Stime Errore Globale Nei Metodi One -step ,, Per Equazioni .

WALTER GAUTSCHI1975Rendiconti di Matematica(2) Vol. 8, Serie VI.Stime dell errore globalenei metodi " one - step ,, per equazionidiffereuziali ordinarie (*)di WAL'l'Elt GAU'l'SCHI (a Lafayette, U. S. A.)Dedicato al Professor Mauro Picone in occasionedel suo novantesimo compleanno.SuMMARY - We consider one-step methods for the numerical solution ofordinary differential equations and propose to utilize recent progress in theestimation of the local error in order to asymptotically estimate the global error:.1. Introduzione.La maggior parte dei metodi numerici per la soluzione di sistemidi equazioni differenziali ordinarie generano approssimazioni del vettore - soluzione in corrispondenza di una . successione finita di punti.Come errore globale generalmente si intende la differenza fra il vettore approssimazione e il vettore - soluzione nei suddetti punti. L'errorelocale, invece, e la differenza fra la soluzione approssimata e quellaesatta, dopo un solo passo del metodo iniziato con dati esatti. E opinionegeneralmente accettata che i metodi « one - step », in particolar i metodi tipo Runge - Kutta, notoriamente non permettono una facile edefficiente stima dell'errore locale, per non parlare di quello globale.La situazione, negli anni recenti, e un po cambiata dopo che sono diventati noti schemi abbastanza efficienti per stimare accuratamente(almeno asintoticamente per piccoli passi) l'errore locale. E naturale,(*) Questo lavoro e stato sovvenzionato in parte dalla National ScienceFoundation, progetto di ricerca GP- 36557.

602[2]WALTER GAUTSCHiallora, tentare di incorporare tali schemi in procedimenti per la stimadell'errore globale. Questo e l'oggetto del nostro lavoro.Le stime desiderate (come, nei principi, e stato da tempo noto)possono essere ottenute integrando l'equazione differenziale variazionalesoddisfatta dalla parte principale dell'errore globale. Quest'approcciorichiede il calcolo della matrice di Jacobi del sistema differenziale,valutata lungo la traiettoria della soluzione, e percio, in pratica, puolimitare l'applicabilita del procedimento a problemi di piccola o media dimensione. Ciononostante, la presenza della matrice di Jacobi edel tutto naturale, in vista del suo ben noto ruolo nella teoria delleperturbazioni. (Per procedimenti che non usano la matrice di Jacobi,vedi [20] ).Nei paragrafi 2-7 rivediamo alcuni dei concetti base per i metodi« one- step », includendo anche le loro proprieta di stabilita e convergenza ([11], [10], [21]). L'attuazione numerica, e la giustificazioneteorica, del procedimento per la stima dell'errore globale e presentatanei paragrafi 8-9. II paragrafo 10, finalmente, contiene un esempionumerico.2. II sistema ditferenziale.Consideriamo il problema di Cauchy(2.1)dyfdx f(x, y),a::;;;: x b,Y (a.) Ya,per un sistema di m equazioni differenziali ordinarie del primo ordine.Supponiamo f definita e sufficientemente regolare nel dominio rettangolarefRo [a, bj X CJJ0 , CJJ0 y E.1Rm :ci::::;:;: yi::;;;: di, i 1, 2, . , mt,dove yi denota la i-esima componente di y. Consideriamo C'f20 comedominio fondamentale in cui si troveranno non solo la soluzione esatta,ma anche tutte le approssimazioni costruil:e. Per varie ragioni dovremoin seguito allargare leggermente il dominio in cui f e definita.Intanto, assumiamo, una volta per sempre, che YaE CJJo, e che (2.1)abbia un'unica soluzione y (x) su [a, b] tale che y (x)ECJJo per a x b.3. Metodi one-step».Un metodo « one - step » per il calcolo di una soluzione approssimata di (2 .1) puo essere individuato da una funzione

Stime dell'errore g1obale nei metodi «one-step» ecc.(3.1)cp: [a, b] X CJJ0 Xche in qualche modoe legata603lO, h 0]- 1Rm,alia funzione f in (2.1). In accordo con(3.2)essa indica come procedere da un punto generico (x, y) al punto« successivo » (x h, Yh), proprio come f indica il procedere da (x, y)a (x dx, y fdx).Per ottenere una successione Un y (xn) di approssimazioni dellasoluzione di (2.1), la formula (3.2) e usata nel modo seguente:dove Xn a ht hz . hn, e XN b. La scelta dei «passi» ht, h2, . , hNfa parte del meccanismo di controllo per la (3 .2), che, normalmente,viene costruito con l'intenzione di mantenere sufficientemente piccolala norina dell'errore, II Un-Y (xn) 11. Piu in generale, il meccanismo dicontrollo puo anche involvere la scelta di metodi « one - step » differentiper valori di n differenti. Per semplicita, tuttavia, supponiamo che cprimanga fisso.Come indicato in (3.1), vogliamo che cf sia definita su tuttoLRo X [0, ho]. Per qualche metodo, questa assunzione richiede che ildominio di definizione di f sia leggermente allargato. Per esempio, secf rappresenta la regola del punto medio,cp (x, y; h) f(x h, y Thj(x, y)), l'intervallo [a, b] dovra essere allargato a destra, della quantitah0 ,mentre i lati di CJJo dovranno essere estesi da ambo gli estremi, dellaquantita hoMo, dove Mo mass II f (x, y) 11.CRoAssumiamo, una volta per sempre, che O hn l ho e Un CJJo perogni n O, 1, . , N -1.4. Descrizione locale dei metodi one-st.ep .Ci sono alcuni concetti che descrivono le proprieta locali di unmetodo cf . Incominciamo con quello dell'errore di troncamento (o« errore locale »).

604WALTER 4]Dato un punta generico (x, y)ECfto, costruiamo un tratto di soluzione di (2.1) passante per esso,dujdt f(t, u), x(4.1)s;;: t s;;: x h0 ,u (x) y.Chiamiamo u (t), x t x ho, la soluzione di riferimento nel punta(x, y), e denotiamola, se necessaria, piu completamente con u (t; x, y).Supponiamo che u (t; x, y), x t x ho, sia definita per tutti i punti(x, y)ECfto; ancora una volta, questa ipotesi richiede una leggera estensione del dominic di definizione di f.DEFINIZIONE 4.1. Per qualunque (x, y)ECfto e hE(O, ho], !'erroredi troncamento di (/) nel punto (x, y) e definite da(4.2)t (x, y; h) h- 1 [Yh -n (x h; x, y)].Per la (3.2), quindi,(-4.2')t (x, y; h) iJ (x, y; h)- h-1 [u (x h)- n (x)].DEFINIZIONE 4.2. II metodo ifJe dettot (x, y ; h) -- 0 quandouniformemente per (x, y)E LR0 Per la (4.2') e (4.1), se ifJ(4.3)consistente seh-- o,e consistente,cJ (x, y; 0) allora necessariamentef(x, y).DEFINIZIONE 4.3. II metodo ifJ ha ordine p se esiste una costanteC O, indipendente da x, y e h, tale cheII t (x, y;(4:4)h)II OhPper ogni (x, y)Elft0,It E [0, h0 ].La proprieta (4.4) sara espressa piu brevemente nella forma(4.4')t (x, y; h) 0 (hP), h-- 0.Normalmente, p e un intero. (Vedi, tuttavia, [5]). Chiamiamo p ordine-esatto di ifJ se Ia (4.4) non vale per nessun p piu grande. Evidentemente,p 0 implica la consistenza di ifJ,

Stime dell'errore globale nei metodi «one-step» ecc.[5]DEFINIZIONE6054.4. Una funzione r (x, y) su lf20 , per la qualer (x, y) 0 e(4.5)t (x, y; h) -z: (x, y) hPe chiarnata 0 (hP h--- 0,1 ),funzione-errore principale del metodo C/J.Poiche r 0, p in (4.5) l'ordine esatto di C/J.o.eDescrizione globale dei metodi one-step .Esarniniarno ora il cornportarnento globale dell'algoritrno (3.3).L'insierne di puntiverra chiarnato una maglia sull'intervallo [a,b], e lo denotererno conmh [a, b], dove h sta per l'insierne delle lunghezze ht, hz, . , hN. L'ampiezza della rnaglia 11lh [a, b] e definita daIh I mass hn .l;S;n;S;NUna funzione (a valori vettoriali) definita sulla rnaglia mh [a, b] e chiarnata una funzione maglia. Qualunque funzione y (x) definita su [a, b]induce una funzione rnaglia mediante restrizione.All'algoritrno (3.3) associarno un operatore Dh definito daagisce su funzioni rnaglia u (con UnE CJJ0) e genera una nuova funzione rnaglia definita ovunque sulla rnaglia, eccetto al punto finale XN.Notiarno che per la soluzione esatta y (x) della (2.1), in virtu della (4.2'),Dh(5,2)5.1. 11 rnetodo C/J e detto stabile su [a, b] se per unarnaglia arbitraria mh [a, b], con I hI arbitrariamente piccola, e perfunzioni rnaglia arbitrarie v, w (con VnECJJ0 , tf'nECJJ0,), esiste una costante K 0 non dipendente da n e h tale cheDEFINIZIONE(5.3) massOSn;S;NII 'Vn -WnII:::;;: K (II v0 -w0 II massII (Dn v)n- (Dh w)n II).O.;S;n;S;N-1

606[6]WALTER GAUTSCHICi riferiamo alla (5.3) come disuguaglianza di stabilita. Per motivare la Definizione 5.1, siano u, w due funzioni maglia per le quali n N- 1,(Dh u)n O,0(Dh W) 11 0 n N - 1,Bn ,u 0 Ya,W0 Ya e,dove En, c sono vettori « piccoli ». Possiamo interpretare u come il risultato dall'algoritmo (3.3, calcolato con precisione infinita, e w comequello ottenuto con precisione finita. I vettori residui En e E riflettonola presenza di errori di arrotondamento. La stabilWt, allora, implica chemasso.s;n.:SNII ttn- w,. II S: K( II e II o.s;n.:SN-1mass II e,. II),cioe, !'errore del risultato con precisione finita e della stesso ordine digrandezza degli errori di arrotondamento, qualunque sia la « finezza »della maglia scelta.E rimarchevole che essenzialmente tutti i metodi « one -step »sono stabili.TEOREMA 5.1. Se ! (x, y; h) soddisfa ad una condizione di Lipschitzrispetto a y, uniformemente su [a, b] X CJJo X [0, h0 ], cioe,ll P (x, Y; h) -lP (x, y" i h)II M II Y - y*II '(5.4)per ogni x [a, b], y, y* CZJ0,h (0, h0 ],aflora il metoda iP e stabile.Per la dimostrazione si prendono due qualunque funzioni magliav, w, e si verifica cheen (1 hn M)en-1 hn d,n 1, 2, . , N,doveen 1/ v,. -WnII,massd O.:Sn. ;;;N-1II (Dh v)n -(Dh w)nII.Segue allora facilmente cheen e b-a)M eo ne(b-a)M hk d :::;;: e(b- a)M eo (b -a) d f,k ln o, 1, 2, . , N,

Stime dell'errore globale nei metodi «one-step» ecc.[7]cioe,mass e,. e'b-a)M e 0607 (b- a) d I,05.n5.Ne ladisuguaglianza di stabilita (5.3) con K e b-a)M mass (1, b-a).Il Teorema 5.1 rimane valido per algoritmi a metodi variabili,invol venti una famiglia di metodi « one - step » { Pn}, se per ciascunoassumiamo una condizione di Lipschitz con costante M indipendentedan.E utile notare che P non deve essere necessariamente continua in x.cheSia mh [a, b] una arbitraria maglia su [a, b] esiano An, bn due funzioni maglia su mh [a, b], la prima a valori matriciali e l'altra a valori vettoriali, tali cheCoROLLARIO.(5.5)II A,. II a, II b,. II S: per n 0, 1, . , N- 1,dove a, (J non dipendono da n e h. Data una qualunque junzione magliau (a valori vettoriali) su mh [a, b], soddisjacenteesiste una costante y 0, indipendente da n e h, e dipendente solo daa, fJ e uo, tale cheII Un II y,(5. 7)n O, 1, . , N.Il corollario segue ponendo An A (Xn), bn b (xn), per certe funzioni limitate A (x), b (x), e osservando che P (x, y; h) A (x) y b (x)soddisfa ad una condizione di Lipschitz (5.4) su 92o [a, b] xmm concostante M a. Prendendo Vn Un, 1Vn O nella disuguaglianza di stabilita (5.3), otteniamo la limitazione desiderata (5.7) con r K(l!uoll fJ).La costante K dipende da a.6. Convergenza dei metodi «one-step».DEFINIZIONE6.1. Il metodo Pe dettoconvergente su [a, b] se perx arbitraria, con a x b, abbiamo(6.1)massO n NII u,.- y{xn) II- 0quandoI hI o,

608[8]WALTER ---dove a xo Xl . xN x e una maglia su [a, x] con ampiezzaI hI mass (Xn -Xn-1),{Un} sono i vettori approssimazione generati!-S;n5Ndall'algoritmo (3.3) su quella maglia, e y (xn) e il vettore soluzioneesatto della (2.1) al punto- maglia Xn.La disuguaglianza di stabilita (5.3), applicata con Vn Un, wn y (Xn), e la (5.2), insieme danno immediatamente il risultato seguente:TEJOREMA 6.1. Un metoda cfJ e convergente sebile. Di piu, se cfJ ha ordine p, allora(6.2)massO.sin5NII Un- y (xn) II 0 (I hIP),je consistente esta-hI- 0.7. Formula asintotica dell'enore.Per quello che segue avremo bisogno di un raffinamento del Teorema 6.1, ottenuto indipendentemente da HENRICI [11] e TIHONOVGoRBUNOV [23], [24]. (Per risultati alternativi piu recenti, vediRAKITSKII [16] ). Supponiamo che(7.1)hn I {} (xn) h,dovei}(x)e continua an O, 1, . : N - 1,tratti su [a, b] e(J:::;;;; {} (x):::;;;;esu[a, b],0 (J::::;;: 1 e.Inoltre, per il « passo base » h in (7 .1) richiediamo che0 h:::;;;; h0 @-1cosi che hn l ho, in accordo con precedenti ipotesi.L'algoritrno (3.3) diventa alloraI {} (xn) h,ltn l . Un . {} (xn) h iP (xn 'Un; {} (xn) h),Xn l Xn(7.2)Xo a, tto Ya 'con N tale che XN b.TEOREMA 7.1. Supponiamo chen o, 1, . 1 N- 1,