“TURUNAN DAN INTEGRAL”
MatematikaTUGAS KELOMPOK“TURUNAN DAN INTEGRAL”DISUSUN OLEHNAMA1. LUKMANUDIND070901352. YUYU YUMIARSIHD070901913. SERLI WIJAYAD07090138PROGRAM STUDY: PEND. MATEMATIKAMATA KULIAH: ANALISA VEKTORDOSEN: ABDUL KARIM, M.PdFALKUTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (FKIP)UNIVERSITAS MATHLA’UL ANWAR BANTEN20121Turunan dan Integral
MatematikaBABTURUNAN1.1Definisi Turunan Fungsi.pada bab limit, kita telah mempelajari limit fungsi yang mengarah pada konsep turunan, yaitu :lim h 0f ( x h) f ( x )hPada bentuk limit diatas merupakan turunan pertama dari y f(x) dan di tulis sebagai f’(x). berarti()( )( )1.2Notasi Turunan.Diberikan y f(x), maka notasi turunannya adalah:( )( )( )( )Semuanya menyatakan notasi turunan dari f terhadap x. Notasi , (dibaca de f(x) de x )Contoh 1.1Andaikan f(x) 14x 6. Tentukan f ‘(x).Jawab.()( )( )( )()( )( )( )2Turunan dan Integral( )(dibaca “de y de x”), dan( ( ))
Matematika1.3Turunan Fungsia. Turunan identitasJika f(x) x, maka turunan f(x) terhadap x adalah :𝒅(𝒙)𝒅𝒙𝟏Contoh : 1.2Jika f(x) x maka f ‘(x) 1b. Turunan Fungsi Konstan.Jika c adalah suatu konstan, maka turunan f(x) c ,𝒅(𝒄)𝒅𝒙𝟎Bukti:(( )(( ))( ))( )c. Turunan Fungsi Bentuk Pangkat.Penentuan turunan fungsi pangkat, f(x) xn Dapat diuraikan berdasarkan perhitungan limitberikut ini( )()( )Binomial newton: x h n C0n X n C1n X n 1h C2n X n 2 h 2 . Cnn h nTurunan fungsi pangkat.( ) limh 03()C0n X n C1n X n 1h . Cnn h n x nhTurunan dan Integral
Matematika limh 0 limh 0 xn C1n X n 1h . Cnn h n x nh h C1n X n 1 C2n x n 2 h . Cnn h n 1hf ' ( x) C1n x n 1 f ' ( x) nx n 1Turunan fungsi bentuk pangkat𝑥 𝑛 , dengan n bilangan – bilangan bulat positif dan maka 𝑓′(𝑥)Jika 𝑓(𝑥)𝒅𝒇𝒅𝒙𝑛𝑥 𝑛 1𝒏𝒙𝒏 𝟏Contoh 1.3Tentukan turunan dari fungsi – fungsi berikuta. F(x) x3b. F(x) x4Jawab( )a.( )b.d. Turunan Perkalian Konstan Dengan Fungsi.Jika g(x) kf(x) dengan f(x) suatu fungsi yang dideferensialkn, dan k suatu konstan,g’ (x) kf’(x), yaitu :𝒅𝒅𝒌𝒇(𝒙) 𝒌𝒇(𝒙) 𝒌𝒇′(𝒙)𝒅𝒙𝒅𝒙BuktiAndaikan g(x) kf(x),makag’(x) limh 0g x h g x k . f x h k. f x limh 0hhlim kh 0f x h f x f x h f x k limh 0hh kf x terbukti4Turunan dan Integral
MatematikaContoh 1.4Tentukan turunan g(x) 3x5Jawabg’(x) 3.5x5-1 15x4e. Turunan Dari Jumlah / Selisih Dua Fungsi.1. Jika f(x) dan g (x) fungsi – fungsi yang terdiferensialkan, dan h(x) f(x) g(x) ���𝒈(𝒙)𝒅𝒙Jika f(x) dan g (x) fungsi – fungsi yang terdiferensialkan, dan h(x) f(x) - g(x) ���𝒈(𝒙)𝒅𝒙Contoh 1.5Jika f (x) 2x3 3 , maka tentukan f ‘(x)!Jawab( )( ) 6x2 x-2/3( ) 1 f. Turunan Hasil Kali.Misalkan f(x) dan g(x) adalah fungsi – fungsi yang dapat di diferensialkan dan h(x) f(x).g(x)maka :𝒉 (𝒙)𝒇(𝒙) 𝒈 (𝒙)buktiContoh 1.6Carilah turunan dari f(x) (x3 2x) (x2 – 3)!JawabMisalkan g(x) (x3 2x) dan h(x) (x2 – 3) maka5Turunan dan Integral𝒇 (𝒙) 𝒈(𝒙)
Matematikaf ' ( x ) g ( x ) h' ( x ) h ( x ) g ' ( x ) ( x 3 2 x)(2 x) ( x 2 3)(3x 2 2) (2 x 4 4 x 2 3x 4 2 x 2 9 x 2 6)f ' ( x) 5 x 4 3 x 2 6g. Turunan hasil bagi.Jika f(x) dan g(x) terdiferensialkan dan 𝒉(𝒙)𝒉 (𝒙)𝒇(𝒙),g(x)𝒈(𝒙) 0 maka :𝒈(𝒙)𝒇 (𝒙) 𝒇(𝒙)𝒈′(𝒙)(𝒈(𝒙))𝟐Contoh 1.7Carilah turunan dari f ( x) Jawabf ' ( x) f ' ( x) x2 12x 3 2 x 3 2 x x 2 1 2 2 x 3 2 4 x2 4x 2x 2 2 2 x 3 22x 2 6x 2 2 x 3 2h. Turunan Sinus Dan Kosinus.Jika f(x) sin x dan g(x) cos x, keduanya terdiperensialkan, maka f’(x) cos x dang‘(x) - sin ���𝒙)𝒅𝒙𝒔𝒊𝒏 �𝒏𝒙)𝒅𝒙𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙6.𝒅(𝒔𝒆𝒄𝒙)𝒅𝒙𝒄𝒐𝒔 𝒙Turunan dan Integral𝒅4. 𝒅𝒙 (𝒄𝒐𝒕𝒙)𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒙𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝒙
MatematikaContoh 1.8Tentukan turunan f(x) sin x – cos xJawabf ’(x) cos x – (- sin x)f ’(x) cos x sin xi. Turunan Aturan Rantai.(𝑓 𝜊 𝑔)(𝑥) Jika gMisalnya y f(u) dan u g(x) menentukan komposit 𝑦 𝑓 𝑔(𝑥)terdiferensialkan di x dan f terdiperensialkan di u g(x), maka 𝑓 𝜊 𝑔 terdiferensialkanmidi x dan(𝒇 𝝄 𝒈)′(𝒙)𝒇′(𝒈(𝒙)𝒈′(𝒙) atau𝒅𝒚𝒅𝒚 𝒅𝒖𝒅𝒙𝒅𝒖 𝒅𝒙contoh 1.9tentukan turunan dari y (x2 – 3x 1)10JawabMisalnya u x2 – 3x 1, maka y u10 akibatnya,Sehingga 10 u9. 2x – 3 10(x2 – 3x 1).(2x – 3)7Turunan dan Integral 2x – 3 dan 10u9 10(x2 – 3x 1)
MatematikaUji Kompetensi 1Tentukan turunan dari fungsi – fungsi berikut ini1. f(x) 4sinxcosx . . . .2. f(x) 11x4 – 3x 93. f(x) . . . .4. g(x) . 75. h(x) x x5 – 5x 7 . . . .6. g(t) .37. jika f(x) x 6x2 2x 5, maka f’(x) – 2 . . . .8. f(x) .29. f(x) (3x – 5)(2x 4) . . . .10. jika y 3u2 – 2u 5 dan u x2 – 6 ,tentukan dy/dx. . . .11. carilah f ‘ (x) dari 3cos x – 2sin x . . .12. y , .13. y sin(x2 – 1)14. jika y sin3x tentkan y’!15. Turunan tan x sec2x . .8Turunan dan Integral
MatematikaBABINTEGRAL1.1.Pengertian Integral.Misalkan diketahui :( )Maka turunanya adalah( )Perhatikan dibawah ini :(((())))(((())))( )( )Proses pengerjaan dari f(x) ke f’(x) merupakan operasi pendeferensialkan yang udah dijelaskan bab1, sedangkan proses pengerjaan dari f’(x) ke f(x) merupakan operasi kebalikan dari pendiferensialan,atau dinamakan anti diferensialaan atau dikenal dengan pengitegralan.Perhatikan bahwa masing – msaing fungsi f(x) diatas yang berbeda hanya suku tetap saja, sedangkansuku lainya slalu sama yaitu 3x2 dan 4x. ini berarti bahwa semua fungsi hasil pengintegralan f’(x) 6x 4 dapat dituliskan sebagai f(x) 3x2 4x c, dengan C adalah konstan dan C ϵ R1.2.Notasi integral.Jika f suatu turunan dari F, maka notasinya adalah F’(x) f(x) atau dapat juga di tuliskan sebagaid(F(x)) f(x)dx. Sebaliknya F adalah anti turunan dari f dan notasi atau symbol untuk operasipengintegralan adalah . Kita tuliskan :( )( )Dengan :F(x) adalah fungsi integral umum yang bersifatnya F’(x) f(x),f(x) disebut fungsi integral,C adalah konstan real sembarang.Pengintegralan fungsi f terhadap x seperti tertulis diatas dinamakan integral tak tentu dari fungsi fterhadap x9Turunan dan Integral
MatematikaContoh 2.1()1.3. Interal Tak Tentu Dari Fungsi Aljabar.Telah disebutkan di atas bahwa untuk menentukan integral tak tentu dari aturan turunan digunakan( )( )Ini berarti bahwa untuk menentukan hasil suatu integral tak tentu( ) adalah mencari fungsiF(x).RUMUS DASAR INTEGRAL TAK TENTU FUNGSI ALJABAR.Perhatikan ilustrasi berikut ini :Jika F(x) 1maka F’(x) f(x) x1Berati1Jika ( )maka F’(x) f(x) x21BerartiDari ilustrasi diatas kita dapatkan pola keteraturanya, sehingga kita dapat disimpulkan rumus umumintegral tak tentu aljabar adalah :1 Berlaku untuk semua n bilangan real kecuali n 1Misalkan k konstan real sembarang, f(x) dan g(x) masing – masing merupakan fungsi integral yangdapat ditentukan fungsi integral umunya, maka 𝑥 𝑛 𝑑𝑥d.𝑘𝑥 𝑛 𝑑𝑥e.𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥f.g.𝑑𝑥 𝑥 𝐶𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑔(𝑥)𝑑 𝑑𝑥𝑔(𝑥)𝑑 𝑥𝐹(𝑥)𝐺(𝑥)𝐶𝑛 11𝑘𝑥𝑛 1𝑛 1Turunan dan Integral𝐶, dengan n bilangan rasional, n 1𝐶, dengan n bilangan rasional, n 1𝑘 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥𝑔(𝑥) 𝑑𝑥Contoh 2.2Tentukan anti turunan1. x510𝑥𝑛𝑘(𝐹(𝑥)𝐶)
Matematika2.13. 4. (Jawab)11.1 2.1 x311dx x 3 dx 111x 3 1 c x 2 c 2 c 3 122x434 134177137x c x 3 c x 3 c 3 x7 c3. x dx x dx 4773 1333254. 3x 7 4 x 5 5 x 3 6 dx x 8 x 6 x 4 3x 2 c83431.4. Integral Tentu.a. Mengenal Pengertian Integral Tentu.bRumus f x dx F x a F b F a baDisebut integral tentu, sebab hasil integral tersebut bernilai tertentu. Pada rumusdiatas, a disebut batas bawah dan b disebut batas atas integrasi. Interval [a,b] disebutinterval integrasi.b. Menentukan Nilai Suatu Integral Tentu.Contoh 2.3 x 3a. Carilah2 x dx1Penyelesaian 313 1 1x x dx x 3 x 2 2 1 3211 1 1 (3) 3 (3) 2 (1) 3 (1) 2 22 3 3 1 1 1 9 4 2 3 2 41123Turunan dan Integral
Matematika2b. Hitunglah 3x 2 2dx 1Penyelesaian22 3x 2 dx 9 x 12 x 4 dx22 1 1212 9 x 3 x 2 4 2 3 1 2 3x 3 6 x 2 4 1 3 2 6 2 4 3 1 6 1 4323 24 24 4 3 6 4 21c. Menentukan sifat – sifat integral tentu.Sifat – sifat integral tertentu adalah sebagai berikut :bI. ccbaf x dx f x dx f x dxabuktib cf x dx f x dx F b F a F (c) F b ab F c F a c F x dx terbukti aII.bbaa kf x dx k f x dx ; k bilangan konstanBuktib kf x dx kf x baa kF b kF a k F b F a b k F x dx(terbukti)aIII.12bbbaaa f x g x dx f ( x)dx g ( x)dxTurunan dan Integral2
MatematikaBuktib f x g x dx F x g x baa F b G b F a G a F b F a G b G a bbaa f x dx g x dx terbuktiIV.baab f x dx f x dxBuktib f x dx F b F a a F a F b a F x dxterbuktibContoh 2.4 4 x2Hitunglah3 3 6 x 2 dx 4 x 3 6 x 2 dx12Penyelesaian 4 x213 3 3 6 x 2 dx 4 x 3 6 x 2 dx 4 x 3 6 x 2 dx2136 4 x 4 x3 3 1 4 x 4 2x 3 313 [(3)4 – 2(3) ] – [(1)4 – 2(1)3] (81 – 54) – (1 – 2) 281.5. Integral Tak Tentu Dari Fungsi Trigonometri.Sebagiman rumus dasar integral tak tentu dari fungsi aljabar, rumus – rumus dasar untuk fungsitrigonometri pun kita rancang dari aturan rumus turunan untuk trigonometri. Untuk itu, diingatkembali aturan turunan untuk fungsi trigonometri berikut :13Turunan dan Integral
MatematikaF(x) sin xF’(x) cos xF(x) cot xF’(x) - cosec xF(x) cos xF’(x) - sin xF(x) cot xF’(x) tan x sec xF(x) tan xF’(x) sec 2 xF(x) cot xF’(x) - cot x cos x( )( )Dengan menggunakan aturan integral tak tentuyang bersifat F’(x) f(x),maka kita peroleh rumus – rumus dasar integral tak tentu untuk fungsi trigonometri sebagai berikut1.cos 𝑥 𝑑𝑥s n𝑥2.s n 𝑥 𝑑𝑥cos 𝑥3.sec 𝑥 𝑑𝑥tan 𝑥𝑐4. cosec 𝑥 𝑑𝑥cot 𝑥𝑐𝑐5. tan 𝑥𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑑𝑥sec 𝑥𝑐𝑐6. cot 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑑𝑥𝑐𝑜𝑠 ec 𝑥𝑐Sekarang perhatikan turunan dari fungsi –fungsi trigonometri dengan sudut berbentuk (ax b):F(x) sin (ax b)F(x) cos (ax b)F(x) tan (ax b)F(x) cot (ax b)F(x) sec (ax b)F(x) cosec (ax b)F’(x) acos (ax b)F’(x) - asin (ax b)F’(x) asec2 (ax b)F’(x) - asec2 (ax b)F’(x) a tan(ax a).sec (ax b)F’(x) - a cot (ax b).cosec (ax b)Dengan demikian, kita dapat merumuskan aturan integral tak tentu dari fungsi trigonometri yangsudutnya berbentuk (ax b) sebagai berikut :14Turunan dan Integral
Matematika𝟏𝐜𝐨𝐬(𝒂𝒙𝒃)𝒅𝒙2. 𝐬𝐢𝐧(𝒂𝒙𝒃)𝒅𝒙3. 𝐬𝐞𝐜 𝟐 �4. 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜 𝟐 ��𝒐𝒕(𝒂𝒙𝒂𝒃)𝒅𝒙5. 𝐭𝐚𝐧(𝒂𝒙𝒃) 𝐬𝐞𝐜(𝒂𝒙6. ���𝒙𝒂𝒄𝒃)Contoh 2.5Tentukan integral tak tentua.b. 5x cos x dx 2 cos x 3 sin x dxPenyelesaiana. 5x cos x dx 5xdx cos xdx12 5. x 2 sin x cb. 2 cos x 3sin x dx 2 cos xdx 3sin xdx 2 sin x 3 cos x cContoh 2.6Tentukan integral daria.b. cos 2x dx 5 tan 3x .sec 3x dxPenyelesiana. cos 2 x dx 2 sin 2 x cb. 5 tan 3x .sec 3x dx 5 tan(3x) sec(3x)dx 3 sec 3x c1515Turunan dan Integral𝒄
MatematikaContoh 2.71 6Hitung integral tertentu dari sin 3xdx0Penyelesaian1 61 1 6 0 sin 3xdx 3 cos 3x 0 1 1 1 cos cos 0 3 3 3 1 3 0 - 1.6.13Pengintegralan Dengan Subtitusi.Ada pengintegralan fungsi – fungsi yang dapat disederhanakan menjadi bentukatau dengan memisalkan u f(x) menjadi bentukContoh 2.8Carilah sin x cos 5 xdxPenyelesaianMisal u cos x dan du/dx - sin x maka du - sin x dx sin x cos5xdx u 51 u6 c6161 cos 6 x c6Turunan dan Integral
Matematika1.7. pengintegral Dengan ParsialAnda akan sering menjumpai suatu integral yang dapat di pecahkan dengan metode integralparsial. Dalam hitungan differensial telah diketahui bahwa :d uv udv vdu udv d uv vduMaka dengan pengintegralan dengan kedua ruas didapat bentuk integral parsial : udv uv vduContoh 2.9 Tentukan 2 xsin xdxPenyelesaianMisal u 2x dan du 2 dx dv sin x dx maka v sin xdx cos x x cos 2xdx uv vdu 2 x cos x cos x 2dx - 2x cos x 2sin x cJadi17 2 xsin xdx - 2x cos x 2sin x cTurunan dan Integral
MatematikaKompetensi 2Tentukan integral berikut ini11. 10 dx2. 63. 6 xx dx 224 3 dxx x 4. Tentukan f(x) bila f ‘(x) 3x2 – 4x 5 dan f(1) 6 4 x 25.3 3x 2 2 x 1 dx24 6. Hitunglah 2 x 5 x x 14 dxx2 7. Carilah 3 sin xdx0 4 sin8. Hitunglah32 x cos 2 xdx0 x9. Selesaikan2 4 x 2 x 3 2 x 2 dx6410. Tentukan2 x dx2111. Hitunglah 2 x dx20 212. Hitunglah x cos x dx0 4 13. Hitunglah sin 2 xdx014. Hitunglah15. hitunglah18dx x 33z dzTurunan dan Integral
MatematikaJawabanKompetensi 11. f(x) 4sinxcosx . . . .f(x) 4sinx cos xf’(x) - 4sinx sinx 4cos x.cos x - 4sin2x 4cos2x2. f(x) 11x4 – 3x 9f’(x) 44x3 – 33. f(x) . . . .11f’(x) x 2 4. g(x) g(x) 1 21x 22 x. 2x12 2x 121 g ' ( x) x 2 g ' ( x) x5. h(x) x7 x5 – 5x 7 . . . .h’(x) 7x6 5x4 – 56. g(t) 1.21 3t 331 g ' x 333 x 2g(t) t 3 3t g ' ( x) 7. jika f(x) x3 6x2 2x 5, maka f’(x) – 2 . . . .f’(x) 3x2 12x 2f’(x) – 2 3x2 12x 2 – 2f’(x) – 2 3x2 12x8. f(x) .5 2x3x 2 x 4 39101f ' x x 3 8 x 5 x 233f ( x) 19Turunan dan Integral
Matematikaf ' x 108 1 5 x2333xx9. f(x) (3x2 – 5)(2x 4) . . . .misalkan g(x) (3x2 – 5) dan h(x) (2x 4), makaf’(x) g(x)h’(x) h(x)g’(x) (3x2 – 5)(2) (2x 4)(6x) (6x2 – 10) (12x2 24x) 18x2 24x – 1010. jika y 3u2 – 2u 5 dan u x2 – 6 ,tentukan dy/dx. . . .menurut aturan rantai , untuk y f(x) dan u g(x), berlakudy dy du .dx du dxdd 3u 2 2u 5 x 2 6 6u 2 2 x dudxDengan mensubtitusikan u x2 – 6, diperoleh dy 6 x 2 6 2 2 x dx 6 x 2 38 2 x 12 x 3 76 x11. carilah f ‘ (x) dari 3cos x – 2sin x . . .f’(x) - 3sin x – 2 cos x12. y ,. anda ubah dahulu y bentuk axn agar dapat menggunakan aturan hasil kali konstan dengan fungsiy 0,255x2 0,25x252 0,25 x 5Dari bentuk tersebut, anda dapat menggunakan aturan hasil kali kon-stan dengan fungsi.7 2 52 1 0,15y ' 0,25 x 0,1x 5 7x 5 13. y sin(x2 – 1)jika y sin u dan u x2 – 1makady dy du . cos u 2 x 2 x cos x 2 1 dx du dx14. jika y sin3x tentkan y’!penyelesaian20Turunan dan Integral
Matematikajika y u3 dan u sin xdy dy du . 3u 2 cos x 3 sin 2 cos xdx du dxmaka15. Turunan tan x sec2x . .f ' x d sin x dx cos x cos x.D sin x sin xD cos x cos x 2cos x sin 2 x cos 2 x2 cos x. cos x sin x sin x cos 2 x 1 sec 2 x terbukti2cos xJawaban kompetensi 21.1 x10dx x 10dx 1x 10 1 c 10 111 x 9 c 9 c99x 1 1 1 1 2. 6 x dx 6 x 2 dx 6 x2 c 1 1 2 3 2 3 6 x 2 c 4 x 2 c 4 x x c 3 3. 6 x2 24 24 3 dx 6 x 2 dx dx 3 dxxx x x1 6 x 3 2 x 2 dx 4 x 3 dx312 2 x 4 x 2 x 2 c3 2 x 3 4 x 2 cx24. Tentukan f(x) bila f ‘(x) 3x2 – 4x 5 dan f(1) 6 f ' x dx 3x2 4 x 5 dxf ( x) x 3 2 x 2 5 x cf (1) 1 2 1 5 1 c326 4 c C 221Turunan dan Integral
MatematikaJadi f(x) x3 – 2x2 5x 2 4 x5.3 2 2 3x 2 2 x 1 dx x 4 x 3 x 2 x 22 (24 – 23 22 2) – (24 – 23 22 2) 04 4 1 2 x 5x x x 2 dx 1 2 xdx 1 5x xdx 1 x 2 dx46.4444 445 2 2 5 2 4 1 x x x 2 1 5 1 1 2 1 2 x x2 41 2 4 4 x 1 x 14 4 4 4 1 4 2 12 2.4 2 4 2.12 1 15 – 62 3- 44 7. 3sin xdx 3cos x 3cos 3cos 0 3 3 600 48. sin32 x cos 2 xdx0Misal u sin 2x maka du 2cos 2x dx 1 1 4 414 3sin2xcos2xdx udu 2 4 u 02 0 0 43 sin 2 x 4 8 049. x2 2 x 3 2 x 2 dx6Misal u x2 2x 3 maka du 2x 2dx x222 2 x 3 2 x 2 dx u 6 du 6Turunan dan Integral1 6 1u c6 1
Matematika611 u 7 c x 2 2 x 3 c77 4 x410.22 4 x dx x343 1 4 3 1 2 4 3 1 2 x 2 4 4 2 2 2 2 322 3 256 32 206 8 2 3 3 3 1 2 3 2 3 22 0 2 x dx 3 x 0 3 1 0 3111. 2 1 2 2 1 1 12. x cos x dx x sin x sin 0 2 sin 0 2 0 2 2 2 2 02 2 1 0 1 8 28 413. sin2xdx solusi soal ini pertam ubah dulu sin2x menjadi0 4 1 cos 2 x14dx 1 cos 2 x dx220042 sin xdx 0 1 11 4 1 4x sin2x x sin 2 x 224 0 2 0 2 11 1 1 1 sin 0 sin 0 4 24 2 4 4 8 4 4 sin014. 15. 232xdx 8 14dx11 x 3 dx x 2 c 2 c32x2x13z dz z 3 dz 43 3z c4Turunan dan Integral1 cos 2 x2
MatematikaDaftar PustakaSukino. 2007. Matematika XIB, Jakata : ErlanggaPurwanto,Heri dkk. 2005.kalkulus 1, Jakarta : PT Ercontara rajawaliSuharto dkk. 1996. Matematika 3B smu, Surakarta : PT Pabelan.Putra, matematika 3A, Jakarta : PT Grasindo, 2004Edwin J. Purcell, kalkulus dan Geometri Analitis. Erlangga, edisi kelima: Jakarta, 1994Kuntarti, sulistiyono, Sri kuningsing, matematika SMA dan MA 3a. Erlangga : Jakarta, 2007Kainginan,Marthen. Cerdas belajar matematika XIb. Grafindo media Prtama : Jakarta, 2005Sri Setyaningsih, Embay Rohaeti. Matematika dasar 2. Pusat komputasi : Bogor, 200524Turunan dan Integral
1.3. Interal Tak Tentu Dari Fungsi Aljabar. Telah disebutkan di atas bahwa untuk menentukan integral tak tentu dari aturan turunan digunakan ( ) ( ) Ini berarti bahwa untuk menentukan hasil suatu integral tak tentu ( ) adalah mencari fungsi F(x). RUMUS DASAR INTEGRAL TAK TENTU FUNGSI ALJABAR. Perhatikan ilustrasi berikut ini : Jika F(x) 1
2.4 Turunan Fungsi Trigonometri Menentukan turunan fungsi trigonometri. 2.5 Aturan Rantai Menentukan turunan fungsi yang merupakan komposisi dari dua fungsi sederhana dengan Aturan Rantai. 9/12/2019 (c) Hendra Gunawan 3. 2.3 ATURAN TURUNAN Menggunakan aturan turunan untuk
1. Merancang aturan integral tak tentu dari aturan turunan, 2. Menghitung integral tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri, 3. Menjelaskan integral tentu sebagai luas daerah di bidang datar, 4. Menghitung integral tentu dengan menggunakan integral tak tentu, 5. Menghitung integral dengan rumus integral substitusi, 6.
Bab 8 Teknik Pengintegralan Metoda Substitusi Integral Fungsi Trigonometrik Substitusi Merasionalkan Integral Parsial Integral Fungsi Rasional Oki Neswan, Ph.D. – Departemen Matematika ITB 2 Catatan Kuliah MA1223 Kalkulus Elementer II Pendahuluan Operasi turunan turunan sifatnya algoritmik. Apabila semua aturannya
integral tentu dan tak tentu dan menggunakannya dalam pemecahan masalah 3. Lingkup Materi Limit fungsi baik secara intuitif maupun formal Fungsi turunan, perilaku fungsi, maksimum dan minimum Integral baik integral tentu maupun integral tak tentu . vi SKENARIO PEMBELAJARAN
linear dan sistem pertidaksamaan linear –program linear –suku banyak –Matriks –barisan dan deret Siswa memiliki kemampuan mengaplikasika n konsep kalkulus dalam masalah kehidupan sehari-hari pada topik:-limit fungsi aljabar dan limit fungsi trigonometri-turunan fungsi aljabar dan turunan fungsi trigon
produk turunan kelapa yang sangat penting. Pada tahun 2005 volume ekspor kopra hampir mencapai 50 ribu ton, dan nilai ekspor kopra menempati peringkat tiga setelah minyak kelapa dan minyak goreng dalam volume dan nilai ekspor produk turunan kelapa. Teknik pengol
Portofolio materi teknik-teknik pengintegralan ( parsial) 05 mei 2020 Pukul 07:32:00 sampai 16 mei 2020 Pukul 14:00:00 Nilai 20 PH 5 Tes Tertulis 3.10 Mendeskripsikan integral tak tentu (anti turunan) fungsi aljabar dan menganalisis sifat-sifatnya berdasarkan sifat-sifat turunan fungsi
Scrum, Agile Software Development. with Ken Schwaber (Prentice Hall, fall 2001), a provocative book that assumes software development is more like . new product development. than the manufacturing-like processes that the software industry has used for the last 20 years. Arie van Bennekum. has been actively involved in DSDM and the DSDM Consortium since 1997. Before that he had been working .
