) Adalah Fungsi Konstan Dan A Lim (x) F ( X
BAB II KEGIATAN PEMBELAJARANA. Limit Fungsi AljabarA.1. Teorema Limit Fungsi Aljabat Pada Titik TertentuPada penyelesaian limit fungsi harus menghidari nilai-nilai tak tentu,diantaranya adalah0,0 , a, ,0 Berikut beberapa teorema penyelesaian limit fungsi aljabarTeorema 1Limit Fungsi KonstanJika f(x) adalah fungsi konstan dan a R , maka berlaku :lim f ( x ) f ( x )x aContoh Soal :1. lim 5 5x 22. lim b bx 53. lim(3 x 2 ) 3 x 2y 21
Teorema 2Subtitusi LangsungJika f(x) adalah fungsi aljabar dan bukan fungsi konstan, a R danf (a ) R maka :lim f ( x ) f (a )x aContoh Soal :()1. lim x 2 2 x 1 .x 1Penyelesaian()lim x 2 2 x 1 12 2(1) 1x 1 2()2. lim 3x 2 4 x .x 5Penyelesaian()lim 3x 2 4 x 3(5) 2 4(5)x 5 75 20 553. limx 33x 2 9 .32
Penyelesaian3(3) 2 93x 2 9 3327 9 336 3 2limx 34.(lim 5 p 3 6 p 2p 2) 12 .Penyelesaian(lim 5 p 3 6 p 2p 2) 12 limp 2 1 5 p3 6 p 2132 5( 2 ) 6( 2 )140 241 161 4 Jika pada hasil subtitusi langsung menghasilkan nilai-nilai tak tentu 0 , 0 , a , , terutama pada bentuk lim f ( x) .x a g ( x )0 3
Teorema 3FaktorisasiJika (x a ) p ( x ) adalah faktor dari f(x) dan ( x a )q( x ) adalah faktor darig(x), a R dan p (a).q(a ) 0 maka :limx a(x a ) p(x ) p(a )f (x ) limg ( x ) x a ( x a )q ( x ) q(a )Contoh Soal :1. limx 2x 2 3x 2 .x2 x 2Penyelesaianlimx 2x 2 3 x 2 2 2 3( 2) 20 . Ternyata jika kita subtitusikan 220x x 22 2 2langsung menghasilan nilai tak tentu maka kita gunakan teorema 3. maka :limx 2(x 2)(x 1)x 2 3x 2 lim2x 2(x 2)(x 1)x x 2(x 1) limx 2 ( x 1)(2 1) (2 1)1 34
2limx 4x 2 16 .x 4Penyelesaianlimx 4x 2 16(x 4)(x 4) limx 4x 4x 4 lim( x 4 )x 4 83. limx 1x 4 4x 3 .x2 1Penyelesaianlimx 1(x 4 4x 3(x 1) x 3 x 2 x 3lim x 1(x 1)(x 1)x2 1 limx 1(13 (x3 x2 x 3(x 1) 12 1 3(x 1))))021 6 x4. lim 2 .x 2 x 4x 2 Penyelesaian 6 x1 1(x 2 ) 6 x lim 2 lim 2x 2 x 4x 2x 2 x 4 ( x 2 )( x 2 ) 4 2x lim 2 x 2 x 4 2( x 2 ) lim x 2 ( x 2 )( x 2 ) 2 (2 2)1 25
Teorema 4Perkalian Bentuk SekawanJika f(x) atau g(x) salah satunya atau keduanya merupakan fungsi dalambentuk akar dan a R maka:a. Jika f ( x ) a x c makalimx af (x )a x c a x c lim.g (x ) x a g (x )a x cb. Jika g (x ) a x c maka :limx af (x )f (x )a x c lim.g (x ) x a a x c a x cc. Jika f ( x ) a x c dan g (x ) b x d maka :limx af (x )a x c a x c b x d lim.g (x ) x a b x d a x c b x dContoh Soal :1. limx 0x2 4 x .Penyelesaian 2 4 x xx . lim x 0 2 4 xx 0 2 4 x 2 4 x lim limx 0()()x 2 4 x4 (4 x )x 2 4 xx 0x lim 2 4 x limx 0() 46
2. limx 1x2 18 x 3 .Penyelesaianlimx 1x2 18 x 3 8 x 3 . 8 x 3 8 x 3 x2 1 limx 1(x)(2) 1 8 x 38 x 9(x 1)(x 1) 8 x 3 limx 1 ( x 1) limx 1(( lim ( x 1) 8 x 3x 1)) ( 2 )(6 ) 123. limx 4x 5 2x 1 .x 4Penyelesaianlimx 4x 5 2x 1x 5 2x 1 x 5 2x 1 lim. x 4x 4x 4 521xx (x 5) (2 x 1)x 4(x 4)( x 5 2 x 1) lim ( x 4) lim(x 4)( lim(x 4x 4 x 5 2x 1 1x 5 2x 1)) 167
4. limx 4x 2 16x 4 .Penyelesaianlimx 4x 2 16x 4 limx 4(xx 2 16 x 4 x 4 x 4 )(2) 16 x 4x 4(x 4)(x 4) x 4 limx 4x 4 lim( x 4 ) x 4 limx 4((x 4)) 8. 0 05. limx px x p px p .Penyelesaianlimx px x p px px x p p x x p p x x px p x x p p x limp p x x p p x x p p x x p p lim x p xpxpxp x 3 p 3 x x p p lim x px p x p lim(x p )(x 2 xp p 2 ) x x px px p p x p x x p p lim x 2 xp p 2 x p xp ( )6p2 p2p p 3p8
A.1. Teorema Limit Fungsi Aljabat Tak HinggaPada prinsip penyelesaian limit tak hingga sama seperti pada penyelesaianlimit pada titik tertentu, yaitu harus menghidari nilai-nilai tak tentu 0 a , , , , , . 0 0 .Teorema 5Membagi dengan variabel tertinggiJika f(x) dan g(x) adalah merupakan fungsi aljabar maka nilai darilimx f (x )adalah dengan cara membagi semua unsur/suku dengan variabelg (x )dari f(x) atau pun g(x) yang merupakan pangkat tertinggi.ax n bx m nnax n bx mxx a , Jika n merupakan pangkatlim limtertinggix dx n rx dx ndr nxnxContoh Soal :2x 2 x 5 .x x 2 3 x 21. limPenyelesaianx2x 25 2 222x x 5xx . lim x 2lim 2x x 3 x 2x x3x 2 2 22xxx1 52 2x x limx 3 21 2x x29
15 2 321 2 2 0 0 1 0 0 22 2x 3x2. lim .x x 1x 1 Penyelesaian 3 x x 1 2 x x 1 2x 3xlim lim x x 1x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 5x lim 2x x 1 x 2 5x 22 lim x 2 xx x1 22xx 1(3x 2)33x (4 x 3)3. lim .Penyelesaian(3x 2)3x (4 x 3)3lim(3x 2)(9 x 2 12 x 4)x (4 x 3)(16 x 2 24 x 9 ) lim27 x 3 54 x 2 36 x 8x 64 x 3 144 x 2 108 x 2727 64 lim10
4. limx x .2x 2x 1Penyelesaianxxlim lim22x x x 2x 1x 2x 1xxx lim2x x 2x 1x21 limx 1 0 0 1x5 x 3x 2 6 .x 3x 3 85. limPenyelesaian5 x 3x 2 6 3 35 x 3x 6x3xxlim lim33x x 3x83x 8 33xx0 0 0 3 0 0211
Teorema 6Limit tak hingga dengan perkalian sekawanJika f(x) dalam bentuk akar maka nilai dari lim f ( x ) adalah dengan carax mengalikan dengan bentuk sekawan dari f(x).) (( axax(lim ax n b cx n d lim ax n b cx n d x x nn) d) b cx n d b cxnContoh Soal :1. lim x 2 1 1 x 2 .x Penyelesaian()lim x 2 1 1 x 2 lim x 2 1 1 x 2 x x limx limx (x2) ( 1 1 x2x2 1 1 x2x2 1 1 x2)x2 1 1 x22x 2 2x2 1 1 x22012
2. lim x 2 2 x x 2 4 x .x Penyelesaian x2 2 x x2 4 x lim x 2 2 x x 2 4 x lim x 2 2 x x 2 4 x . x x x2 2 x x2 4 x 22x 2x x 4x limx x2 2x x2 4x6x lim2x x 2x x2 4x6xx lim2x x 2xx2 4 x x2x26 limx 1 1 3()() ()3. lim x 2 6 x ( x 4 ) .x Penyelesaian x 2 6 x (x 4) lim x 2 6 x ( x 4 ) lim x 2 6 x (x 4) x x x 2 6 x (x 4) 22x 6 x x 8 x 16 limx x 2 6 x (x 4)14 x 16 lim2x x 6 x (x 4 )14 x 16 xx limx x2 6x x 4 x2 x2 x x14 2 7)(() ()13
Teorema 7Limit tak hingga dengan cara quantumJikaf(x)adalahfungsidalambentukf ( x ) ax 2 bx c px 2 qx r dengan: a p Pangkat tertinggi dari variabel kedua suku adalah 2 Operasi penguranganmaka berlaku :lim ax 2 bx c px 2 qx r x b q2 aContoh Soal :1. lim 2 x 2 2 x 2 2 x 2 4 x 5 .x Penyelesaianb q2 a2 ( 4) 2 26 2 2lim 2 x 2 2 x 2 2 x 2 4 x 5 x 62 23 22 22 1010 2. lim x 25 25 .x xx Penyelesaian14
1010 1010 lim x 25 25 lim x 25 x 25 x xx x xx 10 10 lim x 2 25 x 2 25 x x x ( lim 25 x 2 10 x 25 x 2 10 xx )b q2 a 10 10 2 25 20 10 2 3. lim x 2 5 x ( x 2 ) .x Penyelesaianlim x 2 5 x ( x 2 ) lim x 2 5 x x x (x 2)2 lim x 2 5 x x 2 4 x 4x b q2 a 5 ( 4) 2 1 1 2 15
B. Limit fungsi TrigonometriPada prinsipnya penyelesaian limit fungsi trigonometri sama denganpenyelesaian fungsi aljabar, yakni menghindari nilai-nilai tak tentu.Teorema 8Teorema dasar limit fungsi trigonometri sin x 1xsin axlim 1x 0axtan xlim 1x 0xtan axlim 1x 0axlim x 0x 1sin xaxlim 1x 0 sin axxlim 1x 0 tan xaxlim 1x 0 tan axlimx 0 Contoh Soal1. limx 0sin 3 x .tan xPenyelesaianlimx 0sin 3 xsin 3 x 3 x x. . limx 0tan xtan x 3 x xsin 3x x 3 x. limx 03 x tan x x 1.1.3 32. limx 0tan x .x2 2xPenyelesaian16
limx 0tan xtan x x. lim 22x 0x 2xx 2x xtan xx. limx 0x x( x 2 )1 limx 0 (x 2 )1 2(())x cos 2 6 x 1 .x 0 sin 3 x. tan 2 2 x3. limPenyelesaian()(() )x cos 2 6 x 1x 1 sin 2 6 x 1lim x 0 sin 3 x. tan 2 2 xx 0 sin 3 x. tan 2 2 xx sin 2 6 x limx 0 sin 3 x. tan 2 2 x x sin 2 6 x limx 0 sin 3 x. tan 2 2 x22 x sin 2 6 x 3 x (6 x ) (2 x ). limx 0 sin 3 x. tan 2 2 x 3 x (6 x )2 (2 x )2lim()223 x sin 2 6 x (2 x ) x(6 x ).x 0 sin 3 x(6 x )2 tan 2 2 x 3x(2 x )2 lim lim 1.1.1x 0 36 x 312 x 3 317
Teorema 9Dalil L’ HopitalJika f’(x) adalah merupakan turunan dari f(x) dan g’(x) adalahturunan dari g(x) maka berlaku :limx af (x ) f ' ( x ) f ' ' ( x ) f ' ' ' ( x ) g ( x ) g ' ( x ) g ' ' (x ) g ' ' ' (x )Contoh Soal :x 2 5x 6 .x 2x 21. limPenyelesaianx2 5x 6 lim 2 x 5x 2x 2x 2 1lim2. limx 3x 2x 3 .x2 9Penyelesian1x 2x 3x (2 x 3)2lim lim2x 3x 3x 9x2 911 2x 3 limx 32x2 362 1 .3 61 918
A. Limit Fungsi Aljabar A.1. Teorema Limit Fungsi Aljabat Pada Titik Tertentu Pada penyelesaian limit fungsi harus menghidari nilai-nilai tak tentu, diantaranya adalah , , 0, , 0 0 a Berikut beberapa teorema penyelesaian limit fungsi aljabar Contoh Soal : 1. lim 5 5 2 x 2. b b x 5 lim 3. lim (3 2) 3 2 2 .
Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat Drs. Susiswo, M.Si. ompetensi umum yang diharapkan, setelah mempelajari modul ini, adalah Anda dapat memahami konsep tentang persamaan linear dan fungsi kuadrat. Sementara itu, kompetensi khusus yang diharapkan adalah Anda dapat: 1. menyusun tabel pasangan fungsi linear; 2.
Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah 1.2 Kompetensi Dasar Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan tri-gonometri 1.3 Indikator 1.Menjelaskan pengertian limit fungsi melalui perhitungan nilai-nilai fungsi
Fungsi kuadrat tersebut merupakan fungsi kuadrat dalam peubah x. Grafik fungsi kuadrat ditulis dengan notasi y f(x) ax 2 bx c, dan grafik fungsi kuadrat dise but parabola. Langkah -langkah menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat yang sederhana: Langkah 1: Tentukan beberapa anggota fungsi f, yaitu koordinat titik -titik yang
Menjelaskan dan menentukan fungsi ( terutama fungs linear, Fungsi kuadrat dan Fungsi Rasional) secra formal yang meliputi notasi, daerah asal, daerah hasil dan ekspresi simbolik serta sketsa grafiknya X Aljabar Fungsi, fungsi Kuadrat dan fungsi rasional dan grafiknya L2 Menyelesaikan masalah kontekstual laba maksimum yang berkaitan dengan .
Fungsi kuadrat merupakan merupakan fungsi polinom berderajat dua bentuk umum persamaan fungsi kuadrat adalah : y a bx cx2 atau y cx2 bx a dimana cz0. Contoh fungsi kuadrat dalam bentuk grafik di gambarkan sebagai berikut : y y x2 x 3.1.1 Penyelesaian Persamaan Kuadratik Penyelesaian persamaan kuadratik merukan pencarian akar-akar dari persamaan .
F. Penerapan Persamaan dan Fungsi Kuadrat Penerapan persamaan dan fungsi kuadrat adalah pemakaian aturan persamaan dan fungsi kuadrat dalam menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari Terdapat tiga langkah dalam menyelesaikan soal cerita dengan persamaan dan fungsi kuadrat, yautu : 1. Menetapkan variabel-variabel dari soal cerita 2.
1. Menghitung limit fungsi aljabar sederhana di suatu titik 2. Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar Konsep turunan fungsi sangat berguna membantu memecahkan masalah ekonomi, namun demikian konsep turunan fungsi didasarkan atas konsep limit fungsi.
group of employees at his work. Derogatory homophobic : comments have been posted on the staff noticeboard about him by people from this group. Steve was recently physically pushed to the floor by one member of the group but is too scared to take action. Steve is not gay but heterosexual; furthermore the group know he isn’t gay. This is harassment related to sexual orientation. Harassment at .
