Modellbildung In Der Physik VU - VoWi
Technische Universität WienFakultät für PhysikInstitut für Angewandte PhysikUnterlagen zur Vorlesung / VUModellbildung in der Physik VUWS 2012/13Prof. Wolfgang Husinsky
InhaltsverzeichnisIIIEinleitung9Die Bewegungsgleichung1 Physikalische Grundgesetze1.1 Die Newton schen Axiome .1.2 Trägheitsgesetz . . . . . . .1.3 Kraft, Masse und das zweite1.3.1 Gewichtskraft . . . .9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Newton’sche Axiom. . . . . . . . . . . .2 Die Naturkräfte2.12.22.32.413Fernwirkung . . . . . . . . . . . .Reibung . . . . . . . . . . . . . .Kontaktkräfte . . . . . . . . . . .Lösen der Bewegungsgleichung .2.4.1 Lösung durch Integration2.4.2 Numerisches Lösen . . . .3 Die Gravitationskraft3.19910101113141617171920Kepler sche Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .224 Drehbewegung: Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung235 Zentripetal und Zentrifugalbeschleunigung5.0.1Scheinkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 Arbeit und kinetische Energie6.1 AllgemeineBemerkungen6.2252526Ënergie266.1.1 Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Eindimensionale Bewegung mit konstanten Kräften . . . . . . . . 276.2.1 Der Zusammenhang zwischen Gesamtarbeit und kinetischer Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.2.2 Die von einer ortsabghängigen Kraft verrichtetet Arbeit . 286.2.3 Arbeit und Energie in drei Dimensionen . . . . . . . . . . 28zumBegriff7 Arbeit und potentielle Energie287.0.4 Konservative Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297.0.5 Arbeit und Potential in 1/r2 Feldern . . . . . . . . . . . 307.0.6Erdbeschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131
8 Energie und Impulserhaltung318.1 Impulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 Teilchensysteme9.1 Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . .9.2 Bewegung des Massenmittelpunktes .9.3 Kinetische Energie der Drehbewegung9.3.1 Der Steiner’sche Satz . . . . . .9.4III.3434353638Das zweite Newton’sche Axiom für Drehbewegungen: Der Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38.Ladung-Elektrisches Feld und Strom10 Die10.110.210.310.4Coulomb (elektrische-) KraftLadungsquantisierung . . . . . . . .Ladungserhaltung . . . . . . . . . . .Das Coulomb’sche Gesetz . . . . . .Der Feldbegriff: das elektrische- bzw.10.4.1 Elektrische Feldlinien . . . .42.42424344454610.4.2 Elektrische Dipole in elektrischen Feldern . . . . . . . . .10.5 Berechnung von Potentialen und Kraftfeldern . . . . . . . . . . .485110.5.1 Der Gauß sche Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10.5.2 Quantitative Darstellung des Gauß‘schen Gesetzes . . . .515510.5.3 Berechnung von Feldern mit dem Gauß schen Satz . . . . F eld mittels Relaxationsmethode . . .10.5.4 Potential und E575811 Elektrischer Strom11.1 Vorbemerkung . . . . . . .11.2 Ladung-Strom . . . . . . . .11.3 Widerstand und Ohm’sches11.4 Elektrische Leistung . . . .IV. . . . . . . . .Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .das Gravitationsfeld. . . . . . . . . . . .Schwingungen und Wellen60606163646612 Harmonische Bewegungen6613 Energie des harmonischen Oszillators6814 Gedämpfte Schwingung7014.1 Schwach gedämpfter Oszillator (unterdämpfte Bewegung) . . . .270
15 Erzwungene Schwingungen7115.1 Resonanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7216 Schwingende Systeme mit mehreren Freiheitsgraden7516.1 Betrachtungsweisen: Mehrdimensionales System-Welle . . . . . . 7817 Wellen17.1 Einige Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . .17.1.1 Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen17.2 Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . .17.3 Periodische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . .17.3.1 Harmonische Wellen . . . . . . . . . . .3.797980818484
Tabellenverzeichnis4
Ein Körper bewegt sich auf einem Tisch oder auf dem Bodennach rechts. Die bei den Berührungsflächen sind rau, zumindestaus mikroskopischer Sicht. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Wenn ein Körper durch eine ausgeübte Kraft (FA l über eineFläche gezogen wird, wirkt die Reibungskraft FR der Bewegungentgegen. Der Betrag von FR ist proportional zum Betrag derNormalkraft FN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Bestimmung der Gravitationskonstante nach Cavendish . . . . .Zu den Kepler schen Gesetzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Größen bei der Drehbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Radiusänderung bei Drehbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . .Zwei Wege im Raum verbinden die Punkte 1 und 2. Die Arbeiteiner konservativen Kraft zwischen Punkt 1 und 2 auf dem WegA sei W Da die Arbeit bei einem vollen Umlauf null ist, mussdie Arbeit für den Rückweg entlang des Wegs B gleich - W sein.Wird der Weg B in entgegengesetzter Richtung, also von Punkt1 zu Punkt 2, ist die Kraft an jedem Punkt genauso groß wie beider Bewegung von 2 nach 1, während die Verschiebung entgegengesetzt ist. Damit ist die Arbeit von Punkt 1 zu Punkt 2 entlangdes Wegs Bebenfalls W Allgemein gilt also, dass die Arbeit aufjedem Weg, der die beiden Punkte 1 und 2 verbindet, gleich ist.Impulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Zur Impulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Komplexe bewegung eines Körpers und einfache Bewegung desMassenmittelpunktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Trägheitsmomente einiger Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ein Teilchen mit der Masse m ist durch einen masselosen Stabin seiner Bewegung auf eine Kreisbahn mit dem Radius r,. beschränkt. Wirkt eine Kraft F auf das Teilchen, so kann man fürdie Tangentialkomponente der Kraft das zweite Newton’sche Axiom anwenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ein Teilchen mit dem Impuls p am Ort r hat relativ zum Ursprung 0 einen Drehimpuls L r p . Liegen wie hier gezeigt r in der z-Achse. . . . . .und p in der x-y-Ebene, dann verläuft LEin Teilchen, das sich auf einer Kreisbahn bewegt, hat bezüglichdes Kreismittelpunkts einen Drehimpuls L Iω parallel zurWinkelgeschwindigkeit ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Beispiel: Wieviel elektronenladung in Kupferring . . . . . . . . .Faser, wodurch sie sich parallel zum Feld ausrichten. . . . . . . .a) Elektrische Feldlinien von zwei positiven Punktladungen. DiePfeile würden in die umgekehrte Richtung zeigen, wenn die Ladungen negativ wären. b) Die gleichen elektrischen Feldlinien,veranschaulicht durch Fasern in Öl. . . . . . . . . . . . . . . . . .Ein Wasser-Molekül hat ein permanentes elektrisches Dipolmoment,Ein Dipol in einem homogenen elektrischen Feld erfährt entgegengesetzt gleiche Kräfte, die ihn drehen, bis sein Dipolmomentdie Richtung des Felds hat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .514152123232630323235373840414447474849
2021222324252627282930Ein nichtpolares Molekül in dem inhomogenen Feld einer positiven Punktladung. Das induzierte elektrische Dipolmoment t-J istparallel zu dem Feld der Punktladung. Da sich die Punktladungnäher am Zentrum der negativen Ladung als am Zentrum derpositiven Ladung des Moleküls befindet, gibt es eine resultierende Anziehungskraft zwischen dem Dipol und der Punktladung.Wenn die Punktladung negativ wäre, würde das induzierte Dipolmoment umgekehrt sein und das Molekül würde wieder vonder Punktladung angezogen werden. . . . . . . . . . . . . . . . .Beispiel: Berechnung des elektrischen feldes einer Linienladung .Eine Oberfläche von beliebiger Gestalt, die einen elektrischen Dipol einschließt. Wenn die Oberfl äche beide Ladungen einschließt,ist die Zahl der Linien, die die Oberfläche von innen her durchstoßen, gleich der Zahl der Linien, die die Oberfläche von außendurchdringen, unabhängig davon, wie die Oberfläche gestaltet ist.Eine Oberfläche von beliebiger Gestalt, die die Ladungen 2qund q einschließt. Jede Feldlinie, die an q endet, verläuft entweder nur im Innengebiet oder verlässt die Oberfläche und trittwieder ein. Die Gesamtzahl der durch die Oberfläche austretenden Linien bei der Ladungen ist die gleiche wie für eine ei nzelneeingeschlossene Ladung q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Elektrische Feldlinien eines homogenen Felds, die eine Fläche A A ist der elektrischesen krecht durchdringen. Das Produkt EFluss durch die Fläche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Eine Kugeloberfläche mit einer eingeschlossenen Punktladung q.a) Die Gesamtzahl der elektrischen Feldlinien, die aus dieser Oberfläche heraustreten, ist gleich der Gesamtzahl der austretendenLinien durch eine beliebige geschlossene Oberfläche, die ebenfalls die Ladung q ein schließt. b) Der Gesamtfluss durch eine Kugeloberfläche ist leicht zu berechnen. Er ist gleich dem Produktaus En und der Oberfläche 4πr2 , also En 4πr2 . . . . . . . . . . .Beispiel zur Berechnung des E-Feldes mittels Gauß schem Satz. . das von einerGauß’sche Oberfläche für die Berechnung von E,unendlichen Ladungsebene erzeugt wird. (Nur der Teil der Ebene ist gezeigt, die innerhalb der Gauß’schen Oberfläche liegt. ) parallel zu derAuf den ebenen Flächen dieses Zylinders liegt EOberflächennormalen, und der Betrag ist konstant. Auf der ge senkrecht zur Oberkrümmten Oberfläche (Mantelfläche) steht Eflächennormalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Potentialgitter für Relaxationsmethode, . . . . . . . . . . . . . .Ein Abschnitt eines stromdurchflossenen Drahts. Fließt währendder Zeit t die Ladungsmenge q durch die QuerschnittsflächeA, so ist der Strom durch A definiert gemäß / q/ßt. . . . . .Zwei lange gerade Leiter, die von parallelen Strömen durchflossenwerden. Das vom Strom I, erzeugte Magnetfeld B2 steht senk 1 auf I2 ausübt, zeigt in Richtungrecht auf I2 , Die Kraft, die Bdes ersten Leiters. Das Magnetfeld des Stroms I2 übt auf I1 , einegleich große, aber entgegengesetzt gerichtete Kraft aus. Deshalbziehen die Leiter einander an. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65052535354555758606162
3132333435363738394041424344Durch den Leiterabschnitt mit der Länge fließt ein Strom I.Die Beziehung zwischen Spannung und elektrischem Feld lautet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Φa Φ b ESchwingende, ungedämpfte Feder . . . . . . . . . . . . . . . . . .Schwingender Stab (physikalisches Pendel) . . . . . . . . . . . . .Beispiele für eine stark gedämpfte Bewegung (überdämpft) undden aperiodischen Grenzfall (kritische Dämpfung). . . . . . . . .(a) Resonanzkurve der erzwungenen Schwingung für verschiedene Dämpfungen. Man beachte die Verschiebung des Maximumsmit zunehmender Dämpfung. (b) Quantitativer Verlauf der Phasenverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Elastische und Inelastische Amplitude. . . . . . . . . . . . . . . .Leistungsaufnahme bei erzwungener Schwingung (Lorentzkurve).Einfaches zweidimensionales schwingendes System . . . . . . . .Einige harmonische Eigenschwingungen der eingespannten Saite .Ausbreitung eines Wellenbergs längs eines Seils. . . . . . . . . . .Ein Segment einer gespannten Saite, das zur Herleitung der Wellengleichung benutzt wird. Die Vertikalkomponente der resultierenden Kraft auf das Segment ist F S.2 sin ϑ2 F S.1 sin ϑ1 wo Fs der Betrag der Spannkraft in der Saite ist. Die Wellengleichung wird mit dem zweiten Newton’schen Gesetz hergeleitet,das auf das Saitensegment angewandt wird. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Harmonische Welle, betrachtet zu einem festen Zeitpunkt. A istdie Amplitude und λ die Wellenlänge. Eine solche Figur erhältman durch eine Momentaufnahme einer schwingenden Saite. . .76466697174747676788081838586
VorwortDiese Vorlesungsunterlagen sind nur als Hilfe zur Vorlesung gedacht undkönnen und sollen nur im engen Zusammenhang mit der Vorlesung ihren Sinnerfüllen. Die Texte sind zum Studium vor bzw. nach der Vorlesung gedacht, umin der Vorlesung die Probleme im Detail zu besprechen bzw. um dann zusammenmit den Folien und ergänzender Literatur den besprochenen Stoff zu verarbeitenund zu lernen.8
Teil IEinleitungPhysik ist die grundlegendste aller Wissenschaften. Sie handelt von dem Verhalten und der Struktur der Materie und Strahlung. Gewöhnlich unterteilt mandie Physik in die Gebiete klassische Mechanik, Strömungslehre, Thermodynamik, Akustik, Optik, Elektrizität und Magnetismus - die klassische Physik.Hinzu kommt die moderne Physik mit den Bereichen Quantenmechanik, Relativitätstheorie, Atom-, Festkörper-, Kern-, Teilchen- und Astrophysik.Die Grundlagen der Physik müssen von allen verstanden werden, die einenwissenschaftlichen oder technischen Beruf ergreifen wollen: Physiker, Ingenieure, Chemiker, Astronomen, Mathematiker. Geologen und Biologen. Alle Wissenschaften nutzen die Physik als fundamentale Basis, auch die Ingenieurwissenschaften. Beispielsweise müssen Ingenieure wissen. wie man sich die Gesetzeder Thermodynamik zunutze macht, um eine Heizung zu entwerfen; sie müssenetwas von Optik und Elektromagnetismus verstehen, um medizinische Abbildungssysteme zu konstruieren. Und sie müssen die in einem Bauwerk wirksamenKräfte berechnen können, damit es nicht einstürzt.Teil IIDie Bewegungsgleichung1Physikalische GrundgesetzeWir wollen unser Studium der physikalischen Erscheinungen mit der Untersuchung bewegter Körper beginnen. Die Untersuchung von Bewegungen wirdKinematik genannt. Die Messung solcher Bewegungen begründete in gewisserWeise vor mehr als 400 Jahren die Physik, wie wir sie heute als Wissenschaftkennen. Es wird jedoch unser Ziel sein, an Hand dieses extrem wichtigen Beispiels, allgemeine Vorgangsweisen für die Lösung von Problemen zu erarbeiten.1.1Die Newton schen AxiomeEine der fundamentalen Gesetze der Physik sind die sogenannten Newton schenAxiome. Auf ihnen beruht praktisch die gesamte Mechanik.Die klassische Mechanik untersucht die Kräfte, die Körper aufeinander ausüben,und erklärt auch Bewegungsänderungen über die Kräfte, die auf einen Körperwirken. Sie beschreibt die Erscheinungen mit den drei Newton’schen Axiomender Bewegung.Natürlich hat jeder eine intuitive Vorstellung von einer Kraft als Ziehen oderDrücken, etwa bei Muskeln, Gummibändern oder Federn. Erst die Newton’schenAxiome erlauben aber unsere Vorstellung über Kräfte zu präzisieren.Eigentlich könnten wir die meisten mechanischen Probleme ausgehend vomersten Newton schen Axiom bzw. seiner Formulierungs als Differentialgleichung9
lösen. In der Praxis wird es jedoch sinnvoll sein, weitere daraus folgende Gesetzmäßigkeiten zu verwenden, um ein spezielles Problem elegant zu lösen (z.B.Energieerhaltung, Impulserhaltung, lineare und Kreisbewegungen etc.)Axiom 1 (Erstes Newton sches Axiom) Ein Körper bleibt in Ruhe oderbewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit weiter, wenn keine resultierendeäußere Kraft auf ihn einwirkt.Axiom 2 (Zweites Newton sches Axiom) Ein Körper wird in Richtung derresultierenden äußeren Kraft beschleunigt, die auf ihn wirkt. Die Beschleunigung ist gemäß F ges m a proportional zur resultierenden äußeren Kraft F ges wobei m die Masse des Körpers ist. Die resultierende äußere Kraft auf einenP Körper ist die Vektorsumme aller Kräfte, die auf ihn wirken, F ges F.Somit giltXF m a(1).Axiom 3 (Drittes Newton sches Axiom) Kräfte treten immer paarweise(A)auf. Wenn der Körper A eine Kraft FB auf den Körper B ausübt, wirkt eine(B)gleich große, aber entgegengesetzt gerichtete Kraft FA vom Körper B auf den(B)(A)Körper A. Somit gilt FA FB1.2TrägheitsgesetzStoßen Sie einen Eiswürfel auf der Theke an. Er wird zunächst ein Stück gleitenund bleibt schließlich liegen. Wenn die Theke nass ist, wird er weiter gleiten,bevor er liegen bleibt. Ein Stückchen Trockeneis (gefrorenes Kohlendioxid) ,das quasi auf einem Kissen aus Kohlendioxiddampf schwebt, gleitet viel weiter,ohne dass sich seine Geschwindigkeit wesentlich ändert. Vor Galilei glaubte man,dass ständig eine Kraft, ein Zug oder Druck, vorhanden sein muss, damit sich einKörper mit konstanter Geschwindigkeit weiterbewegen kann. Galilei und späterNewton erkannten dagegen, dass das aus dem Alltag bekannte Abbremsen vonKörpern auf die Reibungskraft zurückzuführen ist. Wird die Reibung verringert,nimmt gleichzeitig die Bremswirkung ab. Ein Wasserfilm oder ein Kissen aus Gasverringert die Reibung besonders wirksam und ermöglicht, dass Körper ohnegroße Geschwindigkeitsänderung über große Strecken gleiten können. Galileifolgerte daraus, dass sich die Geschwindigkeit eines Körpers nie ändern würde,wenn man ihn von allen äußeren Kräften einschließlich der Reibung befreienwürde. Diese Eigenschaft der Materie beschrieb er als Trägheit. Deshalb wirddiese Aussage, die Newton später als erstes Newton’sches Axiom umformulierte,auch das Trägheitsgesetz genannt.1.3Kraft, Masse und das zweite Newton’sche AxiomDas erste und das zweite Newton’sche Axiom können als Definition der Kraftbetrachtet werden. Eine Kraft ist ein äußerer Einfluss auf einen Körper, derveranlasst, dass der Körper relativ zu einem Inertialsystem beschleunigt wird.(Dabei haben wir angenommen, dass keine weiteren Kräfte wirken.) Die Kraft10
und die durch sie hervorgerufene Beschleunigung haben dieselbe Richtung. DerBetrag der Kraft ist das Produkt aus der Masse des beschleunigten Körpers unddem Betrag der Beschleunigung. Diese Definition beruht auf Gleichung 1.Definition 4 (Inertialsystem) Ein Bezugssystem, das mit dem gleichförmigbewegten Flugzeug verbunden ist, nennt man ein Inertialsystem. Ein Bezugssystem, das relativ zu einem solchen Inertialsystem beschleunigt wird, ist selbstkein Inertialsystem. Das erste Newton’sche Axiom gibt uns also ein Kriteriumin die Hand, mit dem wir bestimmen können, ob ein Bezugssystem ein Inertialsystem ist. Ja, es ist durchaus sinnvoll, das erste Newton’sche Axiom alsDefinition von Inertialsystemen zu betrachten. Jedes Bezugssystem, in dem sichein kräftefreier Körper geradlinig gleichförmig bewegt, ist ein Inertialsystem.Kräfte können über die Dehnung gleicher Gummibänder verglichen werden.Werden etwa zwei gleiche Gummibänder um die gleiche Länge gedehnt, habendie auf sie wirkenden Kräfte den gleichen Betrag. Körper besitzen einen inneren Widerstand gegen jegliche Art von Beschleunigung. Vergleichen Sie denWiderstand, wenn Sie mit dem Fuß einen Fußball oder eine Kegelkugel zu beschleunigen versuchen. Ihre blauen Fußspitzen werden Sie schnell lehren, dassdie Kegelkugel wesentlich schwerer als der Fußball zu beschleunigen ist. Dieseinnere Eigenschaft des Körpers wird die Masse genannt. Sie ist ein Maß fürdie Trägheit des Körpers. Das Verhältnis zweier Massen lässt sich quantitativ dadurch definieren, dass man auf beide Körper die gleiche Kraft anwendetund ihre Beschleunigungen vergleicht. Erzeugt eine Kraft F bei Anwendung aufeinen Körper der Masse m1 eine Beschleunigung a1 während die gleiche Kraftbei Anwendung auf einen Körper der Masse m2 die Beschleunigung a2 liefert,ist das Verhältnis ihrer Massen durcha2m1 m2a1(2)definiert. Diese Definition stimmt mit unserer intuitiven Vorstellung von derMasse überein. Wenn auf zwei verschiedene Körper eine Kraft angewendet wird,wird der Körper mit der größeren Masse weniger beschleunigt. Das Experimentzeigt: Das Verhältnis der Beschleunigungen a1 /a2 , das die beiden g
Physik ist die grundlegendste aller Wissenschaften. Sie handelt von dem Ver-halten und der Struktur der Materie und Strahlung. Gew ohnlich unterteilt man die Physik in die Gebiete klassische Mechanik, Str omungslehre, Thermodyna-mik, Akustik, Optik, Elektrizit at und Magnetismus - die klassische Physik.
Gemeinsame Veröffentlichung der Fachbereiche Biologie (FB 10), Chemie (FB 07), Gesellschafts- und Geschichtswissenschaften (FB 02), Humanwissenschaften (FB 03), Informatik . 05-11-0031-vl Physik II 4 VL3 05-13-0031-ue Physik II 2Ü 4 05-31-1032 Physik III St s 120 6 o 7 . 05-13-2014-ue Physik IV 1Ü 2
1,5 1 UE Grundlagen der Physik in der Mechatronik 2 2,5VO Grundlagen der Materialtechnologie 1 2 3 VO Fertigungstechnik . Beiblatt Bachelor Mechatronik 2 von 9 ab 01.10.2019 . 3 VU Modellbildung und Simulation 1 4 1 PR Modellbildung und Simulation 1 in der Mechatronik 1 17.
Den Kern der klassischen Physik bilden die Mechanik, der Elektromagnetismus und die Thermodynamik. Die Moderne Physik wurde zu Beginn des 20. Jahrhunderts entwickelt, um Probleme zu verstehen und erkl aren zu k onnen, die mit den Mitteln der klassischen Physik nicht mehr zug anglic h waren. Die klassische Physik beruht auf dem Paradigma, dass
Nomenklatur 163.118 VU 2 2,5 Nomenklatur in der Organischen Chemie NEU VO 3,0 . Chemie und Physik der Grenzflächen 165.102 VO 2,0 3,0 Chemie und Physik der Oberflächen und . Prozessregelung und Modellbildung in der Bio VT 166.179 VO 2 3 Modellierung, Simulation und Steuerung von Bioprozessen
2.2. Grendel in Der kleine Hobbit 2.3. Die Hölle von Grendel’s Mutter 2.4. Das Motiv des unterirdischen Kampfes in Der kleine Hobbit 2.5. Der Dieb, der Becher und der Drache 2.6. Der Dieb, der Becher und der Drache in Der kleine Hobbit 2.7. Das Beowulf - Motiv in Der Herr der Ringe 2.
Grundlagen der Didaktik des Physik-unterrichts. Experimentalphysik 1: Mechanik, Wärme. Experimentalphysik 2: Elektrizität, Magnetismus, Optik. Grundkurs Moderne Physik für Lehramt. Studiengangsspezifische Prüfungs- und Studienordnung für den Studiengang Beifach zum Lehramt Anlage 2.14: Physik 112
Außer Mathematik brauchen wir bei diesem Schritt in der Regel Hilfe aus der An-wendungsdisziplin, hier aus der Meteorologie, aus der Physik und m oglicherweise aus weiteren Disziplinen. Am Ende der Modellbildung ist aus dem unpr azisen Szenario (” das Wetter“) eine pr azise Beschreibung (in Gr oßen wie ”
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