Tema 4 Álgebra Lineal Numérica
IntroducciónMétodos directos: DescomposiciónMétodos iterativosCálculo de autovaloresEjerciciosTema 4Álgebra Lineal NuméricaAngel Mora Bonilla, Emilio Muñoz VelascoDepartamento de Matemática AplicadaUniversidad de MálagaEscuela Politécnica SuperiorAngel Mora Bonilla, Emilio Muñoz VelascoTema 4 Álgebra Lineal Numérica
IntroducciónMétodos directos: DescomposiciónMétodos iterativosCálculo de autovaloresEjercicios¿Qué es un Sistema Lineal?Conocimientos previosDefiniciones. PropiedadesNormasLibrerı́as de Scilab¿Qué es un Sistema Lineal?Un sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas puede serexpresado de la forma: a1,1 x1 a1,2 x2 . . . a1,n xn b1 a2,1 x1 a2,2 x2 . . . a2,n xn b2. am,1 x1 am,2 x2 . . . am,n xn bmo bien, en forma matricial A x b, donde A es una matriz m n y b es un vector columna con m componentes.Angel Mora Bonilla, Emilio Muñoz VelascoTema 4 Álgebra Lineal Numérica
IntroducciónMétodos directos: DescomposiciónMétodos iterativosCálculo de autovaloresEjercicios¿Qué es un Sistema Lineal?Conocimientos previosDefiniciones. PropiedadesNormasLibrerı́as de Scilab¿Introducir matriz en SCILAB?El sistema 2x1 4x2 3x3 3 1x1 3x2 2x3 1 1x1 3x2 0x3 2se introduce y resuelve en SCILAB de la siguiente forma:-- A [2 4 3; 1 3 -2; -1 -3 0]-- b [3; -1; 2]-- x A\bAngel Mora Bonilla, Emilio Muñoz VelascoTema 4 Álgebra Lineal Numérica
IntroducciónMétodos directos: DescomposiciónMétodos iterativosCálculo de autovaloresEjercicios¿Qué es un Sistema Lineal?Conocimientos previosDefiniciones. PropiedadesNormasLibrerı́as de ScilabConocimientos previos-ISistema Compatible Determinado (SCD): Solución única.Sistema Compatible Indeterminado (SCI): Infinitassoluciones.Sistema Incompatible (SI): No existe solución.Determinante de una matriz cuadrada y su cálculo.-- det(A)Rango de una matriz. Significado y cálculo.Matriz traspuesta.-- A’Matriz inversa.-- inv(A)Angel Mora Bonilla, Emilio Muñoz VelascoTema 4 Álgebra Lineal Numérica
IntroducciónMétodos directos: DescomposiciónMétodos iterativosCálculo de autovaloresEjercicios¿Qué es un Sistema Lineal?Conocimientos previosDefiniciones. PropiedadesNormasLibrerı́as de ScilabConocimientos previos-IISi A es una matriz cuadrada:Matriz inversible: ( A 1 , A 6 0)Matriz singular: (6 A 1 , A 0)Matriz diagonal: i 6 j ai,j 0Matriz triangular superior: i j ai,j 0.Matriz triangular inferior: i j ai,j 0.Matriz simétrica: A A0 .Autovalores y autovectores. Significado y cálculo.-- [P,D] spec(A)Angel Mora Bonilla, Emilio Muñoz VelascoTema 4 Álgebra Lineal Numérica
IntroducciónMétodos directos: DescomposiciónMétodos iterativosCálculo de autovaloresEjercicios¿Qué es un Sistema Lineal?Conocimientos previosDefiniciones. PropiedadesNormasLibrerı́as de ScilabPropiedadesEl producto de una matriz por su traspuesta siempre es unamatriz simétrica.Los autovalores de una matriz simétrica siempre son reales.Los autovalores de A’A siempre son no negativos.Angel Mora Bonilla, Emilio Muñoz VelascoTema 4 Álgebra Lineal Numérica
IntroducciónMétodos directos: DescomposiciónMétodos iterativosCálculo de autovaloresEjercicios¿Qué es un Sistema Lineal?Conocimientos previosDefiniciones. PropiedadesNormasLibrerı́as de ScilabNorma vectorial: EjemplosLas usuales son:k xkk qk x1 k x2 k . . . xn kde las que destacan:Norma 1:k xk1 x1 x2 . . . xn k( 1, 3, 4)k1 8.pNorma 2: k xk2 x1 2 x2 2 . . . xn 2 k( 1, 3, 4)k2 1 9 16.Norma : k xk máx{ x1 , x2 , . . . , xn } k( 1, 3, 4)k 4.Angel Mora Bonilla, Emilio Muñoz VelascoTema 4 Álgebra Lineal Numérica
IntroducciónMétodos directos: DescomposiciónMétodos iterativosCálculo de autovaloresEjercicios¿Qué es un Sistema Lineal?Conocimientos previosDefiniciones. PropiedadesNormasLibrerı́as de ScilabRadio espectralSe define el Radio espectral de una matriz A como el módulo delautovalor con mayor módulo. Esto es:ρ(A) máx λi i Ejemplo: Dada la matriz A 2 1 1 3 resulta:-- rad max(abs(spec(A)))Angel Mora Bonilla, Emilio Muñoz VelascoTema 4 Álgebra Lineal Numérica
IntroducciónMétodos directos: DescomposiciónMétodos iterativosCálculo de autovaloresEjercicios¿Qué es un Sistema Lineal?Conocimientos previosDefiniciones. PropiedadesNormasLibrerı́as de ScilabNormas matriciales usualesNorma 1: kAk1 máxj-- norm(A,1)Pi ai,j PNorma : kAk máxi j ai,j -- norm(A,’inf’)pNorma 2: kAk2 ρ(A0 A)-- norm(A,2)-- norm(A)En general, toda norma verifica ρ(B) kBk.Angel Mora Bonilla, Emilio Muñoz VelascoTema 4 Álgebra Lineal Numérica
IntroducciónMétodos directos: DescomposiciónMétodos iterativosCálculo de autovaloresEjercicios¿Qué es un Sistema Lineal?Conocimientos previosDefiniciones. PropiedadesNormasLibrerı́as de ScilabNormas matriciales: Ejemplo Ejemplo: Para la matriz A 2 3 00 1 1 resulta:kAk1 máx{2, 4, 1} 4, kAk máx{5, 2} 5 4 6 0Para la norma 2: A0 A 6 10 1 A λI 0 0 1 14 λ 60 6 10 λ 1 λ3 15λ2 17λ 00 11 λ λ1 0, λ2 1,235, λ3 13,765 luego kAk2 13,765 3,7101.Angel Mora Bonilla, Emilio Muñoz VelascoTema 4 Álgebra Lineal Numérica
IntroducciónMétodos directos: DescomposiciónMétodos iterativosCálculo de autovaloresEjercicios¿Qué es un Sistema Lineal?Conocimientos previosDefiniciones. PropiedadesNormasLibrerı́as de ScilabSistemas Sobredeterminados y Vector ResiduoA los sistemas que no tienen solución (incompatibles) se les llamatambién sistemas sobredeterminados.Vector residuo: Se llama ası́ al vector r A x b.-- r A*x-bSi x es la solución del sistema, el residuo es el vector cero, perono será ası́ debido a los errores que siempre estarán presentes enlos cálculos.Llamamos solución de un sistema sobredeterminado al vectorx̃ que minimize la norma 2 del vector residuo. Es decir, noexiste solución y llamaremos ası́ a la “menos mala”.Angel Mora Bonilla, Emilio Muñoz VelascoTema 4 Álgebra Lineal Numérica
IntroducciónMétodos directos: DescomposiciónMétodos iterativosCálculo de autovaloresEjercicios¿Qué es un Sistema Lineal?Conocimientos previosDefiniciones. PropiedadesNormasLibrerı́as de ScilabLibrerı́a para Scilab de S.E.L.prac1.sciEn este fichero se encuentra la librerı́a de rutinas para la prácticaprimera. Pasos para cargar la librerı́a:File - Change Directory. Cambiarse al directorio en el queestá la prácticaFile - Execute (seleccionar el fichero prac1.sci)Angel Mora Bonilla, Emilio Muñoz VelascoTema 4 Álgebra Lineal Numérica
IntroducciónMétodos directos: DescomposiciónMétodos iterativosCálculo de autovaloresEjerciciosMétodos de Gauss y de Gauss-JordanOtras opcionesMétodo de Factorización QRMétodos de Gauss y de Gauss-JordanRutinas implementadasLos métodos de Gauss implementados en Scilab son lossiguientes: Gauss,gauss.sci;Métodos Gaussianos.Gauss Jordan, gaussjor.sci;Para resolver un sistema Ax B por Gauss en Scilab, hayintroducir previamente las matrices A y B, a continuación hay queejecutar las siguientes órdenes:-- x gauss(A,B)-- residuo A*x-B-- norm(residuo)Angel Mora Bonilla, Emilio Muñoz VelascoTema 4 Álgebra Lineal Numérica
IntroducciónMétodos directos: DescomposiciónMétodos iterativosCálculo de autovaloresEjerciciosMétodos de Gauss y de Gauss-JordanOtras opcionesMétodo de Factorización QROtras opcionesHay otras formas de resolver un sistema de ecuaciones. Compararlos resultados.-- x1 inv(A)*B-- x2 A\BConviene siempre comprobar el rango de A y de la ampliada paraver que tipo de sistema estamos resolviendo.-- rank(A), rank([A B])-- det(A)Angel Mora Bonilla, Emilio Muñoz VelascoTema 4 Álgebra Lineal Numérica
IntroducciónMétodos directos: DescomposiciónMétodos iterativosCálculo de autovaloresEjerciciosMétodos de Gauss y de Gauss-JordanOtras opcionesMétodo de Factorización QREjemplo-- A [1 2 3; 3 4 5; 3 4 5]-- b [1 2 3]’Si estudiamos rangos de A y de la matriz ampliada:-- rank(A)ans 2.-- rrank([A b])ans 3.El sistema por tanto es incompatible. Al intentar Gauss da error.-- x gauss(A,b)Probar las opciones:-- inv (A) B-- A\BAngel Mora Bonilla, Emilio Muñoz VelascoTema 4 Álgebra Lineal Numérica
IntroducciónMétodos directos: DescomposiciónMétodos iterativosCálculo de autovaloresEjerciciosMétodos de Gauss y de Gauss-JordanOtras opcionesMétodo de Factorización QRMétodo de Factorización QRDada una matriz A, la descompondremos en A QR siendo Q unamatriz ortogonal (Q 0 Q 1 ) y R una matriz triangular superior.Para resolver A x b consideramosA x QR x b Q0 QR x R x Q0 b. Ası́:12Descomponemos la matriz A en el producto QR [Q,R] qr(A)Resuelvo R x Q 0 b. x R \ Q 0 bAngel Mora Bonilla, Emilio Muñoz VelascoTema 4 Álgebra Lineal Numérica
IntroducciónMétodos directos: DescomposiciónMétodos iterativosCálculo de autovaloresEjerciciosMétodos de Gauss y de Gauss-JordanOtras opcionesMétodo de Factorización QRMétodo QR: Ejemplo 1Para resolver el sistema A x b por el método QR, haremos:1 Introducimos la matriz A, el vector b y descomponemos:-- A [4 4 5;2 1 3; 5 6 4];-- b [2 3 4]’;[Q,R] qr(A) 0,5963Q 0,2981 0,74542 0,1988 0,84470,4969 0,77780,4444 ,0,4444 R 6,708200 7,15541,34160Calculo x mediante:-- R \ (Q 0 b) 6Obtenemos x 3 . 2Angel Mora Bonilla, Emilio Muñoz VelascoTema 4 Álgebra Lineal Numérica 6,8573 1,5404 0,7778
IntroducciónMétodos directos: DescomposiciónMétodos iterativosCálculo de autovaloresEjerciciosMétodos de Gauss y de Gauss-JordanOtras opcionesMétodo de Factorización QRMétodo QR: Ejemplo 2-(a)Hallar una recta que pase por los puntos: (2,3), (-1,2),(-2,2), (0,2) y (3,4).La ecuación de la recta es y mx b por lo que debemosencontrar m y b tales que se verifique: 3 2m b; 2 -m b;2 -2m b, 2 b; 4 3m b, que no pueden verificarsesimultáneamente (sistema sobredeterminado).La mejor solución (recta de regresión por mı́nimos cuadrados),se obtiene de forma eficiente por el método QR:2 1 A 2 03 11111Angel Mora Bonilla, Emilio Muñoz Velasco 3 2 , b 2 24 Tema 4 Álgebra Lineal Numérica
IntroducciónMétodos directos: DescomposiciónMétodos iterativosCálculo de autovaloresEjerciciosMétodos de Gauss y de Gauss-JordanOtras opcionesMétodo de Factorización QRMétodo QR: Ejemplo 2-(b) Q 0,47140,23570,47140 0,7071 0,3558 0,5083 0,5592 0,4575 0,30500,2170 0,70790,6410 0,19670,0467 0,1729 0,4298 0,14140,8663 0,1222 0,5777 0,01260,1851 0,03920,6244 , R 4,24260000 0,4714 2,1858000 2,8284 5,3374 4,2426x 0,4714y 2,82840,3953 b 0 Q 0 b x 0,3104 2,1858y 5,33742,4419 0,4174 0,4910 luego la recta es: y 0.3953x 2.4419Angel Mora Bonilla, Emilio Muñoz VelascoTema 4 Álgebra Lineal Numérica
IntroducciónMétodos directos: DescomposiciónMétodos iterativosCálculo de autovaloresEjerciciosGeneralidadesMétodo de JacobiCondiciones de convergenciaErroresMétodos iterativos.Los métodos directos resultan, en general, inservibles paran 50 incógnitas porque propagan los errores.Otro problema es que los métodos directos necesitanalmacenar la matriz A en memoria.Los grandes sistemas de ecuaciones que surgen en la práctica,tienen la matriz A esparcida (muchos coeficientes igual acero) y aunque existen métodos directos especiales,usualmente se resuelven por métodos iterativos.Los métodos iterativos tienen la ventaja de no propagar elerror. La estimación de la solución obtenida x (k) , puedeconsiderarse como vector inicial (sin errores) para la iteraciónsiguiente k 1.Angel Mora Bonilla, Emilio Muñoz VelascoTema 4 Álgebra Lineal Numérica
IntroducciónMétodos directos: DescomposiciónMétodos iterativosCálculo de autovaloresEjerciciosGeneralidadesMétodo de JacobiCondiciones de convergenciaErroresConvergencia y otros problemas asociadosLos métodos iterativos obtienen una estimación de la solución delsistema x (m 1) en función de las anteriores, en este caso sóloserá una función lineal de la anterior: x(m 1) B x(m) Cdonde B es la matriz del método y C es un vector.Los problemas asociados con los métodos iterativos son:Convergencia Para que sea útil debe ser convergente y ellı́mite ser la solución del sistema.Velocidad de convergencia: Interesa que converja lo másrápido posible.Vector inicial: ¿Cómo se elige?.Condición de parada: ¿Cuándo paramos de iterar?Angel Mora Bonilla, Emilio Muñoz VelascoTema 4 Álgebra Lineal Numérica
IntroducciónMétodos directos: DescomposiciónMétodos iterativosCálculo de autovaloresEjerciciosGeneralidadesMétodo de JacobiCondiciones de convergenciaErroresCriterio de ConvergenciaUn método iterativo de la forma: x(m 1) B x(m) C,converge, si y sólo si, ρ(B) 1.Tiene convergencia global, no depende del vector de inicio.Una medida de la velocidad de convergencia nos la da el valorde ρ(B). Interesa que sea lo más próximo a cero posible.La solución del sistema ( x ), debe ser punto fijo del métodoiterativo x B x C.Angel Mora Bonilla, Emilio Muñoz VelascoTema 4 Álgebra Lineal Numérica
IntroducciónMétodos directos: DescomposiciónMétodos iterativosCálculo de autovaloresEjerciciosGeneralidadesMétodo de JacobiCondiciones de convergenciaErroresForma matricial del método de JacobiConsideremos la descomposición A D L R donde:D Matriz diagonal con la misma diagonal que A.L Matriz con todos los términos nulos, excepto los que están pordebajo de la diagonal en los que coincide con A.R Matriz con todos los términos nulos, excepto los que seencuentran por encima de la diagonal en los que coincide con A.Dado el sistema A x b (D L R) x b D x (L R) x b x D 1 (L R) x D 1 bEl método de Jacobi queda: x(m 1) BJ x(m) CJcon BJ D 1 (L R), CJ D 1 bAngel Mora Bonilla, Emilio Muñoz VelascoTema 4 Álgebra Lineal Numérica
IntroducciónMétodos directos: DescomposiciónMétodos iterativosCálculo de autovaloresEjerciciosGeneralidadesMétodo de JacobiCondiciones de convergenciaErroresEjemploHallar el vector residuo y sus normas tras dar 3 iteraciones por el(0)0 al sistema: A métodox b: de Jacobi , x (2, 3, 0) , 5 3 12A 2 3 1 , b 4 1 3 5 5Tras 3 iteraciones por Jacobi,-- [x3,res,rad,BJ,CJ] jacobi(A,b,3,[2;3;0]): 0,01601,3519 x (3) 1,7333 res 0,5361 1,76801,3439 1 3,2319 kresk 1,3519kresk 2 1,9802kreskAngel Mora Bonilla, Emilio Muñoz VelascoTema 4 Álgebra Lineal Numérica
IntroducciónMétodos directos: DescomposiciónMétodos iterativosCálculo de autovaloresEjerciciosGeneralidadesMétodo de JacobiCondiciones de convergenciaErroresCondiciones de convergenciaLa condición necesaria y suficiente de convergencia deun método, es que el radio espectral de la matriz delmétodo sea menor que 1: ρ(B) 1. Como para cualquiernorma, ρ(B) B , si B 1 el método converge.Angel Mora Bonilla, Emilio Muñoz VelascoTema 4 Álgebra Lineal Numérica
IntroducciónMétodos directos: DescomposiciónMétodos iterativosCálculo de autovaloresEjerciciosGeneralidadesMétodo de JacobiCondiciones de convergenciaErroresErrores en los métodos iterativosEl error cometido en un método iterativo tras m iteraciones puedeacotarse mediante:k x(m) x k k x(m) k kBkmx(1) x(0) k k 1 kBk donde B (kBk 1) es la matriz del método iterativo.De la fórmula anterior, podemos calcular el número de iteracionesn necesario para obtener una solución con un error determinado E :m E · (1 kBk ) 1 · log(1)(0) k x x k log kBk )Estas fórmulas pueden dar problemas en el caso de que kBk seapróxima a 1.Angel Mora Bonilla, Emilio Muñoz VelascoTema 4 Álgebra Lineal Numérica
IntroducciónMétodos directos: DescomposiciónMétodos iterativosCálculo de autovaloresEjerciciosGeneralidadesMétodo de JacobiCondiciones de convergenciaErroresErrores en los métodos iterativos: EjemploAcotar el error cometido 5Jacobi al sistema 21al dar 3 iteracionesel método de por 3 1206 1 x 4 , x (0) 1 .3 5 50-- [x3,res,rad,BJ,CJ] jacobi(A,b,3,[0;1;0])-- n norm(BJ)-- ans 0.8-- x1 jacobi(A,b,1,[0;1;0])-- n1 norm(x1-[0;1;0])Resultados y calculamos el error:k x(3) k n3 n11 n 4,096¿Cuántas iteraciones serán necesarias para obtener un error menor que10 7 ?Angel Mora Bonilla, Emilio Muñoz VelascoTema 4 Álgebra Lineal Numérica
IntroducciónMétodos directos: DescomposiciónMétodos iterativosCálculo de autovaloresEjerciciosCálculo de autovaloresScilab calcula los autovalores de una matriz A con la ordenspec(A), si queremos además la matriz diagonal V y la matriz depaso X , escribiremos [X,V] spec(A).Un método iterativo para el cálculo de autovalores se basa en ladescomposición QR de la matriz A.12A0 ARepetir:[Q, R] qr(Ai )Ai 1 RQEn Scilab el algoritmo está implementado en el archivo francis.sci,ejecutarlo y luego introducir francis(A,n), siendo A la matriz departida y n el número de iteraciones.Angel Mora Bonilla, Emilio Muñoz VelascoTema 4 Álgebra Lineal Numérica
IntroducciónMétodos directos: DescomposiciónMétodos iterativosCálculo de autovaloresEjerciciosEjercicio 1Dado el sistema Ax b, siendo: 160 10 521 4 27 2030 1 4 0316100 1 4 420 20400 4 ,A 5 1110 4 1 1 1 1 1 1 16 120 4 011127 15 4 0210001 4 b 13 225630 (a) Iterar por el método de Jacobi (30 iteraciones, inicio el origen).Estudiar previamente su convergencia y calcular las normas 1, 2, del vector residuo.(c) Acotar el error cometido.Angel Mora Bonilla, Emilio Muñoz VelascoTema 4 Álgebra Lineal Numérica
IntroducciónMétodos directos: DescomposiciónMétodos iterativosCálculo de autovaloresEjerciciosEjercicio 2Dado el sistema Ax b, siendo: 1 3 21 0 03 10 1 2 A 1 10 30 1 1 , 24 0 10 2 2 11 10 10 b 11211 (a) Estudiar la compatibilidad del sistema.(b) Resolverlos por métodos directos e iterativos estudiados.(c) Estudiar la convergencia de los métodos iterativos.(d) Dar las iteraciones necesarias para obtener la solución conerror menor que 10 6 .Angel Mora Bonilla, Emilio Muñoz VelascoTema 4 Álgebra Lineal Numérica
IntroducciónMétodos directos: DescomposiciónMétodos iterativosCálculo de autovaloresEjerciciosEjercicio 3Dado el sistema Ax b, con 4 1 1 4A 2 00 2 2 04 0 0 2 ;b 0 4 1 1 4 4Estudiar la convergencia de Jacobi y calcular el error cometido sidas 100 iteraciones.Angel Mora Bonilla, Emilio Muñoz VelascoTema 4 Álgebra Lineal Numérica
IntroducciónMétodos directos: DescomposiciónMétodos iterativosCálculo de autovaloresEjerciciosEjercicio 5Dado el sistema Ax b con: 8,9988745A 3,18711238,43641212,32143274,42111111 8,62046793 6,642310,9983091 1,222222 ; b 6,8773192 .16,951266142,62861406(a) Resolver por los métodos QR, y Jacobi (100 iteraciones), estudiandopreviamente la convergencia.(b) Calcular los residuos y comparar.(c) Acotar el error cometido en cada uno.Angel Mora Bonilla, Emilio Muñoz VelascoTema 4 Álgebra Lineal Numérica
IntroducciónMétodos directos: DescomposiciónMétodos iterativosCálculo de autovaloresEjerciciosEjercicio 6La ley de Kirchoff para el voltaje aplicado a un circuito produce elsiguiente sistema de ecuaciones:(R1 R3 R4 )I1 R3 I2 R4 I3 E1R3 I1 (R2 R3 R5 )I2 R5 I3 E2R4 I1 R5 I2 (R4 R5 R6 )I3 0Calcular las intensidades de corriente I1 , I2 , I3 cuandoR1 1, R2 1, R3 2, R4 1, R5 2, R6 4 yE1 23, E2 29. Calcular también para E1 12, E2 21,5.Resolver por los distintos métodos estudiados, calcular errores ycomparar resultados.Angel Mora Bonilla, Emilio Muñoz VelascoTema 4 Álgebra Lineal Numérica
IntroducciónMétodos directos: Descomposic
Escuela Polit ecnica Superior Angel Mora Bonilla, Emilio Munoz Velasco Tema 4 Algebra Lineal Num erica. Introducci on M etodos directos: Descomposici on M etodos iterativos C alculo de autovalores Ejercicios Qu e es un Sistema Lineal? Conocimientos previos De niciones. Propiedades
Andreu World /Lineal Comfort Andreu World /Lineal Comfort Lineal Comfort Lievore Altherr Molina Lineal Comfort Lievore Altherr Molina SO 0776 SO 0570 BU 0597 BU 0596 BQ 0599 BQ 0604 BQ 0608 BQ 0609 SI 0594 SO 0595 SI 0567 SO 0568 SI 0606 SO 0607 SI 0777 SO 0775 The Lineal Comfort collection supports following upholsteries of Andreu World Catalogue.
Lineal Lievore Altherr Molina Lineal Lievore Altherr Molina The Lineal collection supports following upholsteries of Andreu World Catalogue. For Fabrics of our catalogue not specified in this box or custom own materials, contact our Customer Department. La colección Lineal admite las siguientes tapicerías del catálogo de Andreu World.
Artist Char 255. Composer Char 118. Date_Added Num DATETIME. Genre Char 18. Last_Played Num DATETIME. Last_Skipped Num DATETIME. Name Char 456. Plays Num BEST12. Skips Num BEST12. Time Num MMSS. Track_Count Num BEST12. Track_Number Num BEST12. Year Char 4. Table 1. WORK.MYITUNES Variables WORK.ITUNES is a collection of tracks.
Ley Núm. 8 de 8 de Enero de 2004, según enmendada (Contiene enmiendas incorporadas por las siguientes leyes: Ley Núm. 151 de 12 de Diciembre de 2005 Ley Núm. 161 de 1 de Diciembre de 2009, Art. 19.7 Ley Núm. 245 de 30 de Diciembre de 2010 Ley Núm. 74 de 18 de Mayo de 2011 Ley Núm. 90 de 9 de Junio de 2011 Ley Núm. 52 de 3 de Julio de 2013
Ley Núm. 154 de 5 de Agosto de 1988, según enmendada (Contiene enmiendas incorporadas por las siguientes leyes: Ley Núm. 187 de 12 de Agosto de 1995 Ley Núm. 12 de 1 de Mayo de 1997 Ley Núm. 175 de 19 de Diciembre de 1997 Ley Núm. 56 de 4 de Enero de 2003 Ley Núm. 460 de 23 de septiembre de 2004 Ley Núm. 100 de 27 de Septiembre de 2009
Contenido del curso Tema 1. Sistemas de Producción Lechera en México Tema 2. Características de la raza Holstein Tema 3. Crianza de reemplazos Tema 4. Manejo reproductivo del ganado lechero Tema 5. Alimentación del ganado lechero Tema 6. Manejo sanitario del ganado lechero Tema 7. Producción de leche Tema 8. Construcciones y equipo
29 DRUG_ABU Num 8 2. 2. History of Drug Abuse Code: Form 2 30 ALCOHOL Num 8 2. 2. History of Alcohol Abuse Code: Form 2 31 DURATION Num 8 Prior Years of Dialysis (Yrs): Form 2 32 BLACK Num 8 Black Race (Coded as 0-1, from RACE): Form 2 33 RENAL_DX Num 8 Renal DX 34 ENROL_DT Num 8 Enrollment Date: Form 2
which appear either in the Annual Book of ASTM Standards, Vol 01.05, or as reprints obtainable from ASTM. 1.2 In case of any conflict in requirements, the requirements of the purchase order, the individual material specification, and this general specification shall prevail in the sequence named. 1.3 The values stated in inch-pound units or SI units are to be regarded as the standard .
