(un Tema Del Curso “An Alisis Funcional”)

Introducciónq( p )0 , 1 p Descripción de los espacios duales de p (N)(un tema del curso “Análisis funcional”)Egor Maximenkohttp://esfm.egormaximenko.comInstituto Politécnico Nacional (México)Escuela Superior de Fı́sica y Matemáticas4 de noviembre de 20201(c0 )0

Introducción1Introducción2( p )0 q , 1 p 3(c0 )0 1q( p )0 , 1 p 1(c0 )0

IntroducciónPlan1Introducción2( p )0 q , 1 p 3(c0 )0 1q( p )0 , 1 p 1(c0 )0

q( p )0 , 1 p IntroducciónObjetivosDado un espacio normado V , repasar la definición del espacio dual V 0 .Demostrar que para 1 p , ( p )0 q .Demostrar que (c0 )0 1 .1(c0 )0

q( p )0 , 1 p IntroducciónPrerrequisitosFuncionales lineales acotados y sus normas.La definición del espacio dual de un espacio normado.El concepto de isomorfismo isométrico entre espacios normados.La desigualdad de Hölder.Los espacios p , 1 p .Los espacios c y c0 .1(c0 )0

q( p )0 , 1 p IntroducciónCriterio de continuidad de un funcional lineal (repaso)ProposiciónSea V un espacios normado complejo y sea f : V C un funcional lineal.Entonces las siguientes condiciones son equivalentes.(a) f es Lipschitz continuo.(b) f es uniformemente continuo.(c) f es continuo.(d) f es continuo en el punto 0V .(e) sup { f (x) :x V,kxkV 1} .(f) f [BV (0, 1)] es un conjunto acotado en C.(g) C 0 x V f (x) C kxkV .1(c0 )0

q( p )0 , 1 p Introducción1(c0 )0 La norma de funcional lineal (repaso)ProposiciónSea V un espacio normado complejo y sea f : V C un funcional lineal.N1 (f ) : sup f (x) ,N2 (f ) : sup f (x) ,x VkxkV 1N3 (f ) : supx VkxkV 1N4 (f ) : inf{C [0, ] : x V f (x) CkxkV }.Entonces N1 (f ) N2 (f ) N3 (f ) N4 (f ).Más aún, el ı́nfimo en la definición de N4 (f ) se alcanza, esto es, x V f (x) N4 (f )kxkV .x Vx6 0V f (x) ,kxkV

Introducciónq( p )0 , 1 p Funcionales lineales acotados (repaso)Sea V un espacio normado complejo.1(c0 )0

q( p )0 , 1 p IntroducciónFuncionales lineales acotados (repaso)Sea V un espacio normado complejo.Un funcional lineal f : V C se llama acotado , si existe C 0 tal que x V f (x) CkxkV .1(c0 )0

q( p )0 , 1 p IntroducciónFuncionales lineales acotados (repaso)Sea V un espacio normado complejo.Un funcional lineal f : V C se llama acotado , si existe C 0 tal que x V f (x) CkxkV .La norma de un funcional lineal acotado f se define comokf k : sup f (x) .x VkxkV 1Otra notación: kf kV C , kf kV 0 .1(c0 )0

q( p )0 , 1 p IntroducciónFuncionales lineales acotados (repaso)Sea V un espacio normado complejo.Un funcional lineal f : V C se llama acotado , si existe C 0 tal que x V f (x) CkxkV .La norma de un funcional lineal acotado f se define comokf k : sup f (x) .x VkxkV 1Otra notación: kf kV C , kf kV 0 .Si f es acotado, entonces x V f (x) kT k kxkV .1(c0 )0

Introducciónq( p )0 , 1 p El espacio dual de un espacio normado (repaso)Sea V un espacio normado complejo.V 0 : B(V, C).1(c0 )0

q( p )0 , 1 p Introducción1(c0 )0 El espacio dual de un espacio normado (repaso)Sea V un espacio normado complejo.V 0 : B(V, C).Operaciones lineales en V 0 :(f g)(x) : f (x) g(x),(λf )(x) : λ f (x)(x V ).

q( p )0 , 1 p Introducción1(c0 )0 El espacio dual de un espacio normado (repaso)Sea V un espacio normado complejo.V 0 : B(V, C).Operaciones lineales en V 0 :(f g)(x) : f (x) g(x),(λf )(x) : λ f (x)(x V ).ProposiciónSea V un espacio normado real o complejo. Entonces V 0 es de Banach.

IntroducciónPlan1Introducción2( p )0 q , 1 p 3(c0 )0 1q( p )0 , 1 p 1(c0 )0

q( p )0 , 1 p IntroducciónEn esta sección suponemos que 1 p .Denotemos por q al exponente complementario de p:q : Entonces1p 1q 1.p.p 11(c0 )0

q( p )0 , 1 p IntroducciónEn esta sección suponemos que 1 p .Denotemos por q al exponente complementario de p:q : Entonces1p 1qp.p 1 1.Vamos a demostrar que ( p )0 es isométricamente isomorfo a q .1(c0 )0

q( p )0 , 1 p IntroducciónSean x p , a q . Entonces, por la desigualdad de Hölder, X ak xk kakq kxkp .k 1Por consecuencia, la serieP k 1 ak xkconverge en C.1(c0 )0

q( p )0 , 1 p IntroducciónSean x p , a q . Entonces, por la desigualdad de Hölder, X ak xk kakq kxkp .k 1Por consecuencia, la serieP k 1 ak xkconverge en C.Definición del funcional ϕaSea a q . Definimos ϕa : p C,ϕa (x) : Xk 1ak xk .1(c0 )0

q( p )0 , 1 p IntroducciónSean x p , a q . Entonces, por la desigualdad de Hölder, X ak xk kakq kxkp .k 1Por consecuencia, la serieP k 1 ak xkconverge en C.Definición del funcional ϕaSea a q . Definimos ϕa : p C,ϕa (x) : Xak xk .k 1Por la desigualdad de Hölder, ϕa ( p )0 y kϕa k kakq .1(c0 )0

Introducciónq( p )0 , 1 p Linealidad de ϕaϕa (x) : Xk 1ak xk .1(c0 )0

q( p )0 , 1 p IntroducciónLinealidad de ϕaϕa (x) : Xak xk .k 1Ejercicio. Sean a q , x, y p , λ C. Demostrar queϕa (x y) ϕa (x) ϕa (y),ϕa (λx) λ ϕa (x).1(c0 )0

Introducciónq( p )0 , 1 p El signo de un número complejo (repaso)Para cada z en C,sgn(z) : z ,z 6 0; 0,z 0. z 1(c0 )0

Introducciónq( p )0 , 1 p El signo de un número complejo (repaso)Para cada z en C,sgn(z) : z ,z 6 0; 0,z 0. z Si r 0, ϑ R, entoncessgn r ei ϑ ei ϑ . 1(c0 )0

q( p )0 , 1 p IntroducciónEl signo de un número complejo (repaso)Para cada z en C,sgn(z) : z ,z 6 0; 0,z 0. z Si r 0, ϑ R, entoncessgn r ei ϑ ei ϑ . Notemos que para cada z en C,z sgn(z) z .1(c0 )0

Introducciónq( p )0 , 1 p Proposición (sobre la norma de ϕa )Sea a q . Entonces ϕa ( p )0 y kϕa k kakq .1(c0 )0

q( p )0 , 1 p IntroducciónProposición (sobre la norma de ϕa )Sea a q . Entonces ϕa ( p )0 y kϕa k kakq .Idea de demostración. Por la desigualdad de Hölder,kϕa k supx p \{0 ϕa (x) kakq kxkp sup kakq .kxkkxkpppx \{0N }N}1(c0 )0

q( p )0 , 1 p IntroducciónProposición (sobre la norma de ϕa )Sea a q . Entonces ϕa ( p )0 y kϕa k kakq .Idea de demostración. Por la desigualdad de Hölder,kϕa k supx p \{0 ϕa (x) kakq kxkp sup kakq .kxkkxkpppx \{0N }N}Supongamos que a 6 0N . Definimos y CN ,yk : sgn(ak ) ak q 1 .1(c0 )0

q( p )0 , 1 p IntroducciónProposición (sobre la norma de ϕa )Sea a q . Entonces ϕa ( p )0 y kϕa k kakq .Idea de demostración. Por la desigualdad de Hölder,kϕa k supx p \{0 ϕa (x) kakq kxkp sup kakq .kxkkxkpppx \{0N }N}Supongamos que a 6 0N . Definimos y CN ,yk : sgn(ak ) ak q 1 .Entonceskykp kakq 1q ,ϕa (y) kakqq .1(c0 )0

Introducciónq( p )0 , 1 p Linealidad respecto al parámetro aϕa (x) : Xk 1ak xk .1(c0 )0

q( p )0 , 1 p IntroducciónLinealidad respecto al parámetro aϕa (x) : Xak xk .k 1Ejercicio. Sean a, b q , λ C.Demostrar que para cada x en p ,ϕa b (x) ϕa (x) ϕb (x),ϕλa (x) λ ϕa (x).1(c0 )0

Introducciónq( p )0 , 1 p Idea: ¿cómo recuperar a a partir de los valores de ϕa ?ϕa (x) : Xk 1ak xk .1(c0 )0

Introducciónq( p )0 , 1 p Idea: ¿cómo recuperar a a partir de los valores de ϕa ?ϕa (x) : Xak xk .k 1ak ϕa ( ? ).1(c0 )0

Introducciónq( p )0 , 1 p Idea: ¿cómo recuperar a a partir de los valores de ϕa ?ϕa (x) : Xak xk .k 1ak ϕa ( ? ).ak ϕa (ek ).1(c0 )0

Introducciónq( p )0 , 1 p Los funcionales lineales acotadosse recuperan por sus valores en una base de Schauder1(c0 )0

q( p )0 , 1 p IntroducciónLos funcionales lineales acotadosse recuperan por sus valores en una base de SchauderEjercicio. Sea V un espacio normado complejo y sea f V 0 .Sea (bk )k N una base de Schauder de V . Supongamos que x V ,x Xαk bk .k 1Demostrar quef (x) Xk 1Indicación: considerar sm : mXk 1αk bk .αk f (bk ).1(c0 )0

q( p )0 , 1 p IntroducciónProposiciónSea f ( p )0 . Definimos a CN , aj : f (ej ) . Entonces a q y f ϕa .Idea de demostración.Am : mX ak q ,k 1ym : mXsgn(aj ) aj q 1 ej .j 1Entonces f (ym ) Am , kym kpp Am ,Am f (ym ) f (ym ) kf k kym kp kf k A1/pm .1/qEsto implica que Am kf k para cada m. Luego a q .1(c0 )0

Introducciónq( p )0 , 1 p Definimos Φ : q ( p )0 ,Φ(a) : ϕa ,esto es,Φ(a)(x) : Xk 1ak xk .1(c0 )0

Introducciónq( p )0 , 1 p Definimos Φ : q ( p )0 ,Φ(a) : ϕa ,esto es,Φ(a)(x) : Xak xk .k 1ProposiciónΦ es un isomorfismo isométrico de espacios de Banach.1(c0 )0

Introducciónq( p )0 , 1 p Definimos Φ : q ( p )0 ,Φ(a) : ϕa ,esto es,Φ(a)(x) : Xak xk .k 1ProposiciónΦ es un isomorfismo isométrico de espacios de Banach.Hemos demostrado que la definición de Φ es consistente,que la función Φ es isométrica,que Φ(a b) Φ(a) Φ(b), Φ(λa) λΦ(a),y que Φ es suprayectiva.1(c0 )0

Introducciónq( p )0 , 1 p Ejercicio. Demostrar que ( 1 )0 es isométricamente isomorfo a .ϕa (x) : Xak xk .k 1En particular, hay que demostrar lo siguiente:Si a , entonces kϕa k kak .Si f ( 1 )0 y a (f (ej ))j N , entonces kak kf k.1(c0 )0

IntroducciónPlan1Introducción2( p )0 q , 1 p 3(c0 )0 1q( p )0 , 1 p 1(c0 )0

q( p )0 , 1 p IntroducciónProposiciónSea a 1 . Definimos ϕa : c0 C,ϕa (x) : Xk 1Entonces ϕa (c0 )0 y kϕa k kxk1 .ak xk .1(c0 )0

q( p )0 , 1 p Introducción1(c0 )0 ProposiciónSea a 1 . Definimos ϕa : c0 C,ϕa (x) : Xak xk .k 1Entonces ϕa (c0 )0 y kϕa k kxk1 .Sugerencia para demostrar que kϕa k kak1 .ym : mX sgn(aj ) ej sgn(a1 ), . . . , sgn(am ) , 0 , 0 , . . . .j 1Calcular ϕa (ym ) . Suponiendo a 6 0N , calcular kym k para m grande.

Introducciónq( p )0 , 1 p ProposiciónSea f (c0 )0 . Pongamos a : f (ej ) j N. Entoncesa 1 (N),f ϕa .1(c0 )0

q( p )0 , 1 p Introducción1(c0 )0 ProposiciónSea f (c0 )0 . Pongamos a : f (ej ) j N. Entoncesa 1 (N),f ϕa .Sugerencia.Am : mXk 1 ak ,ym : mX sgn(aj ) ej sgn(a1 ), . . . , sgn(am ) , 0 , 0 , . . . .j 1Am f (ym ) f (ym ) kf k kym k kf k.

q( p )0 , 1 p Introducción1(c0 )0 Definimos Φ : 1 (c0 )0 ,Φ(a) : ϕa ,esto es,Φ(a)(x) : Xk 1ProposiciónΦ es un isomorfismo isométrico.Ejercicio. Completar todos los detalles de demostración.ak xk .

Introducciónq( p )0 , 1 p El espacio c0 no es reflexivoHemos mostrado (tomando en cuenta los ejercicios) que(c0 )0 1 ,pero( 1 )0 .El espacio bidual (c0 )00 no es isométricamente isomorfo a c0 .1(c0 )0

q( p )0 , 1 p Introducción1(c0 )0 El dual del espacio de sucesiones convergentesRecordamos que Nc : x C L Clim xk L .k El espacio c se considera con la norma inducida de .

q( p )0 , 1 p Introducción1(c0 )0 El dual del espacio de sucesiones convergentesRecordamos que Nc : x C L Clim xk L .k El espacio c se considera con la norma inducida de . 1 .Ejercicio. Demostrar que c0 Φ(a)(x) : a1 lim xk k Xk 1ak 1 xk .

Introducciónq( p )0 , 1 p Sobre el dual de Para cada a en 1 , podemos definir ϕa ( )0 ,ϕa (x) : Xk 1ak xk .1(c0 )0

Introducciónq( p )0 , 1 p Sobre el dual de Para cada a en 1 , podemos definir ϕa ( )0 ,ϕa (x) : Xak xk .k 1Usando el teorema de Hahn–Banach, es posible demostrar que no todos loselementos de ( )0 son de esta forma.1(c0 )0

Introducciónq( p )0 , 1 p Sobre el dual de Para cada a en 1 , podemos definir ϕa ( )0 ,ϕa (x) : Xak xk .k 1Usando el teorema de Hahn–Banach, es posible demostrar que no todos loselementos de ( )0 son de esta forma.Más aún, es posible demostrar que ( )0 no es isométricamente isomorfo a 1 .1(c0 )0

Introducci on (‘p)0 ‘q, 1 p (c0)0 ‘1Criterio de continuidad de un funcional lineal (repaso) Proposici on Sea V un espacios normado complejo y sea f: V C un funcional lineal. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes. (a) fes Lipschitz continuo. (b) fes uniformemente continuo. (c) fes continuo. (d) fes continuo en el punto 0 V