RANGKUMAN MATERI KELAS XII SMK - WordPress

RANGKUMAN MATERIKELAS XII SMKTahun Ajaran 2012 / 2013

MATERI 15LIMIT FUNGSI (HARGA BATAS)Limit merupakan bagian dari “Kalkulus” (hitung diferensial dan hitungintegral), karena dasar-dasar kalkulus menggunakan konsep limit yang dirumuskanoleh Augustin Louis Canchy (1789-1857) ahli matematika berkebangsaan Perancis.Contoh kalimat limit dalam kehidupan sehari-hari adalah “Nilai UN matematika Adimendekati sempurna.”Kata kunci limit : mendekati, hampir saja, dan sedikit lagi pada kalimat di atasdianalogikan sebagai pengertian dari limit.Misal : y f(x) 2x 1 dengan xf(x) lim x 2 2x 1 R, jika x mendekati 2, notasi matematika : limx 2Peta Penyelesaian Limitlimitjika hasilnyabilangan tak tentu,yaitu :substitusikan00 diferensial(turunan)limit fungsialjabar0 x x 0uraian diferensial x 3P (Pembilang,Penyebut, PangkatTinggi)perkaliansekawanLimit Fungsi Aljabar1. Jika variabel mendekati bilangan realCara penyelesaian : Disubtitusi terlebih dahulu, asal hasilnya bukan bilangan tak tentu. Jika hasilnya bilangan tak tentu, limit belum selesai. Maka carapenyelesaiannya adalah : difaktorkan, disederhanakan, disubtitusi, danlimit selesai.Contoh :1. Lim y 2 y3 – 2y2 3y – 4 (-2)3 -2(-2)2 3(-2)-4 -8-8-6-4 -262. Limx 3 Rangkuman Kelas XII 148

Limx 3 tak tentu Lim x 3 LimDikalikan sekawanlimit tetapnempelx 3 Limx 3 LimSubtitusi limit dilepas x )) ))Perkaliansekawan )( ( ( ) )))( ( ( )) )( ) ( x 3( ( ( x 3 Lim ) ()( ) ( )( x 3 ( Lim x ( x - 3. Lim x 0 Lim Limx 0tak tentu(x 0)( Lim)x 0 4. Lim x 2 Limx 2Ingat sifat :tak tentu Limx 2 Limx 2 Limx 2()((1. a2-b2 (a-b)(a b)2. a3-b3 (a-b)(a2 ab b2)))() 35. Limx 2. / . / . / - tak tentuLimx 2.Rangkuman Kelas XII / Limx 2. ( Limx 2. Limx 2.())()(((/)())( )(())(/)/)149

Limx 2. Limx 2. Limx 2. Limx 2. ()()/()()()()(()())()()()()()///) 6. Lim x 3 tak tentuMenggunakan teorema faktor :1) x3–8x2 21x-18 (x-3)(x-2)(x-3)312 11-83-52-321 -18 -151860sisa-60sisafaktor 18 1,2,3,6,9,18 faktor 6 1,2,3,6Pilih salah satu faktor yangsebisa mungkin menyisakan 02) x3–8x2 21x-18 (x-3)(x-1)(x-3)31-715-93-12911-4301-31-30Lim Limx 3 Lim(x 3()()())()()x 3 7. Limx 2() () Menggunakan teorema faktorx3–2x2 x-2 (x-2)(x2 0x 1)21-21-22021010Limx 2() Limx 2 Limx 2faktor 2 1,2()(())() Rangkuman Kelas XII 0150

8. Limx 0() () Limx 0()Memakai pascal111121133114641Angka pertama pangkatsemakin turun dan angkakedua pangkat semakiinnaik. Limx 0 Limx 0 Limx 0() Lim x 0 h3 8h2 24h 32 03 8 02 24 0 32 322. Jika variabel mendekati tak terhingga ( )Cara menyelesaikannya adalah menggunakan 3P (Pembilang,Pangkat tinggi) dan tidak perlu subtitusi terlebih dahulu.Limx Penyebut, 0Dengan bentuk umum :Lim,x Jikan r Lim f(x) x n rn r Lim f(x) x Lim f(x) x 0x Limx Limx Contoh :1. Lim 2. Lim(x ()) Lim(x ( Limx Limx Limx )())() 3. Limx (x 2)- 0 Lim LimRangkuman Kelas XIIx x (x 2)- ()(0x () () ) 151

Limx Limx Limx Limx 5 Limit Fungsi Trigonometri1. Jika x mendekati tertentuCara penyelesaian menggunakan subtitusi, jika hasilnya bilangan tak tentu makaubah menjadi unsur identitas trigonometri atau rumus trigonometri lainnya yangmemenuhi untuk dilakukan pencoretan.Contoh soal :1. Lim.x / Lim.x tak tentu/ Limx Limx Limx Limsinx – cosx-1-cosxx - cos - 2. Limx 0o Limx 0o Limx 0o Limx 0o 3. Limx 30o .Lim x 0o2 sin 0o2 00()2sinx/ Rangkuman Kelas XII152

4. Limx / . Limx ./ Limx Limx Limx ()()()() x 5. Limx 45o ./ Limx o45 ./ Limx 45o Limx 45o Limox 45 6. Limx ./ Limx .(/ Limx Limx Limx )() 22. Jika x mendekati 0Rumus istimewa limit x mendekati 0 :Rangkuman Kelas XII153

1. Lim2. Limx x 00 1003. Limx 04. Limx 7. Lim8. Lim 10x x 000 19. Limx a00 110. Lim0 1x a0011. Lim 1x a12. Limx a5. Limx 06. Limx 10 1()(())(())(())()() 1 1 1 1Contoh soal :1. Limx 0 Limx 0 Limx 0 Limx 0 2 Lim( x 0 2 22. Lim Limx a)11(x a)(( Lim Lim))2()x a2() x Lim()x a 2( (x a() cos a3. Lim Limx 0 Limx 0x 0 1 1 1 1 14. Lim Limx 0()x 0Cos x 𝑠𝑖𝑛) Limx 0 Limx 0 2 Limx 0 2 1 1 5. Limx 5()()()() ()() Limx 5 Limx 5 Limx 5 Limx 5(((()()()(()))))x Limx 5(())𝑥))

( 1.2.3.4.5.)()x1 1 Teorema LimitTeorema limit biasanya hanya digunakan jika diperintahkan dalam soalJika f(x) k, maka Lim x a f(x) k (k konstan & a bilangan real)Jika f(x) x, maka Lim x a a (a bilangan real)a. Lim x a [f(x) g(x)] Lim x a f(x) Lim x a g(x)b. Lim x a [f(x)-g(x)] Lim x a f(x) - Lim x a g(x)Jika k konstan maka, Lim x a kf(x) k x Lim x a f(x)a. Lim x a [f(x) x g(x)] Lim x a f(x) x Lim x a g(x)b. Lim6. a. Limb. Limx a( )( ) n ( ) ( )x a[f(x)] [Limx a ( ) , Limx ax af(x)]g(x) 0n( ) , Lim x af(x) 0 & n bilangan genapcontoh soal :1. Lim x 2 ( ) 12. Limx 0 Limx 0 Limx 0 -2 Limx 0)2 -2 (Limx 023. Limx 24. Limx 2 -2 (1) -2[(x2-1)(2-4x)] Lim x 2 (x2-1) Lim x 2 (2-4x) {Lim x 2 x2 – Lim x 2 1} {Lim x 2 2 – Lim x 2 4x} {(Lim x 2 x)2 – Lim x 2 1} {Lim x 2 2 – 4 Lim x 2 x} {(2)2 – 1}{2-4 2} 3 -6 -18 ( )x 2g(x) 243( ) 5. Diketahui Limx 2Rangkuman Kelas XII f(x) 3 dan Lim155

Hitunglah LimLimx 2x 2[f2(x) ( )][f2(x) ( )] Limx 2 [Lim2[f(x)]2 Limx 2x 22f(x)] ( )( ) (3) 9 3 27Mengenal Bilangan eBilangan e merupakan limit dari suatu barisan yang suku-sukunyamendekati tak terhingga.Dengan peubah x, 1. Limx (1 )x e2. Limx (1- )-x e3. Limx 0() e4. Limx 0( ) eContoh soal :1. Limx (1 )x Lim) }2x {( Limx * Limx * Limx *( ) e22. Limx ()x e-1x 0(4. Limx 0( ) ()x Jika pangkat pembilang danx 02(𝑎𝑝 -1) 32 Lim Rangkuman Kelas XII penyebut sama, jadi) Lim e)Sifat Lim 3. Lim(x 0 {( ) } 156

MATERI 16TURUNAN (DIFERENSIAL) Laju PerubahanLaju Perubahan Terhadap WaktuKecepatan atau v Jika kecepatan benda v 40m/s , makaS f(t) 40t mv ( ) 40 m/s v tidak tergantung dari t dan kecepatan tetap2jika s f(t) 50t m , makav ( ) 50t m/s v tergantung dari t (fungsi dari t) dankecepatan tidak tetapa. Kecepatan Rata-rataKecepatan Rata-rata atau ̅ Contoh soal :Suatu benda bergerak dengan persamaan s f(t) 50t2 (s dalam m, t dalamdetik). Hitunglah kecepatan rata-rata pada t1 1 detik sampai t2 3 detik!Jawab :S f(t) 50t2m̅ s s2-s1 f(3)-f(1) 50(3)2 – 50(1)2 50 9 – 50 1 200 m/s 450 – 50b. Kecepatan SesaatJika h 0 maka kecepatan rata-rata berubah menjadi kecepatan sesaat / lajuperubahan. ̅ limh 0()( )Contoh soal :Suatu benda bergerak dengan persamaan s (t2 5t)m, tentukan kecepatansesaat pada t 2 detik!Jawab :S f(t) t2 5t ̅ limh 0̅ 2 limh 0 limh 0 limh 0()( )()( )()() ,( )-masukan ke fungsi di atas lim h 0 9 h 9 0 9 m/sLaju Perubahan Nilai Fungsi f:x f(x)f’(x) limh 0()( )contoh :f(x) x3 x2-5f’(x) limh 0Rangkuman Kelas XII()( )157

limh 0 limh 0()()() lim h 0 3x2 3xh h2 2x h 3x2 3x 0 02 2x 0 3x2 2x Laju Perubahan Nilai Fungsi f:x f(x) pada x ayLaju perubahan nilai fungsif(a h)f:x f(x) untuk x af(a)f’(a) limaContoh1. f(x)g(x)h(x)xa hh 0𝒇(𝒂 𝒉) 𝒇(𝒙)𝒉turunan (derifative) f pada x asoal: 3x2-5x 2 x2 3x-3 f(x) -2g(x)h’(x) limh(x) 3x2-5x 2 – 2(x2 3x-3) 3x2-5x 2 – 2x2 - 6x 6 x2 – 11x 8(h 0 limh 0 limh 0())( )()(–) lim h 0 2x h-11 2x 0-11 2x-112. Suatu persegi panjang memiliki lebar x dan panjang y cm, dengany 2x 1. Luasnya adalah L cm2. Tentukanlah laju perubahan luas terhadapx untuk lebar 5 cm!Jawab :()L p l lim h 0 (2x 1) x lim h 0f(x) 2x2 x lim h 0 21 2h() ( ) 21 2 0f’(x) lim h 0 21cm2() ( )f’(5) lim h 0 lim3. f(x)h 0()() , ( ) f’(x) lim(t 0 limt 0 limt 0 limt 0()( ))(t 0Rangkuman Kelas XII limt 0 limt 0 limt 0 ) ( lim-()()) 158

Fungsi TurunanNotasi lain dari turunan :Jika y f’(x)f’(x) ff(x x) notasi leibnizt ditemukanoleh Gootfried Wilhelm (Jerman)f(x)x x xxTurunan Beberapa Fungsi Khususa.b.c.d.f(x)f(x)f(x)f(x) caxaxncux f’(x)f’(x)f’(x)f’(x) 0 , c konstanaanxn-1cu’(x)contoh soal:f(x) 2x9 f’(x) 2 9 x 9-1 18x8Rumus Turunan Jumlah, Kali, dan Bagia. f(x) u(x) v(x) f’(x) u’(x) v’(x)b. f(x) u(x) v(x) f’(x) u(x) v’(x) v(x) u’(x)( )( )c. f(x) f’(x) ( )( )( )( ), ( )-contoh soal :1. f(x) f’(x) u’(x) v’(x) u(x)v(x)2. f(x) x-4 – x-2f’(x) -4x-5 x-3f’(-2) -) ()3. f(x) (4x-3)(2x2 1)u(x) 4x-3 u’(x) 4v(x) 2x2 1 v’(x) 4x Rumus Turunan Fungsi Eksponena. y ax y’ ax lnay au y’ au lna u’b. y ex y’ exy eu y’ eu u’contoh soal :1. I(t) 23t-3a 2 dan u 3t-3 u’ 3I’(t) au lna u’ 23t-3 ln2 3Rangkuman Kelas XII 4x2 7x-5 u’(x) 8x 7 8x 6 v’(x) 8( )f’(x) (u(x) v’(x) v(x) u’(x)(4x-3)(4x) ( 2x2 1)(4)16x2 – 12x 8x2 424x2 – 12x 44. f(x) -f’(x) Tidakperludijabarkan ( )( )()() (()( ))( ( ( ), ( )-(())))elog x lnxln x xlog x 1159

23t-3 ln23 23t-3 ln82. V(t) 2e3-2tingat sifat ln p q ln pqe 2e dan u 3-2t u’ -2 V’(t) eu u’ 2e3-2t (-2) -4e3-2tRumus Turunan Fungsi Logaritmaa. y alog xay log u y’ y’ y’ y ln u y’ u’contoh soal :1. y 3log 2x u’2. y ln 5x2 3log lna 3 dan u y’ b. y ln x u’ (u ) u’ (y’ u’ ( u’ ) ) () x-1 3. f(x) x log e x f’(x) Fungsi Majemuk (Fungsi Komposisi / Dalil Rantai)a. y f(g(x)) f o g(x) y’ b. y f(g(h(x))) f o g o h(x) y’ contoh soal :1. f(x) (3x4 – 2x2)3cara dalil rantai :misal g 3x4 – 2x2 g’ 12x3 - 4xf g3 f’ 3g2( ) cara cepat :f(x) (3x4 – 2x2)3turunan 3g2 (12x3 - 4x)f’(x) 3(3x4 – 2x2)2 (12x3 - 4x)323 3(12x - 4x) (12x - 4x) (36x3 - 12x)(12x3 - 4x)2 (36x3 - 12x)(12x3 - 4x)2 Rumus Turunan Fungsi Trigonometria. y sin x y’ cos xb. y sin (ax b) y’ a cos(ax b)c. y cos x y’ -sin xRangkuman Kelas XII160

d. y cos (ax b) y’ -a sin(ax b)e. y tan x y’ sec2xf. y cotg x y’ -cosec2xcontoh soal :1. y sin2x cos 3x –sin5xy’ 2cosx –sin x – 5cos x 2. y x2 sin xu x2 u’ 2xv sin x v’ cos xy’ x2 cos x sin x 2x x2cos x 2xsin x4. y 2 sin(5 x-4) 4 cos(5x-π)y’ 2 5 cos(5 x-4) 4 5 -sin(5x-π) 11cos(5 x-4) - 20sin(5x-π)3. y 5. y 3 cos4(2x-5) 3 (cos(2x-5))4y’ 3 4 cos3(2x-5) -2sin(2x-5) -24cos3(2x-5)sin(2x-5)u cos x u’ -sin xv tan x v’ sec2x(y’ )6. f(x) 5 cos32x 5 (cos2x)3f’(x) 5 3 cos22x -2sin 2x -30cos22xsin 2x Tafsiran Geometri Dari Turunanlyl’Pf(x x)f(x)0xx𝑓(𝑥𝑥) 𝑓𝑥 Lim garis singgung y f(x) dititik P.Gradien garis singgung y f(x)dititik A(a,f(a)) adalah f’(a) m Limx 0𝑥x 0𝒇(𝒙adalah gradien𝒙) 𝒇𝒙𝒙 f’(x)xContoh soal :Tentukan gradien garis singgung pada kurva berikut:1. y x2-6x 9 dititik (1,4)lm y’ 2x-6tumpuly’ x 1 2 1 – 6 -4m 022. y 7 6x-x dititik (0,7)lm y’ 6 – 2xLancipy’ x 0 6 – 2 0 6m 03. f(x) ax2 2x 9 dititik (2,1) dengan gradien garis singgung 6, tentukan nilaia!f(x) ax2 2x 9f’(x) 2ax 26 2a 2 2 f’(x) 6 dan x 24a 4a 1Rangkuman Kelas XII161

Persamaan Garis Singgunggradien garis singgung kurva y f(x) dititik P(a,b)Vy f(x) adalah m m f’(a) gradien dari ax by c 0 adalah persamaan garis singgung dgn gradien m melalui P(a,b) adalah y-b m(x-a)garis singgung yang sejajar (//) l ml ms garis singgung yang tegak lurus ( ) l ms contoh soal :Tentukan persamaan garis singgung (PGS) pada kurva dengan :1. y 3x2-5x dititik (1,-2)2. y 2x2-3x 1 yang berordinat 33. y x3-3x memiliki garis singgung kurva garis x 3y 2 0jawab :1. y 3x2 - 5xPGS dititik (1,-2) dan m 1 adalahy – b m(x-a)y –(-2) 1(x-1)y 2 x–1y x–3x-y-3 0mencari gradien :y’ 6x – 5y’ x 1 6 1 – 5m 12. y 2x2-3x 1y1mencari gradien :y’m 2( ) -3( ) 1 3y2mencari absis :y 2x2-3x 13 2x2-3x 12x2-3x-2 0(2x 1)(x-2) 0V2x -1x1 4x-3m2-54x-34 2 – 35PGS I dititik singgung ( ,3) & m1 -5y-b m(x-a) -5(x-( )) 0x2 2y-3 -5x -y -5x x1 x22y -10x 110x 2y-1 0PGS II dititik singgung (2,3) & m2 5x2 2Menentukan ordinat :Rangkuman Kelas XII 2x -3x 1x2 2 2(2)2-3(2) 1 3titik singgung (2,3)x-2 4 – 3 titik singgung ( ,3)2y-3menentukan gradien :m1x1 2 4x-3 4x-32x 1 0 2x2-3x 1y-b m(x-a)y-3 5(x-2)y-3 5x-10y 5x-75x-y-7 0162