Limit Fungsi Aljabar - WordPress
Bahan AjarLimit Fungsi Aljabar(Edisi 1,00)Disusun Oleh :Fendi Alfi Fauzi
Fendi Alfi FauziBahan AjarLimit Fungsi Aljabar(Edisi 1,00)Tulisan ini bebas dibaca dan disebarluaskan kepada siapapun dengan tujuanmencerdaskan anak didik bangsa.Anda dipersilahkan mencantumkan namapenulis maupun tidak mencantumkannya.Diperbolehkan melakukan penulisanulang dan menyempurnakan bahan ajar ini agar lebih baik lagi.Jangan lupakunjungi terus blog kami di http://alfysta.blogspot.comCopyright c Fendi Alfi FauziCreated By FendyUcapan Terima kasih kepada para pembaca yang sempat membaca bahan ajar ini.Bahan ajar ini sifatnya masih sangat sederhana sehingga kritik dan saranyang membangun sangat diharapkan.Berkas bahan ajar ini dapat andadownload di blog kami di http://alfysta.blogspot.com.dimanfaatkan dengan sebaik-baiknya.SilahkanApabila ada kritik dan saran langsungsaja ke blog penulis di http://alfysta.blogspot.comBahan Ajar Limit Fungsi Aljabari
Kata PengantarPuji syukur kehadirat Allah SWT karena atas izin dan kehendak-Nya, penulis dapat menyelesaikan bahan ajar yang berjudul ” Limit Fungsi Aljabar. Bahan ajar ini disusunsebagai panduan awal bagi siswa yang akan belajar limit fungsi.Dalam penyelesaian bahan ajar ini, tidak sedikit halangan dan rintangan yang dihadapi,namun berkat pertolongan Allah SWT, usaha, kerja keras, ketekunan dan kesabaran penulis serta bantuan dari berbagai pihak akhirnya semua itu dapat diatasi. Penulis melaluikesempatan ini ingin mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah memberikanbantuan, baik berupa pikiran dan material.Bahan ajar ini ditulis dengan menggunakan software pengetikan LATEX sehingga pembacaakan merasa nyaman dalam membaca dalamnya bahan ajar ini, walaupun masih sangatsederhana.Sebagai manusia biasa, penulis menyadari bahwa bahan ajar ini masih jauh dari kesempurnaan yang memiliki banyak kekurangan dan kesalahan. Oleh karena itu, saran dan kritikanyang sifatnya membangun dari semua pihak sangat diharapkan guna penyempurnaan bahanajar ini selanjutnya. Jika adakoreksi, kritik, atau saran tentang tulisan ini silakan menghubungi penulis di blog http://alfysta.blogspot.comAkhirnya, semoga bahan ajar ini dapat bermanfaat bagi kita semua. Amin.Gorontalo, 30 Nopember 2012PenulisFendi Alfi FauziBahan Ajar Limit Fungsi Aljabarii
Daftar IsiKata PengantariiDaftar Isiiii1 Pendahuluan11.1Standar Kompetensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2Kompetensi Dasar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.3Indikator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.4Tujuan Pembelajaran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 Materi Limit Fungsi Aljabar132.1Pengertian Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32.2Limit Fungsi Aljabar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42.2.1Menentukan Limit dengan Substitusi Langsung . . . . . . . . . . . . .42.2.2Menentukan Limit dengan Cara Memfaktorkan . . . . . . . . . . . . .52.2.3Menentukan Limit dengan Mengalikan Faktor Sekawan5. . . . . . . .2.3Limit f (x) untuk x mendekati Tak Hingga ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . .62.4Teorema-Teorema Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73 Lembar Kerja Siswa (LKS)103.1Lembar Kerja Siswa 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2Lembar Kerja Siswa 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3Lembar Kerja Siswa 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Daftar Pustaka13Bahan Ajar Limit Fungsi Aljabariii
Bab 1Pendahuluan1.1Standar KompetensiMenggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah1.2Kompetensi DasarMenggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri1.3Indikator1. Menjelaskan pengertian limit fungsi melalui perhitungan nilai-nilai fungsi2. Menghitung limit fungsi aljabar disuatu titik menggunakan metode substitusi, danpemfaktoran3. Menghitung limit fungsi aljabar disuatu titik dengan merasionalkan bentuk akar4. Menghitung limit fungsi aljabar di tak hingga5. Menghitung nilai limit fungsi dengan menggunakan teorema limit1.4Tujuan Pembelajaran1. Peserta didik dapat menentukan nilai limit fungsi melalui perhitungan nilai-nilai fungsi2. Peserta didik dapat menghitung limit fungsi aljabar disuatu titik menggunakan metodesubstitusi, dan pemfaktoran3. Peserta didik dapat menghitung limit fungsi aljabar disuatu titik dengan merasionalkan bentuk akar4. Peserta didik dapat menghitung limit fungsi aljabar di tak hingga dengan membagidengan pangkat tertinggiBahan Ajar Limit Fungsi Aljabar1
Fendi Alfi Fauzi1.4 Tujuan Pembelajaran5. Peserta didik dapat menghitung limit fungsi aljabar di tak hingga dengan merasionalkan bentuk akar atau mengalikan dengan faktor sekawan terlebih dahulu.6. Peserta didik dapat menghitung nilai limit fungsi aljabar dengan menggunakan teorema limit7. Peserta didik dapat menentukan koefisien yang belum diketahui dengan menggunakanteorema limit.Bahan Ajar Limit Fungsi Aljabar2
Bab 2Materi Limit Fungsi Aljabar2.1Pengertian LimitDalam kehidupan sehari-hari, seringkali Anda mendengar kata-kata hampir atau mendekati.Misalnya, Ronaldo hampir mencetak gol, kecepatan motor itu mendekati 120 km/jam, dansebagainya. Kata hampir atau mendekati dalam matematika disebut limit.Konsep limit fungsi merupakan dasar untuk mempelajari kalkulus, meskipun kalkulus sendiri telah diperkenalkan oleh Sir Isaac Newton dan Leibniz pada pertengahan abad ke-17,sedangkan konsep limit fungsi baru dikenalkan oleh Agustian Louis Cauchy pada abad ke-18.Konsep limit fungsi di suatu titik adalah melalui pendekatan intuitif, yaitu dimulai denganmenghitung nilai-nilai fungsi disekitar titik tersebut, terkecuali di titik itu sendiri. Sebagaicontoh:f (x) x2 9x 3Kita tahu bahwa jika kita substitusikan nilai x 3, maka akan mendapatkan bentuk00.Akan tetapi jika kita melakukan substitusi nilai x selain 3, kita akan mendapatkan hasilnya.Jadi, hal yang harus kita lakukan adalah mendekati fungsi tersebut. Perhatikan tabel 2.1berikut:xx2 9x 9.6,0016,016,16,156,2Tabel 2.1: Pendekatan nilaix2 9dengan nilai x mendekati 3x 3Berdasarkan tabel di atas, dapat kita ketahui bahwa pada saat x mendekati 3, nilai fungsif (x) mendekati 6.Meskipun fungsi f (x) tidak terdefinisi untuk x 3, tetapi fungsi tersebut mendekati nilai6 pada saat x mendekati 3. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa nilai limit fungsiBahan Ajar Limit Fungsi Aljabar3
Fendi Alfi Fauzi2.2 Limit Fungsi Aljabartersebut adalah 6. Atau dengan menggunakan trik aljabar yaitu :x2 9(x 3)(x 3) limx 3 x 3x 3x 3x2 9lim lim x 3x 3 x 3x 32x 9lim 6x 3 x 3limSecara umum, lim f (x) L mengandung arti bahwa jika x mendekati atau menuju ke a,x atetapi berlainan dengan a maka f (x) menuju ke L.1. Fungsi dikatakan mempunyai limit jika nilai limit kiri dan limit kanannya sama.2. Untuk fungsi tunggal limit kiri dan kanan selalu sama sehingga tidak perlu kita carilimit kiri dan kanannya, tetapi untuk fungsi majemuk harus diperiksa limit kiri danlimit kananya.Contoh :Tentukan limit berikut !1. lim 5x 10x 52. lim x2 10x 5x 1Jawaban:1. lim 5x 10 artinya jika x mendekati 5 maka 5x 10 mendekati (5(5)10) 15. Denganx 5demikian, lim 5x 10 15x 522. lim x 10x 5 artinya jika x mendekati 1, maka x2 10x 5 mendekati (12 10(1) x 15) 4. Dengan demikian, lim x2 10x 5 4x 12.2Limit Fungsi Aljabar2.2.1Menentukan Limit dengan Substitusi LangsungAda beberapa fungsi yang nilai limitnya dapat ditentukan dengan cara substitusi langsungseperti contoh berikut :1. Hitunglah nilai limit dari lim (x2 3x 5)x 2Jawaban :lim (x2 3x 5) 22 3(2) 5 4 6 5 5x 2x2 1x 2 x 12. Hitunglah nilai limit dari limJawaban:x2 122 13 3x 2 x 12 11p3. Tentukan nilai limit dari lim x2 8limx 1Jawaban:limx 1px2 8 Bahan Ajar Limit Fungsi Aljabarp12 8 9 34
Fendi Alfi Fauzi2.2 Limit Fungsi AljabarCukup mudah bukan ? Akan tetapi kenyataan yang muncul adalah tidak semua fungsi bisax2 9langsung disubstitusikan dengan nilai x. Contoh lim.x 3 x 32.2.2Menentukan Limit dengan Cara Memfaktorkanf (x)diperoleh bentuk 00 (bentuk tak tentu),g(x)lakukanlah pemfaktoran terlebih dahulu terhadap f (x) dan g(x). Kemudian sederhanakanJika dengan cara substitusi langsung pada limx ake bentuk paling sederhana. Agar lebih jelas, perhatikan uraian berikut.limx af (x)(x a)P (x)P (x)P (a) lim lim g(x) x a (x a)Q(x) x a Q(x)Q(a)Contoh:Tentukan limit fungsi-fungsi berikut.x2 4x 2 x 21. limx 32. lim x 3x 3Jawaban:x2 422 44 40 (benx 2 x 22 22 20tuk tak tentu). Agar tidak muncul bentuk 00 faktorkanlah bentuk x2 4 sebagai1. ika dengan cara substitusi langsung, diperoleh limberikut:(x 2)(x 2)x2 4 lim lim (x 2) 4x 2x 2x 2 x 2x 2limx 3 3 302. Dengan cara substitusi langsung, diperoleh: lim . Agar tix 30x 3 3 3dak muncul bentuk 00 faktorkan x 3 sebagai berikut:x 3lim limx 3x 3 x 3 x 3 x 3 lim x 3 0 0x 3x 3Pertanyaan sekarang adalah, bagaimana untuk bentuk fungsi yang tidak dapat difaktorkan9 x2 ? Seperti. Jawabannya ada pada pokok bahasan berikutnya.4 x2 72.2.3Menentukan Limit dengan Mengalikan Faktor Sekawanf (x)diperoleh bentuk tak tentu 00 untuk x a dan sulit memfaktorkan f (x)x a g(x)dan g(x) , lakukan perkalian dengan faktor sekawan dari g(x) atau f (x).Jika pada limContoh :Tentukan nilailimit berikut ini !9 x2 limx 3 4 x2 7Bahan Ajar Limit Fungsi Aljabar5
Fendi Alfi Fauzi2.3 Limit f (x) untuk x mendekati Tak Hingga ( )Jawaban:! 9 x29 x24 x2 7 lim lim.x 3 4 x2 7 x 3 4 x2 7 4 x2 7 (9 x2 )(4 x2 7) limx 316 (x2 7) (9 x2 )(4 x2 7) limx 39 x2p lim (4 x2 7)x 3p 4 32 7 4 9 7 4 16 4 4 82.3Limit f (x) untuk x mendekati Tak Hingga ( )Semua pembahasan diatas merupakan limit fungsi aljabar untuk x mendekat a. Pembahasan kita sekarang adalah bagaimana kita mendekati limit untuk fungsi tak hingga ( ).Bentuk Umum :Jika f ( ) Contoh:lim f (x) f ( )x maka f (x) diubah dahulu dengan cara dibagi x pangkat yang terbesar. 2x3 2x2 4xx x3 2x2 3x1. Carilah nilai limit dari limPenyelesaian:2x3 2x2 4xx3x3 2x2 3xx3 22 x x42limx 1 2 32xx2x3 2x2 4xlim 3 limx x 2x2 3xx !2 0 01 0 0 2Jika f ( ) maka f (x) dikalikan dengan faktor sekawan dahulu kemudiandibagi dengan x pangkat yang terbesar. Contoh :pp2. Carilah nilai dari lim x2 2x x2 3xx Bahan Ajar Limit Fungsi Aljabar6
Fendi Alfi Fauzi2.4 Teorema-Teorema LimitJawaban:limx px2 2x px2 px2 2x x2 3x2 3x lim 2x x 3x. x x2 2x x2 3x(x2 2x) (x2 3x) lim x x2 2x x2 3x5x lim 2x x 2x x2 3xpx2 lim qx lim qx x2 2xx2q x2 3xx251 2x q1 3x5 1 0 1 052 2.45xxTeorema-Teorema LimitLimit konstanta k untuk x mendekati a ada dan nilainya sama dengan k, ditulis lim k k.x kSecara grafik, hal tersebut dapat kita lihat pada gambar berikut:f (x) kaPandang fungsi f (x) k maka limit lim f (x) lim k k. Limit x untuk x mendekati ax ax apun dan nilainya sama dengan a ditulis lim x a. Untuk mengetahui adanya limit secarax amudah, kita dapat menggunakan teorema berikut:1. lim k kx a2. lim f (x) f (a), a Rx a3. lim kf (x) k. lim f (x) untuk k Konstantax ax a4. lim [f (x) g(x)] lim f (x) lim g(x)x ax ax a5. lim [f (x).g(x)] lim f (x). lim g(x)x ax ax alim f (x)f (x) x auntuk lim g(x) 6 0x a g(x)x alim g(x)6. limx aBahan Ajar Limit Fungsi Aljabar7
Fendi Alfi Fauzin7. lim (f (x)) 2.4 Teorema-Teorema Limit x a nlim f (x)x aqp8. lim n f (x) n lim f (x) dengan lim f (x) 0x ax ax aSekarang kita akan menggunakan teorema-teorema diatas untuk menjawab sebuah permasalahan yang biasa muncul. Misalnya sebagai berikut :1. Jika Diketahui f (x) x2 2 dan g(x) 3x 2 Hitunglah.!!(a) lim [f (x) g(x)]x 2Jawaban :lim [f (x) g(x)] lim f (x) lim g(x)x 2x 2x 22 lim (x 2) lim (3x 2)x 2x 22 (2 2) (3(2) 2) 6(b) lim [f (x).g(x)]x 2Jawaban:lim [f (x).g(x)] lim f (x). lim g(x)x 1x 1x 12 lim (x 2). lim (3x 2)x 1x 22 (1 2).(3(1) 2) 5x2 7x 2 2x 72. Dengan menggunakan Teorema limit, tentukan nilai limit dari limJawaban:lim (x2 7)x2 7 x 2x 2 2x 7lim (2x 7)limx 2lim x2 lim 7 x 2x 2 3. Jika diketahui lim x 3x 2lim 2x lim 7x 272 772 747 749 7425634ax2 9a 10 tentukan nilai a ?x2 16 5Bahan Ajar Limit Fungsi Aljabar8
Fendi Alfi Fauzi2.4 Teorema-Teorema LimitJawaban:ax2 9a 10lim x 3x2 16 5 ax2 9ax2 16 5lim . 10x 3x2 16 5 x2 16 5 (ax2 9a) x2 16 5lim 10x 3(x2 16) 25 a(x2 9) x2 16 5 10limx 3(x2 9)plim (a x2 16 5) 10x 3p(a 32 16 5) 10 (a 9 16 5) 10 (a 25 5) 105a 5 105a 10 55a 55a 5a 1Jadi, Nilai a 1Bahan Ajar Limit Fungsi Aljabar9
Bab 3Lembar Kerja Siswa (LKS)3.1Lembar Kerja Siswa 1x2 1untuk x bilangan real. Berapakah nilai f (x) jika xx 1mendekati 1 dengan melihat pada tabel berikut !1. Diketahui fungsi f (x) xx2 1x 100,50,90,999.1,0011,011,11,22.Berikan Kesimpulan Anda. !!!2. Nilai dari lim 3x 5 adalah . . .x 3x2 9adalah . . .x 3 x 33. Nilai dari limx 14. Nilai dari lim adalah . . .x 1x 1x2 3x 18adalah . . .x 3 x2 2x 35. Nilai dari lim6. Nilai limit dari lim x x2 2 adalah . . .22 x 7. Dengan merasionalkan penyebut, carilah nilai limit dari:x2 1(a) lim x 13x2 39 x2 (b) limx 3 4 x2 7Selamat BekerjaBahan Ajar Limit Fungsi Aljabar10
Fendi Alfi Fauzi3.23.2 Lembar Kerja Siswa 2Lembar Kerja Siswa 21. Carilah nilai dari :(a) lim x3 3x2 5x 4x x3 2x2 x 4x 3x2 4x 52x5 7x 4(c) lim5x 3x 4x4 5x 3(b) lim2. Tentukan limit dari:6x3 2x2 5xx 12x3 7x2 8x6x3 7x2 3x(b) limx 2x4 x3
Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah 1.2 Kompetensi Dasar Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan tri-gonometri 1.3 Indikator 1.Menjelaskan pengertian limit fungsi melalui perhitungan nilai-nilai fungsi
3.7.2 Menjelaskan eksistensi limit fungsi aljabar di suatu titik secara intuitif. Pertemuan ke-2 3.7.3 Menjelaskan sifat-sifat limit fungsi aljabar. 4.7.1 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sifat-sifat limit fungsi aljabar. Pertemuan ke-3 3.7.4 Menentukan nilai limit fungsi dengan strategi subtitusi langsung.
1. Menghitung limit fungsi aljabar sederhana di suatu titik 2. Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar Konsep turunan fungsi sangat berguna membantu memecahkan masalah ekonomi, namun demikian konsep turunan fungsi didasarkan atas konsep limit fungsi.
Menjelaskan arti bentuk tak tentu dari limit fungsi. 5. Menghitung bentuk tak tentu dari limit fungsi aljabar. 6. Membedakan cara menentukan limit fungsi aljabar dengan cerdas. 7. Menghitung limit fungsi yang mengarah ke konsep turunan. 8. Mampu bekerjasama dalam kelompok belajar dan peduli kepada teman
A. Limit Fungsi Aljabar A.1. Teorema Limit Fungsi Aljabat Pada Titik Tertentu Pada penyelesaian limit fungsi harus menghidari nilai-nilai tak tentu, diantaranya adalah , , 0, , 0 0 a Berikut beberapa teorema penyelesaian limit fungsi aljabar Contoh Soal : 1. lim 5 5 2 x 2. b b x 5 lim 3. lim (3 2) 3 2 2 .
linear dan sistem pertidaksamaan linear –program linear –suku banyak –Matriks –barisan dan deret Siswa memiliki kemampuan mengaplikasika n konsep kalkulus dalam masalah kehidupan sehari-hari pada topik:-limit fungsi aljabar dan limit fungsi trigonometri-turunan fungsi aljabar dan turunan fungsi trigon
Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri. Menentukan invers suatu fungsi TUJUAN PEMBELAJARAN : 1. Menjelaskan arti limit fungsi di satu titik melalui perhitungan nilai-nilai disekitar titik tersebut 2. Menjelaskan arti limit fungsi di tak berhingga melalui grafik dan perhitungan. 3.
bidang Aljabar pada Program Studi S1 Matematika, S1 Ilmu Aktuaria, S2 Matematika dan S3 Matematika antara lain: Program Studi Mata Kuliah S1 Matematika Teori Bilangan, Aljabar Linear, Aplikasi Aljabar Linear, Matematika Diskret, Struktur Aljabar I , Struktur Aljabar
.56 ohm R56 Green Blue Silver.68 ohm R68 Blue Gray Silver.82 ohm R82 Gray Red Silver 1.0 ohm 1R0 Brown Black Gold 1.1 ohm 1R1 Brown Brown Gold 1.5 ohm 1R5 Brown Green Gold 1.8 ohm 1R8 Gray Gold 2.2 ohm 2R2 Red Red Gold 2.7 ohm 2R7 Red Purple Gold 3.3 ohm 3R3 Orange Orange Gold 3.9 ohm 3R9 Orange White Gold 4.7 ohm 4R7 Yellow Purple Gold 5.6 ohm 5R6 Green Blue Gold 6.8 ohm 6R8 Blue Gray Gold 8 .
