Statica Dei Corpi Rigidi - Libero.it

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Ins. Antonio PalladinoFISICA - La Statica dei Corpi RigidiStatica dei corpi rigidi1. Definizione di Equilibrio del punto materialeLa Statica studia l’equilibrio dei corpi rigidi. Un corpo è in equilibrio se esso è in quiete e rimanein quiete al trascorrere del tempo.In primo luogo studieremo l’equilibrio del punto materiale. Ricordiamo che nella cinematica si èdetto che un corpo si può approssimare ad un punto materiale (di dimensioni puntiformi, ma dotatodi massa) quando le sue dimensioni sono piccole rispetto al sistema di riferimento e ad i movimentiche il corpo stesso può compiere.Un corpo approssimabile ad un punto materiale è allora in equilibrio se esso è in quiete e rimanein quiete al trascorrere del tempo.Definiamo adesso la risultante delle forze: per risultante delle forze si intende la somma vettoriale di tutte le forze che agiscono su un punto materiale. La risultante delle forze si indica con il simbolo R .Condizione di equilibrioSi dice allora che un punto materiale è in equilibrio quando la somma delle forze che agiscono sulpunto è nulla. In simboli si scrive:F1 F2 F3 FN R 0Le F sono le varie forze agenti sul punto e R è la risultante.Tale condizione può verificarsi se:a) sul corpo non agisce nessuna forza;b) sul corpo agiscono due forze uguali (per modulo e direzione) ed opposte (per verso);c) sul corpo agiscono tre o più forze la cui somma vettoriale (metodo punta-coda) risulta essere un vettore nullo.La condizione di equilibrio del punto materiale è una chiara conseguenza del 1 principio della dinamica, che afferma che un corpo su cui agiscono forze la somma delle quali è zero permane nelsuo stato di quiete (o di moto rettilineo uniforme).Esempio 1. Un libro è posto su un tavolo e resta in equilibrio su di esso. Quali sono le forze in gioco?Sul libro agiscono due forze:a) la forza peso, esercitata dalla Terra, diretta lungo la verticale, dall’alto verso il basso;b) la forza vincolare, esercitata dal tavolo, diretta lungo la verticale, dal basso verso l’alto.Le due forze sono evidentemente uguali ed opposte, e la lorosomma è quindi nulla.Esempio 2. Una pallina è sospesa ad un filo fissato al soffitto di unastanza e resta ferma in equilibrio. Quali sono le forze in gioco?Sulla pallina agiscono due forze:a) la forza peso, esercitata dalla Terra, diretta lungo la verticale, dall’altoverso il basso;b) la forza vincolare, esercitata dal filo, diretta lungo la verticale, dal basso verso l’alto.Anche qui le due forze sono evidentemente uguali ed opposte, e la lorosomma è nulla.1 – Statica dei corpi rigidiFVINCPFVINCP

Ins. Antonio PalladinoFISICA - La Statica dei Corpi RigidiEsempio 3. Un pesetto è sospeso a due fili fissati a dei sostegni verticali e resta fermo in equilibrio. Quali sono le forze in gioco?Sul pesetto agiscono tre forze:a) la forza peso, esercitata dalla Terra, diretta lungo la verticale, dall’alto verso il basso;T2T1b) le due forze vincolari, esercitate dai fili, dirette come inPfigura 3, lungo le direzioni dei fili stessi.Anche qui le tre forze hanno somma nulla, come si può verificare applicando il metodo punta-coda ai tre vettori.2. Equilibrio di un corpo rigidoNon tutti gli oggetti sono approssimabili a punti materiali, anzi lo studio della Statica riguardaprecipuamente proprio gli oggetti non puntiformi, denominati corpi rigidi. Un corpo rigido è uncorpo esteso, composto di particelle le cui distanze reciproche restano sempre invariate. Un corporigido è cioè un oggetto indeformabile.Il corpo rigido è un oggetto ideale poiché non esistono nella realtà oggetti assolutamente indeformabili: anche il diamante, la più dura delle sostanze, si può comprimere o rompere. Molti oggetti,anche di uso quotidiano, si possono però approssimare abbastanza bene a corpi rigidi. L’astrazionedel corpo rigido è molto utile poiché semplifica notevolmente i problemi.Un punto materiale può solo traslare, cioè cambiare di posizione; invece un corpo rigido oltre atraslare può anche ruotare. Quindi i movimenti a cui può essere soggetto un corpo rigido sono latraslazione e la rotazione.2a. Risultante delle forze agenti su un corpo rigidoSe le forze sono applicate tutto nello stesso punto del corpo rigido, la risultante è semplicemente lasomma vettoriale delle singole forze, calcolata come di consueto con la regola del parallelogramma(figura a) o con il metodo punta-coda (figura b).Ma a differenza di un punto materiale, su un corpo rigido le forze possono essere applicate anchein punti distinti e allora diviene più complesso determinare la risultante (figura c).RF2F1F3RF3F2'F2'F1figura afigura bfigura cIn primo luogo cominciamo col dire che se spostiamo una forza agente su un corpo rigido lungo lasua linea d’azione in un altro punto dello stesso corpo, l’effetto è lo stesso, cioè il corpo rigido saràsoggetto allo stesso movimento.FF2 – Statica dei corpi rigidiF

Ins. Antonio PalladinoFISICA - La Statica dei Corpi RigidiRisultante di forze applicate sulla stessa rettaSe due o più forze sono applicate ad un corpo rigido sulla stessa retta, la risultante delle forze èuguale alla somma vettoriale delle forze e può essere applicata in un punto qualunque della retta.FBFAFBfigura aRFAfigura bfigura cInfatti, come appare dalla figura, è possibile spostare le due forze dai loro punti di applicazionelungo la retta d’azione in modo che esse insistano sullo stesso punto di applicazione (figura b); successivamente esse si possono addizionare come di consueto (figura c).Risultante di forze non parallele applicate in punti diversi (forze concorrenti)Se due o più forze non parallele sono applicate in punti diversi di un corpo rigido, la loro risultante si ottiene prima spostando le due forze lungo le rispettive rette d’azione fino al punto di intersezione e poi eseguendo la somma vettoriale secondo le regole consuete.FAFAAFAOBFBFBFBfigura aROfigura bfigura cRisultante di forze parallele aventi lo stesso verso (forze parallele e concordi)Se al corpo rigido sono applicate due forze parallele, per determinare la risultante non si possonoapplicare le regole precedenti, in quanto pur spostandole lungo le rispettive rette d’azione, esse rimarranno sempre parallele e non potranno essere applicate nello stesso punto.Vediamo allora come si procede:FAFAAFBFBA'B'Bfigura aRFAfigura bA'FBPdAdBB'figura cDetti A e B i punti di applicazione delle due forze, in primo luogo spostiamo le due forze lungo leloro rette d’azione in A’ e B’, in modo che la congiungente A’B’ sia perpendicolare alle due rette(figura b); la risultante ha lo stessa direzione e lo stesso verso delle due forze e modulo pari allasomma dei rispettivi moduli; il punto di applicazione P è compreso tra A’ e B’ e ha distanze da A’ eB’ rispettivamente indicate con dA e dB (figura c). Tali distanze sono legate alle intensità delle dueforze, secondo la relazione:Fa ·d a Fb ·d b3 – Statica dei corpi rigidi

Ins. Antonio PalladinoFISICA - La Statica dei Corpi RigidiRisultante di forze parallele aventi verso opposto (forze parallele e discordi)La situazione è analoga al caso precedente. Vediamo come si procede:FAFARABB'A'FBFBfigura afigura bFAB'A'PFBdBdAfigura cDetti A e B i punti di applicazione delle due forze, come prima spostiamo le due forze lungo le loro rette d’azione in modo che la congiungente A’B’ sia perpendicolare alle due rette (figura b); la risultante ha le stessa direzione delle due forze, il verso della maggiore e intensità uguale alla differenza delle due forze; il punto di applicazione P è posto all’esterno di A’B’, dalla parte della forzamaggiore e ha distanze da A’ e B’ indicate come prima con dA e dB (figura c). Anche in questo casole distanze sono legate alle intensità delle due forze secondo la relazione:Fa ·d a Fb ·d b2b. Coppia di forzeUna coppia di forze è insieme particolare di due forze di uguale modulo, di direzioni parallele e diverso opposto. Le rette su cui giacciono le forze sono dette rette d’azione. La distanza d tra le duerette d’azione è detta braccio della coppia. La coppia di forze ha evidentemente risultante uguale azero, poiché le due forze sono uguali ed opposte.ddd 0Anche se la risultante è zero, l’effetto di una coppia di forze su un corpo è tutt’altro che trascurabile. Vedremo infatti che le coppie sono responsabili dei movimenti di rotazione del corpo rigido.Per caratterizzare una coppia di forze, in fisica si usa una grandezza ad hoc, il momento.Il momento di una coppia di forze è una grandezza vettoriale M definita nel seguente modo:1) il modulo M è dato dal prodotto M F d , dove F è il modulo delle due forze e d è la distanza delle loro rette d’azione;2) la direzione è quella perpendicolare al piano in cui si trovano le due forze della coppia;3) il verso si individua con la regola della mano destra.Più semplicemente, possiamo intendere il momento di una coppia positivo quando la coppia diforze induce una rotazione in senso antiorario e negativo quando la coppia induce una rotazione insenso orario.Il momento aumenta con l’aumentare del modulo delle forze e della distanza tra le loro retted’azione; se le due forze giacciono sulla stessa retta d’azione il braccio della coppia è zero e quindiil momento della coppia risulta nullo.2c. Equilibrio di un corpo rigidoCi chiediamo se la condizione che la risultante delle forze sia nulla sia sufficiente per assicurareche un corpo rigido sia in equilibrio. La condizione che la risultante delle forze sia zero non è suffi4 – Statica dei corpi rigidi

Ins. Antonio PalladinoFISICA - La Statica dei Corpi Rigidiciente per garantire l’equilibrio di un corpo rigido. Infatti se al corpo rigido è applicata una coppiadi forze (che ha risultante nulla), il corpo rigido inizierà a ruotare (figura b), finché le forze non sidispongono sulla stessa retta d’azione (figura c).figura afigura bfigura cPossiamo inoltre affermare che quanto più elevato è il momento di una coppia, tanto più alta èl’entità della rotazione indotta sul corpo rigido. La sbarretta della figura a è sottoposta ad una coppia di momento M 18 N·m; nella figura b il momento della coppia è maggiore (M 30 N·m), inquanto, sebbene le forze siano rimaste invariate, il braccio della coppia è aumentato; è evidente chela sbarretta della figura b ruoterà più velocemente di quella della figura a. Confrontando poi la figura c con la figura a il braccio della coppia è rimasto invariato, mentre le forze sono aumentated’intensità; il momento è pari a M 30 ·m, come nel secondo caso e la sbarretta tenderà a ruotarecon la stessa velocità della sbarretta della figura b.F 3NF 3NF 5Nd 6md 10 md 6mfigura afigura bfigura cConcludendo, possiamo affermare che un corpo rigido è in equilibrio quando esso non trasla néruota. Affinché ciò si verifichi, è sufficiente che:1. la risultante delle forze R sia uguale a zero; ciò assicura l’assenza di movimenti di traslazione;2. la risultante dei momenti M delle forze sia uguale a zero; ciò assicura l’assenza di movimenti di rotazione.3. BaricentroIl baricentro o centro di gravità di un corpo rigido è un punto ideale in cui si può ritenere applicataconcentrato tutto il peso del corpo.Il corpo rigido può essere immaginato come un insieme di volumetti, che occupano posizioni fissegli uni rispetto agli altri, ognuno con un proprio peso; si viene a determinare un insieme di forze parallele e concordi, tutte dirette verso il basso; la risultante di tutti questi pesi parziali fornisce, natu5 – Statica dei corpi rigidi

Ins. Antonio PalladinoFISICA - La Statica dei Corpi Rigidiralmente, il peso dell’intero corpo. Si chiama allora baricentro o centro di gravità del corpo rigido ilpunto di applicazione della forza-peso del corpo, cioè il centro delle numerose forze relative ai pesidei volumetti in cui immaginiamo di scomporre il corpo rigido.GPPer determinare la posizione del baricentro di un corpo, dobbiamo distinguere se il corpo è omogeneo con un centro di simmetria oppure no:a) se il corpo è omogeneo (cioè fatto dello stesso materiale in tutte le sue parti) ed ha un centrodi simmetria, allora il baricentro coincide con tale punto. È questo il caso di tutti i corpi omogenei, aventi forme regolari, come quadrati, rettangoli, cerchi, triangoli, ecc. Nel caso deltriangolo il baricentro fisico coincide con il baricentro geometrico (punto d’incontro dellemediane). Nel caso di quadrato, rettangolo, rombo, ecc., il baricentro coincide con il puntod’incontro delle diagonali.b) se il corpo è non è omogeneo, la determinazione della posizione del baricentro può essere fatta per via matematica (cioè utilizzando opportune formule) o per via sperimentale.GGGGGBaricentri di corpi simmetrici ed omogeneiOsserviamo una cosa importante: non è detto che il centro di gravità di uncorpo rigido sia un punto appartenente al corpo rigido stesso. Per esempio ilcentro di gravità di un anello è nel suo centro, dove non c’è materiaappartenente all’anello.GOltre che in statica, il baricentro ha grossa importanza nella dinamica dei corpi rigidi. Il teoremadel moto del baricentro afferma che il baricentro di un corpo rigido si muove come un punto materiale nel quale sia addensata tutta la massa del sistema e sia assoggettato al risultante di tutte le forzeagenti sul corpo stesso.3a. Condizione di equilibrio di un corpo rigido appoggiato su un pianoUn corpo appoggiato su un piano è in equilibrio quando la verticale passante per il suo baricentrocade all’interno della sua base di appoggio. Finché questo accade (fig. a, fig. b), sul corpo rigido agiscono la forza di gravità e la reazione vincolare, le quali costituiscono una coppia di braccio nullo: poiché allora la risultante delle forze è zero e la risultante dei momenti pure è zero, il corpo restain equilibrio, senza ruotare né traslare. Se invece la verticale passante per il baricentro del corpofuoriesce dalla base di appoggio (fig. c), la forza di gravità e la reazione vincolare costituiscono una6 – Statica dei corpi rigidi

Ins. Antonio PalladinoFISICA - La Statica dei Corpi Rigidicoppia di braccio diverso da zero: poiché il momento è diverso da zero, si genera una rotazione e ilcorpo cade.GFVINCFVINCFVINCGPPfig. afig. bGPfig. c3b. Condizione di equilibrio di un corpo rigido sospeso in un puntoUn corpo sospeso (vincolato) in un punto è in equilibrio quando la verticale abbassata dal punto di soFVINCFVINCspensione passa per il baricentro del corpo.Se questo accade (fig. a), sul corpo rigido agisconola forza di gravità e la reazione vincolare, le quali costituiscono una coppia di braccio nullo: poiché allorala risultante delle forze è zero e la risultante dei moGGmenti pure è zero, il corpo resta in equilibrio. Se invece la verticale passante per il punto di appoggionon passa per il baricentro del corpo (fig. b), la forzaPPdi gravità e la reazione vincolare costituiscono unacoppia di braccio diverso da zero: poiché il momento è diverso da zero, si genera una rotazione cheriporta il corpo nella posizione di equilibrio.4. Classificazione dell’equilibrioL’equilibrio può essere di tre tipi: stabile, instabile e indifferente.4a. Equilibrio stabileUna posizione è di equilibrio è stabile quando, spostando leggermente l’oggetto da tale posizionedi equilibrio, esso tende a ritornarvi. Una semisfera appoggiata su un tavolo è in equilibrio stabile,poiché, se pure spostata di poco, ritorna nella posizione iniziale. Anche un quadro appeso alla parete, con il baricentro posto sulla verticale del chiodo, in basso, è in equilibrio stabile.4b. Equilibrio instabileL’equilibrio è instabile quando, spostando anche di pochissimo l’oggetto dalla posizione di equilibrio, esso si allontana definitivamente da essa, per portarsi in una diversa posizione di equilibrio.Un cono appoggiato su un tavolo con la punta in basso è in equilibrio instabile, poiché, se pure spostato di pochissimo, crolla a terra. Un quadro appeso alla parete, a testa in giù, con il baricentro posto sulla verticale del chiodo, ma in alto, è in equilibrio instabile: anche se con un po’ di fatica siriesce a metterlo in tale posizione, basterà un piccolissimo spostamento per riportarlo giù, nella posizione di equilibrio stabile.4c. Equilibrio indifferenteL’equilibrio è indifferente quando, spostando l’oggetto dalla posizione di equilibrio, esso non tende né a ritornare nella posizione di partenza, né a portarsi verso un’altra situazione di equilibrio, mamantiene la nuova posizione. Una sfera appoggiata su un tavolo è in equilibrio indifferente poichéessa, spostata dalla posizione iniziale, resta permanentemente nella nuova posizione. Analogamente7 – Statica dei corpi rigidi

Ins. Antonio PalladinoFISICA - La Statica dei Corpi Rigidiun quadro appeso nel suo baricentro è in equilibrio indifferente, poiché esso mantiene qualunqueinclinazione assegnata.equilibrio stabileequilibrio instabileequilibrio indifferente5. Macchine sempliciNon sempre è facile sollevare dei corpi pesanti servendosi dei propri muscoli; in certi casi ci siriesce solo attraverso l’uso di macchine come il piano inclinato, le leve, le carrucole, ecc.In generale, si definisce macchina semplice un dispositivo meccanico che serve per equilibrare ovincere una forza (detta forza resistente) applicando un’altra forza di modulo e direzione diversa,(detta forza motrice). Il rapporto tra la forza resistente e la forza motrice è detto guadagno dellamacchina:forza resistenteguadagno forza motriceOvviamente l’uso della macchina è tanto più conveniente quanto più piccola è forza motrice daapplicare rispetto alla forza resistente, cioè quanto più alto è il suo guadagno. Una macchina è dettavantaggiosa se il guadagno è maggiore di 1 (la forza motrice è minore della forza resistente), svantaggiosa se il guadagno è minore di 1 (la forza motrice è maggiore della forza resistente).5a. Le leveLa leva è la più antica macchina elementare in quanto appare addirittura nell'arte egizia di circa5000 anni fa. Nella figura è rappresentata una leva. Essa consiste in una trave AB più o meno lunga,appoggiata o in grado di ruotare intorno ad un asse fisso passante per il punto O detto fulcro dellaleva. Agli estremi della trave sono applicate dall’esterno nel punto A la forza motrice Fm e nelpunto B la forza resistente Fr . Le distanze OA e OB delle forze Fm ed Fr dal fulcro O prendono il nome di bracci della leva e, in particolare, di braccio della forzamotrice (indicato con bm) e braccio dellaforza resistente della leva (indicato con br).bmAObrBFmFrfulcroVogliamo trovare la relazione matematica esistente tra Fm , Fr , bm e br quando la leva è in equilibrio. Affinché ci sia equilibrio occorre che la trave AB non trasli né ruoti.Cominciamo dall’assenza di traslazione. Fm e Fr non sono le uniche forze esercitate sulla leva; ilfulcro esercita una forza vincolare FV . Per l’equilibrio di traslazione la risultante delle forze deveessere nulla:Fm Fr FV 0da questo si ha che:(FV Fm Fr)8 – Statica dei corpi rigidi

Ins. Antonio PalladinoFISICA - La Statica dei Corpi RigidiLa forza FV esercitata dal fulcro ha quindimodulo pari alla somma delle due forze FmFVe Fr , stessa direzione e verso opposto.L’assenza di rotazioni impone che la somma dei momenti delle coppie agenti sullatrave sia pari a zero; a prima vista però nonsembrano esserci delle coppie (essendoci so-bmABO brFmFrlo 3 forze), ma dato che FV in modulo è datafulcrodalla somma di Fm e Fr , la situazione dellatrave si può vedere come in figura sotto, scomponendo FV :È evidente allora che sulla leva agiscono: Fra) una coppia data da Fm e Fm , di braccio bm, di momento M m Fm ·bm , che tende a far ruotare la leva in senso antiorario(momento positivo);bmAFm FmBbrOFrb) una coppia data da Fr e Fr , di brac-fulcrocio br, di momento M r Fr ·br , che tende afar ruotare la leva in senso orario (momento negativo).Le due coppie inducono versi di rotazione opposti; per l’equilibrio occorre che i loro momentidebbano bilanciarsi:Mm Mre quindi:Fm ·bm Fr ·brVediamo così che la leva è in equilibrio quando il mo

Ins. Antonio Palladino FISICA - La Statica dei Corpi Rigidi 3 – Statica dei corpi rigidi Risultante di forze applicate sulla stessa retta Se due o più forze sono applicate ad un corpo rigido sulla stessa retta, la risultante delle forze è uguale alla somma vettoriale delle forze e può essere applicata in un punto qualunque della retta.

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