C H A P I T R E 13

CHAPITREPyramide et cônede révolutionÉnigme du chapitre.On dispose des boules en forme de tétraèdrecomme dans l’image ci-dessus. Pour faire unepyramide à un étage, on a besoin d’une boule,de deux étages, de boules et de trois étages,deboules.Combien de boules sont nécessaire pour réaliserun tétraèdre deétages ?10310013Objectifs du chapitre.— Réaliser le patron d’une pyramide dedimensions donnés— Calculer le volume d’une pyramide etd’un cône de révolution à partir de la1 Bh.formule V3

I/ PyramideActivité A. Reconnaître des solidesOn a représenté, ci-dessous, des solides en perspective cavalière.1. Quels sont les solides qui ont déjà été étudiés ? Les décrire de façon précise.1 4 7 et 10 sont des pyramides. Quels sont leurs caractères communs ?2. Les solides , ,3. Donner des exemples de tous les jours concernant les pyramides ? Quelle est la nature desa base ? De ses faces latérales ?3 64. Les solides et sont des cônes. Donner des exemples de solides ayant la forme de cônesdans la vie courante.Activité B. Construire un patron d’une pyramideOscar a construit le patron d’une pyramide :1. Construire en vraie grandeur le patron obtenu sur la photo de droite.2. Découper le patron et l’assembler pour obtenir une pyramide.3. On considère ABCDE une pyramide dont la base est le carrécm, BCcm et AB ? BC . 3( ) ( )BCDE telle que AB 4

A4 cmEBDC3 cmConstruire le patron de cette pyramide.DéfinitionUne pyramide est un solide dont :— une face est un polygone appelée la base de la pyramide ;— les autres faces, appelées faces latérales, sont des triangles qui ont un sommet commun,appelé le sommet de la pyramide.La hauteur d’une pyramide est le segment issu de son sommet et perpendiculaire à la base. Unearête latérale est un segment joignant les sommets de la base au sommet de la pyramide.ExempleSABCDE de sommet S en perspective cavalière.Le sommet de cette pyramide est le point S .La base de cette pyramide est le pentagone ABCDE .Les faces latérales sont les triangles SAB , SBC , SCD, SDE , SEA.Les arrêtes latérales sont les segments [AS ], [BS ], [CS ], [DS ] et [ES ].La hauteur de la pyramide est le segment [OS ].On trace la pyramide1.2.3.4.5.DéfinitionUne pyramide régulière est une pyramide dont la base est un polygone régulier (par exemple untriangle équilatéral ou un carré) et dont les faces latérales sont des triangles isocèles superposables.Remarques— Une pyramide régulière à base triangulaire s’appelle un tétraèdre. C’est un solide dont lesquatre faces sont des triangles équilatéraux superposables.

— La hauteur d’une pyramide régulière passe par le centre de la base qui est le point deconcours des diagonales.MéthodeOn veut tracer une pyramide régulière à base carrée de côté cm et de hauteur cm en perspectivecavalière.223— On trace un carré de cm de côté en perspective cavalière, c’est-à-dire un parallélogrammedont le côté vu de face mesure cm puis les diagonales pour trouver le centre de la base.— On trace ensuite la hauteur qui est un segment de cm puis les arrêtes latérales.23MéthodeOn veut tracer le patron d’une pyramide dont la base est un rectangle de longueurlargeur cm et dont chaque arête latérale mesure cm.6Faire les exercices 172 3 4F 5F9 cm et de

II/ Cône de révolutionActivité C. Un solide de révolutionOn fait tourner un triangle rectangle autour d’une droite :On note O le centre du cercle C obtenu par rotation du triangle rectangle autour de la droite, Aappartenant au cercle C et B le sommet du solide obtenu.Un peu de vocabulaire :— Le solide obtenu est un cône de révolution— La droite OB est l’axe du cône de révolution.— La longueur OB est la hauteur du cône de révolution.— Le disque de centre O passant par A, situé dans un plan perpendiculaire à la droite OC ,est la base du cône de révolution.— Le point B est le sommet du cône et la longueur OA est le rayon du cône.— Le segment BA est une génératrice du cône.( )( )[ ]1. Le solide obtenu est un cône de révolution. D’après vous, pourquoi dit-on « de révolution » ?2. On noteOB 7 cm et OA 4 cm.(a) Quelle est la hauteur du cône représenté ci-dessus ? Quel est son rayon ?(b) Calculer la longueur d’une génératrice du cône. Arrondir au mm.3. Si le triangle OAB décrit précédemment tourne autour de la droiteautre cône de révolution.Représenter en perspective cavalière le cône de révolution obtenu.(OA), on obtient un

Déterminer le sommet, l’axe, la hauteur, le rayon et la longueur d’une génératrice de cecône.4. Existe-t-il d’autres solides de révolution ? Si oui, par quelle figure faut-il remplacer le triangle OAB pour l’obtenir ?DéfinitionUn cône de révolution est un solide qui est généré par un triangle rectangle en rotation autourd’un de ses côtés de son angle droit.La base du cône de révolution est un disque.La hauteur (ou axe) du cône de révolution est le segment qui joint le centre de ce disque ausommet du cône ; il est perpendicualire au disque de base.RemarqueLa surface latérale d’un côné, appelée aussi développement, est générée par l’hypoténuse dutriangle rectangle. Elle a la forme d’un secteur de disque.Exemple————On trace le cône de révolution en perspective.Le sommet du cône est le point S .La base du cône est le disque de centre O : on la représente en perspective par un ovale(ou ellipse) car elle n’est pas vue de face.La hauteur du cône est le segment OS .Le triangle AOS , rectangle en O, génère le cône en tournant autour de OS .[ ]( )

MéthodeOn veut tracer le patron d’un côneFaire les exercices 6SOA de rayon 3 cm et de hauteur 4 cm.7 8 9 F 10 F

III/ VolumeActivité D. Volume d’une pyramide et d’un cône1. Volume d’une pyramide(a) Réaliser, sur une feuille de papier A4, un patron de la pyramide AEF GH représentéeci-dessus en perspective cavalière, sachant que ABCDEF GH est un cube d’arrêtecm.8(b) Vérifier qu’en assemblant trois pyramides, on peut obtenir un cube d’arrêteest alors le volume d’une des trois pyramides ?8 cm. Quel(c) Quelle relation peux-tu écrire entre le volume d’une pyramide, l’aire de sa base et sahauteur ?2. Volume d’un côneOn admet que, pour calculer le volume d’un cône, on applique la même formule que pourune pyramide, à savoir :aire de la base hauteur3:3Calculer le volume d’un cône dont la base a pour rayon cm et dont la hauteur mesurecm. Donner la valeur exacte en fonction de pujis l’arrondir au mm3.10PropriétéLe volume d’une pyramide ou d’un cône de révolution est égal au tiers du produit de l’aire de sabase par sa hauteur. hauteur :V 31 aire de la base hauteur aire de la base3Exemple— On calcule le volume d’une pyramide à base carrée de côté4 cm et de hauteur 6 cm.

4 16 32 3 9 47 12— Abasecm2.1— V Abase h 13 cm3.3— D’où Vcm3.— On calcule le volume d’un cône de révolution de rayon de base— Abase 2 cm2.1— V Abase h 13 cm3.3— D’où V ; cm3.Faire les exercices 1116 6 3295 1512 13 14 F 15 FProblèmes :Faire les exercices 16 F 17 F 18 F 19 F 20 F 21 F 22 F3 cm et de hauteur 5 cm.

On a représenté, ci-dessous, des solides en perspective cavalière. 1.Quels sont les solides qui ont déjà été étudiés? Les décrire de façon précise. 2.Les solides 1 , 4 , 7 et 10 sont des pyramides. Quels sont leurs caractères communs? 3.Donner des exemples de tous les jours concernant les pyramides? Quelle est la nature de sa base?