Integrating w. r. t., đŠ, we getđ đŠ 3đŠ 2 4đŠ đ (10)Also, from (8) đč âČ đ„ đŠ 8đ„ 8 đŠ đ„ 1 8 đ„ đŠ 1Integrating w. r. t., đ„ đŠ we get đč đ„ đŠ 4 đ„ đŠ2 8 đ„ đŠ đ (11)Substituting (10) and (11) in (3) we getđ§ 3đŠ 2 4đŠ đ 4 đ„ đŠ2 8 đ„ đŠ đ 4đ„ 2 đŠ 2 4đŠ 8đ„ 8đ„đŠ đFrom the given condition,4đ„ 2 2đ„ 12 4đ„ 2 2đ„ 1 8đ„ 2 2 2đ„ 122 4 2đ„ 1 8đ„ 8đ„ 2đ„ 1 đ 4 2đ„ 1 8đ„ 8đ„ 2đ„ 1 đ 8đ„ 2 8đ„ 2 2 8đ„ 8đ„ 4 8đ„ 16đ„ 2 8đ„ đDepartment of Mathematics, University of Kashmir, Srinagar-19000610
Draft PDE Lecture NotesKhanday M.A. đ 2đ§ 4đ„ 2 đŠ 2 4đŠ 8đ„ 8đ„đŠ 2Thereforewhich is required surface.Exercise: Show that the surface satisfying đ 6đ„ 2 and touching đ§ đ„ 3 đŠ 3along its section by the plane đ„ đŠ 1 0 is đ§ đ„ 3 đŠ 3 đ„ đŠ 1 2 .Sol: Try yourself.Partial differential equations with constant coefficients:We know that the general form of a linear partial differential equation đ đ§ đ đ§ đ đ§ đ đ§đŽđ đ„ đ đŽđ 1 đ„ đ 1 đŠ đŽđ 2 đ„ đ 2 đŠ 2 đŽ1 đŠ đ đ đ„, đŠ (1)Where the coefficients đŽđ , đŽđ 1 , đŽđ 2 , . . . , đŽ1 are constants or functionsof đ„ and đŠ. If đŽđ , đŽđ 1 , đŽđ 2 , . . . , đŽ1 are all constants, then (1) is calleda linear partial differential equation with constant coefficients.We denote đ„and by đ· đđ đ·đ„ đŠand đ·âČ đđ đ·đŠrespectively.Therefore (1) can be written asđŽđ đ·đ đŽđ 1 đ·đ 1 đ·âČ đŽđ 2 đ·đ 2 đ·âČ2 đŽ1 đ·âČđ đ§ đ đ„, đŠ (2)đ đ·, đ·âČ đ§ đ đ„, đŠorThe complementary function of (2) is given byđŽđ đ·đ đŽđ 1 đ·đ 1 đ·âČ đŽđ 2 đ·đ 2 đ·âČ2 đŽ1 đ·âČđ đ§ 0or (3)đ đ·, đ·âČ đ§ 0Let đ§ đč đŠ đđ„be the part of the solution đ§đ·đ§ đ„ đđč âČ đŠ đđ„ 2đ§đ·2 đ§ đ„ 2 đ2 đč âČâČ đŠ đđ„.Department of Mathematics, University of Kashmir, Srinagar-19000611
Draft PDE Lecture NotesKhanday M.A. đ đ§đ·đ đ§ đ„ đ đđ đč đ đŠ đđ„And đ§đ·âČ đ§ đŠ đč âČ đŠ đđ„ 2đ§đ·âČ2 đ§ đŠ 2 đč âČâČ đŠ đđ„. . .đ·âČđ đ§ đ đ§ đŠ đ. đč đ đŠ đđ„Substitute these values in (3), we getđŽđ đđ đŽđ 1 đđ 1 đŽđ 2 đđ 2 . . . đŽ1 đčđđŠ đđ„ 0which is true if âČđâČ is a root of the equationIf đ1 , đ2 ,đđ , are distinct roots, then complementary functions isđ§ đ1 đŠ đ1 đ„ đ2 đŠ đ2 đ„ . . . đđ đŠ đđ đ„where đ1 , đ2 , . . .,đđ are arbitrary functions. đ đ·, đ·âČ đ§ 0we replace đ· by m and đ·âČ by 1 to get the auxiliary equation from which we getroots.Linear partial differential equations with constant coefficientsHomogenous and Non homogenous linear equations with constant coefficients: Apartial differential equation in which the dependent variable and its derivatives appearonly in the first degree and are not multiplied together, their coefficients beingconstants or functions of x and y, is known as a linear partial differential equation.The general form of such an equation is đ đ§ đ đ§ đ đ§ đ đ§ đ 1 đ§ đ 1 đ§đŽ0 đ„ đ đŽ1 đŠ đ„ đ 1 đŽ1 đŠ 2 đ„ đ 2 . . . đŽđ đŠ đ đ”0 đ„ đ 1 đ”1 đŠ đ„ đ 2 đ 1 đ§ đ 1 đ§ đ§ đ§đ”1 đŠ 2 đ„ đ 3 . . . đ”đ đŠ đ 1 đ0 đ„ đ1 đŠ đ0 đ§ đ(đ„, đŠ)Department of Mathematics, University of Kashmir, Srinagar-190006.(1)12
Draft PDE Lecture NotesKhanday M.A.where the coefficients A0, A1, . . . An, B0, B1, . . . , Bn-1, M0, M1 and N0 are allconstants, then (1) is called a linear partial differential equation with constantcoefficients. For convenience đ„ and đŠ will be denoted by D and đ·Êč respectively.2.1. Short method for finding the P.I. in certain cases of F(D,DÊč) z f(x, y)2.1.a. Short method I. when f(x, y) is of the form ( ax by )Ex.1. Solve (D2 3DDÊč 2DÊč2)z x ySol. The Auxiliary equation of the given equation ism2 3m 2 0 giving m -1,-2therefore C.F. 1(y-x) 2(y-2x), 1, 2 being arbitrary functions1P.I. D2 3DDÊč 2DÊč2(x y)Now 1đŁđđŁđđŁ, where v x y12 3.1.1 2.12v221 đŁ3dv 661 36 (x y)3Hence the required general solution is z C.F. P.I.1or z 1(y-x) 2(y-2x) 36 (x y)3Ex. 2. Solve (2đ·2 5đ·đ·Êč 2đ·Êč2 ) đ§ 24 (đŠ â đ„ )Sol: Try yourselfEx.3. Solve (đ·2 3đ·đ·Êč 2đ·Êč2 )đ§ 2đ„ 3 đŠSol: Try yourself2.1.b.Short method II.When f(x,y) is of the form đ„ đ đŠ đ or a rational integralEx.1. Solve (D2 âa2DÊč2)z xSol. Here auxiliary equation is m2 âa2 0 so that m a, -aThereforeC.F. 1 đŠ đđ„ 2 đŠ đđ„ ,Department of Mathematics, University of Kashmir, Srinagar-190006.(1)13
Draft PDE Lecture NotesKhanday M.A. 1 , 2 being arbitrary functions.Now P.I. 1đ· 2 đ 2 đ·Êč21 đ·21 đ·2đ„ 1đ·21 đ21 đ 2đ·Êč2đ·2đ· Êč2đ·2đ„ 1đ„[1 a2 (DÊč2 /D2) .]x1 đ·2x x3.(2)6Hence the required solution is z C.F. P.I.Z 1(y a x ) 2 (y-a x) x36Exercise: 1.2đ 5đ 2đĄ 0Sol: It is a second order pole with constant coefficients, we have 2đ§ 2đ§ 2đ§2 2 5 2 2 0 đ„ đ„ đŠ đŠ2đ·2 5đ·đ·âČ 2đ·âČ2 đ§ 0orNow the auxiliary equations is given by2đ2 5đ 2 01 đ 2 , -21Therefore the complementary function is đ§ đ1 đŠ 2 đ„ đ2 đŠ 2đ„which is required solution.Exercise: 2.đ đ2 đĄSol: Try Yourself 3đ§(Ans: đ§ đ1 đŠ đđ„ đ2 đŠ đđ„ ) 3đ§ 3đ§Exercise: 3. đ„ 3 3 đ„ 2 đŠ 2 đ„ 2 đŠ 0Sol: It is a third order pole with constant coefficients, we haveDepartment of Mathematics, University of Kashmir, Srinagar-19000614
Draft PDE Lecture NotesKhanday M.A. 3đ§ 3đ§ 3đ§ 3 2 2 0 đ„ 3 đ„ đŠ đ„ 2 đŠorđ·3 3đ·2 đ·âČ 2đ·đ·âČ2 đ§ 0Now the auxiliary equations is given byđ3 3đ2 2đ 0 đ đ2 3đ 2 0 đ đ 1 đ 2 0 đ 0, 1 , 2Therefore the complementary function is đ§ đ1 đŠ đ2 đŠ đ„ đ3 đŠ 2đ„Which is required solution. 3đ§ 3đ§ 3đ§ 3đ§Exercise: 4. đ„ 3 6 đ„ 2 đŠ 11 đ„ 2 đŠ 6 đŠ 3 0Sol: Try yourselfExercise: 5. 25đ 40đ 16đĄ 0Sol: Try yourselfExercise: 6. đ·4 đ·âČ4 đ§ 0Sol: The auxiliary equation is given byđ4 1 0 đ2 1 đ2 1 0 đ 1 đ 1 đ đ đ đ 0 đ 1, 1, đ, đTherefore the complementary function isđ§ đ1 đŠ đ„ đ2 đŠ đ„ đ3 đŠ đđ„ đ4 đŠ đđ„which is required solution.Exercise: 7. đ·3 4đ·2 đ·âČ 4đ·đ·âČ2 đ§ 0Sol: Try yourself.Department of Mathematics, University of Kashmir, Srinagar-19000615
Draft PDE Lecture NotesKhanday M.A.Exercise: 8. đ·2 2đ·đ·âČ đ·âČ2 đ§ 12đ„đŠSol: The auxiliary equations corresponding to these linear system of equations isgiven byđ2 2đ 1 0 đ 1 đ 1 0 đ 1,1Therefore the complementary function isđ§ đ1 đŠ đ„ đ„đ2 đŠ đ„Also,P. I. 1đ· đ·âČ 212đ„đŠ12đ·âČ 2 1 đ·đ· 2đ„đŠ2 112đ·đ· 2 1 2 đ·đ·âČđ·âČ12đ·đ· 2 1 2 đ·đ·âČđ·âČ đ„đŠ2 đ„đŠ122đ„đŠ đ„đ·2đ·12 đ„ 2 đŠ đ„ 3 đ· 23 12đ„3 đŠ đ„4 612 2đ„ 3 đŠ đ„ 4Therefore the complete solution isz C. F. P. I.i.e., đ§ đ1 đŠ đ„ đ„đ2 đŠ đ„ 2đ„ 3 đŠ đ„ 4Exercise: 9. 2đ·2 5đ·đ·âČ 2đ·âČ2 đ§ 24 đ„ đŠSol: Try yourself.Exercise: 10. đ·3 đ·âČ3 đ§ đ„ 3 đŠ 3Department of Mathematics, University of Kashmir, Srinagar-19000616
Draft PDE Lecture NotesKhanday M.A.Sol: The auxiliary equations isđ3 1 0 đ 1 đ2 đ 1 0 đ 1,đ§ đ1 đŠ đ„ đ2 đŠ Complementary function is 1 đ 32P. I. 1 đ 3 1 đ 3,22 1 đ 32đ„ đ3 đŠ đ„ 1đ· 3 đ·âČ 3đ„3 ïżœïżœ31đ·31đ·31 đ·âČ 3đ·1 1 1đ·âČ 3đ„3 đŠ3đ·đ·âČ 3đ„3đŠ3 đ·âČ 6 đ·đ·đ·âČ 3đ„3 đŠ3 đ·đ·âČ 2đ·3 . . .đ„3 đŠ3 đ·âČ 6đ·đ„3 đŠ3đ„3đŠ3 . . .3đ„ 3 đŠ 2 0 . . .đ·âČđ„ 3 đŠ 3 đ· 3 6đ„ 3 đŠ1đ„ 3 đŠ 3 đ· 3 6đ„ 31đ„3 đŠ3 đ·2 61đ„44đ„5đ„ 3 đŠ 3 đ· 6 20đ„6đ„ 3 đŠ 3 201đ„4đŠ 3đ·241 đ„5đŠ 3đ·đ„3đŠ320đ„7 140đ„8 1120Department of Mathematics, University of Kashmir, Srinagar-19000617
Draft PDE Lecture Notesđ„6đŠ 3 Khanday M.A.đ„9 10080120The complete solution is C.F. P.I.đ§ đ1 đŠ đ„ đ2 đŠ 1 đ 3 1 đ 3đ„6 đŠ3đ„9đ„ đ3 đŠ đ„ 22120 10080Exercise: Find the real function âČđŁâČ of đ„ and đŠ reducing to zero when đŠ 0 andsatisfying 2đŁ đ„ 2 2đŁ đŠ 2 4đ đ„ 2 đŠ 2Sol: We have to find the P. I. onlyP. I. 1đ· 2 đ·âČ 2 4đ đ„ 2 đŠ 21 4đ đ„ 2 đŠ 2đ·âČ 2đ· 2 1 2đ· 4đđ·2 4đđ·2 4đđ·2 4đđ·2 4đđ·2 4đđ·2 4đđ·2 4đđ·1 1 đ·âČ 2 1đ·2đ·âČ 2đ·2 đ„2 đŠ2đ·âČ 22đ·2đ„2 đŠ2 đ·âČ 2đ·2 . . .đ„2 đŠ2đ„2 đŠ2 0đ·âČđ„ 2 đŠ 2 đ· 2 2đŠ1đ„2 đŠ2 đ·2 21đ„ 2 đŠ 2 đ· 2đ„đ„2 đŠ2 đ„2đ„đŠ 2đ„2đŠ2 4đ 2đđ„ 2 đŠ 22Theorem: If đą1 , đą2 , đą3 , . . . , đąđ are the solutions of the homogeneous linearPDE đč đ·, đ·âČ đ§ 0, then đđ 1 đđ đąđ where đđ âČđ are arbitrary constants, is also asolution.Department of Mathematics, University of Kashmir, Srinagar-19000618
Draft PDE Lecture NotesKhanday M.A.Proof: Since ur , r 1, 2, 3, . . . , n are solutions of the PDEđč đ·, đ·âČ đ§ 0So, we have đąđ is one of the solutions i.e.,đč đ·, đ·âČ đąđ 0 ,đ 1, 2, . . . , đ đč đ·, đ·âČ đđ đąđ đđ âČ đč đ·, đ·âČ đąđandđč đ·, đ·âČđąđ đč đ·, đ·âČ đąđ for any set of functions đąđ , we haveđđč đ·, đ·đâČđč đ·, đ·âČ đđ đąđđđ đąđ đ 1đ 1đđđ đč đ·, đ·âČ đąđ đ 1 0Therefoređđ 1 đđ đąđacts as a solution for the homogeneous system.Reducible and irreducible:If an operator đč đ·, đ·âČ can be expressed as a product of linear factors, it is said to bereducible. If it can not be factorised, then it is said to be irreducible.Theorem: If đŒđ đ· đœđ đ·âČ đŸđ is a factor of đč đ·, đ·âČ and đđ đ , thenđąđ đđ„đ. đŸđ đ„đŒđđđ đœđ đ„ đŒđ đŠ for đŒđ is a solution of the equation đč đ·, đ·âČ đ§ 0.Proof: The given equation isIn order to prove đąđ đđ„đ. đč đ·, đ·âČ đ§ 0 . . .đŸđ đ„đŒđis a solution of (1), we have to proveđđ đœđ đ„ đŒđ đŠ ;(1)đŒđ 0 . . .(2)đč đ·, đ·âČ đąđ 0Diff. eq.(2) w.r.t. đ„ and đŠ, we getđ·đąđ đŸđđŸđ đ„đąđ đœđ đđ„đ. đâČ đœđ đ„ đŒđ đŠđŒđđŒđDepartment of Mathematics, University of Kashmir, Srinagar-19000619
Draft PDE Lecture NotesKhanday M.A.Andđ·âČđąđ đŒđ đđ„đ. đŸđ đ„đâČ đœđ đ„ đŒđ đŠđŒđ đŒđ đ· đœđ đ·âČ đŸđ đąđ đŸđ đąđ đŒđ đœđ đđ„đ. đŒđ đœđ đđ„đ. đŸđ đ„đŒđđ âČ đœđ đ„ đŒđ đŠ đŸđ đąđ 0 . . .đŸđ đ„ âČđ đœđ đ„ đŒđ đŠđŒđ(3)Since đŒđ đ· đœđ đ· âČ đŸđ is a factor of đč đ·, đ·âČTherefore đč đ·, đ·âČ đ§ đ đ·, đ·âČ đŒđ đ· đœđ đ·âČ đŸđ đ§,using (3), we getđč đ·, đ·âČ đąđ 0Therefore đąđ is a solution of đč đ·, đ·âČ đ§ 0Solution of Reducible Equations:Let đč đ·, đ·âČ đ§ đ đ„, đŠ. . .(1)be a partial differential equation. Since (1) is reducible therefoređđŒđ đ· đœđ đ·âČ đŸđ đ§đč đ·, đ·âČ đ§ đ 1If đ§ satisfies đŒđ đ· đœđ đ·âČ đŸđ đ§ 0, đ 0, 1, 2, . . . , đ, then it gives uscomplementary function đ§ đ§Now đŒđ đ„ đœđ đŠ đŸđ đ§ 0The subsidiary system isđđ„ đđŠ đđ§ đŒđđœđ đŸđ đ§From the first two membersđœđ đ„ đŒđ đŠ đđFrom first and last members we getđđ§đŸđ đđ„đ§đŒđDepartment of Mathematics, University of Kashmir, Srinagar-19000620
Draft PDE Lecture NotesKhanday M.A.đŸlog đ§ đŒđ đ„ đŽđIntegrating we getđ đ§ log đœđ exp đŸđđ„đŒđ đ§ đ đ exp đ đŽđ đœđđŸđđ„đŒđ đ§ đ đœđ đ„ đŒđ đŠ exp đŸđđ„đŒđAlsođđ§đŸđ đđŠđ§đœđ đ§ đ đœđ đ„ exp Example: Let đŒđ đ· đœđ đ·âČ đŸđ đ§1 0 wheređŸđđŠđŒđđ§1 đŒđ đ· đœđ đ·âČ đŸđ đ§đ§1 đ đœđ đ„ đŒđ đŠ exp đŸđđ„đŒđ đŒđ đ· đœđ đ·âČ đŸđ đ§ đđ đœđ đ„ đŒđ đŠ exp đŒđđŸđđ„đŒđ đ§ đ§đŸđ đœđ đđ đœđ đ„ đŒđ đŠ exp đ„ đŸđ đ§ đ„ đŠđŒđAuxiliary system isđđ„ đđŠđđ§ đŒđđœđ đ đœ đ„ đŒ đŠ exp đŸđ đ„ đŸ đ§đ đđđđŒđFrom first two we getđđ„ đđŠ đŒđđœđ đœđ đđ„ đŒđ đđŠ đœđ đ„ đŒđ đđŠ đđFrom first and third we getDepartment of Mathematics, University of Kashmir, Srinagar-19000621
Draft PDE Lecture NotesKhanday M.A.đđ„đđ§ đŒđ đ đœ đ„ đŒ đŠ exp đŸđ đ„ đŸ đ§đ đđđđŒđđŸđđđ§ đđ đœđ đ„ đŒđ đŠ exp đŒđ đ„ đŸđ đ§ đđ„đŒđđŸđđđ§ đŸđ đ§ đđ đœđ đ„ đŒđ đŠ exp đŒđ đ„ đđ„ đŒđđŒđđŸđđ„Here I. F. is đ đŒ đtherefore the above equation can be written asđŸđ đ„đ đ§đ đŒ đđŸđ đ„ đ§đ đŒ đ đŸđ đ„ đ§đ đŒ đ đ 1đŒđđŸ đ„ đđŒđđđ đœđ đ„ đŒđ đŠđŒđđđ đœđ đ„ đŒđ đŠ đđ„ đœđđđ đœđ đ„ đŒđ đŠ đđ đœđ đ„ đŒđ đŠExample: If đ§ đ đđ„ đđŠThen đč đ·, đ·âČ đ§ đč đ, đ đ đđ„ đđŠđ§ acts as the solution of đč đ·, đ·âČ đ§, where đč đ·, đ·âČ đ§ is reducible if đč đ, đ 0. 3đ§ 3đ§ 3đ§ 3đ§Exercise: đ„ 3 2 đ„ 2 đŠ đ„ đŠ 2 2 đŠ 3 đ đ„ đŠSol: The given differential equations can be written asđ·3 2đ·2 đ·âČ đ·đ·âČ2 2đ·âČ3 đ§ đ đ„ đŠAuxiliary equations đ3 2đ2 đ 2 0 đ 1 đ2 đ 2 0 đ 1, 1,2Therefore the C. F. isđ§ đ1 đŠ đ„ đ1 đŠ đ„ đ1 đŠ 2đ„P. I. 1đ· 3 2đ· 2 đ· âČ đ·đ·âČ 2 2đ·âČ 3đ đ„ đŠDepartment of Mathematics, University of Kashmir, Srinagar-19000622
Draft PDE Lecture Notes Now letKhanday M.A.1đ·2đ· 2đ·âČ đ· âČ2đ· đ·âČ1đ· 2 đ· âČ2đ· 2đ·âČđ đ„ đŠ1đ· đ· âČđ· đ·âČ đ· 2đ·âČđ· đ· âČ1 1 1 211 2 đ· đ· âČđ đ„ đŠđ đ„ đŠđ đ„ đŠđ đ„ đŠ1đ€ đ· đ·âČ đ đ„ đŠ đ· đ·âČ đ€ đ đ„ đŠThe auxiliary equations aređđ„ đđŠđđ€ đ„ đŠ1 1 đFrom first two members we haveđđ„ đđŠ 1 1 đđ„ đđŠ 0 đ„ đŠ đFrom first and third member we getđđ„đđ€ đ„ đŠ1đ đđ„ đđ€đđ đđ€ đ đ đđ„ đ€ đđ đ„ đ€ đ„đ đ„ đŠđ€1Therefore the particular integral 2 2 đ„đ đ„ đŠHence the complete solution is đ§ đ¶. đč đ. đŒDepartment of Mathematics, University of Kashmir, Srinagar-19000623
Draft PDE Lecture NotesKhanday M.A.1đ§ đ1 đŠ đ„ đ1 đŠ đ„ đ1 đŠ 2đ„ đ„đ đ„ đŠ2Laplace Equation 2 2 đ§ đ§ 0 đ„ 2 đŠ 22Exercise: Find the solution of the equation 2 z e x cos yWhich tends to 0 as đ„ and cos đŠ for đ„ 0.Sol: The given pde is 2 z e x cos y 2đ§ 2đ§ 2 2 e x cos y đ„ đŠ đ·2 đ·âČ2 đ§ e x cos y. . .On comparing with đč đ·, đ·âČ đ·2 đ·âČ2(1)andđ đ„, đŠ e x cos yLet đ§ đ đđ„ đđŠ be the solution of (1) đ·2 đ·âČ2 đ§ đ2 đ đđ„ đđŠ đ 2 đ đđ„ đđŠđ2 đ 2 đ đđ„ đđŠ Where đ2 đ 2 0 đč đ, đTherefore the complementary function is đ¶. đč. đ 0 đŽđđ đđ„ đđŠđŽđ âČđ being the constants and đđ2 đđ2 0AlsoP. I. 1đ· 2 đ·âČ 2e x cos y1 cos đŠ đ· 2 1 e x đ„ cos đŠ 2đ· e x 2 cos đŠ e x1đ„Therefore the complete solution is đ§ đ 0đ„đŽđ đ đđ„ đđŠ cos đŠ e x2Department of Mathematics, University of Kashmir, Srinagar-19000624
Draft PDE Lecture NotesKhanday M.A.Using đ§ 0 as đ„ , we writeđđ đđ where đđ 0Since đđ2 đđ2 0 đđ đ đđ2 đđđ đ§ đ 0 đ 0đ„đŽđ đ đ đ đ„ đ đđ đ đ„ cos đŠ e x2đ„đ”đ đ đ đ đ„ cos đđ đŠ đđ cos đŠ e x2Using the boundary condition cos đŠ đ”đ cos đđ đŠ đđđ 0Where đ”đ 1 đđđ đđ 1 đđđ đ 0 andđ”đ 0 đđđ đđ 0 đđđ đ 0đ„Therefore đ§ cos đŠ e x 2 cos đŠ e x is the required solution.Exercise: Show that the equation 2đŠ đĄ 2 đŠ 2đŠ 2đ đĄ đ 2 đ„ 2đ¶đ đ đđĄ cos đŒđ đ„
Chapter 2 PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS OF SECOND ORDER INTRODUCTION: An equation is said to be of order two, if it involves at least one of the differential coefficients r (ĂČ 2z / ĂČ 2x), s (ĂČ 2z / ĂČ x ĂČ y), t (ĂČ 2z / ĂČ 2y), but now of higher order; the quantities p and q may also enter into the equation. Thus the
Math 5510/Math 4510 - Partial DiïŹerential Equations Ahmed Kaffel, . Text: Richard Haberman: Applied Partial DiïŹerential Equations . Introduction to Partial Differential Equations Author: Joseph M. Mahaffy, "426830A jmahaffy@sdsu.edu"526930B Created Date:
Chapter 12 Partial Differential Equations 1. 12.1 Basic Concepts of PDEs 2. Partial Differential Equation A partial differential equation (PDE) is an equation involving one or more partial derivatives of an (unknown) function, call it u, that depends on two or
(iii) introductory differential equations. Familiarity with the following topics is especially desirable: From basic differential equations: separable differential equations and separa-tion of variables; and solving linear, constant-coefïŹcient differential equations using characteristic equations.
Part One: Heir of Ash Chapter 1 Chapter 2 Chapter 3 Chapter 4 Chapter 5 Chapter 6 Chapter 7 Chapter 8 Chapter 9 Chapter 10 Chapter 11 Chapter 12 Chapter 13 Chapter 14 Chapter 15 Chapter 16 Chapter 17 Chapter 18 Chapter 19 Chapter 20 Chapter 21 Chapter 22 Chapter 23 Chapter 24 Chapter 25 Chapter 26 Chapter 27 Chapter 28 Chapter 29 Chapter 30 .
3 Ordinary Differential Equations K. Webb MAE 4020/5020 Differential equations can be categorized as either ordinary or partialdifferential equations Ordinarydifferential equations (ODE's) - functions of a single independent variable Partial differential equations (PDE's) - functions of two or more independent variables
The main objective of the thesis is to develop the numerical solution of partial diïŹerential equations, partial integro-diïŹerential equations with a weakly singular kernel, time-fractional partial diïŹerential equations and time-fractional integro partial diïŹerential equations. The numerical solutions of these PDEs have been obtained .
Chapter 1 Introduction 1 1.1 ApplicationsLeading to Differential Equations 1.2 First Order Equations 5 1.3 Direction Fields for First Order Equations 16 Chapter 2 First Order Equations 30 2.1 Linear First Order Equations 30 2.2 Separable Equations 45 2.3 Existence and Uniqueness of Solutionsof Nonlinear Equations 55
Introduction to Advanced Numerical Differential Equation Solving in Mathematica Overview The Mathematica function NDSolve is a general numerical differential equation solver. It can handle a wide range of ordinary differential equations (ODEs) as well as some partial differential equations (PDEs). In a system of ordinary differential equations there can be any number of